常微分方程初等解法和求解技巧毕业论文

目录摘要 (I)关键词 (I)Abstract (I)Key words (I)1.前言 (1)2.常微分方程的求解方法 (1)2.1常微分方程变量可分离类型解法 (1)2.1.1直接可分离变量的微分方程 (3)2.1.2可化为变量分离方程 (3)2.2常数变易法 (7)2.2.1一阶线性非齐次微分方程的常数变易法 (7)2.2.2一阶非线性微分方程的常数变易法 (8)2.3积分因子法 (12)3.实例分析说明这几类方法间的联系及优劣 (14)3.1几个重要的变换技巧及实例 (14)3.1.1变为 (14)3.1.2分项组合法组合原则 (15)3.1.3积分因子选择 (15)参考文献 (16)致谢 (17)常微分方程初等解法及其求解技巧摘要常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中.求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题.本文就是对不同类型的常微分方程的解法及其求解技巧的系统总结：先介绍求解常微分方程的几种初等解法，如变量分离法，常数变易法，积分因子法等，在学习过程中，通过对不同类型的方程求解，揭示常微分方程的求解规律.然后介绍几类方程求解中的变换技巧及规律，并通过实例来分析这几类方法之间的联系及优劣，从而能快速的找到最佳解法.关键词变量分离法常数变易法积分因子变换技巧Elementary Solution and Solving Skills of OrdinaryDifferential EquationAbstractOrdinary differential equations are important components of calculus and used extensively for the studies on specific issues. Ordinary differential equations are often resolved by the means of variable separation and both sides integral. If they are higher-order ones, we can reduce their order by proper variable substitution to solve this problem. This essay aims at concluding systematically the methods of different types of differential equations and its resoling skills. First of all, I’d would like to introduce several basic resolutions of differential equations, such as variable separation, constant threats, points factor, etc. In the process of learning, I’d like to reduce the law of resolving ordinary differential equations by resolving different types of equations. Then, we describe several equations resolutions and for transformation techniques and its laws,and we also analyze the advantages and disadvantages and connections by using the examples of these methods to be able to find the best solution quickly.Key wordsVariable separation; constant threats; points factor; transform techniques1.前言数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是高等分析里大部分思想和理论的根源.人所共知，常微分方程从它产生的那天起, 就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具.它的发展历史也是跟整个科学发展史大致同步的.现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性质的研究、化学反应稳定性的研究等.这些问题都可以转化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题.常微分方程具有广泛的社会实践性，无论是在各类学科领域上，还是在实际生产生活中，都有举足轻重的作用．它所涉及范围之广，致使前人对它做了很深入的研究．应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它现有的理论也还远远不能满足需要，还有待进一步的发展，使这门学科的理论更加完善.微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言.它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具.人们在探求物质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规律，反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程，而一旦求出方程的解，其规律则一目了然.所以我们必须能够求出它的解.常微分方程的初等解法,既是常微分方程理论中有自身特色的部分，也与实际问题密切相关；恰当对初等解法进行归类，能正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型，从而能按照所介绍的方法进行分解.总之，常微分方程属于数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据这重要位置，学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论与实际应用均非常重要，因此本文对常微分方程的初等解法进行了简要归纳和分析，主要讨论变量分离方程，非恰当微分方程，线性微分方程，同时结合具体的实例，展示了初等解法在解题过程中的应用及其求解过程中的变换技巧和律.2.常微分方程的求解方法2.1常微分方程变量可分离类型解法定义1 如果一阶微分方程具有形式，则该方程称为可分离变量微分方程.若设，则可将方程化为.即将两个变量分离在等式两端.其特点是：方程的一端只含有的函数与，另一端只含有的函数与.对于该类程，我们通常采用分离变量的方法来处理。

一阶常微分方程初等解法的简析与举例姓名：潘晶晶学号:20085031079数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导老师：刘守宗职称：讲师摘要:本文结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题.并且对变量分离,变量变换,常数变易法,恰当微分方程,隐式微分方程等常微分方程的初等解法进行简要分析和求解.关键词:变量变换;隐式微分方程;一阶常微分方程;恰当微分方程A Brief Analysis And Examples of First-Order DifferentialEquations’ Elementary SolutionsAbstract:This article introduce a mothed of tansforming the solution of first-order differenttial equations into the solution of integral.The article also states a brief analysis and elementary method of the elementary solutions for separation of variables,variable transformation, variation law, appropriate differential equation, the implicit declined points equations.Key Words:variable transformation;cain declined equations;first-order differential equation; exact differential equation前言数学分析中研究了变量的各种函数及函数的微分与积分.如函数未知,但知道变量与函数的代数关系,便组成代数方程,通过求解代数方程就可解出未知函数.一阶常微分方程的初等解法是把微分方程的求解问题转化为积分问题,其解的表达式由初等函数或超越函数表示,他们在实际问题中有着广泛的应用,值得我们好好学习和体会. 1.一阶微分方程的基本概念联系着自变量,位置函数及其导数的关系式叫作微分方程,自变量只有一个的微分方程叫作常微分方程,阶数为一阶的叫作一阶常微分方程.2.变量分离方程的解法举例分析2.1变量分离方程的解法形如()()dyf x y dxϕ= (1) 的方程,称为变量分离方程,()f x ,()y ϕ分别是x ,y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数.如果()0y ϕ≠,我们可将(1)改写成()()dyf x dx y ϕ=,这样变量就分离开来了.两边积分,得到()()dyf x dx c y ϕ=+⎰⎰c 为任意常数.由该式所确定的函数关系式(,)y y x c =就是常微分方程(1)的解.例 求解方程dy dx =.解 当1y ≠±时,将变量分离,得=,两边积分,得c =+,则有arcsin arcsin y x c =+,即sin(arcsin )y x c =+,因当1y =±显然也是所求方程的解，且包含于上式，故所求方程的通解为sin(arcsin )y x c =+,其中成为任意常数.2.2化为变量分离的微分方程有些方程本不是可分离变量微分方程的类型,但经过变量变换可化为分离变量的微分方程.可分为三种情况来讨论:()1021==c c 的情形这时,有=dx dy =++y b x a y b x a 2211⎪⎭⎫ ⎝⎛=++x y g xy b a x yb a 2211. 因此,只要作变换x yu =,则方程就转化为变量分离方程.例 求解方程22dyx xy y dx =-. 解 方程可化为2()dy y y dx x x =-,令y u x =,将dy du x u dx dx=+代入上式, 可得2dux u dx=-,易知0u =是上式的一个解,从而0y =为原方程的一个解.当0u ≠时,分离变量得2du dx u x -=,两边积分得1ln u x c =+,故可得原方程的通解为ln x y x c=+. ()22121b b a a =k =的情形. 这时方程可写为()().22222122y b x a f c y b x a c y b x a k dx dy +=++++= 令u y b x a =+22,则方程化为().22u f b a dxdu+=, 这是变量分离方程.例 求解方程111dy dx x y =+-+. 解 令1u x y =-+,则有1y u x -=--,代入所求方程()111d u x dx u---=+,整理可得1du dx u=-, 由变量分离得22u x c =-+,故所求方程的解为()212x y x c -++=.()32121b b a a ≠及21,c c 不全为零的情形 因为方程右端分子,分母都是y x ,的一次多项式,因此⎩⎨⎧=++=++.0,0222111c y b x a c y b x a 代表Oxy 平面上两条相交的直线,设交点为()βα,,若令⎩⎨⎧-=-=,,βαy Y x X 则化为⎩⎨⎧=+=+,0,02211y b x a y b x a 从而变为.2211⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=X Y g Y b X a Y b X a dX dY 因此,求解上述变量分离方程,最后代回原方程,即可得到原方程的解.例 求解方程111dy dx x y =+-+. 解 令1u x y =-+,则有1y u x -=--,代入所求方程()111d u x dx u---=+,整理可得1du dx u=-,由变量分离得22u x c =-+,故所求方程的解为()212x y x c -++=. 2.3常数变易法 一阶线性微分方程()(),x Q y x P dxdy+= 其中()()x Q x P ,在考虑的区间上是x 的连续函数,若Q ()0=x ,变为(),y x P dxdy= 称为一阶齐次线性微分方程,若(),0≠x Q 称为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为(),⎰=dxx P ce y这里c 是任意常数.现在讨论非齐次线性方程的通解的求法.不难看出,是的特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中c 恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数c 变易为x 的待定函数,使它满足方程,从而求出(),x c 为此,令()(),dxx P e x c y ⎰=微分之,得到()()()()().dx x P dxx P e x P x c e dxx dc dx dy ⎰+⎰= 以代入得到()()()()()()()()(),x Q e x c x P e x P x c e dxx dc dx x P dx x P dx x P +⎰=⎰+⎰ 即()()(),⎰=-dx x P e x Q dxx dc积分后得到()()(),1c dx e x Q x c dxx P +⎰=-⎰这里1c 是任意常数.将代入得到()()().1⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-c dx e x Q e y dx x P dxx P 这就是方程的通解. 2.4伯努利微分方程 形如()()n y x Q y x P dxdy+= 的方程,称为伯努利微分方程,这里()()x Q x P ,为x 的连续函数.1,0≠n 是常数.利用变量变换可将伯努利方程化为线性方程.事实上,对于,0≠y 用n y -乘两边,得到()(),1x Q x P y dxdyy n n+=-- 引入变量变换,1n y z -=从而().1dxdy y n dx dz n --= 将代入得到()()()(),11x Q n z x P n dxdz-+-= 这是线性微分方程,可按常数变易法求得它的通解,然后代回原来的变量,便得到的通解.此外,当0>n 时，方程还有解.0=y例 求解微分方程222dy y x dx x y=+． 解 这是一个伯努利微分方程,两边同乘以2y ,得222dy y y x dx x=+, 令2u y =,则有2du ux dx x=+. 上式是一个一阶非齐次线形微分方程,由常数变易法可求得上式的解为312u cx x =+, 从而原方程的通解为2312y cx x =+, 2.5恰当微分方程考虑微分形式的一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=(11),如果该式的左端恰好是某个二元函数(),u x y 的全微分,即()()(),,,u u M x y dx N x y dy du x y dx dy x y∂∂+==+∂∂ 则称(11)为恰当微分方程,对于一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=,若有M Ny x∂∂=∂∂,则该方程必为恰当微分方程.我们接着讨论如何求得该恰当微分方程的解.我们可以把(),uM x y x∂=∂看作只关于自变量x 的函数.对它积分可得()(),u M x y dx y ϕ=+⎰,由此式可得()(),d y u M x y dx x x dyϕ∂∂=+∂∂⎰, 又因为有(),uN x y x∂=∂,故 ()(),d y N M x y dx dy xϕ∂=-∂⎰, 对该式积分可得()(),y N M x y dx dy x ϕ∂⎡⎤=-⎢⎥∂⎣⎦⎰⎰, 将该式代入,得恰当微分方程的通解为()(),,M x y dx N M x y dx dy c x ∂⎡⎤+-=⎢⎥∂⎣⎦⎰⎰⎰.例 求解微分方程()2220dyx y y x dx++=． 解 这里2M x y =,22N y x =+,从而2M Nxy y x∂∂==∂∂,可知所求的微分方程为恰当微分方程,则有2uy x x∂=∂, 对x 积分得()2212u x y y φ=+, 再对y 求导,则得()2d y ux y y dyφ∂=+∂, 又有22ux y y∂=+∂, 则可得()2y y φ=,将()2y y φ=代入得22122u x y y =+, 所以原方程的通解为22122x y y c +=. 2.6积分因子法恰当微分方程可以通过积分求出它的通解.因此能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程就有很大的意义.积分因子就是为了解决这个问题引进的概念.如果存在连续可微函数(),0x y μμ=≠,使得()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+=为一恰当微分方程，即存在函数u ,使Mdx Ndy du μμ+=,则称(),x y μ为方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的积分因子.函数(),x y μ为()(),,0M x y dx N x y dy +=积分因子的充要条件是()()M N y xμμ∂∂=∂∂, 即()M N NM x y y xμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂. 假设原方程存在只与x 有关的积分因子()x μμ=,则0xμ∂=∂,则μ为原方程的积分因子的充要条件是()M N x y xμμ∂∂∂=-∂∂∂,即()()M Ny x x N φ∂∂-∂∂=仅是关于x 的函数.此时可求得原方程的一个积分因子为()x dxe φμ⎰=.同样有只与y 有关的积分因子的充要条件是()()M Ny xy Mϕ∂∂-∂∂=-是仅为y 的函数,此时可求得方程(11)的一个积分因子为()y dye ϕμ⎰=.例 求解方程()330ydx x y dy ++-=. 解 在此式中M y =,33N x y =+-,因13M Ny x∂∂=≠=∂∂,所以该方程不是恰当方程,因()233M N y x N x y ∂∂--∂∂=+-不是x 的函数,但()2M Ny x M y ∂∂-∂∂=-是y 的函数,所以22dy y e y ⎰=为方程的积分因子,方程乘以积分因子,得()3223330y dx y xy y dy ++-=,该式为恰当微分方程,通过以上介绍的求恰当微分方程的方法得原方程的通解为33414xy y y c +-=. 2.7隐式微分方程2.7.1可以解出y 或x 的方程()1讨论形如,dy y f x dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的方程的解法,这里假设,dy f x dx ⎛⎫⎪⎝⎭有连续的偏导数.引进参数,dyp dx=则变为 (),.y f x p =将两边对x 求导数,并以dyp dx=代入，得到 .f f p p x p x∂∂∂=+∂∂∂ 方程是关于x ,p 的一阶微分方程,但它的导数已解出,于是可按前面介绍的方法求出它的解.若已求得的通解的形式为(),,p x c ϕ=将它代入,得到()(),,,y f x x c ϕ=这就是得通解.若求得的通解的形式为(),,x p c ϕ=则得到的参数形式的通解为()()(),,,,.x p c y f p c p ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩ 其中是p 参数,c 使任意常数.若求得的通解的形式为(),,0,x p c Φ=则得到的参数形式的通解()(),,0,,.x p c y f x p Φ=⎧⎪⎨=⎪⎩ 其中p 是参数,c 为任意常数.()2形如,dy x f y dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的方程,假定函数有连续的偏导数. 引进参数,dy p dx=则变为 (),,x f y p =将两边对y 求导数,然后以1dx dy p=代入,得到 1.f f dp p y p dy∂∂=+∂∂ 方程是关于y ,p 的一阶微分方程,但它的导数dp dy已解出,于是可按前面介绍的方法求解,设求得通解为 (),,0,y p c Φ=则得的通解为()(),,0,,.y p c x f y p Φ=⎧⎪⎨=⎪⎩2.7.2不显含y 或x 的方程()1讨论形如(),'0F x y =的方程的解法. 记dy p dx=，令()(),.x t p t ϕφ== 这里t 为参数,因为,dy pdx =以代入上式得()()',dy t t dt φϕ=两边积分,得到()()'.y t t dt c φϕ=+⎰于是,得到方程的参数形式的通解为()()(),'.x t y t t dt c ϕφϕ=⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰ 这里c 为任意常数.()2形如(),'0F y y =的方程,其解法同方程的求解方法类似.记',p y =引入参数t ,将方程表示为适当的数形式()(),.y t p t ϕφ=⎧⎪⎨=⎪⎩由关系式,dy pdx =得()()',t dt t dx ϕφ=由此得()()',t dx dt t ϕφ= ()()'.t x dt c t ϕφ=+⎰于是 ()()()',.t x dt c t y t ϕφϕ⎧=+⎪⎨⎪=⎩⎰ 为方程的参数形式的通解,其中c 为任意常数.此外,不难验证,若(),00F y =有实根,y k =则y k =也是方程的解例 求微分方程''y x e y =-的解.解 令'p y =,则p x e p =-,将上式两边对y 求导1p dp dp e p dy dy=-, 整理并积分可得()2112p y e p p c =-++, 所以方程的通解为()2112p p x e p y e p p c ⎧=-⎪⎨=-++⎪⎩ 结语对于一个给定的常微分方程,不仅要准确判断它属于何种类型,还要注意学习的解题技巧,从中总结经验,培养自己的机智和灵活性,对各种方法的推导进行分析归纳,并根据方程特点,引进适当的变换,将方程换为能求解的类型.才能熟练地把它应用在社会的实践中去.参考文献[1] [美]塞蒙斯G F.微分方程.张理晶译.北京:人民教育出版社,1981.[2] 胡健伟,汤怀民.微分方程数值解法[M].北京:科学出版社,1999.[3] 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2006.。

常微分方程初值问题的解法随着科技的不断进步和人类社会的不断发展，工程技术和科学技术的发展已经成为推动社会进步的重要力量，而数学则是工程技术和科学技术的基础和支撑，常微分方程作为数学分支的重要组成部分，对于理论研究和实际应用都有着深远的影响。

在实际工程中，解决常微分方程初值问题是数学理论在抽象式运算与工程实践之间的重要桥梁。

本文将介绍常微分方程初值问题的概念、求解方法以及实际应用。

一、常微分方程初值问题的概念常微分方程是指未知函数一阶或高阶微商与自变量和常数的关系式，常微分方程初值问题是指在初值u(x0)=u0已知的情况下，确定函数u(x)的解的问题。

在初值问题中，自变量是独立变量，取值范围可以是任意实数，因变量是函数值，是依赖自变量而实现的数值，常数是影响函数变化的一些固定参数。

常微分方程模型经常出现在工程技术模型中，一些实际应用场景可以通过建立数学模型来进行求解。

二、常微分方程初值问题的解法常微分方程初值问题的解法大致可以分为两种，一种是解析解法，即直接利用微积分学知识对方程进行求解；另一种是数值解法，即采用数值方法对方程进行数值计算求解。

下面将分别介绍这两种方法的解法原理。

1. 解析解法解析解法是指通过数学工具对函数解析表达式进行研究，以求出常微分方程的解。

该方法的先决条件是对方程具有严格的内部结构和特殊的形式，只有在特殊情况下才能找到一些特解。

这种方法的难点在于方程方程形式和初始条件可能存在巨大的数学难度，解析解的求解需要求解一些解析式的积分、微分和级数。

往往只有在一些特殊情况下，解析解法才能一般性的解决问题，因此该方法的适用场景相对较少。

2. 数值解法数值解法是指通过数值计算的方法，通过有限个代数运算和计算机模拟的方法得出方程的解。

数值解法的优点是具有广泛的适用性，可以有效地求解各种类型的常微分方程初值问题，使得无法通过解析方法求解的问题也可以得到解答。

数值解法可分为无条件稳定和条件稳定两种情况，前者是指方法不会出现不稳定结果的情况，而后者则保证了方法收敛性的同时，存在一定的条件限制。

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微分方程的求解方法应用与实例微分方程是数学中的重要分支之一，广泛应用于各个领域，如物理、工程、经济等。

解微分方程是研究微分方程的核心问题之一，掌握微分方程的求解方法对于解决实际问题至关重要。

本文将介绍微分方程的求解方法，并结合实例进行详细说明。

一、初等解法初等解法是解微分方程最常用的方法之一，主要包括分离变量法、参数法、齐次法和常系数线性齐次微分方程方法等。

分离变量法适用于可分离变量的微分方程。

通过将方程中的变量分离并进行分别积分的方式，最终得到微分方程的解。

参数法适用于可以利用某些特定的参数化代换将微分方程化简的情况。

通过给定参数化代换，将原微分方程转化为更简单的形式，并求解得到解。

齐次法适用于齐次线性微分方程。

通过将微分方程中的变量进行替换，使之变为齐次线性微分方程，并通过相应的解法求解得到原微分方程的解。

常系数线性齐次微分方程方法适用于常系数线性齐次微分方程。

通过特征方程的求解，找到微分方程的通解。

二、变量分离法变量分离法是解微分方程常用的方法之一，适用于将微分方程中的未知函数和自变量分离的情况。

以一阶可分离变量的形式为例，设微分方程为dy/dx=f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)是关于x和y的函数。

首先将方程两边同时乘以dx和1/g(y)，得到dy/g(y)=f(x)dx。

之后对方程两边同时积分，得到∫dy/g(y)=∫f(x)dx。

最后将等式两边积分得到微分方程的解。

三、常微分方程的解法常微分方程是微分方程中的一种重要类型，是指微分方程中未知函数与变量的最高导数只有一阶，没有更高阶的情况。

常微分方程的解法多种多样，如一阶常微分方程、二阶常微分方程等。

以一阶常微分方程为例，设方程为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是已知函数。

可以通过变量分离、齐次、恰当微分方程以及一些特殊的解法等方法求解常微分方程。

四、实例分析下面通过一个实例来详细说明微分方程的求解方法。

假设有一辆汽车的速度满足以下条件：在0时刻，汽车的初速度为10m/s，经过1小时，汽车的速度下降到5m/s。

引 言自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画。

常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。

物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨幅趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。

因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。

它的学术价值是无价的，应用价值是立竿见影的。

求一阶常微分方程的解是数学工作者的一项基本的且重要的工作。

由于国内外众多数学家的努力，使此学科基本上形成了一套完美的学科体系；由于该问题比较复杂且涉及的面广，使得有些问题的解析解很难求出，而对于一些典型的微分方程(如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等)可以运用基本方法求出其解析解，并在理论上可以根据初值问题的条件把其中的任意常数完全确定下来。

然而，在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程往往很复杂，在很多情况下都不可能给出解的解析表达式，有时即使能求出形式的解，也往往因计算量太大而不实用，而且高次代数方程求根也并不容易，所以用求解析解的方法来计算微分方程的数值解往往是不适宜的。

实际上，对于解微分方程初值问题，一般只要求得到解在若干个点上的近似解或者解的便于计算的近似表达式(只要满足规定的精度就行)。

所以，研究数学建模中常微分方程模型理论性数值解法迫在眉睫。

本文研究的数值解法主要是针对常微分方程初值问题多种数值解法精度比较而言。

从而得到更常用的数值解法在微分方程模型中的应用。

在自然科学和经济的许多领域中。

常常会遇到一阶常微分方程的初值问题b x a y x y y x f dx dy ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==.)(),,(00 这里),(y x f 是充分光滑，即关于x 或y 满足李普希茨条件的二元函数，0y 是给定的初始值，00)(y x y =称为初始条件。

解常微分方程的方法及应用常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是含有未知函数的导数的关系式。

在物理、化学、工程等领域中，常微分方程被广泛应用于建模和解决实际问题。

本文将介绍解常微分方程的几种常见方法，并探讨其在实际应用中的重要性。

一、分离变量法分离变量法是解常微分方程中最基本的方法之一。

对于形如dy/dx= f(x)g(y)的方程，我们可以将方程两边同时乘以dy和1/f(y)，然后两边同时积分，从而将原方程分离为两个变量的方程。

最后再对方程进行求解，得到的解即为原方程的解。

这种方法适用于许多一阶和高阶常微分方程的求解。

二、常系数齐次线性微分方程的求解常系数齐次线性微分方程是指形如dy/dx + ay = 0的方程，其中a为常数。

这类方程的解可以通过特征方程的求解得到。

我们可以首先假设解为y = e^(rx)，其中r为常数，代入方程中得到特征方程ar^2 + r = 0。

解特征方程后，可以得到两个不同的解r1和r2。

最后，将通解表示为y = C1e^(r1x) + C2e^(r2x)，其中C1和C2为任意常数，即为原方程的解。

三、变量可分离的高阶微分方程的解法对于一些高阶微分方程，可以通过变量代换和变量分离的方法将其转化为一系列一阶变量可分离的方程。

首先，通过变量代换将高阶方程转化为一阶方程组，然后再利用分离变量法逐个求解一阶方程。

最后，将解代入原方程组，得到原方程的通解。

这种方法可以简化高阶微分方程的求解过程。

四、常微分方程在物理和工程中的应用常微分方程在物理和工程学中有着广泛的应用。

举例来说，经典力学中的牛顿第二定律可以用微分方程来描述：F = ma，其中F是物体所受的外力，m是物体的质量，a是物体的加速度。

这个方程可以通过求解微分方程来得到物体的位移函数。

另外，电路中的RC和RLC电路也可以通过微分方程来描述响应和稳定性。

此外，生物学中也常常使用微分方程模型来描述生物体的生长和变化过程。

数学毕业(学位)论文题目汇总一、数学理论1。

试论导函数、原函数的一些性质。

ﻫ２。

有界闭区域中连续函数的性质讨论及一些推广。

ﻫ3。

数学中一些有用的不等式及推广.4。

函数的概念及推广.ﻫ5。

构造函数证明问题的妙想。

6.对指数函数的认识。

ﻫ7。

泰勒公式及其在解题中的应用。

8。

导数的作用。

9。

Ｈiｌbert空间的一些性质。

ﻫ10。

Banaｃｈ空间的一些性质。

ﻫ１1。

线性空间上的距离的讨论及推广。

12。

凸集与不动点定理．ﻫ１3。

Hｉlberｔ空间的同构．ﻫ1４。

最佳逼近问题。

ﻫ１5。

线性函数的概念及推广．ﻫ1６.一类椭圆型方程的解．18.线性赋范空间上的模等价。

1７。

泛函分析中的不变子空间。

ﻫ19.范数的概念及性质．２0。

正交与正交基的概念。

22。

隐函数存在定理的再证明。

ﻫ２3.线性空间的等距同构。

2１。

压缩映像原理及其应用.ﻫ24。

列紧集的概念及相关推广。

２５。

Lebｅsguｅ控制收敛定理及应用。

26。

Lebｅｓｇue积分与Rieｍann积分的关系。

27。

重积分与累次积分的关系.28。

可积函数与连续函数的关系。

２９。

有界变差函数的概念及其相关概念。

ﻫ30。

绝对连续函数的性质。

3１.Lｅbesguｅ测度的相关概念。

33。

可测函数的定义及其性质。

ﻫ３４．分部积分公式的32。

可测函数与连续函数的关系。

ﻫ推广。

35。

Fatoｕ引理的重要作用。

36.不定积分的微分的计算。

ﻫ37。

绝对连续函数与微积分基本定理的关系。

ﻫ3８。

Ｓchwartz 不等式及推广。

39。

阶梯函数的概念及其作用.40。

Fourｉer级数及推广。

ﻫ４1.完全正交系的概念及其作用。

ﻫ42。

Ｂanach空间与Hｉlbe ｒｔ空间的关系。

44。

数学分析中的构造法证题术,43。

函数的各种收敛性及它们之间的关系。

ﻫ4５。

用微积分理论证明不等式的方法4６.数学分析中的化归法47。

微积分与辩证法49。

在上有界闭域的D中连续函数的性质４8. 积分学中一类公式的证明ﻫ51。

目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)0 前言 (1)1预备知识 (1)1. 1变量分离方程 (2)1. 2恰当微分方程 (2)1. 3积分因子 (2)2 基本方法 (2)2. 1一般变量分离 (3)2. 2齐次微分方程 (3)2. 2 .1齐次微分方程类型一 (3)2. 2. 2齐次微分方程类型二 (4)2. 3常数变易法 (5)2.3.1常数变易法一 (5)2.3.2常数变易法二 (6)2.4积分因子求解法 (7)2.5恰当微分方程求解法 (8)3基本方法的应用 (8)3. 1一般变量分离方程应用 (8)3.1.1应用举例 (9)3.1.2应用举例 (9)3. 2齐次微分方程应用 (10)3.2.1类型一应用举例 (10)3.2.2类型一应用举例 (11)3.2.3类型二应用举例 (11)3.2.4类型二应用举例 (12)3.3常数变易法应用 (13)3.3.1常数变易法应用举例 (13)3.3.2伯努利微分方程应用举例 (14)3. 4利用积分因子求解 (14)3. 5 利用恰当微分方程求解 (15)参考文献 (16)一阶常微分方程初等解法摘要: 本文对一阶微分方程的初等解法进行归纳与总结,同时简要分析了变量分离,积分因子,恰当微分方程等各类初等解法.并且结合例题演示了如何把常微分方程的求解问题化为积分问题,进行求解.关键词: 一阶常微分方程;变量分离;恰当微分方程;积分因子The Fundamental methods of the first-order ordinarydifferential equationAbstract:In this thesis, we summarize the fundamental methods of the first-order ordinary differential equation. At the same time, we analysis the various types of fundamental methods such as the separation of variables, integrating factor and the exact differential equation. Combined with examples, we show how the ordinary differential equations solve problems by transforming them into the problems of integration.Key Words: first-order ordinary differential equation; separation of variables; exact differential equation; integrating factor0 前言常微分方程在微积分概念出现后即已出现,对常微分方程的研究也可分为几个阶段.发展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解,属于“求通解”时代.莱布尼茨曾专门研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解问题,而欧拉则试图用积分因子处理.但是求解热潮最终被刘维尔证明里卡蒂方程不存在一般初等解而中断.加上柯西初值问题的提出,常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代.在20世纪六七十年代以后,常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的时期,从求“求所有解”转入“求特殊解”时代,发现了具有新性质的特殊的解和方程,如混沌（解）、奇异吸引子及孤立子等.常微分方程的研究还与其他学科或领域的结合而出现各种新的分支,如控制论、种群分析、种群生态学、分支理论、泛函微分方程、脉冲微分方程等.总之,常微分方程属于数学分析的一支,是数学中与应用密切相关的基础学科,其自身也在不断发展中,学好常微分方程基本理论和实际应用均非常重要.因此本文对一阶常微分方程的初等解法进行了简要的分析,同时结合例题,展示了初等解法在解题过程中的应用.1预备知识1. 1 变量分离方程形如()()dy f x y dxϕ=, (1.1) 的方程,称为变量分离方程,()f x ,()y ϕ分别是x ,y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数.如果()0y ϕ≠,我们可将(1)改写成()()dy f x dx y ϕ=,这样变量就分离开来了.两边积分,得到()()dy f x dx c y ϕ=+⎰⎰, c 为任意常数.由该式所确定的函数关系式(,)y y x c =就是常微分方程(1)的解.1.2 恰当微分方程将方程),(y x f dxdy =, 写成微分的形式,得到0),(=-dy dx y x f ,或把x ,y 平等看待,写成下面具有对称形式的一阶微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M , (1.2)如果方程)2(的左端恰好是某个二元函数),(y x u 的全微分,即()()(),,,u u M x y dx N x y dy du x y dx dy x y∂∂+==+∂∂, 则称方程)2(就是恰当微分方程.1.3 积分因子如果存在连续可微函数(),0x y μμ=≠,使得()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+=为一恰当微分方程,即存在函数u ,使Mdx Ndy du μμ+=,则称(),x y μ为方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的积分因子.2基本方法2.1一般变量分离()()dy f x y dxϕ=, )1.2( 的方程,称为变量分离方程,()f x ,()y ϕ分别是x ,y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数.如果()0y ϕ≠,我们可将)1.2(改写成()()dy f x dx y ϕ=, 这样,变量就分离开来了.两边积分,得到 ()()dy f x dx c y ϕ=+⎰⎰. )2.2(这里我们把积分常数c 明确写出来,而把⎰)(y dy ϕ, ⎰dx x f )(分别理解为)(1y ϕ,)(x f 的原函数.常数c 的取值必须保证)2.2(有意义,如无特别声明,以后也做这样理解. 因)2.2(式不适合0)(=y ϕ情形.但是如果存在0y 使0)(0=y ϕ,则直接验证知0y y =也是)1.2(的解.因此,还必须寻求0)(=y ϕ的解0y ,当0y y =不包括在方程的通解)2.2(中时,必须补上特解0y y =2.2齐次微分方程2.2.1齐次微分方程类型一形如)(yx g dx dy =, 的方程,称为奇次微分方程,这里)(u g 是u 的连续函数.作变量变换xy u =, 即ux y =,于是u dxdu x dx dy +=. 代入原方程可得)(u g u dxdu x =+, 整理后,得到xu u g dx du -=)(. )3.2( 因)3.2(是一个变量分离方程.则可按照变量分离方法求解,然后代回原来的变量,即可得到原方程的解2.2.2齐次微分方程类型二形如222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=, )4.2( 的方程不可直接进行变量分离,但是可以经过变量变换后化为变量分离方程,这里1a ,1b ,1c ,2a ,2b ,2c 均为常数.可分为三种情况来讨论:()1k c c b b a a ===212121(常数)的情形 这时方程可化为k dxdy =, 有通解c kx y +=,其中c 为任意常数.()2212121c c k b b a a ≠==的情形. 令y b x a u 22+=,这时有212222c u c ku b a dx dy b a dx du +++=+=. 是变量分离方程()32121b b a a ≠及21,c c 不全为零的情形 因为方程右端分子,分母都是y x ,的一次多项式,因此⎩⎨⎧=++=++.0,0222111c y b x a c y b x a 代表Oxy 平面上两条相交的直线,设交点为()βα,,若令⎩⎨⎧-=-=,,βαy Y x X 则方程可化为⎩⎨⎧=+=+,0,02211y b x a y b x a 从而方程)4.2(变为.2211⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=X Y g Y b X a Y b X a dX dY 因此,求解上述变量分离方程,最后代回原方程,即可得到原方程的解.)4(021==c c 的情形 此时直接变换xy u =即可 2.3常数变易法 2.3.1常数变易法一一阶线性微分方程()(),x Q y x P dxdy += 其中()()x Q x P ,在考虑的区间上是x 的连续函数,若Q ()0=x ,方程变为(),y x P dxdy = 称其为一阶齐次线性微分方程,若(),0≠x Q 称其为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为(),⎰=dx x P ce y这里c 是任意常数.现在讨论非齐次线性方程的通解的求法.不难看出,是特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中c 恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数c 变易为x 的待定函数,使它满足方程,从而求出(),x c 为此,令()(),dx x P e x c y ⎰=两边同时微分,得到()()()()().dx x P dx x P e x P x c e dxx dc dx dy ⎰+⎰= 代入原方程,得到()()()()()()()()(),x Q e x c x P e x P x c e dxx dc dx x P dx x P dx x P +⎰=⎰+⎰ 即()()(),⎰=-dx x P e x Q dxx dc 两边同时积分,得到()()(),1c dx e x Q x c dx x P +⎰=-⎰这里1c 是任意常数,求得到()()().1⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-c dx e x Q e y dx x P dx x P 就是方程的通解.这种将常数变为待定函数的方法通常被称之为常数变易法.2.3.2 常数变易法二形如n y x Q y x P dxdy )()(+=, )5.2( 的方程,称为伯努利方程,这里)(x P ,)(x Q 为x 的连续函数,n ≠0,1是常数.利用变量变换可将伯努利微分方程化为线性微分方程.事实上,对于0≠y ,用n y -乘)5.2(的两边,得到)()(1x Q x P y dxdy y n n +=--, 引入变量变换n y z -=1,从而dxdy y n dx dz n --=)1(. 代入方程)5.2(,得到)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -+-=, 这是线性微分方程,可按照前面介绍的方法来求出它的通解,然后代换原来的变量,便得到方程的通解.此外,当0>n 时,方程还有解0=y .2.4积分因子求解法函数(),x y μ为()(),,0M x y dx N x y dy +=积分因子的充要条件是()()M N y xμμ∂∂=∂∂, 即()M N N M x y y xμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂. 假设原方程存在只与x 有关的积分因子()x μμ=,则0x μ∂=∂,则μ为原方程的积分因子的充要条件是()M N x y xμμ∂∂∂=-∂∂∂,即()()M N y x x N φ∂∂-∂∂=仅是关于x 的函数.此时可求得原方程的一个积分因子为()x dx e φμ⎰=.同样有只与y 有关的积分因子的充要条件是()()M N y x y Mϕ∂∂-∂∂=-是仅为y 的函数,此时可求得方程的一个积分因子为()y dy e ϕμ⎰= 2.5恰当微分方程求解对于一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=, 若有M N y x∂∂=∂∂,则该方程必为恰当微分方程. 下面讨论如何求得该恰当微分方程的解. 把(),u M x y x∂=∂看作只关于自变量y 的函数,对它积分可得 ()(),u M x y dx y ϕ=+⎰由此式可得N dyy d dx y x M y y u =+∂∂=∂∂⎰)(),(ϕ, 由此可得dx y x M yN dy y d ⎰∂∂-=),()(ϕ, 又因为]),([]),([⎰⎰∂∂∂∂-∂∂=∂∂-∂∂dx y x M y x x N dx y x M y N x ]),([⎰∂∂∂∂-∂∂=dx y x M x y x N 0=∂∂-∂∂=yMx N , 故等式右边只含有y ,积分可得dy ydx x M yN y ⎰⎰∂∂-=]),([)(ϕ, 进而可得dy dx y x M yN dx y x M u ⎰⎰⎰∂∂-+=]),([),(. 则恰当微分方程的通解为c dy dx y x M yN dx y x M =∂∂-+⎰⎰⎰]),([),(, 这里c 是任意常数. 3.基本方法的应用 3.1 一般变量分离应用举例 3.1.1应用举例 例 1 求解方程dx dy -=xy解 将变量分离,得到xdx ydy -=,两边积分,即得22222cx y +-=, 因而,通解为c y x =+22.这里c 是任意正常数,或者解出y ,写出显函数形式的解2x c y -±=.3.1.2应用举例例 2 求解方程y x p dxdy)(=, )1.3( 的通解,其中是)(x p x 的连续函数解 将变量分离,得到dx x p ydy)(=, 两边积分,即cdx x p y ~)(||ln +=⎰. 这里c~是任意常数.由对数定义,有 c dx x p e y ~)(||+⎰=,即dxx p c e e y ⎰⋅±=)(~,令c e c =±~,得到⎰=dxx p ce y )(, )2.3(此外,0=y 显然也是方程)1.3(的解,如果允许)2.3(中允许0=c 则0=y 也就包括在)2.3(中,因而)1.3(的通解为)2.3(,其中c 为任意常数.3.2齐次微分方程应用举例 3.2.1类型一应用举例例 3 求解方程xyx y dx dy tan += 解 这是齐次微分方程,以u dx dux dx dy u x y +==及代入,则原方程变为 ,tan u u u dxdu x +=+ 即xu dx du tan =. )3.3( 将上式分离变量,既有,cot xdxudu =两边积分,得到cx u ~||ln |sin |ln +=. 这里c~是任意常数,整理后,得到 u sin =,~x e c ⋅±c e=±~得到 cx u =sin . )4.3(此外,方程)3.3(还有解0tan =u .如果在)3.3(中允许0=c ,则0tan =u 也就包括在)4.3(中,这就是说,方程)3.3(的通解为)4.3(带回原来的变量,得到方程的通解为.sincx xy= 3.2.2类型一应用举例 例 4 求解方程y xy dxdyx=+2（0<x ） 解 将方程改写为xy x y dx dy +=2, 这是齐次微分方程.以u dxdux dx dy u x y +==及代入,则原方程变为 .2u dxdux = )5.3( 分离变量,得到,2xdx udu =两边积分,得到)5.3(的通解.)ln(c x u +-=即当0)ln(>+-c x 时,2])[ln(c x u +-=.这里c 时任意常数.此外,方程)5.3(还有解.0=u注意,此解并不包括在通解)5.3(中. 代入原来的变量,即得原方程的通解为.])[ln(2c x x y +-=3.2.3类型二应用举例例 5 求解方程111dy dx x y =+-+. 解 令1u x y =-+,则有1y u x -=--,代入所求方程()111d u x dx u---=+,整理可得1du dx u=-, 由变量分离得22u x c =-+,故所求方程的解为()212x y x c -++=.3.2.4类型二应用举例例 6 求解方程31-++-=y x y x dx dy . 解 解方程组⎩⎨⎧=-+=+-,03,01y x y x 得.2,1==y x 令⎩⎨⎧+=+=,1,1Y y X x 代入上式方程,则有YX Y X dX dY +-=. 再令,uX Y XYu ==即则上式可化为 du uu uX dX 2211--+=, 两边积分,得cu u X ~|12|ln ln 22+-+-=, 因此c e u u X ~22)12(±=-+,记,1~c e c=±并带回原变量,得1222c X XY Y =-+,122)1()2)(1(2)2(c x y x y =----+-.此外容易验证0122=-+u u ,即2220,Y XY X +-=也是方程的解 ,因此方程的通解为c x y x xy y =---+26222,其中c 为任意的常数.3.3常数变易法应用 3.3.1常数变易法应用举例例 7 求方程22yx ydx dy -=的通解 解 原方程可改写为yy x dy dx 22-=, 即y x ydy dx -=2, )6.3( 首先,求出齐次线性微分方程x ydy dx 2=, 的通解为2cy x =.其次,利用常数变易法求非齐次线性微分方程)6.3(的通解 把c 看成)(y c ,将方程2cy x =两边同时微分得y y c y dyy dc dy dx )(2)(2+=. 代入)6.3(,得到ydy y dc 1)(-=, 两边同时积分,即可求得cy y c ~ln )(+-=. 从而,原方程的通解为)ln ~(2y cy x -=, 这里c~是任意常数.3.3.2 伯努利微分方程的求解例 8 求方程的26xy xydx dy -=通解 解 这是2=n 时的伯努利微分方程.令1-=y z ,算得x z xdx dz +-=6, 这是线性微分方程,求得它的通解为826x xc z +=.代入原来的变量y ,得到8126x x c y +=, 或者c x y x =-886, 这就是原方程的通解. 此外,方程还有解0=y 3.4利用积分因子求解例 9 求解方程0)(=-+dy x y ydx . 解 这里,1,1,,-=∂∂=∂∂-==XN y M x y N y M 方程不是恰当的. 因为yy M 2-=∂∂只与y 有关,故方程有只与y 的积分因子 2||ln 221y e eu y y==⎰=--, 以21yu =乘方程两边,得到0112=-+yxdydy y dx y , 或者写成02=+-y dyyxdy ydx , 因而通解为c y yx=+||ln .3.5利用恰当微分方程求解例 10 求解方程0)1()1(cos 2=-++dy yxy dx y x .解 因为221,1yx N y y M -=∂∂-=∂∂,故方程是恰当微分方程.把方程重新分项组合,得到0)1()1(cos 2=-++dy yxy dx y x ,即0||ln sin 2=-++y xdyydx y d x d , 或者写成0)||ln (sin =++yxy x d .于是,方程的通解为c yxy x =++||ln sin , 这里c 是任意常数参考文献[1] 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程（第三版）[M].北京:高等教育出版社;2006.[2] 杨继明,常系数线性微分方程组的解法[J];宝鸡文理学院学报（自然科学版）;2001,34-47.[3] 伍卓群,李勇编,常微分方程（第三版）[M],北京：高等教育出版社,2004.[4] 杨继明,蔡炯辉;常系数非齐次线性微分方程组初值问题的求解公式[J].宝鸡文理学院学报（自然科学版）;2001,45-62.[5] 胡建伟,汤怀民,常微分方程数值解法[M],北京：科学出版社.1999.[6] 周义仓.常微分方程及其应用.[M] .北京:高等教育出版社,1985.[7] 尤秉礼.常微分方程补充教程.[M] .北京:人民教育出版社,1981.。

大学数学常微分方程的解法与应用数学在科学研究和工程应用中起着重要的作用，而微分方程则是数学中的一大分支。

大学数学常微分方程是数学专业必修课程之一，它研究的是未知函数的导数与自变量之间的关系。

本文将介绍常微分方程的解法及其在实际问题中的应用。

一、常微分方程的解法1. 分离变量法分离变量法是常微分方程求解中最常用的方法之一。

它适用于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程。

具体步骤如下：（1）将方程中的含有y和x的项分别放在一边，得到dy/g(y) =f(x)dx。

（2）对方程两边同时积分，得到∫dy/g(y) = ∫f(x)dx。

（3）对积分后的表达式进行求解，得到y的解析表达式。

以一个简单的例子来说明分离变量法的应用。

考虑方程dy/dx = x/y，我们可以将方程改写为ydy = xdx，然后对方程两边同时积分，得到∫ydy = ∫xdx，最后求解得到y^2 = x^2 + C。

2. 常系数齐次线性微分方程的解法常系数齐次线性微分方程指的是形如dy/dx + ay = 0的一阶微分方程，其中a为常数。

对于这类微分方程，我们可以使用特征方程法来求解。

具体步骤如下：（1）将方程改写为dy/y = -adx。

（2）对方程两边同时积分，得到∫dy/y = ∫-adx。

（3）求解积分后的表达式，得到y的解析表达式。

例如，考虑方程dy/dx + 2y = 0，我们可以将方程改写为dy/y = -2dx，然后对方程两边同时积分，得到∫dy/y = -2∫dx，最后求解得到y = Ce^(-2x)，其中C为常数。

二、常微分方程的应用1. 物理学中的应用常微分方程在物理学中有着广泛的应用。

例如，牛顿第二定律F=ma可以通过微分方程来描述。

考虑一个质点在平面上运动，其速度为v(t)，则根据牛顿第二定律，我们可以得到质点的运动方程mdv/dt = F，其中m为质量，F为合力。

这个方程可以化简为一阶微分方程，进而求解得到速度随时间的变化规律。

常微分方程求解的高阶方法毕业论文常微分方程求解的高阶方法毕业论文目录第一章前言 (1)1.1案例引入微分方程概念 (1)1.2微分方程的基本概念 (1)1.2.1微分方程及微分方程的阶 (1)1.2.2微分方程的解、通解与特解 (1)1.2.3微分方程的初值条件及其提法 (2)1.2.4微分方程的解的几何意义. (2)1.3从解析方法到数值方法概述 (3)1.4常温分方程的离散化 (4)第二章数值解法公共程序模块分析 (5)第三章欧拉（Euler）方法 (7)3.1 Euler方法思想 (7)3.2 Euler方法的误差估计 (8)3.3改进的Euler方法 (8)3.3.1梯形公式 (8)3.3.2改进Euler法 (9)第四章休恩方法 (10)4.1 休恩方法思想 (10)4.2休恩方法的步长和误差 (10)第五章泰勒级数法 (11)5.1泰勒定理 (11)5.2 N次泰勒方法 (12)第六章龙格-库塔（Runge—Kutta法） (13)6.1龙格-库塔（Runge—Kutta）方法基本思想 (13) 6.2 阶龙格-库塔（Runge—Kutta）方法公式 (14) 第七章预报-校正方法 (15)7.1 Milne-Simpon方法 (16)7.2误差估计于校正 (16)7.3 正确的步长 (17)第八章一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法 (17)8.1 一阶微分方程组的数值解法 (17)8.2 高阶微分方程的数值解法 (18)第九章常微分方程模型数值解法在数学建模中的应用 (19)9.1耐用消费新产品的销售规律模型 (19)9.1.1 问题的提出 (19)9.1.2 模型的构建 (19)9.1.3 模型的求解 (20)9.2 司机饮酒驾车防避模型的数值解法 (21)9.2.1 模型假设 (22)9.2.2 模型建立 (22)9.2.3 模型求解 (24)9.2.4 模型评价 (25)9.2.5 诚恳建议 (25)9.2.6 模型推广 (26)主要参考文献 (26)致谢 (27)第一章前言1.1案例引入微分方程概念在科技、工程、经济管理、生态、生态、刑侦等各个领域微分方程有着广泛的应用。

二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧郑燕，王俊霞太原师范学院数学系，山西晋中，030619摘要：本文总结介绍了三类二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧，分别是：特征根法；常数变易法；比较系数法.同时结合例题进行具体讲解.虽然当今社会关于二阶常微分方程初等解法求解技巧的研究已经获得了很大的成就，但它的已有理论仍然得不到求知者的满足，需要大家进一步发展，使之更加完善.关键词：二阶常系数齐次线性微分方程；特征根法；常数变易法；比较系数法；二阶常系数非齐次线性微分方程.1.预备知识d2x dt2+a1(t)dxdt+a2(t)x=f(t) (1.1)其中a i(t)(i=1,2)以及f(t)都是连续函数并且区间是a≤t≤b. 如果f(t)≡0,则方程（1）就变成了d2x dt2+a1(t)dxdt+a2(t)x=0（1.2）我们形如方程（1.2）的方程叫做二阶齐次线性微分方程，把方程（1.1）叫做二阶非齐次线性微分方程.并且把方程(1.1)叫做方程（1.2）对应的齐次线性微分方程.2.求解方法技巧2.1常数变易法常数变易法是将常数C看作是t的待定函数C(t)，然后求出非齐次线性方程的通解.求解过程如下：设x1(t), x2(t)是方程（1.2）的基本解组，则x=x1(t)+ c2x2(t)（2.1.1）是方程（1.2）的通解.将常数C i看作是t的待定函数C i(t)(i=1,2),那么方程（2.1.1）就变成x=c1(t)x1(t)+c2(t)x2(t) （2.1.2）求x关于t的一阶导数得x′=c1′(t)x1(t)+c1(t)x1′(t)+c2′(t)x2(t)+c2(t)x2′(t)令c1′(t)x1(t)+c2′(t)x2(t)=0（2.1.3）得到x′=c1(t)x1′(t)+ c2(t)x2′(t)（2.1.4）再求x关于t的二阶导数得x′′=c1′(t)x1′(t)+ c1(t)x1′′(t)+ c2(t)x2′′(t)+ c2′(t)x2′(t)(2.1.5)把方程（2.1.4）、（2.1.5）带入到方程(1.1)中可得到2.2特征根法设方程（1.1）中a1、a2都是常数，即L[x]≡d2xdt +a1dxdt+a2x=0, （2.2.1）我们把上式叫做二阶常系数齐次线性微分方程.接着我们要求解方程（2.2.1）.那么方程（2.2.1）的通解是关键所在，我们只需要求出它的基本解组.下面是特征根法的具体介绍.由一阶常系数齐次微分方程dxdt+ax =0， 的通解是x=c e −at ,由此可以猜测二阶常数齐次微分方程有指数形式的解 x =e λt ,L[e λt ]≡d 2e λt dt 2+a 1de λt dt+a 2e λt=(λ2+a 1λ+a 2) e λt ≡F(λ) e λt ,所以F(λ)= λ2+a 1λ+a 2是λ的二次多项式.所以上式是方程（2.2.1）的解得重要条件是F(λ)= λ2+a 1λ+a 2=0 （2.2.2）问题转化为求解方程（2.2.2）的解λ. 下面就λ的不同形式进行讨论.2.2.1特征根是两个实根设特征方程（2.2.2）有两个不相等的实根λ1，λ2,所以该方程有如下两解：e λ1t ,e λ2t . 我们指出这两个解在上线性无关,于是它们就组成了方程的基本解组.事实上,这时 W （t ）=|e λ1te λ2tλ1eλ1tλ2e λ2t| =e (λ1+λ2) |11λ1λ2| =e (λ1+λ2)(λ2−λ1), ≠0,所以e λ1t , e λ2t 线性无关,上式得证. 所以此方程的通解可表示为x=c 1e λ1t +c 2 e λ2t （其中c 1,c 2为任意实数）.假设特征方程有复根,那么复根将成对共轭出现.设其中的一个特征根是λ1=α+iβ,那么另一个特征根是λ2=α−iβ,所以方程有两个复值解e (α+iβ)t =e αt (cos βt +i sin βt), e (α−iβ)t =e αt (cos βt −i sin βt). 所以,我们可求的方程（2.2.1）的两个实值解是e αt cos βt ,e αt sin βt .2.2.2特征根有重根若特征方程(2.2.2)有两个相等的实根λ1=λ2，此时a 12−4a 22＝0，即 有λ=-a12，于是方程(2.2.2)有一个特解x=e λ1t ，所以方程的另一个特解是 x 2=u x 1=u e λ1t其中u ＝u(t)为待定函数， 对x 2求一阶，二阶导数得a tb ≤≤dx 2dt=du dte λ1t +λ2ue λ1t =(du dt+λ2u ) e λ1t ，d 2x 2dt 2=(d 2udt 2+2λ1dudt +λ12u) e λ1t ，将它们代入方程(2.2.2)得(d 2udt 2+2λ1dudt +λ12u) e λ1t ＋a 1(dudt +λ2u) e λ1t ＋a 2ue λ1t ＝0， 整理得[d 2udt 2+(2λ1+a 1)dudt +(λ12+a 1λ1+a 2)u] e λ1t =0，因为e λ1t ≠0并且λ1是特征方程的根，所以λ12+a 1λ1+a 2=0，有因为λ1=−a12所以有2λ1+a 1=0，那么上式变成d 2u dt 2=0，显然满足d 2u dt 2=0的函数很多，我们取其中最简单的一个u(t)=t ,则x 2=te λt 是方程（2.2.1）的另一个解，并且x 1、x 2是两个线性无关的函数， 所以方程(2.2.1)的通解是 x=(c 1+c 2x)e λ1t .2.2.3 解得表λ1、λ2的情形方程（2.2.1）的通解两个不相等的实根（λ1≠λ2） x=c 1e λ1t + c 2e λ2t 两个相等实根（λ1=λ2） x=(c 1+c 2x)e λ1t一对共轭复根λ1=α+iβ、λ2=α−iβx=e αt (c 1cos βt +c 2sin βt )2.3比较系数法比较系数法中函数f(t)可以分为两个类型，这个方法是通过代数的方法来求得非齐次线性微分方程的特解，然后特解加上齐次线性微分方程的通解就是最后的通解.2.3.1 f(t)=(b 0t+b 1)e λt函数f(t)=(b 0t+b 1)e λt ，其中λ，b 0, b 1是确定的常数. 当方程d 2x dt2+a 1dxdt +a 2x=f(t)有形如 x ̃=t k (At+B) e λt的特解.其中A ，B 是未知的常数，k 是由特征方程F （λ）=0来决定.若λ是特征根，则k=1；若λ不是特征根，则k=0.⑴λ=0，f(t)=b 0t+b 1①当λ=0不是特征根时，即F （0）不等于0，所以a 2也不等于0，所以方程的特解为x̃=At+B .把特解带入非齐次线性方程中就可以得到a 1A +a 2(At +B)=b 0t+b 1, 由此可以得到 {a 1A +a 2B =b 1a 2A =b 0,可以求出A,B 的值，求出特解.②当λ=0是特征根时，即F （0）等于0，所以a 2等于0，所以方程的特解为x̃=t(At+B).把特解带入非齐次线性方程中就可以得到2A+a 1(2At +B)= b 0t+b 1 , 由此可以得到{2A +a 1B =b 12a 1A =b 0, 可以求出A ,B 的值，求出特解. ⑵λ≠0，引入x=y e λt 那么方程d 2x dt 2+a 1dxdt +a 2x=（b 0t+b 1）e λt 就可以变形为d 2y dt2+A 1dydt +A 2y=b 0t+b 1, 其中A 1，A 2都是常数.上式微分方程的形式则与（1）中f(t)的形式一样.①当λ是特征方程的单根时，由（1）的求解方式可以得到该方程有特解ỹ=t(B 0t+B 1), 所以方程的特解为x̃=t(B 0t+B 1) e λt , ②当λ不是特征方程的单根时，F （0）不等于0.则方程有特解ỹ=B 0t+B 1, 从而得到x̃=(B 0t+B 1) e λt . 2.3.2 f(t)=[A (t )cos βt +B(t)sin βt ]e αt设f(t)=[A (t )cos βt +B(t)sin βt ]e αt ，其中α，β是常实数，A(t),B(t)是t 的常实数多项式.且max(ðA (t ),ðB (t ))=m .f(t)=[A (t )cos βt +B(t)sin βt ]e αt= A (t )cos βt e αt + B(t)sin βt e αt= A (t )e (α+iβ)t2+ A (t )e(α−iβ)t2+ B (t )e(α+iβ)t2i- B (t )e (α−iβ)t2i=(A (t )2+B (t )2i) e (α+iβ)t + (A (t )2-B (t )2i) e (α−iβ)t=A (t )−iB(t)2e (α+iβ)t +A (t )+iB(t)2e (α−iβ)t=f 1(t)+ f 2(t),由上式可以看出f 1(t)̅̅̅̅̅̅ = f 2(t)，如果x 1是f 1(t)的解，那么x 1̅必然就是f 2(t)的解.所以该类方程的解为x ̃=t k D(t) e (α−iβ)t + t k D(t)̅̅̅̅̅̅e (α+iβ)t =t k [P (t )cos βt +Q(t)sin βt ]e αt ,其中D(t)是t 的m 次多项式，而P(t)=2Re{D(t)},Q(t)=2Im{D(t)}.3.常微分方程的简单应用 3.1常数变易法例1.求方程x ′′+x =1cos t 的通解.解：该方程所对应的特征方程是λ2+1=0，特征根为λ1=i, λ2=-i.是两个复根. 所以齐次微分方程的通解为 x=c 1cos t +c 2sin t , 应用常数变易法，则设x=c 1(t)cost+c 2(t)sint, (1.a)x ′=c 1′(t)cost+c 2′(t)sint-c 1(t)sint+c 2(t)cost令c 1′(t)cost+c 2′(t)sint=0 (1.b)则x ′=c 2(t)cost-c 1(t)sintx ″=c 2′(t)cost-c 2(t)sint-c 1(t)cost-c 1′(t)sint (1.c)把（1.a ）（1.c ）带入原方程得-c 1′(t)sint+c 2′(t)cost=1cos t .(1.d)联立（1.b ）（1.d ）就可以求得c 1′(t)=−sintcost c 2′(t)=1所以，c 1(t)=ln |cost |+γ1, c 2(t)=t+γ2.因此原方程得通解可以表示为X=γ1cost+γ2sint+ tsint+cost ln |cost |, 其中γ1，γ2为任意常数. 例2. 求方程t x ′′ -x ′=t 2在t ≠0上所有的解. 解：该方程所对应的齐次微分方程为 tx ″-x ′=0 将方程变形为x ″x ′=1t令 dxdt =y 则y ′y=1t 那么很容易得到y=ct 继而dxdt =ct解得x=c 1t 2+c 2，由此可知该方程所对应的齐次常微分方程的基本解组为t 2，1.我们把原方程进行变形得到x ″-1t x ′=t (2.a)利用常数变易法设x=c 1(t)t 2+c 2(t) (2.b) x ′=2t c 1(t)+ c 1′(t)t 2+c 2′(t)令c 1′(t)t 2+c 2′(t)=0 (2.c)则x′=2t c1(t) (2.d)x″=2c1(t)+ 2tc1′(t)(2.e)将（2.d）(2.e)带入（2.a）得到2tc1′(t)=t所以c1(t)=12t+γ1c2(t)=−16t3+γ2.所以原方程的通解为X=γ1t2+γ2+13t3，其中γ1，γ2为任意常数.3.2特征根法例5.求解方程d 2xdt2–x=0的通解.解：该方程所对应的特征方程是λ2−1=0，特征根为λ1=λ2=1.是两个相等的实根.所以方程的通解为x=(c1+c2t)e t,这里c1，c2是任意常数.例6.求解方程d 2xdt2 − 2dxdt–3x=0的通解.解：该方程所对应的特征方程是λ2−2λ−3=0，特征根是λ1=−1，λ2=3.是两个不相等的实根.所以该方程的通解为x=c1e−t+ c2e3t,这里c1，c2是任意常数.例7.求解方程d 2xdt2+ x=0的通解.解：该方程所对应的特征方程是λ2+1=0，特征根为λ1=i, λ2=-i.是两个复根. 所以方程的通解为x=c1cos t+c2sin t,这里c1，c2是任意常数.3.3比较系数法例8.求方程d 2xdt2 + 4dxdt+ 4x=cos2t的通解.解：该方程所对应的特征方程是λ2+4λ+4=0，特征根为λ1=λ2=−2.是两个相等的实根.所以齐次方程的通解为x=(c1+c2t)e−2t，设方程的一个特解为x̃=A cos2t+B sin2t,{dxdt=−2A sin2t+2B cos2td2x dt2=−4A cos2t−4B sin2t,将上式带入原方程，整理得8B cos2t-8A sin2t=cos2t,所以A=0，B=18⁄所以原方程的通解为sin2t.x=(c1+c2t)e−2t+184.结束语对于二阶常微分方程的初等解法及求解技巧，除了文中提及的三个方法之外还存在其他的求解技巧，针对不同的问题需要不同的解决方法.对多数问题而言,解决方法不止一种，同一问题的求解方法也有很多种，同时还需要根据自身对不同解法的熟悉程度选择合适的解题技巧.如果大家对解题方法还有独特的想法欢迎保持求知欲继续探索新未知.参考文献［1］王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程（第三版）北京：高等教育出版社，2006.7 ［2］黄赞，罗佩芳.一类二阶微分方程的几种解法[J].广东：中国科技信息，2009.［3］陈新一.一类二阶常微分方程的特解[J].兰州：高等教学研究，2010.［4］熊灿，谢建新.二阶常系数微分方程解法的简化[J].湖南：南昌工程学院报，2010.［5］周义仓，靳祯，秦军林.常微分方程及其应用----方法、理论、建模、计算机[M].北京：科学出版社，2003.［6］朱德刚.二阶常系数非齐次线性微分方程的特解公式[J].南京：高等数学研究，2010.［7］(瑞典)L.戈丁(Lars.Garding)著,胡作玄译.数学概观[M].科学出版社,2001：121-1［8］赵慈庚,朱鼎勋主编.大学数学自学指南[M].中国青年出版社,1984:74-91［9］李岚.一类常系数线性微分方程特解的求法[J]常州工学院学报,2012,6:54-56［10］楼红伟，林伟.常微分方程[M].上海：复旦大学出版社,2007.［11］李岚.二阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法[J].四川理工学院学报，2013,4:93-96 ［12］丁同仁，李承治.常微分方程.北京：高等教育出版社，1985［13］黄琳.稳定性理论.北京：北京大学出版社.1992［14］同济大学数学教研室.高等数学[M].北京：高等教育出版社，1996，（4）：387-394［15］张鹏.二阶常系数线性微分方程讨论[J].工科数学，1996,12(2).Elementary solutions of second order constant coefficient differentialequation solving skillsAbstract:This article summary introduced three kinds of elementary solutions of second order constant coefficient differential equation solution techniques, respectively is: characteristic root method; Constant variation method; Comparing coefficient method. At the same time combined with examples to explain in detail for. Although today's society about the second order ordinary differential equation of elementary solution method solving skills has acquired great achievements, but still do not have another practice meet its existing theory, need further development, make it more perfect.Key words:second order homogeneous linear differential equation with constant coefficients; Characteristic root method; Constant variation method; Comparing coefficient method; Second order constant coefficient non-homogeneous linear differential equations.。

华北水利水电学院常微分方程的解法及应用（常见解法及举实例）课程名称：高等数学（2）专业班级：成员组成：联系方式：2012年 05月25日摘要常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中。

求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题。

本文就是对不同类型的常微分方程的解法的系统总结：先对常微分方程定义及一般解法做简单阐述，然后应用变量替换法解齐次性微分方程，降阶法求高阶微分方程，讨论特殊的二阶微分方程，并且用具体的实例分析常微分方程的应用。

关键词：微分方程降阶法变量代换法齐次型一阶线性英文题目：The solution of ordinary differential equations and its application（Common solution and examples）Abstract: Ordinary differential equation is an important part of calculus, widely used in specific problems in the study. Solving differential problem, often through the variable separation, both sides integral, if is high level, through the appropriate variable substitution, achieve the purpose of the reduced order to solve the problem. This article is to different types of ordinary differential equation of the solution system conclusion: first definition of ordinary differential equation and the general solution do simple paper, then apply variable substitution method of homogeneous solution ofdifferential equation, and the reduced order method for high order ordinary differential equation, discussion special second order differential equations, and use a specific example analysis of the application of ordinary differential equations.Key words: Differential equations、Reduced-order method、Variable substitution method 、Homogeneous、First order linear1、引言微积分学研究的对象是变量之间的函数关系，但在许多实际问题中，往往不能直接找到反映某个变化过程的函数关系，而是根据具体的问题和所给的条件，建立一个含有未知函数或微分的关系式。

常微分方程的解法及其应用实例常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是应用数学的一个重要分支，它被广泛应用于物理、工程、经济、生物等领域，是研究自然现象、解决实际问题的重要工具。

本文将介绍常微分方程的解法及其应用实例。

一、常微分方程的解法对于一个一阶常微分方程，可以利用变量分离、恰当形式、一次齐次、一阶线性、伯努利等方法解方程；对于高阶常微分方程，需要使用一些特殊的技巧和方法来求解。

1. 变量分离法对于一个一阶常微分方程dy/dx=f(x)g(y)，如果可以写成f(x)dx=g(y)dy的形式，就可以使用变量分离法求解。

其基本思想是将全部x及y分离到方程等号两边，并进行积分。

例如，求解dy/dx=2x/(1+y)可以写成(1+y)dy=2xdx，从而积分得到y+ln(1+y)=x^2+C，其中C为任意常数。

2. 恰当形式法如果一个方程可以写成M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的形式，并且可以找到一个函数u(x,y)，使得∂u/∂x=M(x,y)和∂u/∂y=N(x,y)，就称该方程是恰当形式的。

对于恰当形式的方程，解法就是将方程左右两边同时对x和y分别求偏导数，然后利用偏导数的交错性进行积分。

例如，对于方程(2xy+3y)dx+(x^2+3x)dy=0，可以发现∂M/∂y=3和∂N/∂x=3，因此该方程是恰当形式的。

求得u=∫(2xy+3y)dx=(x^2)y+3xy，从而得到其通解为(x^2)y+3xy+(1/3)(x^3)=C，其中C为任意常数。

3. 一次齐次法一阶齐次方程形如dy/dx=f(y/x)，其中f是一个关于y/x的函数。

将y/x表示为u，可以得到dy/dx=u+f(u)，如果对于此方程有一个够好的u的解析解，则可以解出y/x的表达式，从而求得y的解析解。

求解的基本思路是令v=y/x，则y=vx，dy/dx=v+x(dv/dx)，将其代入原方程，即得dv/(v+f(v))=dx/x，从而求得u的表达式，从而得到y的表达式。

毕业论文正文(常微分方程积分因子法的求解)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：摘要微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言。

它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具.人们在探求物质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规律，反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程，而一旦求出方程的解,其规律则一目了然。

所以我们必须能够求出它的解.同时,对于恰当微分方程我们有一个通用的求解公式。

但是，就如大家都知道的那样，并不是所有的微分形式的一阶方程都是恰当微分方程.对于这类不是恰当微分方程的一阶常微分方程该如何求出它的解呢,这就需要用到这里我们讨论的积分因子了。

关键词：微分方程；积分因子；恰当微分方程；一阶微分；AbstractDifferential expression of natural law is a natural mathematical language。

It from the production practice and science and technology generation, but modern science and technology in analyzing and solving problems in a powerful tool..Some people in the law to explore the process of the material world, the general experimental observation is difficult to completely rely on recognizing that the law, but there is a link in accordance with certain laws are often easy to catch us，and such laws expressed in mathematical language, which often results in the formation of a differential equation，and once obtained equation，the law is clear So we must be able to find its solution。

常微分方程的解法及其应用在物理学、工程学、经济学等领域的建模和分析中，常微分方程的解法和应用具有重要的意义。

本文将介绍一些基本的常微分方程的解法，并探讨它们在实际问题中的应用。

一、常微分方程的基本概念常微分方程是指只包含一个自变量和它的一阶或高阶导数的方程。

例如，y''+2y'+y=0就是一个二阶常微分方程，其中y是自变量的函数。

常微分方程通常用符号y'(t)表示y对时间t的导数。

在解常微分方程时，主要任务是找到y(t)的函数形式，使得它满足给定的微分方程和初始条件。

初始条件可能是y(0)=a和y'(0)=b之类的信息。

二、常微分方程的解法1.变量分离法变量分离法是一种适用于第一阶微分的方法。

当方程可以表示为dy/dx=f(x)g(y)时，我们可以将其转化为dy/g(y)=f(x)dx，然后对两边积分即得到y(x)的解析式。

例如，dy/dx=2x/(1+y^2),我们可以将其转化为dy/(1+y^2)=2xdx，然后对两边积分即可求解。

2.常系数线性微分方程的解法常系数线性微分方程是指形如y''+ay'+by=0的微分方程，其中a 和b是常数。

对于这种类型的微分方程，有特征方程r^2+ar+b=0，解得特征根r1和r2，然后根据通解公式y=c1e^(r1x)+c2e^(r2x)求解。

其中，c1和c2是待定系数，由初始条件求得。

3.欧拉方程的解法欧拉方程是指形如ax^2y''+bxy'+cy=0的微分方程，其中a、b和c是常数。

解欧拉方程需要做一个变量替换，设置y=x^r，然后求得r满足的特征方程ar^2+(b-a)r+c=0的两个根r1和r2，通解为y=c1x^r1+c2x^r2。

4.变换系数法变换系数法是对不齐次线性微分方程使用，它可以将y''+ay'+by=f(x)这样的方程转化为(r^2+ar+b)y=g(x)，其中g(x)是已知的函数。