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![浅谈常微分方程的数值解法及其应用[含论文、综述、开题-可编辑]](https://uimg.taocdn.com/6c8ab155524de518974b7d0d.webp)
浅谈常微分方程初值问题数值解法在自然科学、工程技术、甚至社会科学的一些领域中，常常会遇见一阶常微分方程的求解问题：()上述问题，寻求解的具体表达式十分困难，仅对一些特殊形式的才有可能找到解的解析表达式，在大多情况下，初值问题的解不能用初等函数表示出来即使可写出解的解析表达式，但因为这些表达式过于复杂，要计算它在某些点上的函数值也异常困难。
在实际问题中，经常需要的恰是解在某些点上的函数值，因此研究初值问题的数值解法十分必要。
1 常微分方程初值问题的数值解法常微分方程的近似解法大体可分成三大类：一类是图解法和器械法；第二类是解的近似法；第三类是数值解法，即通过离散化的方法直接求出函数在某些点上的近似值，此数值解仅为精确解的近似解。
其基本原理为：一阶常微分方程的初值问题的解是上变量的连续函数，因此求上述问题的数值解，就是在区间上的若干离散点上用离散化的方法将初值问题化成离散变量的相应问题，从而相应问题的解可作为初值问题理论解的近似值。
由常微分方程的理论可知，只要在区域内连续，且关于满足林普希兹条件，则方程的解存在且唯一。
初值问题的数值解法通常采取“步进法”，而“步进法”又可分为“单步法”和“多步法”两类。
（1）单步法。
所谓“单步法”是指在计算时，只用到前一步的有关信息。
其一般形式为：，主要包括下面三种方法：Euler方法，改进的Euler公式-梯形公式和Runge-Kutta法。
（2）线性多步法。
单步法没有用到前几步计算得到的信息，因此为了提高精度，需重新计算多个点处的函数数值，如RK方法，故计算量较大。
线性多步法的基本思想是充分利用前面的已知信息来构造精度高且计算量小的算法来计算。
多步法常用方法是线性多步法，求解公式为：构造的常用方法是Taylor展开和数值积分方法。
常用的线性多步公式有：四阶Adams显式公式：四阶Adams隐式公式：四阶Milne显式公式：三阶Hamming公式：（隐式公式）预测校正系统和预测校正修正法：一般地，同阶的隐式法比显式法精确，而且数值稳定性好，但隐式公式中的求解较难，需要用到迭代法，这就增加了计算量。
常微分方程的数值解法及其应用研究引言：常微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于自然科学、工程技术和社会经济等领域。
常微分方程的解析解往往难以获得，因此数值解法的研究成为解决实际问题的有效手段。
本文将介绍常微分方程的数值解法以及其在各个领域的应用。
一、常微分方程的数值解法1. 欧拉方法欧拉方法是最基本的数值解法之一，通过将微分方程中的函数进行逐步的线性近似，得到方程的递推关系，并根据该关系逼近解析解。
欧拉方法具有简单、易于实现的优点，但在稳定性和精度方面存在一定的局限性。
2. 改进的欧拉方法改进的欧拉方法通过使用中点梯形公式，对欧拉方法的误差进行修正，提高了数值解的准确性。
改进的欧拉方法在简单性和准确性方面取得了一定的平衡。
3. 4阶龙格-库塔法4阶龙格-库塔法是一类常用的数值解法，通过计算多个近似解，并按照一定的权重进行加权平均，得到更高精度的数值解。
4阶龙格-库塔法具有高精度和较好的稳定性，被广泛应用于各个领域。
4. 多步法多步法是一类基于历史步长的数值解法，利用之前计算的步长来估计下一个步长的近似值。
常见的多步法包括亚当斯方法和预报校正方法等。
多步法在一定程度上提高了数值解的稳定性和准确性。
5. 常微分方程的辛方法辛方法是一类特殊的数值解法，能够保持微分方程的守恒性质。
辛方法在长时间积分和保持能量守恒方面具有优势，被广泛应用于天体力学和分子动力学等领域。
二、常微分方程数值解法的应用1. 物理科学中的应用常微分方程的数值解法在物理学中有广泛的应用，如天体力学中的行星轨道计算、量子力学中的薛定谔方程求解等。
数值解法处理了复杂的物理现象，为物理学研究提供了可行的途径。
2. 工程技术中的应用常微分方程的数值解法在工程技术中被广泛应用，如电路分析、结构力学、流体力学等。
通过数值解法，可以模拟和分析复杂的工程问题，提供设计和优化方案。
3. 经济学中的应用经济学中的许多问题可以转化为常微分方程的形式，如经济增长模型、市场供需关系等。
常微分方程的数值解算法常微分方程的数值解算法是一种对常微分方程进行数值计算的方法，这可以帮助我们更好地理解和研究自然现象和工程问题。
在本文中，我们将介绍一些常用的数值解算法，探讨它们的优缺点和适用范围。
常微分方程（ODE）是描述自然现象和工程问题的重要数学工具。
然而，对于许多ODE解析解是无法求出的，因此我们需要通过数值方法对其进行求解。
常微分方程可以写作：y' = f(t, y)其中，y是函数，f是给定的函数，表示y随t的变化率。
这个方程可以写成初始值问题（IVP）的形式：y'(t) = f(t,y(t))，y(t0) = y0其中，y（t0）=y0是方程的初始条件。
解决IVP问题的典型方法是数值方法。
欧拉方法欧拉方法是最简单的一阶数值方法。
在欧拉方法中，我们从初始条件开始，并在t = t0到t = tn的时间内，用以下公式逐步递推求解：y n+1 = y n + hf (t n, y n)其中，f（t n，y n）是点（t n，y n）处的导数， h = tn - tn-1是时间间隔。
欧拉方法的优点是简单易懂，容易实现。
然而，它的缺点是在整个时间段上的精度不一致。
程度取决于使用的时间间隔。
改进的欧拉方法如果我们使用欧拉方法中每个时间段的中间点而不是起始点来估计下一个时间点，精度就会有所提高。
这个方法叫做改进的欧拉方法（或Heun方法）。
公式为：y n+1 = y n + h½[f(t n, y n)+f(tn+1, yn + h f (tn, yn))]这是一个二阶方法，精度比欧拉方法高，但计算量也大一些。
对于易受噪声干扰的问题，改进的欧拉方法是个很好的选择。
Runge-Kutta方法Runge-Kutta方法是ODE计算的最常用的二阶和高阶数值方法之一。
这个方法对定义域内的每个点都计算一个导数。
显式四阶Runge-Kutta方法（RK4）是最常用的Runge-Kutta方法之一，并已得到大量实践的验证。
常微分方程数值解法及其应用常微分方程数值解法及其应用——浙江师范大学数理信息工程学院【摘要】：本文对常微分方程初值问题现有的数值解法进行了综述研究。
主要讨论了几种常用的数值解法：即欧拉法，改进欧拉法，龙格库塔方法，阿达姆斯外插公式与内插公式等。
文章最后结合常见数值解法，对较为典型的微分方程模型进行数值求解，探讨了上述数值算法在实际建模问题中的应用。
【关键词】：常微分方程；数值解法；模型引言在工程技术问题中，经常需要求解常微分方程的初值问题«Skip Record If...»（1）而关于常微分方程各种各样的解析方法，只能求解一些特殊类型的方程。
在大多数情况下，对初值问题(1)，只能用数值法求解。
数值解法的基本思想是求初值问题(1)的解«Skip Record If...»在一系列等距节点：«Skip Record If...»处的近似值：«Skip Record If...»。
其中相邻两个节点间的距离«Skip Record If...»称为步长，即节点«Skip Record If...»。
一、单步法单步法是指这类方法在计算«Skip Record If...»时，只用到前一步的值«Skip Record If...»，然后逐步往下计算。
这个算法的代表是龙格——库塔算法，简称R-K方法。
四阶显示Runge—Kutta方法是求解普通常微分方程初值问题数值解法中的重要方法，而隐式Runge—Kutta公式是求解刚性常微分方程初值问题的重要方法。
（一）Euler方法由微分由微分方程的基本概念可知，初值问题(1)的解是在«Skip Record If...»平面上的一条过点«Skip Record If...»的积分曲线«Skip Record If...»，在该曲线上任一点«Skip Record If...»处的切线斜率等于函数«Skip Record If...»的值。
《常微分方程的数值解法》论文《常微分方程的数值解法》常微分方程（ODE）是研究物理过程的重要工具，其伴随着极大的应用价值。
当一个物理系统被简化为一个常微分方程，它就可以用于描述物理学中的各种现象。
但是，大多数现实系统的常微分方程未能得到解析解，因此，数值解法就变得非常重要。
本文将研究并比较几种常见的常微分方程数值解法，诸如Euler法、奇异点法、Runge-Kutta法、前向差分法等，以便更好地提供协助解决常微分方程。
首先，Euler法是常用的数值解法之一，它主要用于解决常微分方程模型。
其核心思想是将微分方程通过采用不断变化的步长对状态量求近似值，并通过预测下一步的值来求解微分方程，从而达到求解常微分方程的目的，且操作简单、容易理解。
但是，由于其步长的不动性，往往使得其精度较低，因此，当遇到复杂环境时，Euler法的表现就有些不尽如人意。
此外，另一种常见的数值解法是奇异点法。
此法将一个微分方程情况分解成多个分段函数，每一段函数都可以精确求解，从而可以求解复杂的微分方程。
它的特点是分段的每一部分的精度和复杂度都较低，而且运行效率也较快，但是，奇异点法的精度需要在段间合理设定，然后再进行微调，以保证数值模拟的准确性。
其次，Runge-Kutta法是一种常用的数值解法，它可以有效地求解一些常微分方程，其原理是利用积分函数插值，然后利用积分函数求近似值，最后根据边界条件求取解析结果。
Runge-Kutta法的步长可以随着计算过程的进行而逐步变化，这样可以使得误差得到有效控制，而且可以有效地控制误差，保证算法精度，但是由于其计算效率较低，因此在求解复杂的常微分方程时，Runge-Kutta法的表现并不尽人意。
最后，前向差分法是一种求解常微分方程的数值解法，它利用求取未知函数的一阶导数和二阶导数的值，然后通过求解一次和二次中点差分的方式，从而得到数值解。
它的有点是能够得到较高的精确度，且即使步长变化时也可以控制误差，但前向差分法要求在微分方程中必须有高阶导数，这就要求微分方程是复杂的，除此之外，除了必须计算高次导数外，它的计算量也比较大。
常微分方程的数值解法与实际应用研究引言：常微分方程是数学中一种重要的数学工具，广泛应用于物理、经济、生物等领域的实际问题的数学建模。
在解析求解常微分方程存在困难或不可行的情况下，数值解法提供了一种有效的求解方法，并被广泛应用于实际问题的研究中。
本文将介绍常微分方程的数值解法以及一些实际应用的研究案例。
一、常微分方程的数值解法：1. 欧拉法：欧拉法是一种基础的数值解法，通过将微分方程离散化，近似得到方程的数值解。
欧拉法的基本思想是根据微分方程的导数信息进行近似计算，通过逐步迭代来逼近真实解。
但是欧拉法存在截断误差较大、收敛性较慢等问题。
2. 改进的欧拉法（改进欧拉法推导过程略）：为了解决欧拉法的问题，改进的欧拉法引入了更多的导数信息，改善了截断误差，并提高了算法的收敛速度。
改进欧拉法是一种相对简单而可靠的数值解法。
3. 四阶龙格-库塔法：四阶龙格-库塔法是常微分方程数值解法中最常用和最经典的一种方法。
通过多次迭代，四阶龙格-库塔法可以获得非常精确的数值解，具有较高的精度和稳定性。
二、常微分方程数值解法的实际应用研究：1. 建筑物的结构动力学分析：建筑物的结构动力学分析需要求解一些动力学常微分方程，例如考虑结构的振动和应力响应。
利用数值解法可以更好地模拟建筑物的振动情况，并对其结构进行安全性评估。
2. 生态系统模型分析：生态系统模型通常包含一系列描述物种数量和相互作用的微分方程。
数值解法可以提供对生态系统不同时间点上物种数量和相互作用的变化情况的模拟和预测。
这对于环境保护、物种保护以及生态系统可持续发展方面具有重要意义。
3. 电路模拟与分析：电路模拟与分析通常涉及电路中的电容、电感和电阻等元件，这些元件可以通过常微分方程进行建模。
数值解法可以提供电路中电压、电流等关键参数的模拟和分析，对电路设计和故障诊断具有重要帮助。
4. 化学反应动力学研究：化学反应动力学研究需要求解涉及反应速率、物质浓度等的微分方程。
文献综述浅谈常微分方程的数值解法及其应用一、前言部分微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解.后来瑞士数学家雅各布•贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论.微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法.微分方程也就成了最有生命力的数学分支.总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程.在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型等.因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的. [1]“常微分方程”是理学院数学系所有专业学生的重要专业基础课之一，也是工科、经济等专业必学内容之一.其重要性在于它是各种精确自然科学、社会科学中表述基本定律和各种问题的根本工具之一，换句话说，只要根据实际背景，列出了相应的微分方程，并且能（数值地或定性地）求出这种方程的解，人们就可以预见到，在已知条件下这种或那种“运动”过程将怎样进行，或者为了实现人们所希望的某种“运动”应该怎样设计必要的装置和条件等等.例如，我们要设计人造卫星轨道，首先，根据力学原理，建立卫星运动的微分方程，列出初始条件，然后求出解，即卫星运行轨道.随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，微分方程的应用范围更广泛. [2]从数学自身的角度看，微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展.从这个角度说，微分方程变成了数学的中心. [3]总之，微分方程从它诞生起即日益成为人类认识并进而改造自然、社会的有力工具，成为数学科学联系实际的主要途径之一.文章就常微分的数值解法以及应用展开简单的论述。
二、主体部分2.1微分方程概念介绍2.1.1 微分方程概况由一元函数得到的方程.即：称含有自变量，未知函数及其导数的关系式22(,,,,...,)0n n dy d y d y F x y dx dx dx=. （1） 为常微分方程.其中出现的最高阶导数的阶数，叫做常微分方程的阶.例如 dy dx=x ，dy y dx = ，是一阶常微分方程. 22sin 0d g dt pθθ+=是二阶常微分方程.设)(x y ϕ=定义于 区间J 上，有直到n 阶的导数，将它代入（1），使（1）变成关于x 的恒等式，即()()(,(),,...,)0,n n d x d x F x x x J dx dxϕϕϕ=∈. 就称y ＝()x ϕ为（1）的一个定义于J 上的解，并称J 为该解的定义区间. [4]如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程.2.2微分方程产生的历史背景微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。
毕业论文开题报告信息与计算科学浅谈常微分方程的数值解法及其应用一、选题的背景、意义1、选题的背景微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解.后来瑞士数学家雅各布•贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论.微分方程的形成及发展与力学、天文学、物理学、生物学，以及其他科学技术的发展密切相关.在数学学科内部的许多分支中，微分方程是常用的重要工具之一，微分方程进一步发展的需要，有推动着其它数学分支的发展；相反，常微分方程每一步进展都离不开其他数学分支的支援.数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对微分方程的发展产生了深刻的影响.当前计算机的发展更是为微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.时至今日，可以说微分方程在所有自然科学领域和众多社会科学领域都有着广泛的应用，如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.只要能够列出相应的微分方程，有了解方程的方法，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律.从微积分理论形成以来，人们一直用微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，不断的取得了显著的成效.2、选题的意义微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法.微分方程也就成了最有生命力的数学分支.总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程.在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型等.因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的. [1]“常微分方程”是理学院数学系所有专业学生的重要专业基础课之一，也是工科、经济等专业必学内容之一.其重要性在于它是各种精确自然科学、社会科学中表述基本定律和各种问题的根本工具之一，换句话说，只要根据实际背景，列出了相应的微分方程，并且能（数值地或定性地）求出这种方程的解，人们就可以预见到，在已知条件下这种或那种“运动”过程将怎样进行，或者为了实现人们所希望的某种“运动”应该怎样设计必要的装置和条件等等.例如，我们要设计人造卫星轨道，首先，根据力学原理，建立卫星运动的微分方程，列出初始条件，然后求出解，即卫星运行轨道.随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛. [2]从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展.从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心. [3]总之，微分方程从它诞生起即日益成为人类认识并进而改造自然、社会的有力工具，成为数学科学联系实际的主要途径之一.文章就常微分进行展开，对其数值解法进行简单的阐述. 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题2.1微分方程概念介绍2.1.1 微分方程概况由一元函数得到的方程.即：称含有自变量，未知函数及其导数的关系式22(,,,,...,)0n n dy d y d y F x y dx dx dx=. （1） 为常微分方程.其中出现的最高阶导数的阶数，叫做常微分方程的阶.例如 dy dx=x ，dy y dx= ，是一阶常微分方程. 22sin 0d g dt p θθ+=是二阶常微分方程.设)(x y ϕ=定义于 区间J 上，有直到n 阶的导数，将它代入（1），使（1）变成关于x 的恒等式，即()()(,(),,...,)0,n n d x d x F x x x J dx dxϕϕϕ=∈. 就称y ＝()x ϕ为（1）的一个定义于J 上的解，并称J 为该解的定义区间. [4]如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程.2.2 微分方程产生的历史背景微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。
毕业论文文献综述数学与应用数学几类常微分方程的典型解法一、前言部分(说明写作的目的,介绍有关概念、综述范围,扼要说明有关主题争论焦点)常微分方程,是一个有长期历史,而又正在不断发展的学科;是一个既有理论研究意义,又有实际应用价值的学科;是一个既得力于其他数学分支的支持,又为其他数学分支服务的学科,是一个表现客观自然规律的工具学科,又是一个数学可以为实际服务的学科.常微分方程的形成于发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展相互促进和相互推动的.数学的其他分支的新发展如复变函数、组合拓扑学等都给常微分方程的发展已深刻地影响.当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.现在,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题.但是,数学家发现,不是所有的微分方程的通解都能求出,从以前的”求通解”到”求解定解问题”的转变,所以能求出问分方程的解是十分重要的.本文主要总结了几种常微分方程的典型解法及其相关应用.二、主题部分(阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向,以及对这些问题的评述)当牛顿、莱布尼兹创立了微积分以后,数学家便开始谋求用微积分这一有力的工具去解决愈来愈多的物理问题,但他们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题,这类问题不能通过简单的积分解决,要解决这类问题需要专门的技术,这样,微分方程这门学科就应运而生了.常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一.常微分的发展主要可以分为四个阶段: 常微分的经典阶段--以通解为主要研究内容、常微分方程的适定性理论阶段--以定解问题的适定性理论为研究内容、常微分方程的解析理论阶段--以解析理论为研究内容、常微分方程的定性理论阶段--以定性与稳定性理论为研究内容[1].尽管在耐皮尔(John Napier,1550-1617)所创立的对数理论及达芬奇提出的饿狼扑兔问题中都已涉及到微分方程发展的思想萌芽,但微分方程作为一门学科是伴随着微积分的形成而产生的.就像微积分在17世纪后期与18世纪前期的著作一样,常微分方程最早的著作出现在数学家门的彼此通信中,1676年,莱布尼兹在给牛顿的通信中,第一次提出”微分方程”这个数学名词.17世纪到18世纪是常微分方程发展的经典阶段,以求通解为主要内容.牛顿和莱布尼兹在建立微分方程与积分运算时就指出了它们的互逆性,实际上是解决了最简单的微分方程()y f x '=的求解问题.此外,牛顿、莱布尼兹也都应用了无穷级数和待定系数法解出了某些初等微分方程[1].伯努利一家(这个非凡的瑞士家族在三代时间里出了八个数学家,其中Jacob Bernoulli ,1654-1705;Johann Bernoulli,1667-1748和他的儿子Daniel Bernoulli,1700-1782的工作较突出)对变量分离法和换元法;欧拉(Euler,1707-1783)对降阶法、积分因子法和求常系数齐次线性方程的通解;达郎帕尔(D ’Allmbert,1717-1783)关于非齐次线性方程通解的叠加原理;拉格朗日(Lagrange,1716-1813)有齐次线性方程通解经常数变易法得出非齐次方程的特解;克莱洛(Clarant,1713-1765)关于全微分方程的充要条件和奇解的概念[2],以及十九世纪末引进算子方法和拉普拉斯(Laplace,1749-1827)变换等,都是求通解时期的成就[3]. 莱布尼兹最早使用变量分离法解微分方程.他用这种方法解决了形如()()dx y f x g y dy=的方程,因为只要把它写成()()dx dy g x f x y=就能在两边进行积分.但莱布尼兹没有建立一般的方法.可以用变量分离法求解的方程的特点是右端为仅含有x 的函数和仅含有y 的函数的乘积,焦宝聪等将此类方程分成了当()0g y ≠以及存在实数α,使得()0g α=两种情况进行讨论[4].同时,在文献[5]、[6]、[7]、[8]、[9]中同样也详细介绍了变量分离法,且举了些例子帮助读者进行理解.文献[5]除了介绍()()dy h x g y dx=类型的方程用变量分离法求解之外,还介绍了1122()()()()0f x g x dx f x g x dy +=这一类型的方程用变量分离法求解.由此,我们可以看出,变量分离方程的求解思路主要分为三步:(1)分离变量,(2)对方程两边同时积分并整理得通解,(3)由初始条件求方程的特解[10].在莱布尼兹使用变量分离法求解出形如()()dx y f x g y dy=微分方程的同一年,他又解出了一阶齐次方程()y y f x '=.他令y vx =代入方程,即可使用变量分离法求解方程.而过了50余年之后,欧拉用自变量代换t x e =把欧拉方程线性化而求得110110n n n n n n n d y d y a x a x a y dx dx ---+++=的通解,其中(1,2,,)i a i n =是常数.一些方程,常常可以通过引入适当变量代换,化为变量已分离型方程或是其他已知解法的方程.文献[9]介绍了齐次方程dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭用变量代换法求解.求解齐次方程的关键是对未知函数进行变量替换y u x=,用一个新的未知函数u 代替原来的未知函数y ,得出一个变量分离方程,故可以通过变量分离法求得它的解.文献[7]介绍了形如111222a x b y c dy dx a x b y c ++=++的方程用变量代换法来求解,作者针对121212,,,,,a a b b c c 的不同取值,分了三种情况进行讨论.文献[4]、[5]、[6]、[9]、[10]、[11]、[12]也详细介绍了上述两种类型的方程用变量代换法求解.除此之外,还有一些文献介绍了其他类型的方程用变量代换法求解,例如:文献[5]还介绍了()()0yf xy dx xg xy dy +=类型的方程,文献[12]介绍了诸如(,)()(,)()0M x y xdx ydy N x y xdy ydx ++-=(,M N 为,x y 的齐次函数,次数可以不同)用变量代换法求解.文献[13]通过对一阶常微分方程中的齐次方程的推广形式--齐次型方程进行研究,并将齐次方程使用”变量代换”求解推广应用到齐次型方程,从而证明了齐次型方程是可积方程,得到了包括部分黎卡提方程和伯努利方程的一阶微分方程的几种新的可积类型.可以看出,变量分离和变量代换的结合使用,是求解微分方程的重要方法,很多方程并不是一开始就可以用变量分离法求解的,而是要通过变量代换之后才可以使用.1693年惠更斯在《教师学报》中明确提到了微分方程,而莱布尼兹同年则在另一家杂志的另一篇文章中称微分方程为特征三角形的边的函数,并给出了线性方程()()dy p x y q x dx=+的通解表达式()()()(())p x p x dx y x e q x e dx c -⎰⎰=+⎰,其中c 是任意常数.对于上述类型的方程,我们通常采用常数变易法来求解.常数变易法是前人专门针对一阶线性方程()()()0dy a x b x y c x dx++=和高阶线性方程、线性方程组,创造、总结出来的一种特定的方法,它能规范化地求出线性方程的通解,还能写出线性方程的通解公式[5].已知一阶齐次线性方程的通解()()p x y x ce ⎰=(c 为任意常数),将常数c 变易为x 的待定函数()c x ,即()()P x dx y c x e ⎰=,对其进行积分、代入,并可求得一阶非齐次线性微分方程的通解[7].文献[8]介绍了两种类型方程的常数变易法解法.针对二阶常系数非齐次线性微分方程求解的现有方法的局限性,文献[14]中给出了常数变易法求二阶常系数非齐次线性微分方程解的方法,并给出四个求特解的公式. 常数变易法是求解一阶非齐次线性常微分方程行之有效的方法.文献[15]从求解特殊的方程()()dy P x y Q x dx=+入手,证明了变量分离方程、伯努利方程、部分齐次方程以及其他形式的一阶非线性常微分方程可用常数变易法求解,从而将常微分方程中的常数变易法推广.与变量代换法和变量分离法一样,常数变易法也不是单独存在的,解一个方程,可能会需要这几种发放或者是更多的方法的结合.1694年,瑞士数学家约翰·伯努利在《教师学报》上对分离变量法和齐次方程的求解做了更加完整的说明.他的哥哥雅各布·伯努利发表了关于等时问题的解答,虽然莱布尼兹已经给出了这个问题的一个分析解.1965年,雅各布·伯努利提出了著名的伯努利(Bernoulli)方程()()n dy P x y Q x y dx=+,()0,1n ≠[19].并在1969年在《教师学报》上用变量分离法将它解出.同年莱布尼兹证明利用变量代换1n Z y -=,可以将它作为一阶线性方程求解.伯努利(Bernoulli)方程是一种特殊的一阶非线性常微分方程,在机械工程等方面有非常广泛的应用.对求伯努利方程通解的研究具有重要的理论意义很广泛的应用价值.求伯努利方程解法也比较多.现在,学者们总结出了许多求解伯努利(Bernoulli)方程的方法,如:文献[20]从一阶微分方程入手,归纳、总结出伯努利方程的几种新解法,这些新解法在学习和应用微分方程时给出解决问题的思维方式和思路,令人深思,它打破了沿用至今的伯努利方程的传统解法.为了避免伯努利方程的传统解法的繁琐、易出错等问题,文献[21]介绍一种通过部分凑微分法求解伯努利方程的新解法.文献[21]通过对伯努利方程常规解法的进一步探讨,总结出使求解过程简化的具体做法,从而对伯努利方程的解法进行了公式化或半公式化,提高了求解速度及准确性.在17世纪,作为微积分的一部分,微分方程跟微积分彼此不分.到了18世纪,由于天文学、力学、物理学的需要,同时也因为要解决许多较为复杂的问题,需要专门的技术,这样,微分方程开始成为一门独立的学科而存在.在1734-1735年的论文中,欧拉提出了全微分方程,即方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=中的(,)(,)M x y dx N x y dy +是某个函数的恰当微分,并给出所给方程的全微分条件M N Y X∂∂=∂∂.他确立了课采用积分因子的方程类型,证明了凡是分离变量的方程,均可以用积分因子方法求解,还证明了如果知道了任何一个常微分方程的两个积分因子,那么令他们的比等于常数,就是微分方程的一个通解[16].有些方程虽然不是全微分方程,但我们可以乘上一个积分因子,使它成为全微分方程[4].而且我们需要注意的是,方程的积分因子有无穷多个[17]. 寻求积分因子,使一阶常微分方程转化为全微分方程形式来求解是一种好方法,但通常情况下所得到的积分因子需满足的条件为一个偏微分方程,因而给积分因子的求解带来了一定的复杂性.近几年来很多数学工作者对方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=给予了很多很多的关注,给出了方程具有不同形式的积分因子的一系列理论及求解方法.文献[18]研究了方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=具有乘积形式()()t s f x y g ax by cx y αβ+++的积分因子,,,,,,,a b c t s R αβ∈,得到方程具有上述积分因子的充要条件,并结合实例给出具有上述形式积分因子的求解方法.1743-1751年,欧拉又将积分因子法推广到高阶方程,并通过特征方程法和降阶法解决了常系数线性齐次方程和非齐次的n 阶线性常微分方程,并利用变换t X e =提出欧拉方程.17-18世纪是常微分方程发展的经典理论阶段,以求通解为主要研究内容.在这一阶段还出现了许多精彩的成果.例如1964年莱布尼兹发现了方程解族的包络,1718年泰勒提出奇解的概念,克莱洛和欧拉对奇解进行了全面研究,给出从微分方程本身求得奇解的方法[1].19世纪是微分方程严格理论的奠定时期.18世纪以后不断出现的特殊的微分方程的求解问题,如里卡蒂方程22dy x y dx=+求解问题,使数学家招架不住了,于是转向对解的存在性问题的思考,即给定一个微分方程,它在给定的初始条件下是否有解？这个问题的解决不仅可以使数学家们避免对一些根本无解的方程做无谓的探索,而且直接影响着微分方程基础理论的建立[22].第一个考虑微分方程解的存在性的是柯西(A.Cauchy,1789-1857),19世纪20年代,他建立了柯西问题00(,)()dy f x y dx y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩解的存在唯一性定理.1873年,德国数学家李普希兹(RudolphLipschitz.1832-1903)提出著名的”李普希兹条件”,对柯西的存在唯一性定理做了改进.在适定性理论的研究中,与柯西、李普希兹同一时期的还有皮亚拿跟皮卡,他们先后于1875年和1876年给出常微分方程的逐次逼近法,皮亚拿在仅仅要求(,)f x y 在00(,)x y 点领域连续的条件下证明了柯西问题解的存在性.后来这方面的理论有了很大的发展,这些基本理论包括:解的存在及唯一解,延展性,解的唯一存在性,解对初值和参数的连续依赖性和可微性,奇解等,这些问题是微分方程的一般基础理论问题[1].19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段,这一阶段的主要理论结果是微分方程的解析理论,运用幂级数和广义幂级数解法,求出一些重要的二阶线性方程的级数解,并得到及其重要的一些函数.1816年,贝塞尔研究行星运动时,开始系统地研究贝塞尔方程222()0x y xy x n y '''++-=,贝塞尔得出了此方程的两个级数解,分别称为第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数.文献[23]利用朗斯基行列式和贝塞尔函数的近似公式,给出了贝塞尔方程通解的一个新方法.1818年,贝塞尔证明了第一类贝塞尔函数有无穷个零点.1824年,贝塞尔给出一个有关第一类、第二类贝塞尔函数的递推公式.后来,有很多数学家、天文学家得出贝塞尔函数的数以百计的关系式和表达式.1944年,剑桥大学出版了G.N.Watson 的巨著《贝塞尔函数教程》,是贝塞尔函数研究成果的集成.在解析理论中另一个重要内容是勒让德方程的级数解和勒让德多项式方面的成果.1784年他出版的代表作《行星外形的研究》中研究了勒让德方程2(1)2(1)0x y xy n n '''--++=,并且给出了幂级数解的形式.高斯研究了高斯几何方程,并且得到了级数解,同时,他还建立了公式()()(,,,1)()()F γγαβαβγγαγβΓΓ--=Γ-Γ-,并指出对,,αβγ不同值,此级数包括了几乎所有的初等函数和类似贝塞尔函数的特征函数.19世纪方程解析理论中另外一个重点成果是关于奇点的富克斯理论.随后斯图姆和刘维尔,各自相应的研究,丰富了方程解析理论的内容.在19世纪后半叶,天体力学及其他技术科学提出的一些问题中,需要研究较复杂的微分方程的解的局部和全局性质.但由于绝大多数的这种方程不能用初等函数的积分表达通解,因此学者们考虑直接根据微分方程的结构来研究微分方程解的属性.为此,法国数学家庞加莱(Henri Poincare,1854-1912)就开始了微分方程的定性研究,从1881年到1886年先后发表了四篇论文,他说:”要解答的问题是动点是否描出一条闭曲线？它是否永远逗留在平面某一部分内部？换句话说,并且用天文学的话来说,我们要问轨道是稳定的还是不稳定的？”从1881年起,庞加莱独创出微分方程的定性理论.此后,为了寻求只通过考察微分方程本身就可以问答关于稳定性等问题的方法,他从非线性方程出发,发现微分方程的奇点起关键作用,并把奇点分为四类(焦点、鞍点、节点、中心),讨论了解在各个奇点附近的性状.庞加莱关于常微分方程定性理论的一系列课题,成为动力系统地开端.美国数学家伯克霍夫以三体问题为背景,扩展了动力系统的研究.另一位常微分方程定性理论的主要创始人是挪威数学家班迪克逊,从1900年起,他开始从事由庞加莱开创的微分方程轨线的拓扑性质的研究工作,1901年发表著名论文《由微分方程定义的曲线》[1].常微分方程定性理论中另一个重要领域是1892年由俄国数学家李雅普诺夫(1857-1918)创立的运动稳定性理论.李雅普诺夫在他的博士论文《运动稳定性的一般问题》中创造了两种新方法;首创了运动稳定性的一半理论,在最一般的假定下,解决了以下问题:什么时候,首次近似就是稳定性问题的解.关于李雅普诺夫意义下的稳定性和伯克霍夫意义下的极限集的表现形式是多姿多彩的.到1937年数学家庞特里亚金提出结构稳定性概念,且严格证明了其充要条件,使动力系统的研究向大范围转化.稳定性理论在美国迅速地变成训练自动控制方面的工程师的一个标准部分.目前,稳定性理论的方法结果已经推广到泛函微分方程、随机微分方程、偏微分方程以及动力系统中去.同时,在自动控制系统、电子技术、卫星姿态动力学、大型动力系统以及生态学等新技术、新领域中均有重要的应用.二十世纪自然科学和技术科学的发展,一个显著的特点是多学科的互相渗透,数学向各个学科的渗透更为普遍和突出.常微分方程作为数学模型广泛地应用于现代生物学、生态学、生理学、医学、经济学、化学等领域,如:传染病模型[24]、两生物种群生态模型[25]、人口模型[25]等.与此同时,国内一些定性理论工作者在80年代迅速转向生物学,开展生物微分方程的研究,做出了有意义的成果[25],一些稳定性理论工作者在70年代末期开展了泛函微分方程的研究,李森林等著的《泛函微分方程》总结了他们近期的工作.同时还有不少人从事研究离散动力系统的稳定性、随机微分方程的稳定性、大型控制系统等.微分方程是一门十分有用又十分有魅力的学科,自1693年微分方程概念的提出到动力系统地长足发展,常微分方程经历漫长而又迅速地发展,极大丰富了数学家园的内容.同时数学的其他分支的新发展如复变函数、组合拓扑学等都给常微分方程的发展以深刻地影响.当前,计算机的发展为常微分方程的应用及理论提供了非常有力的工具.随着社会技术的发展和需求,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题.应该说,应用常微分方程已经取得了很大的成就.也就是说,它和天文学、力学、物理学等许多学科有广泛的联系,在数学领域,它和其他一些分支学科相互渗透,是理工科院校数学专业重要的基础课程,理工科其他专业的高等数学课程也将会有越来越多的常微分方程内容[27].比如偏微分方程的迅速发展.可以预测:随着依赖数学为基础的其他学科的发展,微分方程还会继续扩展.虽然,常微分方程发展快速,且在被应用于各个领域,但它的现有理论还远远不能满足当今科学发展的需求,还有待于进一步发展,使这门学科的理论更加完善.三、总结部分(将全文主题进行扼要总结,提出自己的见解并对进一步的发展方向做出预测)常微分方程的产生与发展给现代人的生活做出了很大的贡献.它是一个有长期历史,而又正在不断发展的学科;是一个既有理论研究意义,又有实际应用价值的学科;是一个既得力于其他数学分支的支持,又为其他数学分支服务的学科,是一个表现客观自然规律的工具学科,又是一个数学可以为实际服务的学科.它的形成于发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展相互促进相互推动的.数学的其他分支的新发展如复变函数、李群、组合拓扑学等都给常微分方程的发展以深刻的影响．当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具．现在,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等．这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题．应该说,应用常微分方程理论已经取得了很大的成就,但是,它的现有理论也还远远不能满足需要,还有待于进一步的发展,使这门学科的理论更加完善[27].求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标,一旦求出通解的表达式,就容易从中得到问题所需要的特解．也可以由通解的表达式,了解对某些参数的依赖情况,便于参数取值适宜,使它对应的解具有所需要的性能,还有助于进行关于解的其他研究．后来的发展表明,能够求出通解的情况不多,在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解．当然,通解是有助于研究解的属性的,但是人们已把研究重点转移到定解问题上来．一个常微分方程是不是有特解呢？如果有,又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题,数学家把它归纳成基本定理,叫做存在和唯一性定理．大部分的常微分方程求不出十分精确的解,而只能得到近似解．当然,这个近似解的精确程度是比较高的．另外还应该指出,用来描述物理过程的微分方程,以及由试验测定的初始条件也是近似的,这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决．微分方程的理论逐步完善的时候,利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律,只要列出相应的微分方程,有了解方程的方法．微分方程也就成了最有生命力的数学分支.常微分方程经历漫长而又迅速的发展,极大地丰富了数学家园的内容.随着社会科学技术的发展及要求,微分方程会有更大的发展.如:自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等等.四、参考文献(根据文中参阅和引用的先后次序按序编排)[ 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数学专业文献综述范文篇一：数学专业文献综述数学是一门基础学科，它研究一般性的定理和方法，是自然科学、工程技术、社会科学和自身的发展所必需的基础学科。
数学的研究方法多种多样，例如分析、代数、拓扑、几何、组合等等。
在各个领域都能够得到广泛应用。
本文将介绍数学专业文献的综述，以期帮助更多的学者更好地了解数学研究领域的进展和优秀成果。
一、常微分方程常微分方程是数学中一个很重要的分支，它研究的是某些因素随时间的变化过程。
在许多自然现象和工程实际应用中，经常会遇到许多与时间有关的问题，例如物理学中的运动、力学、流体力学、电路理论、化学反应动力学等等，都需要通过数学模拟来进行研究。
常微分方程的研究成果对于这些应用领域有着极为重要的指导作用。
在常微分方程领域中，有许多重要的研究成果。
例如美国数学学会会士E. L. Ince于1926年所著的《奇异常微分方程》一书，是经典的常微分方程教材之一。
该书详细讲述了常微分方程的各种性质，包括一阶、二阶及高阶常微分方程的一般解法，特殊函数解和一些线性或非线性重要实例的求解方法等等。
另外，在普通微分方程方面，苏联科学家C. Levin于1956年曾经发表了一篇题为“守恒积分”（“conservation integral”）的重要论文，论文中关于两阶线性微分方程解法的研究成果以及针对一些非线性微分方程的守恒积分的构造引起了国际数学界的广泛关注。
二、拓扑学拓扑学是数学中的另一个重要分支，它研究的是空间及其变形的一些性质。
拓扑学对许多学科具有极其重要的影响，例如物理学、化学、及地理学等等，尤其在几何物理学、量子场论等领域中都扮演着重要的角色。
近年来，拓扑学的一些新成果也得到了许多数学家和物理学家的关注。
在拓扑学领域中，著名数学家W. G. Dwyer和J. Spalinski等人的共同发表的论文《拓扑有界性理论》引起了极大的关注，这篇论文提出了一种新的拓扑有界性概念，解决了一些重要的同伦群问题。
华北水利水电学院常微分方程的解法及应用（常见解法及举实例）课程名称：高等数学（2）专业班级：成员组成：联系方式：2012年 05月25日摘要常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中。
求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题。
本文就是对不同类型的常微分方程的解法的系统总结：先对常微分方程定义及一般解法做简单阐述，然后应用变量替换法解齐次性微分方程，降阶法求高阶微分方程，讨论特殊的二阶微分方程，并且用具体的实例分析常微分方程的应用。
关键词：微分方程降阶法变量代换法齐次型一阶线性英文题目：The solution of ordinary differential equations and its application（Common solution and examples）Abstract: Ordinary differential equation is an important part of calculus, widely used in specific problems in the study. Solving differential problem, often through the variable separation, both sides integral, if is high level, through the appropriate variable substitution, achieve the purpose of the reduced order to solve the problem. This article is to different types of ordinary differential equation of the solution system conclusion: first definition of ordinary differential equation and the general solution do simple paper, then apply variable substitution method of homogeneous solution ofdifferential equation, and the reduced order method for high order ordinary differential equation, discussion special second order differential equations, and use a specific example analysis of the application of ordinary differential equations.Key words: Differential equations、Reduced-order method、Variable substitution method 、Homogeneous、First order linear1、引言微积分学研究的对象是变量之间的函数关系，但在许多实际问题中，往往不能直接找到反映某个变化过程的函数关系，而是根据具体的问题和所给的条件，建立一个含有未知函数或微分的关系式。
数值分析第九章常微分方程数值解法常微分方程数值解法是数值分析中非常重要的一部分内容。
常微分方程是描述自然现象中动态变化规律的数学模型，解常微分方程可以揭示系统的变化趋势和规律。
然而，大多数常微分方程是无法通过解析方法求出解的，因此需要借助计算机进行数值计算。
数值解常微分方程方法主要包括：Euler方法、改进的Euler方法、四阶Runge-Kutta方法和龙格-库塔方法。
Euler方法是最简单的方法之一，它采用的是一阶Taylor展开式。
将待求的函数值与函数的一阶导数值代入Taylor展开式中，可以得到函数值在下一个时间步长上的近似值。
Euler方法的优点是简单易于实现，但其精度不够高，容易积累误差。
改进的Euler方法是对Euler方法的改进，它通过使用中间点上的导数值来减小误差。
改进的Euler方法的精度相比Euler方法要高一些，但仍然不够高。
四阶Runge-Kutta方法是目前使用较为广泛的数值解常微分方程的方法之一、它通过计算不同时间点上的斜率来估计函数值，在多个时间点上计算斜率的平均值来提高精度。
四阶Runge-Kutta方法的精度比Euler方法和改进的Euler方法要高，但计算量也相对较大。
龙格-库塔方法是数值解常微分方程中最常用的方法之一、它是四阶Runge-Kutta方法的延伸，通过计算不同时间点上的斜率来估计函数值，然后利用这些估计值计算更准确的斜率，在不同步长上进行迭代计算，直到满足所需精度。
龙格-库塔方法的精度比四阶Runge-Kutta方法要高，但计算量也相对较大。
除了以上几种方法外，还有一些其他数值解常微分方程的方法，如Adams法、Gear法等。
这些方法在不同场景下有着不同的适用性和优劣势。
总结起来，数值解常微分方程方法是研究常微分方程数值计算中的重要内容。
不同的方法有着不同的精度和计算量，可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行数值计算。
然而，需要注意的是，数值解只是在给定的步长下对函数的近似值，可能会引入误差。
数值分析设计报告常微分方程的数值求解及其应用一、设计目的 (2)二、任务简介 (2)三、理论基础 (3)3.1二阶龙格-库塔方法 (3)3.2三阶龙格-库塔方法 (4)3.3四阶龙格-库塔方法 (5)3.4二阶亚当姆斯格式 (6)3.5三阶亚当姆斯格式 (7)3.6四阶亚当姆斯格式 (8)3.7亚当姆斯预报-校正系统 (9)四、案例的运算结果 (10)4.1案例一运算结果 (10)4.2案例二运算结果 (11)五、数值分析设计的GUI界面 (12)六、结果分析 (13)七、设计心得 (13)八、附录 (13)一、设计目的在matlab环境下熟悉的运用计算机编程语言并结合龙格－库塔法、亚当姆斯方法的理论基础对常微分方程组问题进行求解，在运行完程序后以及对运行结果做出各方面的分析和比较。
并利用界面将所得结果表示出来。
二、任务简介用熟悉的计算机语言编程上机完成用二阶龙格－库塔法、三阶龙格－库塔法、四阶龙格－库塔法、二阶亚当姆斯方法、三阶亚当姆斯方法、四阶亚当姆斯方法、亚当姆斯预报--校正系统求解常微分方程组。
设计统一界面的相关算法。
建立模型用数值和解析两种方法解决应用型问题。
需解决的案例如下：案例一：求解微分方程组122312333321'''329sinz zz zz x z x z x z x x---⎧=⎪=⎨⎪=-++⎩在区间[0.1,60]H=上满足条件：0.1x=时，1231z z z===的特解，画出数值解的图像，进行比较。
案例二：放射性废物的处理美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深为90多米的海底。
生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。
原子能委员会分辨说这是不可能的。
为此工程师们进行了碰撞实验，发现当圆桶下沉速度超过12.2m/s与海底相撞时，圆桶就可能发生碰裂。
毕业论文文献综述信息与计算科学浅谈常微分方程的数值解法及其应用一、前言部分微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解.后来瑞士数学家雅各布•贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论.微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法.微分方程也就成了最有生命力的数学分支.总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程.在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型等.因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的. [1]“常微分方程”是理学院数学系所有专业学生的重要专业基础课之一，也是工科、经济等专业必学内容之一.其重要性在于它是各种精确自然科学、社会科学中表述基本定律和各种问题的根本工具之一，换句话说，只要根据实际背景，列出了相应的微分方程，并且能（数值地或定性地）求出这种方程的解，人们就可以预见到，在已知条件下这种或那种“运动”过程将怎样进行，或者为了实现人们所希望的某种“运动”应该怎样设计必要的装置和条件等等.例如，我们要设计人造卫星轨道，首先，根据力学原理，建立卫星运动的微分方程，列出初始条件，然后求出解，即卫星运行轨道.随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，微分方程的应用范围更广泛. [2]从数学自身的角度看，微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展.从这个角度说，微分方程变成了数学的中心. [3]总之，微分方程从它诞生起即日益成为人类认识并进而改造自然、社会的有力工具，成为数学科学联系实际的主要途径之一.文章就常微分的数值解法以及应用展开简单的论述。
二、主体部分2.1微分方程概念介绍2.1.1 微分方程概况由一元函数得到的方程.即：称含有自变量，未知函数及其导数的关系式22(,,,,...,)0n n dy d y d y F x y dx dx dx=. （1） 为常微分方程.其中出现的最高阶导数的阶数，叫做常微分方程的阶.例如 dy dx=x ，dy y dx = ，是一阶常微分方程. 22sin 0d g dt pθθ+=是二阶常微分方程.设)(x y ϕ=定义于 区间J 上，有直到n 阶的导数，将它代入（1），使（1）变成关于x 的恒等式，即()()(,(),,...,)0,n n d x d x F x x x J dx dxϕϕϕ=∈. 就称y ＝()x ϕ为（1）的一个定义于J 上的解，并称J 为该解的定义区间. [4]如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程.2.2微分方程产生的历史背景微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。
后来瑞士数学家雅各布•贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。
微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的.数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具. [5]牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律.后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置.这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量.微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法.微分方程也就成了最有生命力的数学分支.总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程.在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型等.因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的. [6]2.3 微分方程发展现状及其基本功能在数学学科内部的许多分支中，微分方程是常用的重要工具之一，微分方程进一步发展的需要，有推动着其它数学分支的发展；相反，微分方程每一步进展都离不开其他数学分支的支援.数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对微分方程的发展产生了深刻的影响.当前计算机的发展更是为微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.时至今日，可以说微分方程在所有自然科学领域和众多社会科学领域都有着广泛的应用，如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.只要能够列出相应的微分方程，有了解方程的方法，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律.从微积分理论形成以来，人们一直用微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，不断的取得了显著的成效.[7] 2.4常微分方程的数值求解方法2.4.1 Euler 法Euler 法是最简单的数值方法，[,]a b 为求解良态初值问题'(,)y f t y =，0()y a y =的区间。
实际上，下面的过程不是要找到满足该初值问题的可微函数，而是要生成点集{(,)}k k t y ，并且将这些点作为近似解，即()k k y t y ≈。
如何构造“近似满足微方程”的“点集”呢？首先为这些点选择横坐标，为方便起见，将区间[,]a b 划分为M 个等距子区间，并选择网络点k t a kh =+， k=0，1，……，M 其中b a h M-=（1） 值h 称为步长。
然后近似解'(,)y f t y = 在0[,]M t t 上， 00()y t y = （2） 设()y t ，'()y t 和''()y t 连续，；；利用泰勒定理将()y t 在0t t =处展开，对每个值t ，存在一个0t 和t 之间的值1c ，使得 ''2'10000()()()()()()2y c t t y t y t y t t t -=+-+ （3） 将'00()(,())y t f t y t =和10h t t =-代人等式（3），得到1()y t 的表示：''211000()()()(,())2y c h y t y t hf t y t =++ （4） 如果步长 h 足够小，则可以忽略 2 次项（包含2h 的项），得到1000(,)y y hf t y =+ （5） 这就是欧拉近似。
重复该过程，就能得到近似解曲线()y y t =的一个点序列。
欧拉方法的一般步骤是 1k k t t h +=+ ， 1(,)k k k k y y hf t y +=+ 其中 k = 0，1，……，M-1[8]（6）2.4.2 泰勒级数法泰勒级数法有着广泛的应用，并且是比较求解初值问题的各种不同数值方法的标准，它可设计为任意指定的精度。
下面首先将泰勒定理用新的公式表示，使之适合于求解微分方程。
定理9.5（泰勒定理）设1()N y t C+∈ 0[,]t b ，且()y t 在不动点0[,]k t t t b =∈处有N 次泰勒级数展开：1()()(,())()N k k N k k y t h y t hT t y t O h ++=++ （1） 其中，()11()(,())!j Nj k N k k j y t T t y t h j -==∑ （2） ()1()(,())j j y t f t y t -=表示函数f 关t 的（1j -）次全导数。
求导公式可以递归地计算： ''''(3)''''22(4)''2'''''''''3232()()()2()2()33()33()(33)(2)t y t y tt yt y yy tt yt yy y t y ttt ytt yyt ty y yy yyy ttt ytt yyt yyy y tt yt yy y t fy t f f y f f fy t f f y f y f y f f f f f f f f f y f f y f y f y f y f y y f y f f f f f f f f f f f f f ==+=+=+++=++++=++++++=++++++23()()()t y yt yy y t y f f f f f f f f f f +++++ （3）并且一般有()(1)()(,())N N yt P f t y t -= （4） 其中P 为导数算子()P f t y∂∂=+∂∂区间0[,]M t t 上的初值问题'()(,)y t f t y =的近似数值解可由各子区间1[,]k k t t +上的公式（1）来推导。
N 次泰勒方法的一般步骤为 323211...2!3!!N N k k d h d h d h y y d h N +=+++++ （5） 其中在各步0,1,......,1k M =-有()(),1,2,......,j j k d y t j N ==。
N 次泰勒方法的最终全局误差是1()N O h +阶的，因此可选择所需大小的N ，使得误差足够小。
如果N 是固定，则理论上可以推导出步长h ，使之满足任意的最终全局误差。
然而在实际运算中，通常用h 和/2h 计算两个近似结果集，然后比较其结果[9]。
2.4.3 龙格—库塔方法泰勒方法的优点是最终全局误差的阶为()NO h ，并且可以通过选择较大的 N 来得到较小的误差。
然而泰勒方法的缺点是，需要先确定 N ，并且要计算高阶导数，它们可能十分复杂。
每个龙格一库塔（Runge-Kutta ）方法都由一个合适的泰勒方法推导而来，使得其最终全局误差为()N O h 。
一种折中方法是每步进行若干次函数求值，从而省去高阶导数计算。
这种方法可构造任意 N 阶精度的近似公式。
最常用的是N= 4 的龙格一库塔方法，它适用于一般的应用，因为它非常精确、稳定，且易于编程。
许多专家声称，没有必要使用更高阶的方法，因为提高的精度与增加的计算量相抵消。
如果需要更高的精度，则应该使用更小的步长或某种自适应方法。
