高中新课标数学选修2--1空间向量与立体几何测试题

23.已知向量 ， ， 分别平行于 轴， 轴， 轴，他们的坐标各有什么特点？
24.已知向量 ， ，若向量 与 共线，则 ________；若 ，则 ________．
25.在正方体 中：
（1）分别给出直线 ， 的一个方向向量；
（2）分别给出平面 ，平面 ，平面 的一个法向量．
26.如图，边长为 的正方形 中， ， 分别是边 ， 上的点， .将 ， 分别沿着 ， 折起，使 ， 重合于点 ，且二面角 为直二面角.
B
【考点】
平面的法向量
向量方法证明线、面的位置关系定理
直线的方向向量
【解析】
由已知可得： ，因此 ，再利用线面垂直的判定即可得出．
【解答】
解：∵直线 的方向向量为 ，
平面 的法向量 ， ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）
11.
【答案】
【考点】
空间直线的向量参数方程
直线的方向向量
【解析】
设直线 的一个方向向量为 ，运用向量垂直的条件：数量积为 ，化简可得所求向量．
【解答】
解：设直线 的一个方向向量为 ，
由两平面 与 分别以 与 为其法向量，
可得 ， ，
可得 ， ，
可设 ，则 ， ，
可得 ．
故答案为： .
16.
【答案】
【考点】
用空间向量求平面间的夹角
数学选修2-1空间向量与立体几何练习题含答案
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
1.已知 是空间的一组单位正交基底，而 是空间的另一组基底．若向量 在基底 下的坐标为 ，则向量 在基底 下的坐标为（）

一、选择题1．在四面体OABC 中，空间的一点OM 满足1126OM OA OB OC λ=++，若MA ，MB ，MC 共面，则λ=（ ）A ．12B ．13C ．512D ．7122．若直线1l 、2l 的方向向量分别为(1,2,2)a =-，(2,3,2)b =-，则1l 与2l 的位置关系是（ ） A ．12l l ⊥B ．12l l C ．1l 、2l 相交不垂直 D ．不能确定3．阅读材料：空间直角坐标系O ﹣xyz 中，过点P （x 0，y 0，z 0）且一个法向量为＝（a ，b ，c ）的平面α的方程为a （x ﹣x 0）+b （y ﹣y 0）+c （z ﹣z 0）＝0；过点P （x 0，y 0，z 0）且一个方向向量为d ＝（u ，v ，w ）（uvw≠0）的直线l 的方程为000x x y y z z u v w---==，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为x+2y ﹣2z ﹣4＝0，直线l 是两平面3x ﹣2y ﹣7＝0与2y ﹣z+6＝0的交线，则直线l 与平面α所成角的大小为（ ） A ．arcsin 1414 B ．arcsin 421C ．arcsin51442D ．arcsin3773774．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11AC 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为( ) A ．13B ．23C ．324D ．125．已知正方体1111ABCD A BC D -,M 为11A B 的中点，则异面直线A M 与1BC 所成角的余弦值为（ ） A ．105B ．1010C ．32D ．626．正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是棱,CD BC 上的动点，且2BF CE =，当三棱锥1C C EF -的体积取得最大值时，记二面角1111,,C EF C C EF A A EF A ------的平面角分别为,,αβγ，则（ ）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．βαγ>>D ．βγα>>7．已知两平面的法向量分别为m =(0，1，0)，n =(0，1，1)，则两平面所成的二面角为（ ） A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90°8．记动点P 是棱长为1的正方体1111-ABCD A BC D 的对角线1BD 上一点，记11D PD Bλ=．当APC ∠为钝角时，则λ的取值范围为( ) A ．(0,1)B ．1(,1)3C ．1(0,)3D ．(1,3)9．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动.当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是（ ）A ．线段1CA 的三等分点，且靠近点1AB ．线段1CA 的中点C ．线段1CA 的三等分点，且靠近点CD ．线段1CA 的四等分点，且靠近点C10．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）111ABC A B C -中，2AB =，E ，F 分别为11AC 和11A B 的中点，当AE 和BF 所成角的余弦值为710时，AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ） A ．15 B ．15 C ．5 D ．5 11．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -，O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离是（ ）A ．12B ．24C ．22D ．3212．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DC ＝2，DA ＝DD 1＝1，点M 、N 分别为A 1D 和CD 1上的动点，若MN ∥平面AA 1C 1C ，则MN 的最小值为（ ）A ．5 B ．23C ．5 D ．5 二、填空题13．在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于点D ，E ，F ，H.且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________．14．已知空间直角坐标系中点()123p ，，，()321Q ，，，则||PQ =__________． 15．已知空间向量(1,0,0)a =，13(,2b =，若空间向量c 满足2c a ⋅=，52c b ⋅=，且对任意,x y R ∈，()()00001(,)c xa yb c x a y b x y R -+≥-+=∈，则c =__________. 16．把地球看作是半径为R 的球，A 点位于北纬30°，东经20°，B 点位于北纬30°，东经80°，求A B 、两点间的球面距离______________．17．如图，空间四边形OABC 中，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，分MN 所成的定比为2，OG xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别为_____．18．若向量()()()1,1,,1,2,1,1,1,1a x b c ===，满足条件()()·22c a b -=-，则x = __________． 19．已知，若向量互相垂直，则k 的值为____．20．如图，已知平面α⊥平面β，A ，B 是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA β⊂，CB β⊂，且DA AB ⊥，CB AB ⊥，4=AD ，8BC =，6AB =，在平面α内有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则PAB △的面积的最大值是______．三、解答题21．如图1，正方形ABCE ，2AB =，延长CE 到达D ，使DE CE =，M ，N 两点分别是线段,AD BE 上的动点，且AM BN =．将三角形ADE 沿AE 折起，使点D 到达1D 的位置（如图2），且1D E EC ⊥．（Ⅰ）证明：//MN 平面1DCE ； （Ⅱ）在线段1AD 上确定点M 的位置，使平面MBE 与平面ABE 所成角（锐角）的余弦322．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且222PA PD AD ===，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点.（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值.23．如图，平行四边形ABCD 中，26AD AB ==，,E F 分别为,AD BC 的中点.以EF 为折痕把四边形EFCD 折起，使点C 到达点M 的位置，点D 到达点N 的位置，且NF NA =.（1）求证：平面AFN ⊥平面NEB ； （2）若23BE =，求点F 到平面BEM 的距离.24．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，1AB BC CA AA ===，D 为AB 的中点．（1）求证：1//BC 平面1DAC ；（2）求平面1DAC 与平面11AAC C 所成的锐二面角．．．．的余弦值． 25．如图，在ABC 中，90B ∠=︒，2AB =，1BC =，D ,E 两点分别是边AB ，AC 的中点，现将ABC 沿DE 折成直面角A DE B --．（1）求证：平面ADC ⊥平面ABE ； （2）求直线AD 与平面ABE 所成角的正切值26．如图，四边形PABC 中，90,23,4PAC ABC PA AB AC ︒∠=∠====，现把PAC ∆沿AC 折起，使PA 与平面ABC 成60︒角，点P 在平面ABC 上的投影为点O (O 与B 在CA 同侧)（1）证明：//OB 平面PAC ；（2）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据向量共面定理求解． 【详解】由题意1126MA OA OM OA OB OC λ=-=--， 1526MB OB OM OA OB OC λ=-=-+-，11(1)26MC OC OM OA OB OC λ=-=--+-，∵MA ，MB ，MC 共面，∴在在实数唯一实数对(,)m n ，使得MA mMB nMC =+，1126OA OB OC λ--1511(1)2626m OA OB OC n OA OB OC λλ⎛⎫⎡⎤=-+-+--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴111222511666(1)m n m n m n λλλ⎧--=⎪⎪⎪-=-⎨⎪-+-=-⎪⎪⎩，解得132313m n λ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩． 故选：B ． 【点睛】结论点睛：本题考查空间向量共面定理．空间上任意三个不共面的向量都可以作为一个基底，其他向量都可用基底表示，且表示方法唯一．,,OA OB OC 是不共面的向量，OM xOA yOB zOC =++，则,,,M A B C 共面⇔1x y z ++=．2．A解析：A 【分析】求出直线1l 、2l 的方向向量数量积为0，由此得到1l 与2l 的位置关系． 【详解】由题意，直线1l 、2l 的方向向量分别为(1,2,2)a =-，(2,3,2)b =-，2640a b ⋅=-+-=，∴1l 与2l 的位置关系是12l l ⊥．故选A ． 【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的判断，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，着重考查运算求解能力，属于基础题．3．B解析：B 【分析】先根据两个平面的方程，求出平面交线的方向向量，结合已知平面的方程确定平面的法向量，然后求解. 【详解】平面α的法向量为n ＝（1，2，﹣2），联立方程组3270260x y y z --=⎧⎨-+=⎩，令x ＝1，得y ＝﹣2，z ＝2，令x ＝3，得y ＝1，z ＝8，故点P （1，﹣2，2）和点Q （3，1，8）为直线l 的两个点，∴PQ ＝（2，3，6）为直线l 的方向向量， ∵44cos ,3721||||PQ n PQ n PQ n ⋅-<>===-⨯ ，∴直线l 与平面α所成角的正弦值为421，故选B ． 【点睛】本题主要考查直线和平面所成角的正弦，属于信息提供题目，理解题中所给的信息是求解关键.4．B解析：B 【分析】以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，求得11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()10,? 02AA =，，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线MB与1AA 所成角的余弦值． 【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11AC ，∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，设11111222AA A B B C ===， 则11,1,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,00B ，），(1,00A ，），1(1,02A ，），11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，1(0,02AA ，）=， 设异面直线MB 与1AA 所成角为θ，则11cos 18MB AA MB AA θ⋅===⋅ ∴异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为3，故选B ．【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.5．A解析：A 【分析】建立空间直角坐标系，求出向量AM 与1BC 的向量坐标，利用数量积求出异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值. 【详解】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的棱长为1，则(1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(1,1,1)B ，(0,1,0)C ∵M 为11A B 的中点 ∴1(1,,1)2M ∴1(0,,1)2AM =，5AM =；1(1,0,1)B C =--，12B C =. ∴异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值为11110cos ,10AM B C AM B C AM B C⋅===⋅ 故选A. 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角∠AEM （或其补角），是解题的关键．如果异面直线所成的角不容易找，则可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量来求解．6．A解析：A 【分析】设正方体的棱长为2，CE a =，则22CF a =-，列出三棱锥1C C EF -的体积关系式，可知当12a =时，1C C EF V -取得最大值，以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用法向量求出,,αβγ的余弦值，根据余弦值的大小关系可得结果. 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系：设正方体的棱长为2，CE a =，则22CF a =-，由0222a <-≤，得01a ≤<，11C C EF C CEF V V --=113CEF CC S =⨯⨯△211211(22)2()32324a a a ⎡⎤=⨯-⨯=--+⎢⎥⎣⎦，所以当12a =时，1C C EF V -取得最大值16. 此时，3(2,0,0),(020),(00)2A C E ，，，，，(1,2,0)F ，11(2,0,2),(0,2,2)A C ， 1(1,,0)2EF =，1(1,0,2)C F =-，1(1,2,2)A F =--， 设平面1C EF 的法向量为111(,,)m x y z =，平面1A EF 的法向量为222(,,)n x y z =，则100m EF m C F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111110220x y x z ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，取11x =，则1112,2y z =-=，所以1(1,2,)2m =-， 100n EF n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222102220x y x y z ⎧+=⎪⎨⎪-+-=⎩，取21x =则2252,2y z =-=-，所以5(1,2,)2n =--，取平面CEF 和平面AEF 的法向量为1(0,0,2)AA =， 由图可知，,,αβγ均为锐角，则cos α=11||||||m AA m AA ⋅1140044=++⨯++21=， ||cos ||||m n m n β⋅==5|14|4125141444+-++⨯++105=，11||cos =||||n AA n AAγ⋅=25140044++⨯++5=， 所以cos cos cos αβγ<<，根据余弦函数在(0,)2π内单调递减，可得αβγ>>.故选：A 【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式，考查了二面角的向量求法，考查了运算求解能力，属于中档题.7．C解析：C 【分析】先求出两个向量的夹角为,=45︒<>m n ，再转化为二面角的大小. 【详解】2cos ,12⋅<>===⨯⋅m n m n m n，即,=45︒<>m n ， 所以两平面所成二面角为45°或180°-45°=135°. 答案：C 【点睛】本题考查了空间向量的夹角和二面角的求法，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.8．B解析：B 【分析】建立空间直角坐标系，利用∠APC 不是平角，可得∠APC 为钝角等价于cos ∠APC ＜0，即 ，从而可求λ的取值范围．【详解】由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ，则有A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），1D （0，0，1） ∴=（1，1，-1），∴=（λ，λ，-λ），∴=+=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1） =+=（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1）显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于cos ∠APC ＜0 ∴ 0PA PC ⋅<∴（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）（λ-1）=（λ-1）（3λ-1）＜0，得 ＜λ＜1 因此，λ的取值范围是（ ，1），故选B.点评：本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题．9．B解析：B 【分析】将问题转化为动点P 到直线MN 的距离最小时，确定点P 的位置，建立空间直角坐标系，取MN 的中点Q ，通过坐标运算可知PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离，再由空间两点间的距离公式求出||PQ 后，利用二次函数配方可解决问题. 【详解】设正方体的棱长为1，以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则1(,0,0)2M ，1(1,0,)2N ，MN 的中点31(,0,)44Q ，1(0,0,1)A ，(1,1,0)C ，则1(1,1,1)AC =-， 设(,,)P t t z ，(1,1,)PC t t z =---， 由1AC 与PC 共线，可得11111t t z---==-，所以1t z =-，所以(1,1,)P z z z --，其中01z ≤≤，因为2221||(1)(10)(0)2PM z z z =--+--+-25334z z =-+||(1PN ==所以||||PM PN =，所以PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离， 由空间两点间的距离公式可得||PQ ===所以当12c =时，||PQ 取得最小值4P 为线段1CA 的中点， 由于||4MN =为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时，P 为线段1CA 的中点. 故选：B 【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考查了二次函数求最值，属于基础题.10．B解析：B 【分析】设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，由AE 和BF 所成角的余弦值为710，求出12tAA ==．由此能求出AE 与平面11BCC B 所成角α的正弦值． 【详解】设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则31,,(0,0,0),,22A E t B F t ⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，(AE =-，12，)t ，3(BF =12，)t ， AE ∵和BF 所成角的余弦值为710，2221||||72|cos ,|10||||11t AE BF AE BF AE BF t -∴<>===+， 解得2t =．∴(AE =-，12，2)， 平面11BCC B 的法向量(1,0,0)n =，AE ∴与平面11BCC B 所成角α的正弦值为：3||152sin 10||||5AE n AE n α===． 故选：B ．【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11．B解析：B 【分析】如图建立空间直角坐标系，可证明1A D ⊥平面11ABC D ，故平面11ABC D 的一个法向量为：1DA ，利用点到平面距离的向量公式即得解. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则：1111(,,1),(0,0,1),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1)22O D A B C 111(,,0)22OD ∴=--由于AB ⊥平面111,ADD A AD ⊂平面11ADD A1AB A D ∴⊥，又11AD A D ⊥，1AB AD1A D ∴⊥平面11ABC D故平面11ABC D 的一个法向量为：1(1,0,1)DA = O ∴到平面11ABC D 的距离为：1111||22||2OD DA d DA ⋅===故选：B 【点睛】本题考查了点到平面距离的向量表示，考查了学生空间想象，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.12．A解析：A 【分析】先建立空间坐标系，设出(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，转化条件得1m n +=，利用函数即可得解. 【详解】如图建系，由题意可设(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，∴(),22,MN m n n m =---，又 ()10,0,1AA =，()1,2,0AC =-，∴平面11AAC C 的法向量()2,1,0n =，又 //MN 面11AACC ，∴=0MN n ⋅即1m n +=，∴()()2222222941MN m n n m m m =+-+-=-+， ∴MN 最小值为5 故选：A.本题考查了空间向量的应用，考查了转化化归和函数思想，属于中档题.二、填空题13．【解析】【分析】利用平面可以得到从而为中点同理可得为中点再根据三棱锥为正三棱锥得到故四边形为矩形从而可计算其面积【详解】因为故在底面上的射影为底面三角形的外心又为等边三角形故在底面上的射影为底面三角解析：452【解析】 【分析】利用SB 平面DEFH 可以得到DH SB ，从而H 为SA 中点，同理可得F 为SC 中点，再根据三棱锥S ABC -为正三棱锥得到AC SB ⊥，故四边形HDEF 为矩形，从而可计算其面积． 【详解】因为SA SB SC ==，故S 在底面上的射影为底面三角形的外心，又ABC ∆为等边三角形，故S 在底面上的射影为底面三角形的中心，所以三棱锥S ABC -为正三棱锥，所以SB AC ⊥．因SB 平面DEFH ，SB ⊂平面ABS ，平面ABS 平面DEFH DH =，故SB DH ，因AD DB =，故AH HS =，1,2DH BS DH BS =，同理1,2EF BS EF BS =， 故,DHEF DH EF =，所以四边形DEFH 为平行四边形，又由,D E 为中点可得DE AC ，故DH DE ⊥，故四边形DEFH 为矩形．又153,2DE DH ==，故矩形DEFH 的面积为452． 【点睛】（1）正三棱锥中，对棱是相互垂直的，且顶点在底面的投影是底面正三角形的中心． （2）通过线面平行可以得到线线平行，注意利用线面平行这个条件时，要合理构建过已知直线的平面（该平面与已知平面有交线）．14．【解析】15．【分析】设空间向量由已知条件可得的值由对任意得：进而得到答案【详解】解：空间向量设空间向量空间向量又由对任意则故故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算空间向量的模属于中档题解析：【分析】设空间向量(),,c m n z =，由已知条件可得m 、n 的值，由对任意x ，y R ∈，00|()||()|1c xa yb c x a y b -+-+=得：||1z =，进而得到答案．解：空间向量(1,0,0)a =，13(,22b =， 设空间向量(),,c m n z =，2c a ⋅=，52c b ⋅=，2m ∴=，1522m = 2m ∴=，3n =，∴空间向量()2,3,c z =，又由对任意x ，y R ∈，()()001c xa yb c x a y b -+≥-+=， 则||1z =，故(22c =+=故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算，空间向量的模，属于中档题．16．【分析】设球心为北纬纬线圈所在圆的圆心为半径为且是等边三角形即中由余弦定理得的值利用弧长公式求得两点间的球面距离【详解】设球心为北纬纬线圈所在圆的圆心为半径为则根据点位于北纬30°东经20°点位于北解析：5arccos 8R【分析】设球心为O ，北纬30纬线圈所在圆的圆心为1O ，半径为r ，2r R =，且ABC 是等边三角形，即2AB R =，AOB 中，由余弦定理得AOB ∠的值，利用弧长公式求得,A B 两点间的球面距离.【详解】设球心为O ，北纬30纬线圈所在圆的圆心为1O ，半径为r ，130OAO ∠=， 则3cos30r R ==， 根据A 点位于北纬30°，东经20°，B 点位于北纬30°，东经80°，可得160AO B ∠=，1AO B ∴是等边三角形，即AB r R ==，ABC 中，由余弦定理可得2222232cos 4AB R R R R AOB ==+-⋅∠，求得5cos 8AOB ∠=,5arccos 8AOB ∴∠=， ,A B ∴两点间的球面距离5arccos 8AB R AOB R =⋅∠=⋅.故答案为：5arccos 8R ⋅ 【点睛】本题主要考查球面距离的求法，利用余弦定理解三角形，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型.17．【解析】∵∴∴故答案为解析：111,,633【解析】∵ O G OM MG =+，1 2OM OA =，2,3MG MN MN ON OM ==-，1 ()2ON OB OC =+，∴111633OG OA OB OC =++，∴16x =，13y z ==，故答案为111,,63318．2【解析】因为向量所以则解之得应填答案解析：2 【解析】因为向量(1,1,),(1,2,1),(1,1,1)a x b c ===，所以(0,0,1),2(2,4,2)c a x b -=-=，则()(2)222c a b x -⋅=-=-，解之得2x =，应填答案2。

一、选择题1．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（ ）A．85B．97C ．12D ．2302．长方体1111ABCD A BC D -，110AB AA ==，25AD =，P 在左侧面11ADD A 上，已知P 到11A D ､1AA 的距离均为5，则过点P 且与1AC 垂直的长方体截面的形状为（ ）A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形3．在正四棱锥P ABCD -中，1PA PB PC PD AB =====，点Q ，R 分别在棱AB ，PC 上运动，当||QR 达到最小值时，||||PQ CQ 的值为（ ） A ．70 B ．35 C ．35 D ．70 4．设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD 上，11D PD B λ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是（ ）A ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭5．正方体''''ABCD A B C D -棱长为6，点P 在棱AB 上，满足PA PB =，过点P 的直线l 与直线''A D 、'CC 分别交于E 、F 两点，则EF =（ ） A ．313B ．95C ．18D ．216．已知直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,2ABC AB BC CC ︒∠====，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ） A ．35B ．35C ．45D ．45-7．定义向量的外积：a b ⨯叫做向量a 与b 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件： （1）a a b ⊥⨯，b a b ⊥⨯，且a ，b 和a b ⨯构成右手系（即三个向量两两垂直，且三个向量的方向依次与拇指、食指、中指的指向一致）；（2）a b ⨯的模sin ,a b a b a b ⨯=⋅（,a b 表示向量a 、b 的夹角）； 如图，在正方体1111ABCD A BC D -，有以下四个结论：①1AB AC ⨯与1BD 方向相反； ②AB AC BC AB ⨯=⨯；③6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等； ④()1AB AB CB ⨯⋅与正方体体积的数值相等. 这四个结论中，正确的结论有（ ）个 A ．4B ．3C ．2D ．18．将直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 折成120︒的二面角，已知直角边43,46AB AC == ）A ．平面ABC ⊥平面ACDB ．四面体D ABC -的体积是86C ．二面角A BCD --的正切值是423D ．BC 与平面ACD 所成角的正弦值是2179．如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为11AC 与11B D 的交点．若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．11+22+a b c B ．1122a b c -+ C ．1122-++a b c D ．1122+-a b c 10．已知()()()1,2,3,2,1,2,1,1,2,OA OB OC ===，点M 在直线OC 上运动.当MA MB ⋅取最小值时，点M 的坐标为（ ）A ．(2,2,4)B ．224(,,)333C ．5510(,,)333D ．448(,,)33311．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且1PA AB BC ===，则二面角A PCB --的大小是（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点E 为平面BCC 1B 1的中心，则直线DE 与平面ACD 1所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．13C ．33D ．233二、填空题13．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，12AA =，1AC BC ==，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是_____________．14．空间四边形ABCD 的两条对棱AC 、BD 的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH 在平移过程中，周长的取值范围是__________．15．已知平面α的一个法向量()2,2,1n =--，点()1,3,0A --在平面α内，则点()2,1,4P -到平面α的距离为_________.16．已知空间向量(1,0,0)a =，13(,,0)22b =，若空间向量c 满足2c a ⋅=，52c b ⋅=，且对任意,x y R ∈，()()00001(,)c xa yb c x a y b x y R -+≥-+=∈，则c =__________. 17．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1BC 上一点，且12BD DC =设1,,,AB a AC b AA c ===用a ,b ,c 表示向量AD ，则AD =_____________.18．已知，若向量互相垂直，则k 的值为____．19．已知棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别是11B C 和11C D的中点，点1A 到平面DBEF 的距离为________________．20．正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，则1AD 与平面11BB D 所成角的正弦值为__________．三、解答题21．如图，在三棱锥A BCD -中，O 、E 、F 分别为AB 、AC 、AD 的中点，DO ⊥平面ABC ，1DO =，AC BC ⊥，2AC BC ==.（1）求证：平面//OEF 平面BCD ；（2）求平面OEF 与平面OCD 所成锐二面角的余弦值.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，60BCD ∠=︒，,PD CD E =为CD 的中点．（1）求证：平面PBE ⊥平面PCD . （2）求二面角B PC D --所成角的余弦值．23．如图，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，1AB AD ==，2AE BC ==，87CF =（1）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （2）求平面BDE 与平面BDF 夹角的余弦值．24．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，12AA=，CH ⊥平面11AA B B ，且3CH =．（1）求1AC 与平面ABC 所成角的正弦值；（2）在线段11A B 上是否存在一点P ，使得平面PBC ⊥平面ABC ？若存在，求出1B P 的长；若不存在，说明理由．25．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点.（1）PB ∥平面AEC ；（2）设PA =1，ABC ∠60︒=，三棱锥E -ACD 的体积为3，求二面角D -AE -C 的余弦值.26．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为6的等边三角形，,D E 分别为1,AA BC 的中点.（1）证明：//AE 平面1BDC（2）若123CC =，求DE 与平面11ACC A 所成角的正弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】用空间向量基本定理表示出AC '，然后平方后转化为数量积的运算求得． 【详解】记a AB =，b AD =，c AA '=，则43cos900a b ⋅=⨯⨯︒=，同理152b c ⋅=，10a c ⋅=，由空间向量加法法则得AC a b c '=++，∴22222()222AC a b c a b c a b b c a c'=++=+++⋅+⋅+⋅222154352210852=+++⨯+⨯=， ∴85AC '=AC '=． 故选：A ． 【点睛】方法点睛：本题考查求空间线段长，解题方法是空间向量法，即选取基底，用基底表示出向量，然后利用向量模的平方等于向量的平方转化为向量的数量积进行计算．2．B解析：B 【分析】以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，先利用向量找出截面与11A D 、AD 和AB 的交点，再过Q 作//QF MN 交11B C 于F ，过F 作//EF QM ，交1BB 于E ，即可判断截面形状. 【详解】以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()120,0,5,25,0,10,0,10,0P A C ，()125,10,10AC ∴=--， 设截面与11A D 交于(),0,10Q Q x ，则()20,0,5Q PQ x =-，()12520500Q A C PQ x ∴⋅=---=，解得18Q x =，即()18,0,10Q ，设截面与AD 交于(),0,0M M x ，则()20,0,5M PM x =--，()12520500M AC PM x ∴⋅=--+=，解得22Mx =，即()22,0,0M ，设截面与AB 交于()25,,0N N y ，则()3,,0N MN y =，1253100N AC MN y ∴⋅=-⨯+=，解得7.5N y =，即()25,7.5,0N ， 过Q 作//QF MN ，交11B C 于F ，设(),10,10F F x ，则()18,10,0F QF x =-， 则存在λ使得QF MN λ=，即()()18,10,03,7.5,0F x λ-=，解得22F x =，故F 在线段11B C 上，过F 作//EF QM ，交1BB 于E ，设()25,10,E E z ，则()3,0,10E EF z =--， 则存在μ使得EF QM μ=，即()()3,0,104,0,10E z μ--=-，解得 2.5E z =，故E 在线段1BB 上，综上，可得过点P 且与1AC 垂直的长方体截面为五边形QMNEF . 故选：B.【点睛】本题考查截面的形状的判断，解题的关键是先利用向量找出截面与11A D 、AD 和AB 的交点，即可利用平面的性质找出其它点的位置.3．A解析：A 【分析】建立空间直角坐标系，利用三点共线的思想，分别求出点R ，Q ，利用两点距离公式求解，后利用导数求最值，进一步求出答案. 【详解】以P 在底面的投影O 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设1(,,0)2Q a ，(,,)R m n q 因为211(0(,0),22P C -，112(,22PC =-， 又因为R 在PC 上，PR PC λ= 所以2(,m m q =，112(,),22λλ-， 所以R 1122(,),2222λλ=--+， 所以222211122222QR a λλ⎛⎛⎫⎛⎫=--+-++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭221324a a λλλ=+-++ 因为[]11,,0,122a λ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦设2213()24f a a a λλλ=+-++，2213()24g a a λλλλ=+-++ 对其求导()2f a a λ'=-，1()22g a λλ'=-+当二个导数同时为0时，取最小值，即20a λ-=，1202a λ-+= 所以11,36a λ==时取最小值， 所以1121,,,1,,02623PQ CQ ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以PQ CQ=22222112262113⎛⎫⎛⎫⎛⎫++- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫+- ⎪⎝⎭=7010，所以当||QR达到最小值时，||||PQCQ的值为7010.故选：A.【点睛】空间直角坐标系距离公式的理解：（1）两点间的距离公式其形式与平面向量的长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的对角线的长度．（2）两点间的距离公式与坐标原点的选取无关，经过适当转化也可以求异面直线间的距离，点到面以及平面与平面的距离等．本题主要是R的坐标利用三点共线的思想去求.4．A解析：A【分析】建立空间直角坐标系，APC∠为锐角等价于cos0PA PCAPCPA PC⋅∠=>，即PA PC⋅>，根据向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】如图建立空间直角坐标系：则()1,0,0A，()1,1,0B，()0,1,0C，()10,0,1D，()11,1,1D B=-，()()111,1,1,,D P D Bλλλλλ==-=-，()11,01D A=-，()10,1,1D C=-，所以()()()111,01,,1,,1PA D A D Pλλλλλλ=-=---=---，()()()110,1,1,,,1,1PC D C D Pλλλλλλ=-=---=---，由APC ∠为锐角得cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，所以()()22110λλλ--+->，即()()1310λλ-->，解得：103λ<<， 当0λ=时，点P 位于点1D 处，此时1APC ADC ∠=∠显然是锐角，符合题意， 所以103λ≤<， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是APC ∠为锐角等价于cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，还需利用11PA D A D P =-，11PC DC D P =-求出PA 、PC 的坐标，根据向量数量积的坐标运算即可求解.5．C解析：C 【分析】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.再建立空间直角坐标系求解即可. 【详解】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.以A 为坐标原点建立如图空间直角坐标系,则设(,0,6)E e ,(6,6,)F f ,(0,3,0)P又,,E P F 共线,则EP PF λ=,故(,3,6)(6,3,)e f λ--=,故6133666e e f fλλλλ-==⎧⎧⎪⎪=⇒=-⎨⎨⎪⎪-==-⎩⎩.故(6,0,6)E -,(6,6,6)F -,则18EF ==.故选：C 【点睛】本题主要考查了利用空间直角坐标系求解共线问题的方法等,属于中等题型.6．C解析：C 【解析】 【分析】以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值． 【详解】解：以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则11(1,0,0),(0,0,2),(0,0,0),(0,1,2)A B B C ，11(1,0,2),(0,1,2)AB BC =-=，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ， 则1111||4cos 5||||55AB BC AB BC θ⋅===⋅⋅.∴异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为45.故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．D解析：D 【分析】根据外积的定义逐项判断即可得到结果. 【详解】对于①，根据向量外积的第一个性质可知1AB AC ⨯与1BD 方向相同，故①错误； 对于②，根据向量外积的第一个性质可知AB AC ⨯与BC AB ⨯方向相反，不会相等，故②错误；对于③，根据向量外积的第二个性质可知sin4ABCDBC AC BC AC Sπ⨯=⋅⋅=，则6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等，故③正确；对于④，1AB AB ⨯与CB 的方向相反，则()10AB AB CB ⨯⋅<，故④错误. 故选：D. 【点睛】本题考查正方体的性质和信息迁移，解题的关键在于依据新概念的性质进行推理论证，属难题.8．C解析：C 【分析】先由图形的位置关系得到CDB ∠是二面角C AD B --的平面角，120CDB ∠=，故A 不正确；B 由于11132684sin12042332D ABC A BCD BCD V V S AD --⎛⎫==⋅=⨯⨯= ⎪⎝⎭故得到B 错误；易知AFD ∠为二面角A BC D --的平面角,4242tan3421AD AFD DF ∠===，由题意可知∠BDC 为B ﹣AD ﹣C 的平面角，即∠BDC=120°，作DF ⊥BC 于F ，连结AF ，sin ∠BCO=BOBC. 【详解】 沿AD 折后如图,AD BC ⊥,易知CDB ∠是二面角C AD B --的平面角,120CDB ∠=,12,4,42,CD BD AD ===由余弦定理得2222BC CD BD CD =+-cos120BD ⋅,可得47BC =过D 作DF BC ⊥于F ,连接AF ,则AF BC ⊥,由面积相等得11sin12022CD BD DF BC ⋅=⋅,可得4217DF =. 根据AD BC ⊥,易知CDB ∠是二面角C AD B --的平面角, 120CDB ∠=故A 平面ABC 与平面ACD 不垂直,A 错;B 由于11132684sin12042332D ABC A BCD BCD V V S AD --⎛⎫==⋅=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭,B 错; C 易知AFD ∠为二面角A BC D --的平面角,4242tan 4217AD AFD DF ∠===C 对;D 故如图，由题意可知∠BDC 为B ﹣AD ﹣C 的平面角，即∠BDC=120°，作DF ⊥BC 于F ，连结AF ，421，BD=4，DC=8，AD=4，过O 作BO 垂直BO ⊥CO 于O ，则∠BCO 就是BC 与平面ACD 所成角，3OD=2，2247BO CO +sin ∠BCO=23211447BO BC ==． 选.C【点睛】本题考查了平面的翻折问题，考查了面面垂直的证明，线面角的求法，面面角的求法以及四面体体积的求法，求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，要么建系来做．9．C解析：C 【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到11122BM AB AD AA =-++，即可求解. 【详解】由题意，根据空间向量的运算法则，可得1111112BM BB B M AA B D =+=+1111111111111()()222222AA A D A B AA AD AB AB AD AA a b c =+-=+-=-++=-++.故选：C. 【点睛】在空间向量的线性运算时，要尽可能转化为平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，以及利用三角形的中位线、相似三角形等平面几何的性质，把未知向量转化为已知向量有直接关系的向量来解决.10．D解析：D 【分析】设OM OC λ=，故(),,2M λλλ，()()242633MA MB OA OM OB OM λ⎛⎫=--⋅=- ⎪⎝-⎭⋅，计算得到答案.【详解】设OM OC λ=，即(),,2OM OC λλλλ==，故(),,2M λλλ，()()()()1,2,322,1,22MA MB OA OM OB OM λλλλλλ⋅=-⋅-=---⋅---224261610633λλλ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，当43λ=时，向量数量积有最小值，此时448,,333M ⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查了向量的数量积，二次函数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.11．C解析：C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值； 【详解】解：如图建立空间直角坐标系，因为1PA AB BC ===，所以()0,0,0A ，()0,2,0C ，22,,022B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1P ，()0,2,1CP =-，22,,022BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭显然面APC 的一个法向量可以为()1,0,0n =， 设面BPC 的法向量为(),,m x y z =则·0·0m CP m BC ⎧=⎨=⎩，即2022022y z x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1y =则2z =，1x =，所以()1,1,2m = 设二面角A PC B --为θ，则()2221cos 21112n m n mθ===⨯++所以60θ=︒ 故选：C【点睛】本题考查利用空间向量法求二面角，属于中档题.12．B解析：B 【分析】如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为1，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭.易知平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =，计算夹角得到答案. 【详解】如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为1，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭. 根据1,n AC n AD ⊥⊥得到平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =，11,1,22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故22cos 3n DE n DEα⋅==⋅，故1sin 3α=， 直线DE 与平面ACD 1所成角θ，满足1cos sin 3θα==. 故选：B .【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.二、填空题13．【分析】先找出线面角运用余弦定理进行求解【详解】连接交于点取中点连接则连接为异面直线与所成角在中同理可得异面直线与所成角的余弦值是故答案为【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角考查了空间想象能力运算 30【分析】先找出线面角，运用余弦定理进行求解 【详解】连接1AB 交1A B 于点D ，取11B C 中点E ，连接DE ，则1DE AC ，连接1A E1A DE ∴∠为异面直线1A B 与1AC 所成角在111RtAC B 中，111AC =，1111122C E C B == 15A E ∴=同理可得16A D =5DE =222165530cos 652A DE +-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯, ∴异面直线1A B 与1AC 30故答案为3010【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于基础题．14．【解析】如图所示设∴∴∴周长又∵∴周长的范围为故答案为： 解析：(8,10)【解析】 如图所示，设DH GHk DA AC==， ∴1AH EHk DA BD==-， ∴5GH k =，4(1)EH k =-， ∴周长82k =+． 又∵01k <<， ∴周长的范围为(8,10)．故答案为：(8,10)．15．【分析】由题意算出根据向量是平面的一个法向量算出向量在上的投影的绝对值即可得到到的距离【详解】解：根据题意可得又平面的一个法向量点A 在内到的距离等于向量在上的投影的绝对值即故答案为:【点睛】本题给出解析：23【分析】由题意算出()1,4,4AP =-，根据向量()2,2,1n =--是平面α的一个法向量，算出向量AP 在n 上的投影的绝对值，即可得到P 到α的距离. 【详解】解：根据题意，可得()()1,3,0,1,4,2A P ---， ()1,4,4AP =-，又平面α的一个法向量()2,2,1n =--，点A 在α内，()2,1,4P ∴-到α的距离等于向量AP 在n 上的投影的绝对值， ()()1242412P n A -⨯-+⨯-∴⨯=-=+即(232AP n d n ===- 故答案为:23【点睛】本题给出平面的法向量和平面上的一点，求平面外一点到平面的距离；着重考查了向量的数量积公式和点到平面的距离计算等知识，属于中档题.16．【分析】设空间向量由已知条件可得的值由对任意得：进而得到答案【详解】解：空间向量设空间向量空间向量又由对任意则故故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算空间向量的模属于中档题 解析：【分析】设空间向量(),,c m n z =，由已知条件可得m 、n 的值，由对任意x ，y R ∈，00|()||()|1c xa yb c x a y b -+-+=得：||1z =，进而得到答案． 【详解】 解：空间向量(1,0,0)a =，13(,2b =，设空间向量(),,c m n z =，2c a ⋅=，52c b ⋅=，2m ∴=，1522m = 2m ∴=，3n =，∴空间向量()2,3,c z =，又由对任意x ，y R ∈，()()001c xa yb c x a y b -+≥-+=， 则||1z =，故(22c =+=故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算，空间向量的模，属于中档题．17．【解析】试题分析：考点：平面向量基本定理解析：122333a b c ++【解析】 试题分析：()()111222333AD AB BD AB BC AB BC CC AB AC AB CC =+=+=++=+-+ ()21223333a b a c a b c =+-+=++ 考点：平面向量基本定理18．【分析】由向量垂直的坐标运算直接计算【详解】由题意∵与互相垂直∴＝解得故答案为【点睛】本题考查空间向量垂直的坐标运算解题关键是掌握向量垂直的充要条件即 解析：522-或 【分析】由向量垂直的坐标运算直接计算. 【详解】 由题意2,5,1a b a b ==⋅=-，∵ka b +与2ka b -互相垂直，∴222()(2)2ka b ka b k a ka b b +⋅-=-⋅-＝22250k k +-⨯=，解得522k k ==-或， 故答案为522-或. 【点睛】本题考查空间向量垂直的坐标运算，解题关键是掌握向量垂直的充要条件，即0a b a b ⊥⇔⋅=.19．1【分析】以D 点为原点的方向分别为轴建立空间直角坐标系求出各顶点的坐标进而求出平面的法向量代入向量点到平面的距离公式即可求解【详解】以为坐标原点的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系则所以设 是平解析：1 【分析】以D 点为原点，1,,DA DC DD 的方向分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出各顶点的坐标，进而求出平面BDEF 的法向量，代入向量点到平面的距离公式，即可求解． 【详解】以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz ，则1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(0,,1)2F ， 所以(1,1,0)DB =，1(0,,1)2DF，1(1,0,1)A D =--， 设 (,,)x y z =m 是平面BDFE 的法向量，则m DB m DF⎧⊥⎨⊥⎩，即0102m DB x y m DF y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令1y =，可得112x z =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，故1(1,1,)2m =--，设点A 在平面BDFE 上的射影为H ，连接1A D ，则1A D 是平面BDFE 的斜线段，所以点1A 到平面BEFE的距离1111A D m d m+⋅===．【点睛】本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20．【解析】分析：建立空间直角坐标系求出平面的法向量利用向量法即可求AD1与面BB1D1D 所成角的正弦值详解：以D 为原点DADCDD1分别为x 轴y 轴z轴建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz设AB=1则D解析：10【解析】分析：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求AD1与面BB1D1D所成角的正弦值．详解：以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz．设AB=1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，2），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2）．设AD1与面BB1D1D所成角的大小为θ，1AD=（﹣1，0，2），设平面BB1D1D的法向量为n=（x，y，z），DB=（1，1，0），1DD=（0，0，2），则x+y=0，z=0．令x=1，则y=﹣1，所以n=（1，﹣1，0），sinθ=|cos＜1AD，n＞10，所以AD1与平面BB1D1D 10．10.点睛：这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．三、解答题21．（1）证明见解析；（23【分析】（1）先证明线面平行，再利用面面平行的判定定理证明即可；（2）根据题意建立如图空间直角坐标系，利用坐标求平面OEF 与平面OCD 的法向量，再利用数量积求其夹角的余弦值，即得结果. 【详解】（1）证明：依题意O 、E 、F 分别为AB 、AC 、AD 的中点，则//OE BC ，//EF CD ，OE ⊄平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， //OE ∴平面BCD ,//EF 平面BCD又EF OE E ⋂=，且在平面OEF 内，∴平面//OEF 平面BCD ；（2）依题意：2AC BC ==，则CO AB ⊥，2AB =，1CO =，又DO ⊥平面ABC ，故建立如图空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A -，(0,1,0)C ，(0,0,1)D ，11,,022E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,0,22F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,,022OE ⎫⎛∴=- ⎪⎝⎭，11,0,22OF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设(,,)n x y z =为平面OCD 的一个法向量，则1102211022OE n x y OF n x z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩取1x =，则(1,1,1)n =，又易见(1,0,0)m =为平面OEF 的一个法向量，3cos ,3m n m n m n⋅∴<>=== ∴平面OEF 与平面OCD 3【点睛】 方法点睛：求二面角的方法通常有两个方法：一是利用空间向量，建立坐标系，求得对应平面的法向量之间夹角的余弦值，再判断锐二面角或钝二面角，确定结果，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，利用垂直关系和二面角的定义，找到二面角对应的平面角，再求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角. 22．（1）证明见详解；（2）77【分析】（1）证出BE DC ⊥，PD BE ⊥，由线面垂直的判定定理证出BE ⊥平面PCD ，再由面面垂直的判定定理即可证明.（2）以D 为原点，以,,DF DC DP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面PDC 一个法向量以及平面PBC 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】 （1）连接BD ，由四边形ABCD 为菱形，60BCD ∠=︒， 则BD AD BC ==， 又E 为CD 的中点，BE DC ∴⊥,PD ⊥平面ABCD ，且BE ⊂平面ABCD ，PD BE ∴⊥，PD DC D ⋂=，所以BE⊥平面PCD ，BE ⊂平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面PCD .（2）取AB 的中点F ，连接DF ，则DF DC ⊥，以D 为原点，以,,DF DC DP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图：设1PD CD ==，则()0,0,1P ，()0,1,0C ，31,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，3F ⎫⎪⎝⎭， 3DF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,1PC =-，31,12PB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，由DF DC ⊥，DF DP ⊥，DC DP D ⋂=，所以DF ⊥平面PDC ，即3DF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭为平面PDC 一个法向量，设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n PC n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即031022y z x y z -=⎧+-=⎪⎩， 令1y =，可得1z =，3x =3,1,1n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设二面角B PC D --所成角为θ，且为锐角，11722cos cos ,13711344n DF n DF n DFθ⋅=====++⨯所以二面角B PC D --7. 【点睛】 思路点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.23．（1）49；（2）13．【分析】首先以A为原点，建立空间直角坐标系，（1）求平面BDE的法向量m，利用公式sin cos,CE mθ=<>求解；（2）求平面BDF的法向量n，利用公式cos,m n<>求解.【详解】以A为原点，,,AB AD AE分别为,,x y z轴的正方向，建立空间直角坐标系，()1,0,0B，()0,1,0D，()0,0,2E，()1,2,0C，81,2,7F⎛⎫⎪⎝⎭（1）设平面BDE法向量(),,m x y z=，()1,1,0BD=-，()1,0,2BE=-，则020x yx z-+=⎧⎨-+=⎩，令1z=，则2,2x y==，∴()2,2,1m=，()1,2,2CE=--，2424sin cos,339CE mθ--+=<>==⨯（2）设平面BDF法向量(),,n x y z=，()1,1,0BD=-，80,2,7BF⎛⎫= ⎪⎝⎭，则8207y zx y⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，令4x=，则4,7y z==-∴()4,4,7n=-，8871cos cos,393m nθ+-=<>==⋅，因为平面BDE与平面BDF夹角是锐二面角，所以二面角的余弦值是13.【点睛】关键点点睛：本题是比较典型的向量坐标法解决空间角，关键是计算准确， 24．（1）311055；（2）存在，115B P =. 【分析】（1）以点1B 为坐标在原点建立空间直角坐标系，利用向量法可求得结果；（2）假设存在点P ，设(,0,0)P λ，且[]0,2λ∈，利用平面PBC 的法向量与平面ABC 的法向量垂直列式可解得结果. 【详解】（1）以点1B 为坐标在原点建立空间直角坐标系，如图：则1(0,0,0)B ，1(2,0,0)A ，(2,2,0)A ，(0,2,0)B ，(1,1,3)C ， （1）(2,0,0)AB =-，(1,1,3)AC =--，设平面ABC 的一个法向量(,,)n x y z =则00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2030x x y z -=⎧⎨--+=⎩，令1z =得(0,3,1)n =，设1AC 与平面ABC 所成角为θ，1(1,1,3)AC =-，110333sin 11055119091AC n AC n θ⋅++∴===++⨯++⋅（2）假设存在点P ，设(,0,0)P λ，且[]0,2λ∈，(,2,0)PB λ∴=-，(1,1,3)BC =-，设平面PBC 的法向量(,,)m x y z =， 则00m PB m BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2030x y x y z λ-+=⎧⎨-+=⎩，令1x =得11,,263m λλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，平面PBC ⊥平面ABC ，m n ∴⊥，即310263m n λλ=⋅=+-，得[]10,25λ=∈， ∴存在这样的点1,0,05P ⎛⎫⎪⎝⎭使得平面PBC ⊥平面ABC ，且115B P =．【点睛】关键点点睛：将平面与平面垂直问题转化为两个平面的法向量垂直求解是本题的解题关键. 25．（1）证明见解析；（2）14. 【分析】(1 )连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，根据中位线定理可得//PB OE ，由线面平行的判定定理即可证明//PB 平面AEC ；（2）设菱形ABCD 的边长为a ，根据23243P ABCD P ACD E ACD V V V ---===可得2a =，以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面CAE 与平面DAE 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果. 【详解】(1)连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则O 为BD 中点，E 为PD 的中点，所以//PB OE ，OE ⊂平面,ACE PB ⊄平面ACE ，所以//PB 平面AEC ；（2）设菱形ABCD 的边长为a ，2324P ABCD P ACD E ACD V V V ---===， 1233113132P ABCD ABCD V S PA a a -⨯⨯⨯=⋅==，则2a =. 取BC 中点M ，连接AM .以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴， 以AP 方向为z 轴，建立如图所示坐标系.()0,2,0D ，()0,0,0A ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()3,1,0C10,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3,1,0AC =，设平面ACE 的法向量为1(,,)n x y z =， 由11,n AE n AC ⊥⊥，得10230y z x y ⎧+=⎪⎪+=⎩，令3y =1,23x z =-=- (11,3,23n =∴--，平面ADE 的一个法向量为()21,0,0n =1212121cos<,>41312n n n n n n ⋅===++⋅，即二面角D AE C --的余弦值为14. 【点睛】方法点睛：二面角的求法方法一：（几何法）找→作（定义法、三垂线法、垂面法）→证（定义）→指→求（解三角形）方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量,m n ；再代入公式cos m n m nα⋅=±（其中,m n 分别是两个平面的法向量，α是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“±”号）26．（1）证明见解析；（2）31020. 【分析】（1）先证明四边形ADFE 为平行四边形，则AE ∥DF ，由此即可得证；（2）以点E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，由123CC =，求得平面11ACC A 的法向量以及直线DE 的方向向量，再利用向量公式求解． 【详解】证明：取BC 1的中点F ，连接DF ，EF ， ∵E 为BC 中点，∴//EF 1CC ，112EF CC = 又∵D 为AA 1的中点，//DA 1CC ，112DA CC =， ∴//EF DA ，EF DA = ∴四边形ADFE 为平行四边形， ∴//AE DF ，∵AE ⊄平面BDC 1，DF ⊂平面BDC 1， ∴//AE 平面BDC 1.（2）由（1）及题设可知，BC ，EA ，EF 两两互相垂直，则以点E 为坐标原点，EC ，EA ， EF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由123CC =，则1(3,0,0),(3,0,23),(0,33,0),(3,0,0),(0,33,3)B C A C D -， 所以1(0,0,23),(3,33,0)CC AC ==-，设平面11ACC A 的法向量为(,,)m x y z =由100m AC m CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得3330230x z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩， 令1y =，则(3,1,0)m =， 又(0,33,3),(0,33,3)D ED ∴=， 所以22233cos ,||||(33)(3)(3)333102310ED m ED m ED m +⋅<>====+⋅， 设DE 与平面11ACC A 所成角为θ，则sin θ=310|cos ,|20ED m <>=， ∴DE 与平面11ACC A 所成角的正弦值为31020. 【点睛】方法点睛：证明线面平行的常用方法： （1）利用线面平行的定义（无公共点）.（2）利用线面平行的判定定理.（3）利用面面平行的性质.解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.。

高中新课标数学选修(2-1)空间向量与立体几何测试题一、选择题1．空间的一个基底a，b，c所确定平面的个数为（）Ａ．1个答案：Ｃ，2，1)关于面某Oy的对称点为B，而B关于某轴的对称点为C，则BC（）2．已知A(14，2)Ａ．(0，4，2)Ｂ．(0，Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个以上4，0)Ｃ．(0，0，2)Ｄ．(2，答案：Ｂ3．已知向量a(某1，y1，z1)，b(某2，y2，z2)，若ab，设abR，则ab与某轴夹角的余弦值为（）某1某2R答案：ＤＡ．Ｂ．某2某1RＣ．某1某2RＤ．(某1某2)R，MB，MC的起点与终点M，A，B，C互不重合且无三点共线，O是空间任一点，则4．若向量MA，MB，MC成为空间一组基底的关系是（）能使MA111Ａ．OMOAOBOC333Ｂ．MAMBMC12Ｃ．OMOAOBOC33Ｄ．MA2MBMC答案：Ｃ5．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则E是平面ABC1D1的距离是（）Ｃ．12答案：Ｂ6．一条长为a的线段，夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别是45°和30°，由这条线段两端向两平面的交线引垂线，垂足的距离是（）a2答案：ＡＡ．Ｂ．a37．若向量a与b的夹角为60°，b4，(a2b)(a3b)72，则a（）Ａ．2答案：ＣＢ．4Ｃ．6Ｄ．128．设P是60°的二面角l内一点，PA平面，PB平面，A，B为垂足，PA4，PB2，则AB的长为（）Ａ．答案：ＤＢ．Ｃ．Ｄ．ABCD为正方形，PDAD，PDAD2，9．二面角PADC为60°，P为平面ABCD外一点，则P到AB的距离为（）Ａ．答案：Ｄ10．已知p(某，，y，q)z，，(a，b)(c某，y若z有a等bc式Ｃ．2(某2y2z2)(a2b2c2)(a某bycz)2成立，则p，q之间的关系是（）Ａ．平行答案：ＡＢ．垂直Ｃ．相交Ｄ．以上都可能11．已知平面与所成二面角为80°，P为，外一定点，过点P一条直线与，所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（）Ａ．1条Ｂ．2条Ｃ．3条Ｄ．4条答案：Ｄ12．如图1，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB平面，AB2BC2CD4，点P 为内一动点，且APBDPC，则P点的轨迹为（）Ａ．直线Ｂ．圆Ｃ．椭圆Ｄ．双曲线答案：Ｂ二、填空题1t，t)，b(2，t，t)，则ba的最小值是13．已知a(1t，14．在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，向量BA1与向量AC所成的角为．答案：120°，D在棱BB1上，且15．如图2，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1 BD1，若AD与平面AA1C1C所成的角为，则in16．已知m，l是异面直线，那么：①必存在平面过m且与l平行；②必存在平面过m且与l垂直；③必存在平面与m，l都垂直；④必存在平面与m，l距离都相等．其中正确命题的序号是．答案：①④三、解答题0)b(某2，y2，0)与向量c(111)，，的夹角都等于17．设空间两个不同的单位向量a(某，y1，，π．4解：（1）由acacco∴某1y1．π·c某1y1，，且a4又a1，∴(某1y1)2某12y122某1y112某1y1∴某1y1．43．2（4）同理可得某2y2∴某1，y1是方程某21某2y2，40的两根，同理某2，y2也是．4又∵ab，∴某1y2，某2y1．∴coa，ba·b1a·b某1某2y1y2某1y1某2y2，ab2∴a，b60°．18．如图3，已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，底面ABCD是直角梯形，ADC是直角，AB∥CD，AB4，AD2，DC1，求异面直线BC1与DC成角的大小．解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为某轴，y轴，z轴立空间直角坐标系D某yz，，，，2)B(2，4，，0)A(01，，0)．则C1(01∴BC1(2，3，2)，CD(0，10)，．所建设BC1与CD所成角为，BC1·CD则coBC1CD∴．∴异面直线BC1与DC所成角的大小为19．如图4，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动，问AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为π．4分别解：设AE某，以D为原点，直线DA，DC，DD1所在直线为某，y，z 轴建立空间直角坐标系，，0，1)，D1(0，0，1)，E(1，某，，0)A(1，0，，0)C(0，2，0)．则A1(1∴CE(1，某2，，0)D1C(0，2，1)，DD1(0，01)，．设平面D1EC的法向量为n(a，b，c)，·D1C0，2bc0，n由·CE0ab(某2)0，n令b1，∴c2，a2某．∴n(2某，1，2)．·DD1πn依题意co．4nDD1∴某2某2∴AE2．20．如图5所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB4，BC2，CC，BE1．13（1）求BF；（2）求点C到平面AEC1F的距离．解：（1）以D为原点，DAF，DC，DF所在直线为某轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D某yz，D(0，0，，0)B(2，4，，0)A(2，0，，0)C(0，4，，0)E(2，4，1)，C1(0，4，3)，0，z)．设F(0，0，z)(2，0，2)，由AFEC1，得(2，∴z2．∴F(0，0，，2)BF(2，4，2)．∴BFn·AE0，1)，由1（2）设n1为平面AEC1F的法向量，n1(某，y，·AF0，n1，某14y10，得∴12某20．y．4又CC1(0，0，3)，设CC1与n1的夹角为，CC1·n则co．1CC1n∴C到平面AEC1F的距离dCC1co．21．如图6，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCkPA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP底面ABC．（1）求证：OD∥平面PAB；（2）当k时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；2（3）当k为何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？解：（1）证明：∵OP平面ABC，OAOC，ABBC，∴OAOB，OAOP，OBOP．以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系O某yz．设ABa，则A，0，0，B0，0，C，0，0．0，h)．设OPh，则P(0，，0h∵D为PC的中点，∴OD．21PA0，h，，∴OD2PA．∴OD∥PA，∴OD∥平面PAB．（2）k，即PA2a，∴h2∴PA，0，可求得平面PBC的法向量n1，1，．PA·n∴coPA，nPAn设PA与平面PBC所成的角为，，n则incoPA．∴PA与平面PBC所成的角为11△PBC（3）的重心G，h∴OGh，33∵OG平面PBC，∴OGPB．1212又PBh·PBah0．0，，∴OG63∴h．∴PAa，即k1．反之，当k1时，三棱锥OPBC为正三棱锥．∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心．OBb，OCc，可构成空间向量的一个22．如图7，已知向量OAa，基底，若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，c(c1，c2，c3)，在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算ab(a2b3a3b2，a3b1a1b3，a1b2a2b1)，显然ab的结果仍为一向量，记作p．（1）求证：向量p为平面OAB的法向量；（2）求证：以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积等于ab；（3）将四边形OADB按向量OCc平移，得到一个平行六面体OADBCA1D1B1，试判断平行六面体的体积V与(ab·)c的大小．·a(a2b3a3b2)a1(a3b1a1b3)a2(a1b2a2b1)a30，解：（1）p∴pa，同理pb．∴p是平面OAB的法向量．（2）设平行四边形OADB的面积为S，OA与OB的夹角为，则SOAOBinaab．∴结论成立．COABhOC（3）设点到平面的距离为，与平面OAB所成的角为，则VShabcin，)cabccoab，cabcin，又(ab·∴V(ab·)c．。