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七年级数学竞赛讲义立方根

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<1 ■ *立方根中的奥秘墓确达标1下列说法中，正确的是（B ）7. 求下列各式中x 的值：(1) *3— 32= 0 ；1 1【解】••• ？X 3— 32= 0,.・.冰3= 32,.・.x 3= 64 , 二 x = ^64= 4. (2) (x + 3)3 + 27= 0.【解】 •••(x + 3)3 + 27= 0,「.(x + 3)3=— 27, x + 3= 3 — 27 = — 3 ,.•. x =— 6. &计算：A. 负数没有立方根C.任何一个实数必有立方根和平方根 2•—个数的立方根是它本身，那么这个数是A.1B.0 或 13. 估计68的立方根的大小在（C ）A.2与3之间B.3与4之间 4. — 8的立方根与9的平方根的积是（B ）A.6B. ±5. 如果a 2= 1,那么智=±.B. 任何实数都有立方根D •—个数的立方根有两个，它们互为相反数 （D ） C. — 1 或 1D.0 或 1 或—1C.4与5之间D.5与6之间C. — 6D.18⑵-3 216;(1)^0.064= 04;J__ — 127—二 3⑴原式=27+ Qo.OOl = |+ 0.1= 1.6.⑵原式=一 6.9. 把一个长、宽、高分别为 40 cm , 20 cm ,10 cm 的长方体铁块锻造成一个立方体铁块, 问：锻造成的立方体铁块的表面积是多少平方厘米？【解】 设这个正方体的棱长为 x(cm),则 x 3= 40X 20X 10= 8000,•••锻造成的立方体铁块的表面积是 6X I02= 2400(cm 2). 10.如果一个球的体积为原来的 8倍，那么它的半径为原来的多少倍？如果一个球的体积变4 为原来的27倍，那么它的半径变为原来的多少倍(球的体积公式为 V = 4n 3)?【解】 体积为原来的8倍时，半径为原来的 2倍；体积为原来的27倍时，半径为原来 的3倍.11. 下列等式中，正确的是 (C) A. 3 — 3 =一 3 — 3 B. 3 — 3 =药C.3 — 3 =一 33D.3 — 3 = 3一 3|【解】 互为相反数的立方根仍是互为相反数. 12. — 3 — 64的平方根是(C)【解】 一3 — 64=— 3 (— 4) 3=— (— 4)= 4, 4 的平方根是 ±2.Q _13. (1) V 64的平方根是__±.⑵若飯的平方根是 塑，贝y x = __64.请你用含有n(n 为大于2的自然数)的等式表示上述规律：3n + ^^7 = n 3孑土【解】B.2C. ±D.不存在14.观察下列等式:(3)若於的立方根是2,贝U x= 6415. (1)填表：(2) 由上表你发现了什么规律？用语言叙述这个规律；(3) 根据你发现的规律填空：①已知勺3〜1.442，则%.003~ _________ ;②已知^0.000456〜0.07697,则^456^ __________ ;⑷用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为0.456 m3，问：需要多大面积的铁皮(结果精确到0.1 m2)?【解】⑴从左往右依次填：0.1, 1, 10, 100.1⑵被开方数扩大(缩小)到原来的1000倍蔽，它的立方根扩大(缩小)到原来的10倍丄10 .(3)① 0.1442.② 7.697.⑷设正方体的边长是x(cm),3则x3= 0.456,.・.x = 0.456~ 0.7697 ,•••需要铁皮的面积为6x2= 6 X 0.76972~ 3.6(m2).16. 已知勾匚7和%—2x互为相反数，求y的值.【解】T引匚7和$1—2x互为相反数,• y—1和1 —2x互为相反数，• (y—1) + (1 —2x) = 0,挑战自我17.阅读理解：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志 上有一道智力题：求 59319的立方根，华罗庚脱口而出：39.众人惊奇，忙问计算奥妙.你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请按照下面的分析试一试：3 ___⑴由 103= 1000, 1003= 1000000，可知 3 59319是两位数； 3 ___(2) 由59319的个位数字是9,可知.59319的个位数字是9;3 ____(3) 如果划去59319后面的三位 319得到59,而33= 27, 43= 64,由此确定 59319的十 位数字是3;请应用以上方法计算： §19683 = _27__; $175616=56;引753571 = _91_.【解】 由题意得：题中所给出几个数的立方根都是两位数，根据题中所给的(2)可知：却19683, ^175616和^753571的个位数字分别为 7,6和1.T 19683去掉后3位得到19,175616 去掉后 3 位得到 175, 753571 去掉后 3 位得到 753, 23<19<33, 53<175<63, 93<753<103,•-引19683 , ^175616和勿753571的十位数字分别为 2, 5和9. •- 3 19683 = 27, 3 175616 = 56, 3 753571 = 91.••• y = 2x ,1 2.C . C.0.01536D . 0.04858D.1 16,125 的立方根是7.在无理数.5，,6，.. 7， 8中，其中在、8 1与261之间的有（）2 2A.1个B.2个C.3个D.4个8.—个正方体的体积为 28360立方厘米，正方体的棱长估计为（）自我测试1•下列说法不正确的是（ A. — 1的立方根是一 1 C. — 1的平方根是一1 2.下列说法中正确的是（B. — 1的平方是1 D.1的平方根是±1B.1的立方根是±1C.丄的立方根是 1366D. — 5的立方根是35数是（）4 ____ _________ _____________ 一，3 0.001 =°.1,3一 0.01 =0.1,— 3 ( 27)3 3 =—27,其中正确的个A.1B.2C.34.若 m<0, 则m 的立方根是（ ）A. _ mB. — 3mC. ±. m5.如果3 6 x 是x — 6的三次算术根，那么 x 的值为（A. 0B. 3C.5D.4D. 3 mD.6B. — ,5 — 13C.2D. — 2A.22厘米B.27厘米C.30.5厘米D.40厘米9•已知 23.6 4.858, 2.361.536，则•• 0.00236 的值等于(3.在下列各式中: 6.已知x 是5的算术平方根，则 x 2— 13的立方根是（11.—1的立方根是 8 3 x的值是（12. 3 8的立方根是 _________14.一3是 _________ 的平方根，一3是 _______ 的立方根.15•若3125 5，则&0.000125 _____16.将数3 3, 3 2, 3 5, 3 5, 1按从小到大的顺序排列为V5 ^5 \3 \217•若x<0，则，X2= _______ ,3 X3= ______.18. 若x=(3_____________ 5)3，则x1 = .19•求下列各式中的x.(1)125X3=8 (2)( —2+x) 3= —21620.已知第一个正方体纸盒的棱长为 6 cm，第二个正方体纸盒的体积比第个纸盒的体积大127 cm3,求第二个纸盒的棱长.《自我测试》参考答案1. C【思路分析】负数没有平方根，所以本题答案是C.2. D【思路分析】任何数都有立方根，且一个数的立方根只有一个，据此可以排除A,B两个选项；由于丄的算术平方根是丄，故C选项也是错误的.36 63. C【思路分析】由于3：21°=上，貉0~001=0.1, —3（ 27）3= —27,故本题答案是C.V 27 3 ' V4. A【思路分析】负数的立方根是负数，任意一个数a的立方根都表示成3a，故本题答案是A.5. D【思路分析】立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。

0的立方根是0。

本题中6 —x的立方根是它的相反数，只有0这种情况。

所以6 —x=0 ,所以x=6。

6. D【思路分析】由题意知x2=5，故x2—13= —8，—8的立方根是—2.7. D【思路分析】借助计算器计算知.5，■ 6, 7，8四个数都在1与26 12 2之间.8. C【思路分析】正方体体积的立方根就是正方体的棱长9. D【思路分析】开平方时，被开方数的小数点移动两位，结果的小数点向相同的方向移动一位，故本题答案是D.1 1 1410. B【思路分析】由题意可得x — =0和—x =0,得x= —，故3 x =—.8 8 8 2111. —1,5【思路分析】本题直接根据立方根的概念求解212.2【思路分析】38意为8的立方根，即2.13. 4【思路分析】3 611 = 3 64 4.5 \125 ・ 125 514.9, —27【思路分析】逆用平方根，立方根的概念求解.15.0.05【思路分析】开立方时，被开方数的小数点移动三位，则结果的小数点向相同的方向移动一位.16. 3 2< 3 3<1< 3 5< 3 5【思路分析】当x>0时,被开方数越大，立方根越大.\5V5 V3 3217. -c,x【思路分析】x2的算术平方根有两个，分别是x, —x,其中正的平方根是它的算术平方根，故其算术平方根是-x；根据立方根的概念可以判断3, x3=x.18.2【思路分析】x=( 3 5)3= —5,所以..x 1 , 4 2.19. (1) 125X3=8 ,x3—，即x=2；125 5⑵—2+x= —6,所以x= — 4.【思路分析】先把方程变成x3a的形式，然后求a的立方根即可.20. 设第二个纸盒的棱长为x,则可得x363127 ,可得x=7。

【思路分析】根据两正方体体积之间的关系把问题转化成方程的问题来求解。

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七年级数学立方根讲解

七年级数学立方根讲解

七年级数学立方根讲解在数学中，我们经常会遇到一些立方数，比如8、27、64等等。

那么，对于这些立方数，我们如何求出它的立方根呢？本文将为大家详细讲解七年级数学中的立方根知识点。

一、立方根的定义立方根是指一个数的立方等于该数的正整数根，例如，8的立方根是2，因为2=8。

二、立方根的求法1.手工计算法手工计算法是最基本的求立方根的方法，它的核心思想是试错法。

例如，求8的立方根，我们可以从1开始试，1=1，2=8，因此8的立方根是2。

但是，这种方法比较繁琐，而且对于大的数来说，很难手工计算出其立方根，因此我们需要更加高效的方法。

2.公式法公式法是一种比较高效的求立方根的方法，其核心公式如下：$$sqrt[3]{a}=sqrt[3]{frac{(a+b)^3-4b^3}{3a+3b}}$$ 其中，a为要求的数，b为一个适当的数。

例如，我们要求27的立方根，可以令b=1，代入公式中：$$sqrt[3]{27}=sqrt[3]{frac{(27+1)^3-4times1^3}{3times27+3ti mes1}}=sqrt[3]{28}$$然后，我们再次代入公式中，令a=28，b=2：$$sqrt[3]{28}=sqrt[3]{frac{(28+2)^3-4times2^3}{3times28+3ti mes2}}=sqrt[3]{9}$$因此，27的立方根为3。

3.近似法近似法是一种通过逼近来求解立方根的方法。

例如，我们要求8的立方根，可以从2开始，不断逼近真实的立方根。

具体步骤如下：（1）假设8的立方根为x，令x=2。

（2）计算x，得到8。

（3）将x加上8除以x的结果，即x=(x+8/x)/2，得到2.6667。

（4）重复以上步骤，直到x的值不再变化。

经过多次逼近，我们可以得到8的立方根为2.。

三、立方根的性质1.立方根的正负性由于立方是一个奇函数，因此立方根也是一个奇函数，即立方根的正负性与其所求的数的正负性一致。

七年级下数学《立方根》课件

七年级下数学《立方根》课件

力。
04
06 总结与回顾
本节课的主要内容回顾
立方根的定义
立方根是三次方的逆运算，即求一个 数的立方等于另一个数的数。
立方根的表示方法
使用“³√”符号来表示立方根，例如 ³√8=2。
立方根的性质
立方根具有非负性，即对于任何实数 x，其立方根³√x≥0。
开立方与乘方运算的关系
开立方是乘方运算的逆运算，即 a³=³√a³。
03 立方根的运算
立方根的求法
定义法
根据立方根的定义，如果$a^3 = b$，则$a$是$b$的立方根。
性质法
利用立方根的性质，如 $sqrt[3]{ab} = sqrt[3]{a} times sqrt[3]{b}$等，简化计算。
分解法
将一个数分解为几个因数的乘积， 再分别求立方根，最后相乘。
灵活运用
根据不同情况，选择合适 的运算方法和技巧，提高 计算效率。
04 立方根的应用
在日常生活中的应用
计算容积
在日常生活和工作中，经常需要 计算物体的容积，例如求一个容 器的体积，可以通过立方根计算
得出。
测量体积
在建筑、工程和地质等领域，需 要测量物体的体积，立方根可以
用来计算物体的体积。
计算面积
详细描述
立方根和平方根都是数学中的概念，但它们之间存在明显的区别。平方根是指一个数的二次方等于另一个数时， 这个数就是所求数的平方根。例如，如果x的二次方等于4，那么x就是4的平方根，即x=±2。而立方根则是三次 方的概念，表示一个数的三次方等于另一个数时，这个数就是所求数的立方根。
02 立方根的性质
七年级下数学《立方根》课件
目录
• 引言 • 立方根的性质 • 立方根的运算 • 立方根的应用 • 练习与巩固 • 总结与回顾
《立方根》 讲义

《立方根》 讲义

《立方根》讲义一、引入在数学的世界里，我们经常会遇到各种各样的运算和概念。

其中，立方根就是一个非常重要的概念。

它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们解开很多数学谜题。

想象一下，你有一个正方体，已知它的体积，想要知道它每条棱的长度，这时候立方根就派上用场啦。

二、什么是立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。

也就是说，如果 x³＝ a，那么 x 就是 a 的立方根。

例如，2³＝ 8，所以 2 是 8 的立方根；（－2)³＝－8，所以－2 是－8 的立方根。

为了方便表示，a 的立方根记作“＼（＼sqrt3{a}＼）”，读作“三次根号a”。

三、立方根的性质1、正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0。

这就像是正数乘以正数乘以正数还是正数，负数乘以负数乘以负数是负数，0 乘以任何数都是 0 一样。

2、立方根与立方互为逆运算。

就像加法和减法、乘法和除法互为逆运算一样，知道一个数的立方可以求出它的立方根，知道一个数的立方根也可以求出它的立方。

3、＼（＼sqrt3{a}＝＼sqrt3{a}＼）例如，＼（＼sqrt3{－8}＝＼sqrt3{8}＝－2\）4、＼（＼sqrt3{a^｛3}｝＝a\）这是因为一个数先立方再求立方根，结果还是这个数本身。

四、开立方运算求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

开立方与立方互为逆运算，可以通过立方运算来检验开立方的结果是否正确。

例如，求\（＼sqrt3{27}＼），因为 3³＝ 27，所以\（＼sqrt3{27}＝3\）。

五、立方根的估算在实际生活中，我们可能会遇到一些不是完全立方数的情况，这时候就需要对立方根进行估算。

比如，要估算\（＼sqrt3{50}＼）的大小。

因为 3³＝ 27，4³＝ 64，而 27 ＜ 50 ＜ 64，所以\（＼sqrt3{27} ＜＼sqrt3{50} ＜＼sqrt3{64}＼），即 3 ＜＼（＼sqrt3{50}＼）＜ 4。

七年级立方根知识点

七年级立方根知识点

七年级立方根知识点立方根，是指一个数的三次方根，可以用符号³√来表示。

在初中数学中，学生们需要学习求解正整数的立方根及其运用。

本文将介绍七年级立方根知识点，让学生们更好地掌握此方面的知识。

一、什么是立方根？在初中数学中，我们所说的立方根是指一个正整数的三次方根。

例如，27的立方根是3，因为3³=27。

我们可以通过“³√”符号来表示一个数的立方根。

例如，³√27=3。

二、立方根的计算方法在求解正整数的立方根时，最简单的方法是试错法。

即从小到大依次试探每一个数，找出符合条件的整数。

但这种方法比较耗时费力，不太实用。

下面介绍一种更科学的计算方法——牛顿迭代法。

1. 牛顿迭代法概念牛顿迭代法，又称牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解方程的数值方法。

该方法基于泰勒展开式，使用迭代的方法逐步逼近方程解。

在求解正整数的立方根时，我们可以使用牛顿迭代法来计算。

2. 立方根的牛顿迭代法公式我们可以用如下公式计算一个数的立方根：Xn+1 = [（2 × Xn） + a/（Xn²）]/3式中，Xn和Xn+1分别代表两次迭代的结果，a代表要求的数。

例如，我们要计算27的立方根，可以采用如下迭代过程：首先，我们选择一个初始值X0，例如X0=3。

将X0代入公式中，求出X1的值：X1 = [（2 × X0） + 27/（X0²）]/3 =（2 × 3 + 27/9）/3 =2.3333接下来，再将X1代入公式中，求出X2的值：X2 = [（2 × X1） + 27/（X1²）]/3 =（2 × 2.3333 + 27/5.4443）/3 =3依次类推，我们可以计算出27的立方根约为3。

三、立方根的应用立方根在许多实际问题中都有广泛的应用。

例如，我们可以通过立方根来计算立方体的体积，计算水的输送量，计算三角形边长等。