初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题11 设元的技巧

初一数学基础知识讲义第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。

(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。

也可以写成：()()() ||0a aa aa a⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。

脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。

这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。

例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ C ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。

这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。

虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。

例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。

初一数学基础知识讲义第一讲 和绝对值有关的问题一、 知识结构框图：数二、 绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。

(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。

也可以写成： ()()()||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

三、 典型例题例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ）A ．-3aB ． 2c －aC ．2a －2bD ． b解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。

脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。

这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。

例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ C ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：1)1(+=--x x 201020081861641421⨯++⨯+⨯+⨯ 所以 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。

这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。

虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。

第十一讲 立体图形与平面图形※ 知识纵横§4.1 生活中的立体图形1、常见立体图形（1）柱体：棱柱、圆柱；（2）锥体：棱锥、圆锥；（3）球体；（4）台体：棱台、圆台. 2、生活中立体图形的异同3、立体图形的表面积和体积（1）圆柱、棱柱：h S V 底=；（2）圆锥、棱锥：h S V 底＝31；（3）球体：24r S π=表面，334r V π=. 4、多面体：每个面都是平面的立体图形叫多面体. 5、欧拉公式：对于多面体有：面数+顶点数-棱数＝2 §4.2 画立体图形 1、视图法从正面、上面和侧面（左面或右面）三个不同的方向看一个物体，描绘三张所看到的图，叫视图. 从正面看到的图形称为正视图；从上面看到的图形称为俯视图；从侧面看到的图形称为侧视图，依方向不同有左视图、右视图. 2、视图对物体特征的描绘正视图：上下、左右（长、高）；俯视图：前后、左右（长、宽）；侧视图：上下、前后（宽、高）. 3、画立体图形的注意事项正、俯视图长对正，正、左视图高平齐，侧、俯视图宽相等. 4、由视图到立体图形（1）给合视图对物体特征的描绘来判断物体的长宽高、上下左右前后关系； （2）以俯视图为基础，结合正视图和侧视图分别判断各位置的情况，从而确定物体. §4.3 立体图形的表面展开图1、沿立体图形的一些棱将它剪开，并将其展开得到的平面图形叫立体图形的表面展开图. 注意：（1）同一个立体图形，按不同的棱剪开，可得到不同的表面展开图；（2）表面展开图的基本平面图形的个数与立体图形的面数是相同的 （3）不同的立体图形的表面展开图是不一样的；（4）不是所有的立体图形都能展成平面图形. 2、判断立体图形表面展开图的方法（1）抓住各立体图形的特征：形状、面数；（2）确定底面，沿不同的方向折叠，不重合、不空缺，形成封闭立体图形. §4.4 平面图形1、平面图形：就是在一个平面内组成的图形，大多为二维图形.2、基本的平面图形圆：由曲线围成的封闭图形；多边形：由线段围成的封闭图形.按照组成多边形的边数，多边形可分为三角形、四边形、五边形、六边形……另外，多边形也可分为凹多边形与凸边形.注意：（1）在同一平面,且不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连结且不相交所组成的封闭图形叫做多边形；（2）初中阶段我们主要研究凸边形（整个图形只总在过任一条边的直线的一侧）. 3、三角形与多边形的关系三角形是最简单的多边形，所有的多边形都可看作是由三角形组成的，任意一个多边形都可分割成若干个三角形.分法不同，分得的三角形的个数也不同.例如：过n边形的一顶点，连接不相邻的顶点，可将多边形分割成)2(-n 个三角形.过n 边形的一边上任意一点(顶点除外)，连接不相邻的顶点，可将多边形分割成)1(-n个三角形. 过n 边形内任意一点，连接多边形各个顶点，可将多边形分割成n三角形. 4、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.多边形对角线的条数：过n边形的一个顶点可以作条对角线；n 多边形一共有条对角线. 5、多边形的内角和公式：n 边形的内角和为.※典例剖析【例1】指出下列图形的名称：（1） （2） （3） （4）（5） （6）（7）） （8） （9） （10） （11） （12） 其中柱体有： ； 锥体有： ；棱柱有： ；棱锥有： ； 【例2】（1）五边形的内角和是 ，对角线条数是 条；(2)小明在计算一个多边形的内角和时少算了一个内角，得到的答案为2750°，你知道这个多边形的边数吗？小明少算的那个角的度数是多少度？4651-2【例3】画出下列立体图形的三视图.【例4】用若干个小立方块搭的几何体的主视图和俯视图如图所示. 你能说出搭成这样的几何体需要多少个小正方体？请画出它的一种左视图，并指出此时需要多少个小正方体？主视图俯视图※培优训练1、一个多面体有12条棱，6个顶点，则这个多面体是面体．2、用刀切一个正方体，截面形状状可能是.3、右图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这个几何体中小正方体的个数是.4、如图，其中是正方体的表面展开图的是（）.A B C D4、如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为1的面与其对面上的数字之积是（）.A、-2．B、0．C、4．D、6．5、一个四边形切一刀后变成（）.A、四边形B、五边形C、四边形或五边形D、三角形或四边形或五边形6、如下图左边的平面图形，可折成的正方体是（）7、如图一是标有1、2、3、4、5、6数字的正方体的三种不同的摆法，这三个正方体左面的数字之和是；主视图左视图俯视图312 23 4163后面的数字之和是；下面的数字之和是 .※能力拓展题组一：1、桌面上放着一个长方体和一个圆柱，如下图左，其左视图是（）2、如图一是一个多面体的表面展开图，每个面上都标注了数字，请按要求回答问题.（1）如果1在多面体的底部，那么在上面；（2）如果3在前面，6在上面，那么在右面；（3）如果6在右面，5在后面，那么在上面.3、已知右图是一个正方体的表面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面，则“祝”表示正方体的面；“你”表示正方体的面；“前”表示正方体的面.题组二：1、现有一个用正方体小木块搭建成的图形，它的三视图如右图所示，请你观察它由块小木块组成.2、桌上摆有一些大小相同的正方体木块，俯视图、左视图如右图所示，摆出这样的图形最少需要块正方体木块；最多需要块正方体木块.3、桌上摆有一些大小相同的正方体木块，主视图、左视图如右图所示，摆出这样的图形最少需要块正方体木块；最多需要块正方体木块.4、如图是用大小相等的正方体搭成的一个立体图形的三视图，请根据三视图回答下列问题.（1）该立体图形由个正方体构成；（2）若只看俯视图和左视图，则立方体最少可以有个正方体；（3）若只看俯视图和正视图，最多有个正方体；（4）若只看正视图和左视图，最多有个正方体.题组三：1、一个长方体的长、宽、高分别为9cm、6cm、5cm，先从这个长方体上尽可能大地切下一个正方体，再从剩余部分上尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次的剩余部分上尽可能大地切下一个正方体，那么经过三次切割后剩余部分的体积为3cm.2、一个画家有14个边长为1米的正方体，他在地面上把它摆成如图的形状，然后把它露出的表面都染上颜色，那么被他染上颜色的面积有平方米.3、如图是由五个相邻的正方形组成一个长方形，要把它剪拼成一个正方形，应该怎样剪拼？请用125364程前你祝似锦左视图左视图正视图左视图俯视图虚线画出剪开的位置，并画出拼出的图形.。

初一数学竞赛辅导讲义一次方程(组)与二元一次不定方程本讲就解一次方程（组）与二元一次不定方程的基本方法和技巧作些简单介绍。

一、一次方程（组）解一元一次方程的一般步骤是去分母，去括号，移项，合并同类项，两边同除以未知数的系数。

任何一个一元一次方程最终都可以化为ax b =的形式。

解方程的根据是方程的同解原理。

如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫同解方程。

1． 方程两边都加上（减去）同一个数（或同一个整式），所得的方程与原方程是同解方程。

2． 方程两边都乘以（除以）同一个不等于0的数，所得的方程与原方程是同解方程。

例1．解下列个方程（1）()()()()11323327322337x x x x ---=---（2）()14335190.50.125x x x +++=+ （3）3421424904532x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫--+-=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭例2．是否存在这样的a 值，使当1b =时，关于x 的方程()()322387a x b x x -+-=-有无数多个解？例3．关于x 的方程1x ax =+同时有一个正数解和一个负数解，求a 的值。

例4．关于x 、y 的两个方程组2227ax by x y -=⎧⎨-=⎩和359311ax by x y -=⎧⎨-=⎩具有相同的解，求a 、b 的值。

例5．已知()()()()()()22219992000200101999200020012000x y y z x z x y y z z x -+---=⎧⎪⎨-+-+-=⎪⎩求z y -的值。

二、二元一次不定方程如果一个方程（组）中，未知数的个数多于方程的个数，则把这种方程（组）叫做不定方程（组）。

例如，二元一次方程3215x y +=是不定方程；三元一次方程组11426x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩是不定方程。

不定方程（组）的解是不确定的。

一般不定方程总有无数穷多个（组）解，但若加上整数（或正整数）解的限制，则不定方程（组）的解三种都有可能：有无穷组解，或有限组解，或无解。

专题11 设元的技巧例1 248提示设该书有页，则可列方程()6369290399=+⨯+⨯-x ，解得=248页.例2 B 提示设9月份每件冬装的出厂价为元，9月份销售冬装m 件，则%825.025.08.115.0=-⨯xmxm m x . 例3设总票数为a 张，六月份零售票应按每张元定价，则ax a a a 61156438524+=+，解得=19.2元. 例4 (1)应收水费()()48105.128610462=-⨯+-⨯+⨯元.(2)设三月份用水量为3xm ，则四月份用水量为(15-) m 3.若≤6,15-≤10时，则()[]446154622=--+⨯+x x ，解得，=2(舍去);若≤6,15->10时，则()[]441015844622=--+⨯+⨯+x x ，解得 =4; 若>6，由题意知<10，则15一 <10,则()()[]441546264-62=--+⨯+-⨯⨯b x x ，无解. 所以三月份用水43m ，四月份用水113m .例5 42圈 提示：设A ，B ，C 三个微型机器人的速度分别为u ，v 和w ，圆形轨道周长是S ，则Su －v ＝2,S u －w ＝2.5,即S 2＝u －v ,S 2.5＝u －w .∴w －v ＝S 2－S 2.5＝S 10…..①.又有10w 10v ＝32……②．解①和②，得v ＝S 5……③，代入S 2＝u －v 中，得u ＝7S 10,7S 10×60＝42S ． 故第一分钟时，A 围绕这个圆形轨道运动了42圈．例6 (1)设牧场原有草量为a ，每天生长出的草量为b ，每头牛每天吃草量为c ，16头牛天吃完草，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6b ＝24×6c ①a ＋8b ＝21×8c ②a ＋bx ＝16cx ③． ②一①得b ＝12c ④，③一②得(－8)b ＝（16－168）c ⑤，将④代人⑤得（一8）•12c ＝(16－168)c ，解得＝18.(2)设至多放牧y 头牛，牧草才永远吃不完，则有cy ≤b ，即每天吃的草不能多于生长的草，y ≤b c＝12．A 级1. 992. 142 857 提示：设abcde ＝，则3(100 000＋) ＝l 0＋1，解得＝42 857．故这个六位数为142 857.3. 800 提示：设该商品的原定价为元，由题意有：9.510－150＝7.510＋50，解得＝1000. 故该商品每件的进价为1000×7.510＋50＝800元． 4. 30. 40 43 提示：(1)注意，到15千米时刚好跳表，所以要加上2.4元，不要漏了．(2)设所行路程为公里，则2.40×(－15)＋28.00＝ 95.20.5．C 6．B7．B 提示：设分别有男、女同学，y 人，则15y ＝6(＋y )，＝32y ．则男同学完成每人应植树6(＋y )÷＝10棵．8. D9．设所切下的合金重量为千克，重6千克，4千克的合金含银的百分数分别为a ，b (a ≠b )，bx ＋(b －x )a 6＝ax ＋(4－x )b 4，解得＝2.4．10．(1)设单价为8元的课外书为本，由8＋12(105－)＝1500－418，解得＝44.5（不合题意），所以陈老师肯定弄错了．(2)设单价为8元的课外书为y 本，笔记本的单价为a 元，则8y ＋(105－y )×12＝1500－418－a ,即178＋a ＝4y ，178＋a 应被4整除，a ＝2，4，6，8，经讨论a ＝2或6．B 级1. 1 6 提示：设吴姓住户订有种报纸，报纸F 在这幢楼里有y 家订户，其中，y 为≥1，y ≤6的整数，由题意得2＋2＋4＋3＋5＋＝1＋4＋2＋2＋2＋y ，解得＝1，y ＝6．2. 1：4提示：设原计划贿买钢笔支，圆珠笔y 支，圆珠笔的价格为元，由题意得（2＋y ）×(1＋50%)＝2y ＋，解得y ＝ 4..3. 1004. 307 692 提示：设“神舟十号”＝A ，“飞天”＝B ，则3×(100A ＋B )＝10000B ＋A ，得23A ＝ 769B ．又(23，769)＝1，故B ＝23n ，A ＝769n ，n 为自然数且2≤n ≤4．经讨论n ＝4可行，从而A ＝3076，B ＝92．5．C 提示：设A 港到B 港路程为S ，静水速度和水流速度 分别为V 船，V 水．则SV 船＋V 水＝6……①，S V 船―V 水＝8……②，则6(V 船＋V 水)＝8（V 船―V 水），得V 船＝7V 水．把V 水＝17V 船代入①中'得S V 船＋17V 船＝6，故S V 船＝667. 6．C7. 143 提示：设C ，D 的边长为，则E ，F ，B 的边长分别为＋1，＋2，2－1，由题意得(＋1)＋(＋2)＝＋（2－1），解得＝4．也可用＋3表示出B 的边长，则＋3＝2－1，更易求得＝4.8．设自行车行驶了 m 后，互换前、后轮胎再行驶，致使两只轮胎同时报废，因此，前轮胎还可行驶(5000－)m ．后轮胎还可行驶(3 000－)m.当前后轮胎互换后，还可行驶，并有(5000－)×35＝(3000－)×53．解此方程，有（53一35）＝2000，解得＝1875．这就是说，当自行车行驶了1875m 后，互换前后轮胎，这样还可行驶（5000－1875）×35＝1875 m ．故最多可行驶3750 m. 9．设流水的速度为米3／分，池塘原有水y 米3，每台A 型抽水机抽水效率为米3／分，三台A 型抽水机需t 分钟把池塘中水抽完，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋60x ＝60z ①y ＋20x ＝40z ②y ＋tx ＝ 3tz ③． ②一①,得－＝2－…..④③一②,得(20－t )＝(40－3t )……⑤，④代入⑤得t ＝12分钟．。

七年级数学下思维探究-怎样设元（有答案）李善兰（- ），晚清中国杰出的数学家，在西方传教士的帮助下，翻译了大量科学著作，如《几何原本》后九卷、《代数学》等．不仅向中国学者介绍了西方数学知识，还创立了许多型概念、新名词、新符号，如代数学、方程式、函数、微分等．除翻译西方名著外，李善兰也有多种自己的著作，如《方圆阐幽》、《对数探》、《弧矢启密》等，为中国数学的发展作出了卓越的贡献．7．怎样设元解读标荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔说：“与其说学习数学，倒不如说学习“数学化”方程就是将众多实际问题“数学化”的一个重要模型．在运用一元一次方程解决实际问题的过程中，设立未知数是首要环节，不同的设法列出的方程有的简单，有的复杂，故在设未知数时需有所选择，设元的基本方法有：1．直接设元即问什么设什么．2．间接设元即所设的不是所求的，需要将要求的量以外的其他量设为未知数，便于找出符合题意的等量关系．3．辅助设元有些应用题隐含一些未知的常量，若不指明这些量的存在，则难求其解，故需把这些未知的常量设出未知数，作为桥梁帮助分析．4．整体设元若在未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知数，从而减少设元的个数．问题解决例1 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为，那么这个长方形色块图的面积为_____________．试一试要求长方形的面积需求出各正方形的边长，为便于求出长方形长与宽，故不宜直接设元，由于个正方形边长有一定的依存关系，所以，可以从间接设某个正方形边长入手．例2 植树节时，某班平均每人植树棵．如果只由女同学完成，每人应植树棵；如果只由男同学完成，每人应植树（）棵．A．B．．D．试一试略例 3 某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张元，共售出团体票数的；零售票每张元，共售出零售票数的一半，如果在六月份内，团体票按每张元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？试一试票款与票数、票价有关，既要用字母表示六月份零售价，又要用字母表示总票数．例4 某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁年，年期满后由开发商以比原商铺标价高的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中作出选择：方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的．方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，年后每年可获得的租金为商铺标价的，但要缴纳租金的作为管理费用．（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：）（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么年后两人获得的收益将相差万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？试一试在阅读理解的基础上通过设元解决问题．例某车站在检票前若干分钟就开始排队，排队的人数按一定的速度增加．如果开放一个检票口，则要分钟检票口前的队伍才消失；如果同时开放两个检票口，则分钟队伍就消失．设检票的速度是一定的，问同时开放三个检票口，队伍要几分钟就消失？分析与解未知量有以下几个：检票开始时，等候检票的队伍人数；每个检票口每分钟检票的人数；队伍每分钟增加的人数，只有指明这些量，才能表示等量关系．设检票开始时，等候检票的队伍有人，每个检票口每分钟检票人，队伍每分钟增加人，则，，消去，得，．故同时开放三个检票口，等候检票的队伍消失的时间是：（分钟）．纪念大师例6 瑞士数学家欧拉（．，- ）是历史上最多产的数学家，据统计他一共写了本（篇）书籍和论．著名数学家拉普拉斯说过：“读读欧拉，他是我们所有人的导师．”是啊，欧拉在数学上的贡献实在太多了，即使在初等数学中也到处可见他的身影，下面问题是欧拉的数学名著《代数基础》中的一个问题．有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子这样分他的财产：第一个儿子分得克朗和剩下财产的十分之一；第二个儿子分得克朗和剩下财产的十分之一；第三个儿子分得克朗和剩下财产的十分之一……按这种方式一直分下去，最后每一个儿子所得财产一样多．问这位父亲共有几个儿子？每个儿子分得多少财产？这位父亲共留下多少财产？分析根据设未知数和思路的不同，可得多种解法．解法1 设有个儿子，则最后一个儿子分得克朗，倒数第二个儿子先得到克朗，又得到“余下的”，即留给最后一个儿子的是余下的，故这个“余下的”也是最后一个儿子钱数的．由最后两个儿子分得钱数相等，得方程，解得．所以这位父亲共有个儿子，每人分得财产（克朗），留下（克朗）财产．解法2 设每个孩子分得的财产是，总的财产是，则根据题意，第一个孩子分得的财产是：，第二个孩子分得的财产是：，第三个孩子分得的财产是：，依此类推，可以看出，老大与老二（老二与老三，老三与老四等都一样）的差额是．根据题意，这个差数应当是，于是得出一元一次方程：．解之，得，于是．经过验证，每个孩子确实都分得元，即第二、三、四……个方程都满足（个）．所以这位父亲有个孩子，他共有财产克朗，每人分到克朗．数学冲浪知识技能广场1．古希腊数学家帕普斯是丢番图最得意的一个学生，有一天他向老师请教一个问题：有个数，把其中每个相加，其和分别为，，，，则这四个数分别是____________．2．一个六位数的倍等于，则这个六位数等于_____________．3．个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出，若报出的数如图所示，则报的人心里想的数是______________．4．学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过元，不享受优惠；②一次性购书超过元但不超过元，一律打九折；③一次性购书超过元，一律打八折．如果小明一次性购书付款元，那么小明所购书的原价一定为（）元．A．B．．或D．或．一服装标价元，若以折销售，仍可获利，则这服装的进价是（）．A．元B．元．元D．元6．某种产品是由种原料千克、种原料千克混合而成，其中种原料每千克元，种原料每千克元，后调价，种原料价格上涨，种原料价格减少，经核算产品价格可保持不变，则的值是（）．A．B．．D．7．陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共本，单价分别为元和元，买书前我领了元，现在还余元．”王老师算了一下，说：“你肯定搞错了．”（1）王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；（2）陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于的整数，笔记本的单价可能为多少元？8．燃蜡时间问题（英国）在伦敦的一个大雾天，一家商店的店主叫店员点燃两支长度相同的蜡烛，这两支蜡烛的一支可维持个小时，另一支可维持小时．雾散后，店主吹蜡烛，发现其中一支剩下的长度是另一支剩下长度的倍，问蜡烛点燃了多长时间？9．体育化用品商店购进篮球和排球共个，进价和售价如下表，全部销售完后共获利润元．篮球排球进价/（元/个）售价/（元/个）（1）购进篮球和排球各多少个？（2）销售个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？思维方法天地10．某班全体学生进行了一次篮球投篮练习，每人投球个，每投进一个球得分，得分的部分情况如表所示：已知该班学生中，至少得分的人的平均得分为分，得分不到分的人的平均得分为分，那么该班学生有_____________人．11．一轮船从甲地到乙地顺流行驶需小时，从乙地到甲地逆流行驶需小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需___________小时．12．下边算式中，每个汉字代表个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神” ，那么被乘数是___________．13．从两块分别重千克和千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是（）．A．千克B．千克．千克D．千克14．某校初一、初二两个年级学生的人数相同，初三年级的学生人数是初二年级学生人数的，已知初一年级的男生人数与初二年级的女生人数相同，初三年级男生人数占三个年级男生人数的，那么三个年级女生人数占三个年级学生人数的比是（）A．B．．D．1．某商品原价为元，春节促销，降低，如果节后恢复到原价，则应将现售价提高（）A．B．．D．16．将下表的方格中的个方格填入不同的数字，使得每行、每列、每条对角线上的个数宇之和都相等．问：表中左上角的数字是多少？17．某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）．月使用费/元主叫限定时间/分主叫超时费/（元/分）被叫方式一免费温馨提示：若选用方式一，每月固定交费元，当主动打出电话月累计时间不超过分，不再额外交费；当超过分，超过部分每分加收元．设一个月内使用移动电话主叫的时间为分（为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：（1）用含有的式填写下表：（2）当为何值时，两种计费方式的费用相等；（3）当时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）．18．为了改善城乡人民生产、生活环境，我市投入大量资金，治理竹皮河污染，在城郊建立了一个综合性污水处理厂．设库池中存有待处理的污水吨，又从城区流入库池的污水按每小时吨的固定流量增加．如果同时开动台机组需小时处理完污水，同时开动台机组需工小时处理完污水．若要求在小时内将污水处理完毕，那么要同时开动多少台机组？应用探究乐园19．某农民在农贸市场卖鸡．甲先买了总数的一半又半只，然后乙买了剩下的一半又半只，最后丙买了剩下的一半又半只，恰好买完．问该农民一共卖了多少只鸡？20．如图，长方形、、的长与宽的比相同，长方形与的面积比是，长方形的周长是，求长方形的面积．&#819;7．怎样设元问题解决例1 设、的边长为，则、、的边长分别为，，，由题意得：，解得．例2 B设男、女同学分别有、人，则，，则只由男同学完成每人应植树．例3 设总票数为张，六月份零售票应按每张元定价，由题意得，解得（元）．例4 （1）设商铺标价为万元，则按方案一购买，则可获投资收益，投资收益率为．按方案二购买，则可获投资利益．投资收益率为．投资者选择方案二所获得的投资收益率更高．（2）设甲投资了万元，由题意得，解得，甲投资了万元，乙投资了万元．数学冲浪1．，，，设四个数的和为2．3．提示：设报的人心里想的数是，报的人心里想的数应是．于是，报的人心里想的数是，报的人心里想的数是，报的人心里想的数是，报的人心里想的数是，由，得．4．．A6．7．（1）设单价为元的外书为本，由，得（不合题意），所以陈老师肯定搞错了．（2）设单价为元的外书为本，笔记本的单价为元，则，即，应被整除，，，，，经讨论或．8．设蜡烛点燃了小时，蜡烛的长度为厘米，由，得小时．9．（1）个，个（2）个10．设共有人，由，得．11．12．设“神舟五号” ，“飞天” ，则，，，故，，为自然数，，得，从而，．13．B 设切下的每一块合金重克，千克、千克的合金含铜的百分比分别为、，则，整理得．故．14．设初一年级学生人数为，男生人数为，可求得初三年级男生人数为，所求比为：．1．16．17．（1）当时，方式一：；当时，方式一：；方式二：．（2）当时，，当两种计费方式的费用相等时，的值在取得．列方程，解得．当主叫时间为分钟，两种计费方式的费用相等．（3）方式二．18．设台机组每小时处理污水吨，要在小时内处理污水，需开台机组，则由①、②得．代入③，得．19．设该农民一共卖了只鸡，则，解得．20．设，，则，，可得，，，由，得，长方形的面积为．&#819;7．怎样设元问题解决例1 设、的边长为，则、、的边长分别为，，，由题意得：，解得．例2 B设男、女同学分别有、人，则，，则只由男同学完成每人应植树．例3 设总票数为张，六月份零售票应按每张元定价，由题意得，解得（元）．例4 （1）设商铺标价为万元，则按方案一购买，则可获投资收益，投资收益率为．按方案二购买，则可获投资利益．投资收益率为．投资者选择方案二所获得的投资收益率更高．（2）设甲投资了万元，由题意得，解得，甲投资了万元，乙投资了万元．数学冲浪1．，，，设四个数的和为2．3．提示：设报的人心里想的数是，报的人心里想的数应是．于是，报的人心里想的数是，报的人心里想的数是，报的人心里想的数是，报的人心里想的数是，由，得．4．．A6．7．（1）设单价为元的外书为本，由，得（不合题意），所以陈老师肯定搞错了．（2）设单价为元的外书为本，笔记本的单价为元，则，即，应被整除，，，，，经讨论或．8．设蜡烛点燃了小时，蜡烛的长度为厘米，由，得小时．9．（1）个，个（2）个10．设共有人，由，得．11．12．设“神舟五号” ，“飞天” ，则，，，故，，为自然数，，得，从而，．13．B 设切下的每一块合金重克，千克、千克的合金含铜的百分比分别为、，则，整理得．故．14．设初一年级学生人数为，男生人数为，可求得初三年级男生人数为，所求比为：．1．16．17．（1）当时，方式一：；当时，方式一：；方式二：．（2）当时，，当两种计费方式的费用相等时，的值在取得．列方程，解得．当主叫时间为分钟，两种计费方式的费用相等．（3）方式二．18．设台机组每小时处理污水吨，要在小时内处理污水，需开台机组，则由①、②得．代入③，得．19．设该农民一共卖了只鸡，则，解得．20．设，，则，，可得，，，由，得，长方形的面积为．。

全国初中数学竟赛辅导讲义修订(2)二元一次方程组解的讨论甲内容提要1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。

（∵两个方程等效） ② 当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解。

（∵两个方程是矛盾的） ③ 当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。

3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。

（见例2、3）乙例题例1. 选择一组a,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解解比例得a=10, c=14。

② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。

解得a=10, c ≠14。

③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解，即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。

例2. a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=23152331a y a x ∵⎩⎨⎧>>00y x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-0231502331a a解不等式组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><531331a a 解集是6311051<<a 答：当a 的取值为6311051<<a 时，原方程组的解是正数。

列方程解应用题—设元的技巧姓名： 日期：【知识要点】的条件来确定（1）直接设元：对未知元的选择，将要求的量设为未知数； （2）间接设元：将要求的量以外的其它量设为未知数（即所设的不是所求的，而更易找出符合提议的数量关系）；（3为参数，以便建立等量关系，称此为辅助设元.【典型例题】例1、张先生于2002年7月8日卖入1998年中国工商银行发行的5年期国库券1000元.回家后他在存单的背面记下了当国库券于2007年7月8日到期后他可获得的利息数为390元，若张先生计算无误的话，求该国库券的利率是多少？例2、《1001夜》中有一个绝妙的谜语：一群鸽子，飞过一棵高高的树，一部分鸽子落在树上，其他的停在树下，一直落在树上的鸽子对树下的鸽子说：“倘若你们飞一只上来，你们的数目就使整个鸽群的31；倘若我们飞一只下去，我们的数目恰好和你们相同啦”猜猜有多少只鸽子在树上？有多少只鸽子在树下？例3、甲、乙、丙、丁四个数之和等于-90，甲数减-4，乙数加-4，丙数乘-4，丁数除以-4彼此相等，求四个数中最大的一个数比最小的一个数大多少？例4、某班参加一次智力竞赛，共a、b、c 三题，每题或者得满分或者得0 Array分。

其中题a满分20分，题b、题c满分分别为25分。

竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有一人，答对其中两道题的有15人。

答对题a的人数与答对题b的人数之和为29；答对题a的人数与答对题c的人数之和为25；答对题b的人数与答对题c的人数之和为20。

问这个班平均成绩是多少分？例5、游泳者在河中逆流而上，于桥A下面将水壶遗失被水冲走，他继续向前游了20分钟后，才发现水壶遗失，于是立即返回追寻水壶.在桥A下游距桥A2千米处追到了水壶.那么流的速度是每小时多少千米？例6、从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等.问切下的一块重是多少千克？【练习与拓展】1、某商店将某种超级VCD按进价提高35％，然后打出“九折酬宾，外送50元出租车费”的广告，结果每台超级VCD仍获得208元，那么每台超级VCD的进价是多少元？2、甲乙两市相距55公里.王鸣同学从甲市出发去乙市，先步行了25公里，接着改骑自行车，速度提高了1倍，到达乙市后，他发现行程中步行的时间比骑自行车用的时间多1小时.求王鸣同学步行的速度是多少公里/小时.3、小明现在坐在公共汽车，忽然发现一个小偷向相反方向步行，10秒钟后他下车去追小偷，如果其速度比小偷快一倍，比汽车速度慢54，那么追上小偷要多少秒？4、一个长方形（如下图）恰分成六个正方形，其中最小的正方形面积是1平方厘米.求这个长方形的面积.5、某一缝纫师做成一件衬衣、一条裤子、一件上衣所用的时间之比1：2：3.他用十个工时能做2件衬衣、3条裤子和4件上衣.那么他要做成14件衬衣，10条裤子和2件上衣，共需多少工时？6、甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两第三次相遇，已知每秒钟甲比乙多行0.1米，那么两人第三次相遇的地点与点A沿跑道上的最短距离是多少米.7、某市2003年人均住房面积为7.29m2,若两年后人均住房面积要增加到9m2,而人口增长率为0.1％，求这两年中该市每年住房面积应增加百分之几？8、山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量相同）不停地向池塘流淌.现池塘有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完；若用两台A型抽水机则20分钟正好把池中水抽完.问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？设元的技巧课后作业姓名：家长签名：1、学校到县城有28千米，除乘汽车之外，还需步行一段路，汽车的速度是36千米/小时，步行的速度是4千米/小时，行全程共需1小时，则步行所用的时间为大多少小时2、某市举行自行车环城赛，每圈长12千米，已知选手甲与选手乙的速度比为5:7，两人同时同地同向出发后，2小时30分钟第一次相遇，问乙比甲每分钟快多少千米？3、某校初一、初二、初三各年级的学生数相同，已知该校的初一的男生数与初二的女生数相同，初三男生占全校男生的83，求全校女生数与全校学生数之比.4、某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行12小时，再换骑自行车行9小时，恰好到达乙地。