曲面论曲面上曲线的曲率(六)

，其





中 为曲线(C)在 P 点的主法 向量 与曲面在 P 点的单位
法向量 n 的夹角。
证 设 , 为曲面上曲




P



n
线 (C) ： r r ( s) 在 P 点 的 单 位 切 向 量 与 主 法 向 量 ， 则 , r ,r r n n cos 。
C
(C )
C0
(C0 )
习题：P114 4, 5 思考：6
24
微分几何教案（十四）
曲面的第二基本形式：3.2—3.3
3.3 杜邦（Dupin）指标线 一 杜邦（Dupin）指标线定义 定义 设曲面 S； r r (u, v) ，P 为 S 上一点。对 S 在 P 的一个切

方向 (d ) =du:dv ,设 n 为对应方向（d）的法曲率。在 P 点的切平面上 沿方向（d）画一线段 PN,使其长度等于
例 马鞍面 r {u , v, u 2 v 2 } 在原点处的 L=2, M=0, N= 2 , 故在原
点的杜邦指标线方程为 2( x 2 y 2 ) 1 。
三 曲面上的点按杜邦指标线的分类 设 P 点的杜邦指标线是 Lx 2 2 Mxy Ny 2 1 1 如果 LN M 2 0 ，则点 P 称为曲面的椭圆点。这时杜邦指标线 是一椭圆。 注：按二次曲线的不变量 判 断 ， 曲 线 为 椭 圆
微分几何教案（十四）
曲面的第二基本形式：3.2—3.3
3.2 曲面上曲线的曲率 上面介绍了曲面的第二基本形式， 它是曲面到其切平面有向距离 的 2 倍，它刻画了曲面的弯曲性。曲面在一点沿不同方向弯曲程度不 同，或说曲面离开切平面的速度不同。这个弯曲性可由曲面在一点沿 这个方向的一种曲率（即法曲率）来刻画。为介绍法曲率，我们先看 曲面上的曲线在一点的曲率。 一 曲面上任一曲线的曲率 设 C 2 类曲面 S： r r (u, v) ，P(u,v)为其上一点，S 上过 P 点的一曲 线（C）方程为 u=u(s),v=v(s) ，或 r r ( s) r [u ( s), v( s)] ，S 为曲线(C) 的自然参数， (C)在 P 点的曲 率为 k，则有 cos
n
当 法 截 线 向 n的 正 侧 弯 曲 0 0 当 法 截 线 向 n的 反 侧 弯 曲
；
注：1. 由定义及 0 ，得 n
2. n 的绝对值是法截线的曲率 0 。 n 不仅刻画了曲面在 P 点 沿方向 du:dv 的弯曲程度，还说明了弯曲的方向：曲面向正侧弯曲时
21
微分几何教案（十四）
曲面的第二基本形式：3.2—3.3
的， 曲线(C)在 P 点的密切平面与曲面的交线就与(C)在 P 点有相同的 切线和主法线,所以曲率相同。因此对于曲面曲线曲率的研究可以转 化为这曲面上一条平面截线的曲率的讨论。 所以这一小结讨论的是曲面在一点沿一方向的不同曲线， 曲面离 开切平面的速度。 二 曲面上法截线的曲率
2
，由于 x:y=du:dv,带入
上式得杜邦指标线方程： Lx 2 2 Mxy Ny 2 1 ，其中 L,M,N 与曲面
25
微分几何教案（十四）
曲面的第二基本形式：3.2—3.3
的方向 du:dv 无关，对曲面上的已知点为常数 由于曲面的杜邦指标线方程不含一次项， 所以它是以 P 为中心的 有心二次曲线。
PN xru yrv
。在此坐标系下，N
点 的 坐 标 为 （ x,y ） , 则
1 dr n dr
2
ru du rv dv ， 两边平方， 并注意 n n ru du rv dv
Edu 2 2 Fdudv Gdv 2 得：Ex 2 Fxy Gy Ldu 2 2Mdudv Ndv 2
2 0, 1 3 0 。当 LN M 2 0
n
时，L 与 N 同号（否则 2 0 ） 。 若 L+N= 1 0 ,则方程右边取 1， 这时 3 0 ，所以 1 3 0 ；
P
若 L+N= 1 0 ，则方程右边取 1，这时 3 0, 1 3 0 。 计算可知，椭圆抛物面上的点都是椭圆点。 2 如果 LN M 2 0 ，则点 P 称为曲面的双曲点。这时杜邦指标 线是一对共轭双曲线。 注：按二次曲线的不变量判断，曲线为双曲线 2 0, 3 0 。 计算可知，双曲抛物面上的点都是双曲点 。
1
n
，则对于切平面上所有
的方向，N 点的轨迹称为曲面在 P 点的杜邦指标线。
1
n
rv
N P
ru
二 杜邦(Dupin)指标线方程
取 P 点为坐标原点，在 P 点的切向量 ru 和 rv 为基向量，则它们
构成 S 在 P 点的切平面上的一个坐标系。切方向 (d) = du:dv 即
dr ru du rv dv
26
微分几何教案（十四）
曲面的第二基本形式：3.2—3.3
n
P
3 这时杜邦指标线是一 如果 LN M 2 0 ,则点 P 称为曲面的抛物点。
对平行直线。 注：按二次曲线的不变量判断，因为这时 2 0, 3 0 ，故为直线 而非抛物线。 因为这时 二次曲线的半不变量
K1 0 ， 所以它是一对
n >0；曲面向负侧弯曲时 n <0
.
3. 由前面例题知，半径为 R 的球面上任一点处沿任意方向的法 曲率 n
1 1 或n ； 平面上每一点处沿任意方向的法曲率上一点 P 的一曲线 (C ) 和过 P 与 (C ) 相切的法 截线为 (C0 ) ， (C ) 与 (C0 ) 相切的方向是 du:dv， (C ) 在 P 点的曲率为 k, 曲面在 P 点沿方向 du:dv 的法曲率为 n ，则由 cos
27
z xO
P2 P0
P 1
y
的投影。 例如 若给出的曲面是球面， 球面的切平面垂直于过切点的半径， 这个半径就是球面的法线。所以球面的所有法线过它的球心。因此在 球面的每一点处所取的法截面必过球心。由此推出所有法截线是大 圆，且任意法截线 (C0 ) 的曲率中心 C0 就是这个球面的中心.另一方面, 若取球面的任意平面截线为 (C ) ,则所得到的 (C ) 是圆 ,因此 (C ) 的曲率 中心是这个圆的圆心（如图）. 现在从 (C0 ) 的曲率中心 C0 (也 即球心)作圆 (C ) 所在平面的垂 线,则垂足是圆 (C ) 的圆心,也就 是曲线 (C ) 的曲率中心 C 。
和 n 可
由此可知， 曲面曲线的曲率都可以转化为法曲率来讨 得 n cos 。 论。
5. 设法截线在 P 点向 n 的正向弯曲,则 n 0 ,这时 n 0 。则
法截线 (C0 ) 的曲率半径 Rn
1
0
。在 P 点曲线 (C ) 的曲率半径 R
n 与 0 反向，即法截线向 n 的反向弯曲时，取“－”。


n
0
du:dv

n
du:dv
(C0 )
(C0 )
0

22
微分几何教案（十四）
曲面的第二基本形式：3.2—3.3
可见，曲面上 一点在一方向上的弯曲性仅由 0 （>0）还不能完 全确定，还要考虑曲面的弯曲方向，因此再引入法曲率的概念。 三 法曲率 定义 曲面在给定点沿一方向 du:dv 的法曲率记为 n ，定义为
1

。则
由 n cos 知 R Rn cos 。
R Rn cos 的几何意义可以由梅尼埃定理表述。
23
微分几何教案（十四）
曲面的第二基本形式：3.2—3.3
四 梅尼埃定理 定理 曲面曲线 (C ) 在给定点 P 的曲率中心就是在 P 点与曲线
(C ) 具有共同切线的法截线 (C0 ) 的曲率中心 C0 在曲线 (C ) 的密切平面上
给出曲面 S 上一点 P 和 P 点处的一个方向(d)=du:dv,设 n 为曲面在 P 点的单位法向量，则由 P 和(d)、 n 确定的平面称为曲面在 P 点的沿
方向(d)的法截面 ， 这法截面与曲面的交线称为曲面在 P 点沿方向(d) 的法截线。 设曲面在 P 点由方向(d)所确定的法截线为 (C0 ) ， (C0 ) 在 P 点的曲 率为 0 ，由于 (C0 ) 的主法向量 0 n , 0或 ，所以 0 （>0）为 0 = 。 当 n 与 0 同向，即法截线向 n 的正向弯曲时，取“+”，
r nds 2 Ldu 2 2Mdudv Ndv 2 ， 所以 cos = 。 另一方面 r n ds 2 Edu 2 2 Fdudv Gdv 2
说明：对于曲面上已给定点和曲面曲线在该点的切方向，上式右 端都有确定的值。 因此若在曲面上一个给定点给出相切的两条曲面曲 线，且它们有相同的主法向量，则它们的主法向量与曲面在这点的法 向量所成的角度 也相同，所以据上式，它们的曲率 k 也相同。特别
n
平行直线。如，柱面上 的点是抛物点。
P
4 如果 L=M=N=0，则 P 点称为曲面的平点。这时杜邦指标线 不存在。例如,平面上的点都是平点。 则在 例如若曲面是 yoz 平面上的曲线 z ( y ) 绕 y 轴旋转而成， 曲 线 的 上凹点 P1 是 曲 面 上 的 双 曲点，凸 点 P2 是 椭圆点，拐点 P0 处是抛物点。