应用统计方法第四章-多元线性模型

4
第四章 回归分析
令
L(a0 , 2 ) 2 2 L(a0 , ) 2 [( y1 a0 ) ( y2 a0 ) 3( y3 3a0 ) 0 a0 2
可得
令 ln L(a ˆ0 , 2 ) 3 1 2 ˆ [( y a ) ] 0 1 0 2 2 2 2 2 2( ) drf 可得 ˆ 2 1 2 ˆ0 ) 2 ( y2 a ˆ0 ) 2 ( y3 3a ˆ0 ) 2 ˆ0 ( y1 a
1
经验证:① B-A是对称幂等阵; ② rank(B-A)=tr(B-A)=2-1=1;
25 80 35 1 256 112 330 49
8
第四章 回归分析
③ A(B-A)=O3×3 .由第三章§3.1的结论6知
Y AY与Y ( B A)Y相互独立;也就是 ˆ ˆ 与 ˆ 相互独立.
ˆi y ˆ ) ( yi y )( y i 1
n n n i 1 i 1 2
R
2
2 2 ˆ ˆ ( y y ) ( y y ) i i

2 ˆi y ) ( y i 1
n n n i 1 i 1
2
2 2 ˆ ˆ ( y y ) ( y y ) i i
(因 1n C张成的空间 , 这里有H1n 1n )
n n i 1 i 1
(2) 因 ( yi y )( y ˆi y ˆ ) ( yi y ˆi y ˆ i y )( y ˆi y )
ˆ i )( y ˆi y ) ( y ˆi y )2 ( yi y

第五章 多元线性模型它包括多元回归分析、多元方差分析及多元协方差分析，它是多元统计分析的基础，应用十分广泛，专著很多。

此处仅介绍实用上最重要的基本内容。

§5.1 一元线性回归模型基本模型：y X u β=+ (5-1-1)2()0, ()n u Var u I εσ==式中y, 是n 维观察值的随机向量，X 是n ×p 的已知矩阵，常被认为已知的（即不当作随机），而一般认为rank(X)=p<n ，是p 维未知参数，叫回归系数， u 是非观察值，它代表随机误差。

常用的特例：1、 回归模型如果X 的第一列全是1,而其它变量为定量的数字，这时上式可化为如下回归模型：0111,1, 1,,i i p i p i y x x u i n βββ--=++++= (5-1-2)1n y y y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 01p βββ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 1n u u u ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭, 111,11,111p n n p x x X x x --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(5-1-3) 上述式子更常用的表达法为：01111,p p y x x u βββ--=++++ (5-1-4)其中u 是随机项2()0, ()u Var u εσ==2、方差分析模型如(5-1-1) 中X 内元素取值非1即0，则该模型就是方差分析，称X 为设计矩阵。

例在有k 个处理组的单因素方差分析中，记i n 为第i 个处理中的试验数，令1, k ij n n n y =++为第j 个处理中的第i 个试验结果，这时方差分析模型常写成下式： , 1,,, 1,,ij j ij j y u i n j k μτ=++== (5-1-5)这里μ表示n 次试验的平均水平, j τ表示第j 种处理的效应, ij u 表示随机误差。

用下述记号，这个模型可化为线性模型：121112121110011001010, 101000010011001k n n k kn y y y y X y y y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 1211112121, k n n k k n k u u u u u u u μτβτ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 要检验k 个处理中有否显著性差异，就是检验01:k H ττ==，1:i j H ττ≠至少有一项这就是一个指标时上章中多母体的均值相等性检验。

线性统计模型知识点总结一、线性回归模型1. 线性回归模型的基本思想线性回归模型是一种用于建立自变量和因变量之间线性关系的统计模型。

它的基本思想是假设自变量与因变量之间存在线性关系，通过对数据进行拟合和预测，以找到最佳拟合直线来描述这种关系。

2. 线性回归模型的假设线性回归模型有一些假设条件，包括：自变量与因变量之间存在线性关系、误差项服从正态分布、误差项的方差是常数、自变量之间不存在多重共线性等。

3. 线性回归模型的公式线性回归模型可以用如下的数学公式来表示：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中Y 是因变量，X是自变量，β是模型的系数，ε是误差项。

4. 线性回归模型的参数估计线性回归模型的参数估计通常使用最小二乘法来进行。

最小二乘法的目标是通过最小化残差平方和来寻找到最佳的模型系数。

5. 线性回归模型的模型评估线性回归模型的好坏可以通过很多指标来进行评价，如R-squared（R^2）、调整后的R-squared、残差标准差、F统计量等。

6. 线性回归模型的应用线性回归模型广泛应用于经济学、金融学、市场营销、社会科学等领域，用以解释变量之间的关系并进行预测。

二、一般线性模型（GLM）1. 一般线性模型的基本概念一般线性模型是一种用于探索因变量与自变量之间关系的统计模型。

它是线性回归模型的一种推广形式，可以处理更为复杂的数据情况。

2. 一般线性模型的模型构建一般线性模型与线性回归模型相似，只是在因变量和自变量之间的联系上，进行了更为灵活的变化。

除了线性模型，一般线性模型还可以包括对数线性模型、逻辑斯蒂回归模型等。

3. 一般线性模型的假设一般线性模型与线性回归模型一样，也有一些假设条件需要满足，如误差项的正态分布、误差项方差的齐性等。

4. 一般线性模型的模型评估一般线性模型的模型评估通常涉及到对应的似然函数、AIC、BIC、残差分析等指标。

5. 一般线性模型的应用一般线性模型可以应用于各种不同的领域，包括医学、生物学、社会科学等，用以研究因变量与自变量之间的关系。

多元线性回归模型的表达式
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变 量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归 系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无 多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技 术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立 多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用 于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响 是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合 影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验 证模型的合理性。
04
多元线性回归模型的检验与 诊断