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材料力学5(扭转1)

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材料力学 05扭转

材料力学 05扭转

由
τρ
=
T ⋅ρ Ip
知：当
ρ =R= D 2
,
τ ρ → τ max
∴
τ max
T⋅D =2
Ip
=
T
Ip
D 2
=T Wp
(令 W p = I p
D) 2
τ max
=
T Wp
Wp — 扭转截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。
对于实心圆截面： 对于空心圆截面：
Wp = I p R = πD3 16 WP = I p R = πD3 (1− α 4 ) 16 29
τ´
a
γb
τ dz
τ
τ´
c
d
dx
x
dy
在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出 现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则 共同指向或共同背离该交线。
单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这
种应力状态称为纯剪切应力状态。
35
M
´
36
§5–1 圆轴扭转时的应力和变形计算
1 圆轴扭转的变形特征 2 圆轴扭转时的应力 3 薄壁圆筒的切应力 4 剪应力互等定理 5 圆轴扭转时斜截面上的应力 6 扭转时的变形
A
11.14
T(kN`m)
–
m1
m3 m4
n
C
B
D
6.37 ⊕
x
4.78
12
第5章 扭转杆件的强度与刚度计算
§2–2 扭转杆的内力、扭矩图 §5–1 圆轴扭转时的应力和变形计算 §5–2 圆轴扭转时的强度和刚度计算 §5–3 扭转的超静定问题 §5–4 非圆截面杆的自由扭转简介

材料力学 第五章扭转变形.强度、刚度条件(6,7,8)汇总

材料力学 第五章扭转变形.强度、刚度条件(6,7,8)汇总
Me Tb Ta
( 4)
例题 6-6
5. 实心铜杆横截面上任意点的切应力为 Ta Ga M e 0 ra ρa I pa Ga I pa Gb I pb 空心钢杆横截面上任意 点的切应力为
b
Tb Gb M e I pb Ga I pa Gb I pb
2
1 dV (dxdydz ) 2 dV dW v dV dxdydz 1 v 2





一、密圈螺旋弹簧
——螺旋角
F
O

d
d ——簧丝横截面的直径 D ——弹簧圈的平均直径
O D
密圈螺旋弹簧 ——螺旋角<5°时的圆柱形弹簧
§4.5
密圈螺旋弹簧的计算
O F
例题 6-6
Me Tb Ta
解： 1. 实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta 和Tb(图b)，但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb= Me (1) 故为一次超静定问题。
例题 6-6
Me Tb Ta
2. 位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对 于A截面的扭转角相等。在图b中都用表示（设 A端固定）。 Ba Bb ( 2)
a
b
ra
ra
a rb
切应力沿半径的变化 情况如图c所示。
ra
rb
(c)
§5-8非圆截面等直杆扭转的概念
圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平 面假设 的基础上。对于非圆截面杆,受扭时横截面不 再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲 面。这一现象称为截面翘曲。因此,圆轴扭转时的应 力、变形公式对非圆截面杆均不适用。
(2)

材料力学-扭转1ppt课件

材料力学-扭转1ppt课件

横截面上 —
max
T IP
max
IP
T
max
T WP
Ip—截面的极惯性矩，单位：m4 , mm 4
WP
Ip
max
WP —抗扭截面模量，单位：m3, mm3.
整个圆轴上——等直杆：
max
Tm a x WP
三、公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
30
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
d
dx
d / dx－扭转角变化率
二）物理关系：
弹性范围内 max P
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
28
三）静力关系：
T A dA
T A dA
G d 2dA dx A
I p
2dA
A
Ip
横截面对形心的极惯性矩
T
GI p
d
dxp
29
二、圆轴中τmax的确定
结论：
横截面上 0, 0 0 0
根据对称性可知剪应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为剪应力沿壁厚均匀分布,
且方向垂直于其半径方向。
t
D
20
3、剪应力的计算公式：
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
d
T
2r0 2t
薄壁圆筒横截面上的剪应力计算式
21
二、关于剪应力的若干重要性质
例题： 1、一传动轴作200r／min的匀速转动，轴上装有五个轮子。 主动轮2输入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的 功率为18kW、12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。

材料力学(第五版)扭转刚度

材料力学(第五版)扭转刚度

d
于弹簧的中径D的情况，
max
8FD
d 3
在考虑簧丝的曲率和 1 分布不均匀时：
max

k
8FD
d 3
k—修正系数（曲度系数）
k 4c 1 0.615 4c 4 c
弹簧的强度条件：
c D d
max
（三）、弹簧的变形计算

弹簧的压缩（拉伸）变形
外力功：
2
由功能原理： V W
1 2
F

4F 2D3n Gd 4
弹簧的变形 8F D3 n Gd4
Fλ
弹簧的变形


8FD3n Gd 4
令：
C Gd 4 8D3n
C 弹簧刚度
F
C
Fλ
BC段：
TBC 1.2 kN m
A
mA
T (kN m)
Байду номын сангаас
B
C
mB
mC
Wt
BC

d13 16

503 109 16
24.54106 m3
1.2 3.0
(max )BC

TBC
Wt
BC

1200 24.54 106
48.8MPa
轴的强度符合要求
A
Tl
GIP
Me
l
Me
φ 相距 l 的两个截面之间的相对扭转角
φ
弧度
GIP
圆轴的抗扭刚度
对于阶梯轴，以及等直圆轴但扭矩为阶梯形变化的情况，
分段计算，求代数和



Tl GIP
二、圆轴扭转刚度的计算

材料力学-扭转

材料力学-扭转

扭转角（ 扭转角（ϕ）：任意两截面绕轴线相对转动的角度。又称为角 位移。通常用ϕ表示。ϕB − A表示B截面相对A截面转过的角度。 剪应变（ 剪应变（γ）： 剪应变又叫角应变或切应变，它是两个相互垂直方 向上的微小线段在变形后夹角的改变量（以弧度表示， 角度减小时为正） O ϕ B m
A m
γ
第二节 杆受扭时的内力计算
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面： 实心圆截面：
2
I p = ∫ ρ d A = ∫ ρ (2 πρ d ρ )
2
ρ
d O
dρ
A
d 2 0
= 2 π(
ρ
4
d /2
4
)
0
πd = 32
4
d A = 2 πρ d ρ
πd 3 Wp = = d / 2 16 Ip
空心圆截面： 空心圆截面：
T T = ρ max = IP IP T = WP
ρ max
Ip—截面的极惯性矩， 截面的极惯性矩，单位： 单位：m 4 , mm 4 Ip 3 3 WP —抗扭截面模量， WP = 抗扭截面模量，单位：m , mm .
ρ max
整个圆轴上——等直杆： 等直杆： τ max
Tmax = WP
三、公式的使用条件： 公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。 弹性范围内工作。
Tmax Wp
πD 3 实心, 16 T max W = 2）设计截面尺寸: 设计截面尺寸:WP ≥ 3 P [τ ] πD (1 − α 4 ) 空心. 16 ≤ ⇒ m 3）确定外荷载: 确定外荷载: Tmax WP ⋅ [τ ]
≤

材料力学-扭转1

材料力学-扭转1
（2） 强度校核
max
T Wt
1930 29 106
66.7106 Pa
66.7MPa [ ] 70MPa 满足强度要求
例 如把上例中的传动轴改为实心 轴，要求它与原来的空心轴强度相 同，试确定其直径。并比较实心轴 和空心轴的重量。
解：当实心轴和空心轴的最大应力同 为[]时，两轴的许可扭矩分别为
解：1）作扭矩图
Tmax 4.5KN m
2）设计轴的直径
由强度条件：
max
Tm a x WP
≤
由刚度条件：
max
Tmax GI p
180
[ ]
取 d ＝ 102 mm
d 3 16Tmax 66mm
[ ]
d 4
32Tmax 180
G 2[ ]
102mm
3）计算全轴的相对扭转角D-A
(2)求所需键数n。
P
§5-6 扭转静不定问题
扭转静不定问题
已知:AB 阶梯轴两端固定,C 处作用 A 外力偶矩Me, AC抗扭刚度为G1Ip1, CB抗扭刚度为G2Ip2 。求:轴的扭矩。
Me
CB Me
解:1）静力学关系
mx 0, Me M A M B 0
2）变形几何关系
BA CA BC 0
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
三）静力关系：
T A dA
T A dA
G d 2dA dx A
I p
2dA
A
Ip
横截面对形心的极惯性矩
T
GI p
d
dx
G
d
dx
T Ip
二、圆轴中τmax的确定
横截面上 —

材料力学-第四章 扭转_1

材料力学-第四章 扭转_1

d4
32
(5-8)
Wt
Ip
max
Ip d /2
d3
16
(5-9)
d
o
I p
D/2
2 2
d/2
d
(D4
32
d4)
Ip
32
D4 (1 4 )
（5-10）
Wt
Ip
max
D3 (1 4 )
16
(5-11)
[例5-2]内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面 轴，受扭矩T=1kN·m作用，计算横截面上A点的剪应 力及横截面上的最大和最小剪应力。
第五章 扭转
§5-1 扭转的概念
一、扭转的概念及实例
§5-1 扭转的概念
一、扭转的概念及实例
§5-1 扭转的概念
一、扭转的概念及实例
螺旋桨轴
受力特征： 杆受转向相反的力偶矩作用，力偶 作用面垂直于轴线。 变形特征： 横截面绕轴线相对转动。
扭转：横截面绕轴线（纵向线）作相对旋转为主要特征的变形形式。
dx
二. 扭转应力
d A
rdA T r 2 r T
dA
r
A
T
2 r 2
(5-2)
T 2 A0
根据精确的理论分析,当 ≤r/10时,上式的误差不
超过4.52%,是足够精确的。
三. 扭转角
l r
l / r ... Tl 2G r3
四、剪切胡克定律
在纯剪状态下，
单元体相对两侧面将
外力偶 Me 每分钟做的功为：
W = 2nMe
( 2)
(1)=(2) 得
P kW × 1000× 60=2 n M e N.m
Me

材料力学扭转

材料力学扭转
第3章 扭转
3.1 扭转的概念和实例 3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 3.3 纯剪切 3.4 圆轴扭转时的应力 3.5 圆轴扭转时的变形
第3章 扭转
【基本内容】
一、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 二、纯剪切的概念，薄壁圆筒扭转时的切应力 三、切应力互等定理 四、圆轴扭转的强度条件 五、圆轴扭转的刚度条件
1 r （r：为平均半径）
10
一、薄壁圆筒切应力
圆筒沿轴线方向尺寸没变——
Me
横截面上没有正应力
圆筒沿径向方向尺寸没变——
横截面径向切应力为零
圆筒横截面沿轴线有相对转动——
横截面切应力方向与半径垂直
由Mx 0
有Me 2rr
Me 2r 2
pq
pq
l
A' A B
B'
Me
A AB'
o
r
B'
二、切应力互等定理
截面上扭矩为T时．最大剪应力为 。若截面
上A点距外周边的距离为0.1D．则A点的剪应力 是( )
3.5 圆轴扭转时的变形
扭转变形的标志是两个横截面间绕轴线的
相对转角
dxd
G
T
Ip
Tl GI p
GI p 称为圆轴的抗扭刚度
刚度要求：单位扭转角不能超过允许值[ ' ] 单位 (/m)
'max T 180 [']
1
2
3
mB
(a)
T1
mB
(b)
(c)
mC
T2
T3
mD
T135N0m 350 1 350 2
1146 3
446
T270N0m

材料力学：第5章：扭转

材料力学：第5章：扭转




d

dx d
在外表面上

d dx
d r dx
2. 物理关系 根据剪切胡克定律, 当剪应力不超过材料 的剪切比例极限时
G
剪应力方向垂直于半径
d G dx
3.静力学关系
dA
dA T
A

o
dA
d G dx dA T A d 2 G dA T dx A
2
I p dA 极惯性矩
d T 则 dx G I p
A
令 I p dA
2 A
d G T T G G Ip Ip dx
d T dx G I p
W = m 2 n
(1) = (2) 得 N×1000× 60 = m 2 n
(2)
N m 9549 n
N ─ kW n ─ rpm m ─ N m N ─ PS n ─ rpm m ─ N m
N m 7024 n
§5-2 扭矩和扭矩图
Ip
极惯性矩：
32 4 4 4 (D d ) D 4 (1 ) 空心圆： I p 32 32 抗扭截面模量： 3 d 实心圆： Wt 16 3 D 4 (1 ) 空心圆： Wt 16
实心圆： I p
d
4
二、圆轴扭转时的变形
d T d x GI p T d dx GI p
d
T dx GI p l
Tl 若T const，则 GIp
Nl l EA
圆轴扭转时的强度条件和刚度条件
强度条件：
刚度条件：

材料力学实验-扭转

材料力学实验-扭转

材料力学实验-扭转扭转实验是材料力学实验中比较常见的实验之一，它是用来研究材料在扭转载荷作用下的性能及力学性质的实验。

在此实验中，通常需要制作一个实验样品，并通过试验测量夹持在两端的样品在扭力作用下的变形量及强度等参数。

下面我们将针对扭转实验的步骤、实验原理、实验装备及注意事项等方面进行详细介绍。

一、实验步骤1、制备试样。

在扭转实验中，常用的试样选择是圆棒，通常需要通过车床等机器加工加工成指定的直径和长度，注意要做好表面的处理和清洁，以保证试样表面无瑕疵、光滑等。

2、安装实验装置。

扭转实验的装置通常由电机、夹具、扭矩传感器、转角传感器等组成，需要将这些部件安装好，并将试样夹持在夹具两端，并调整好实验设备的参数及灵敏度，以确保实验设备的正常运转及测量精度。

3、进行实验。

在实验开始前，需要先进行一些预处理，如：校准设备、检查夹具固定度、检查电路连接等。

实验进行时，需要控制外加载荷及试样的转角，并及时记录实验数据等，直到试样达到所需的扭矩、载荷或损坏为止。

4、数据处理。

在实验结束后，需要对实验数据进行处理，并根据实验结果进行分析、比较及对比等操作，从而得出实验所要得到的结论及性能指标等。

二、实验原理扭转实验主要基于材料疲劳和塑性变形的原理，通过在试样两端施加扭矩和转角，在作用下可产生应变和变形等变量，并可通过实验数据加以测量及计算，进一步分析材料力学性质的好坏。

在扭转实验中，主要涉及到的参数有：扭转角度、扭转力矩、扭转角速度、应变及变形等参数，通过对这些参数的测量及分析，可以得出试样在扭转载荷作用下的抗扭强度及剪切模量等指标，这些指标是评估材料性能及强度的重要依据。

三、实验装备扭转实验需要用到的主要装备包括：电机、夹具、扭矩传感器、转角传感器、实验数据采集器等，下面我们将针对这些装备分别进行介绍。

1、电机：扭转实验的电机通常配备较高功率的电机，以保证能够提供足够的扭矩。

2、夹具：夹具是用来夹持试样的装置，要求夹具具有高度的稳定度并能够确保试样在扭转载荷下的平衡。

材料力学扭转

材料力学扭转


dx

c
x
它们组成的力偶，其矩为
(dxdy )dz
z
(dxdy )dz
y

此力偶矩与前一力偶矩
dy
d
a

b
( dy dz) dx 数量相等而转向相反，从而可得 z

dx

c
x

剪应力互等定理：
单元体两个相互垂直平面上
a
dy
y


b
d
的剪应力同时存在，且大小
相等，都指相（或背离）该
y

程中，认为上，下两面上的外
a
'
d

x
力将不作功。只有右侧面的外 力 (dydz) 对相应的位移 dx 作
z
b dx
dx

了功。
当材料在线弹性范围内内工作时，
y
上述力与位移成正比，因此，单
元体上外力所作的功为
1 2 1 2
z a

'
d

x
dW
( dydz)( dx)
( dxdydz)

M GI
e P

r

o

dA



M I
e p

上式为圆轴在扭转时横截面上任一点处的剪应力计算公式



M I
e p

式中：Me 为横截面上的扭矩； 为求应力的点到圆心的距离：
I p A dA
2
称为横截面对圆心的 极惯性矩

说明：
M n I
p
max
Mn

材料力学扭转知识点总结

材料力学扭转知识点总结

材料力学扭转知识点总结1. 概述材料力学是研究材料的力学性能和行为的一门学科，而扭转则是指在材料中施加扭矩力的作用。

材料力学扭转是材料力学中重要的一个分支，涉及到材料的变形、强度、破坏等方面的内容。

本文将对材料力学扭转的主要知识点进行总结。

2. 扭转应力扭转应力是材料在扭转加载下产生的应力。

与拉伸、压缩应力相比，扭转应力呈圆柱对称分布，沿着截面的半径方向逐渐减小，最大应力出现在材料的表面。

扭转应力的大小与施加的扭矩、材料断面的形状和尺寸有关。

3. 扭转变形扭转加载下，材料会产生扭转变形。

扭转变形主要表现为材料的轴线在垂直截面上的位移，称为扭转角。

扭转角的大小与施加的扭矩、材料的几何形状和材料的性质有关。

当材料的弹性变形超过一定范围时，会发生塑性变形，导致材料的破坏。

4. 扭转刚度扭转刚度是指材料对扭转加载的抵抗能力。

扭转刚度可以由杨氏模量计算得出，与材料的剪切模量相关。

较高的扭转刚度意味着材料在扭转加载下能够保持较小的变形，具有较好的强度和刚度。

5. 扭转强度扭转强度是指材料在扭转加载下破坏的能力。

与拉伸强度、压缩强度类似，扭转强度也是一个材料的重要指标，用来评估材料在扭转加载下的耐用性能。

6. 扭转应力-应变关系材料在扭转加载下的应力-应变关系可以描述材料在扭转过程中的力学行为。

对于线弹性材料而言，扭转应力与扭转角之间呈线性关系，称为胜肽方程。

扭转应力-应变关系可用来预测材料的扭转刚度、扭转变形等力学性能。

7. 扭转实验扭转实验是研究材料力学扭转性能的重要手段。

通过在材料上施加一定的扭矩载荷，并测量相应的应变和变形，可以获取材料的扭转应力-应变关系、扭转刚度等信息。

扭转实验可以通过机械试验机、扭转试验机等设备进行。

8. 扭转设计与应用在工程实践中，材料力学扭转的理论和实验成果被广泛应用于各种设计和制造中。

例如，扭杆、螺旋弹簧、传动轴等都是在扭转加载下工作的零件，需要考虑材料的扭转强度、刚度等特性。

材料力学课件第三章 扭转

材料力学课件第三章 扭转

工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
3.4 圆轴扭转时横截面上的应力
3.4.2 最大扭转切应力和强度条件
第三章 扭转
1. 最大扭转切应力：
由
T
Ip
知：当
R , max
max
TR Ip
T Ip R
T Wp
(令 Wp I p R )
max
T Wp
Wp — 扭转截面系数，单位：mm3或m3。
对于实心圆截面： 对于空心圆截面：
Wp
d3
16
Wp
(D4
16
d4)
D3(1 4 )
16
3.4 圆轴扭转时横截面上的应力
2、强度条件
强度条件：
max
Tm a x Wp
[ ]
第三章 扭转
许用切应力 u
n
τ s---- 扭转屈服极限 ——塑性材料 τ b---- 扭转强度极限 ——脆性材料 τ u---- 扭转极限应力 ——τs和τb的统称
MB
MC
MA
MD
B
C
解：计算外力偶矩
A
D
MA
9549 PA n
1592N m
MB
MC
9549 PB n
477.5N m
MD
9549 PD n
637N m
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
第三章 扭转
3.2.2 扭矩和扭矩图
1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。
2 截面法求扭矩
剪应力在互相垂直的面上同时存在，数值相等，其方向都垂直于这 两个面的交线，且都指向或者都背离该交线。

材料力学_扭转

材料力学_扭转

2
A1 =
πD12
4
= 2122mm 2
因此在承载能力相同的条件下,使用空心轴比较节约材料,比较经济. 因此在承载能力相同的条件下,使用空心轴比较节约材料,比较经济.
3.4 圆轴扭转时的变形 刚度条件
一,扭转变形 圆轴扭转的变形用相对扭转角度量
d T = dx GI p
d =
T dx GI p
Tdx l GI p Tl = GI p
用截面法计算各段轴内的扭矩
T = MB = 1637Nm 1 T2 = MB MC = 3274Nm T3 = MD = 2183Nm
根据扭矩方程画扭矩图 从图上可看出,最大扭矩发生在 段内各截面 从图上可看出,最大扭矩发生在CA段内各截面 扭矩方程
1637
3274 ( Nm )
Tmax = 3274Nm
例: 某传动轴,用45号钢无缝钢管制成,其外径D =66mm,壁厚 t=5 某传动轴, 45号钢无缝钢管制成,其外径 =66 , =5mm,使用时 , 号钢无缝钢管制成 =5 最大扭矩为T =1500N.m,试校核此轴的强度.已知[τ]=60 最大扭矩为 =1500 ,试校核此轴的强度.已知[ ]=60MPa.若此轴改为实心轴, .若此轴改为实心轴, 并要求强度仍与原空心轴相当, 为多少? 并要求强度仍与原空心轴相当,则实心轴的直径 D1为多少? 解:计算传动轴的抗扭截面模量
Ip R
=
πD / 32
4
D/2
=
πD
3
16
空心圆截面: 空心圆截面:
Ip = ∫
D/2
d /2
2πρ 3dρ =
α =d/D πD 4 πd 4 πD 4
32 32 = 32

材料力学第五章扭转应力

材料力学第五章扭转应力
航空航天工业对材料的要求极高，需要具备轻质、高强度和良好的抗扭性能。工 程师需要根据材料的力学性能进行优化设计，确保航空航天器的安全性和稳定性 。
建筑工业中的应用
建筑结构中的梁、柱等构件在承受扭矩时会产生扭转应力。
在建筑设计过程中，工程师需要考虑材料的抗扭性能，合理 设计梁、柱等构件的截面尺寸和连接方式，以确保建筑结构 的稳定性和安全性。
学习有限元分析方法，掌 握如何利用计算机软件进 行结构分析，提高解决实 际问题的能力。
ABCD
结合实际工程问题，分析 不同材料的抗扭性能，以 及如何优化设计以提高结 构的稳定性。
关注相关领域的最新研究 进展，了解材料力学在工 程实践和科学研究中的应 用。
THANKS
感谢观看
扭转应力的计算公式
计算公式
扭转应力的大小可以通过以下公式计算：$tau = frac{T}{A}$，其中$tau$是扭转应 力，$T$是扭矩，$A$是物体的截面面积。
截面面积
截面面积是指物体横截面的面积，通常用于计算物体在扭矩作用下的扭转应力。
扭转应力的单位和符号
单位
扭转应力的单位是帕斯卡（Pa），在国际单位制中，1Pa=1N/m²。
弹性模量
弹性模量是材料在弹性变形范围内，抵抗外力作用的能力， 它反映了材料的刚度。对于同一材料，弹性模量越大，抵抗 扭转变形的能力越强，因此，弹性模量越大，扭转应力也越 大。
总结
在材料力学中，弹性模量是影响材料扭转应力的关键因素之 一。高弹性模量的材料具有较高的抵抗扭转变形的能力，因 此会产生较大的扭转应力。
剪切模量对扭转应力的影响
剪切模量
剪切模量是指在剪切应力作用下，材料抵抗剪切变形的刚度。剪切模量的大小与材料的剪切应力成正比，即剪切 模量越大，材料抵抗剪切变形的能力越强，因此，扭转应力也越大。

材料力学第3章-扭转

材料力学第3章-扭转

第3章 扭转1、扭转的概念：杆件的两端个作用一个力偶，其力偶矩大小相等、转向相反且作用平面垂直于杆件轴线，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，即为扭转变形。

2、外力偶矩的计算{}{}{}min /95491000602r KW m N e e n P M P M n=⇒⨯=⨯⨯⋅π 式中，e M 为外力偶矩。

又由截面法：e e M T M T =⇒=-0 T 称为n n -截面上的扭矩。

规定：若按右手螺旋法则把T 表示为矢量，当矢量方向与研究部分中截面的外法线的方向一致时，T 为正；反之为负。

3、纯剪切（1）薄壁圆筒扭转时的切应力 δπττδπ222r M r r M ee =⇒••=（2）切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于平面的交线，方向则共同指向或背离这一交线。

（3）切应变 剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变γ与切应力τ成正比。

γτG = G 为比例常数，称为材料的切变模量。

弹性模量E 、泊松比μ和切变模量G 存在关系：)1(2μ+=EG 4、圆轴扭转时的应力（1）变形几何关系：距圆心为ρ处的切应变为dxd ϕργρ=（2）物理关系：ρτ为横截面上距圆心为ρ处的切应力。

dxd G G ϕρτγτρρρ=⇒= （3）静力关系：内力系对圆心的力矩就是横截面的扭矩：dA d d GdA T AxA⎰⎰==2ρρτϕρ 以p I 表示上式右端的积分式：dA I Ap ⎰=2ρ p I 称为横截面对圆心O 点的极惯性矩（截面二次极矩）横截面上距圆心为ρ的任意点的切应力：pI T ρτρ=ρ最大时为R ，得最大切应力：pI TR =max τ引用记号RI W p t =t W 称为抗扭截面系数。

则tW T =max τp I 和t W 的计算（1）实心轴：3224420032D R d d dA I RAp ππθρρρπ====⎰⎰⎰16233D R RI W p t ππ===（2）空心轴：)1(32)(324444202/2/32αππθρρρπ-=-===⎰⎰⎰D d D d d dA I D d Ap)1(16)(164344αππ-=-==D d D DRI W p t5、圆轴扭转时的变形pGI Tl =ϕ ϕ为扭转角，l 为两横截面间的距离。

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T3 M D 4.58
从图可见，最大扭矩发生在AC段，其值为8.02kN· m。
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
要注意的是，在求各截面的扭矩时，通常采用“设正法”， 即假设扭矩为正。若所得结果为负值的话，则说明该截面 扭矩的实际方向与假设方向相反。
扭矩图的画法步骤： ⒈ 画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线； ⒉ 将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点； ⒊ 用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；画受 力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画。 ⒋ 按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两 侧，并在图上表出数值和正负号。

dx
τ
x
数量相等而转向相反，从而可得 z
3.切应力互等定理 (Shearing stress theorem) 单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在,且大小相等, 都指相（或背离）该两平面的交线. 4.纯剪切单元体 (Element in pure shear) 单元体平面上只有切应力而无正应力,则称为纯剪切单元体.
A dA r0 T r0 AdA r0 2 r0 t T T T 2 2 r0 t 2 A0 t
A0为平均半径所作圆的面积。 T

§3.3.2 切应力互等定理
1.在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力,
其方向于 y 轴平行.
§3.3.3 剪切胡克定律
四、剪切虎克定律：
单元体ab 的倾角 称为切应变， 切应变是单元体直角的改变量。实 验表明，在弹性范围内，切应力与 切应变成正比，即
a
´
dx
´
b
dy

c z

d t
G
这就是剪切虎克定律，比例常数G 称为剪切弹性模量。
§3.3.3 剪切胡克定律
三、剪切胡克定律 (Hooke’s law for shear)
§3.1 扭转的概念和实例
汽车方向盘
§3.1 扭转的概念和实例
汽车传动轴
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
扭转受力特点 及变形特点:
杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
然后，由轴的计算简图，计算各段轴内的扭矩。先考虑AC段，从任一截面2-2处 截开，取截面左侧进行分析，如图3.6(c)所示，假设T2为正。 由平衡方程
M
x
0
M B M A T2 0
粗矩图 (kN·m)
m T2 M A M B 11.46 3.44 8.02kN· 同理，在BA段内，有 T1 M B 3.44 在CD段内，有
解：首先计算外力偶矩 600 M A 9 549 11.46 103 N· m=11.46kN· m 500
M B M C 9 549 180 3.44 103 N· m=3.44kN· m 500
240 M D 9 549 4.58 103 N· m=4.58kN· m 500
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
1.外力偶矩 直接计算
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
按输入功率和转速计算
如图所示的齿轮轴简图， 主动轮的输入功率经轴的 传递，由从动轮输出给其 他部件，已知轴转速－n 转/分钟，输出功率－P 千瓦。求：力偶矩Me Me2 Me1
n
Me3
电机每秒输入功： W P 1000(N m) 外力偶作功完成： W M e 2
右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
当杆件上作用有多个外力偶矩时，为了表现沿轴线各横 截面上扭矩的变化情况，从而确定最大扭矩及其所在位 置，可仿照轴力图的绘制方法来绘制扭矩图(torque 【例】 一传动轴如图 3.7(a)所示，轴 diagram) 。
的转速n=500r/min，主动轮的输入功率 为PA= 600kW，三个从动轮的输出功率分 别为PB=PC=180kW，PD=240kW。试计算轴 内的最大扭矩，并作扭矩图。
P
n 60
P
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
2.扭矩和扭矩图
杆件上的外力偶矩确定后，可用截面法计算任意横截面上的内力。 对图3.5(a)所示圆轴，欲求m-m截面的内力，可假设沿m-m截面将圆 轴一分为二，并取其左半段分析，如图3.5(b)所示
由平衡方程 得
M
x
0
T Me 0
T Me
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
第三章 扭转
一、 扭转的概念和实例 二、外力偶矩的计算
三、扭矩和扭矩图
四、纯剪切
§3.1 扭转的概念和实例
在工程中，受扭杆件是很常见的，例如机械中的传动轴、汽 车的转向轴等，但单纯发生扭转的杆件不多。如果杆件的变形以 扭转为主，其他次要变形可忽略不计的，可以按照扭转变形对其 进行强度和刚度计算；如果杆件除了扭转外还有其他主要变形的 (如钻杆还受压)，则要通过组合变形计算。这类问题将在第9章讨 论。 扭转(torsion)：是杆件的基本变形之一。在一对大小相等、方向相 反、作用面垂直于杆件轴线的外力偶作用下，直杆的任意两横截面 将绕轴线相对转动，杆件的轴线仍将保持直线，而其表面的纵向线 将成螺旋线。这种变形形式就称为扭转。
②各纵向线均倾斜了 同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪 斜成的平行四边形。
Me
Me
§3.3.1 薄壁筒扭转
x
3. 推论
Me
dx
Me
1) 横截面上无正应力，只有切应力； 0, 2) 切应力方向垂直半径或与圆周相切.
0
因为圆周上剪应变相同，所以剪应力沿圆周均匀分布。
M
e
n
M
e
圆周各点处切应力的方向于
圆周相切，且数值相等，近 似的认为沿壁厚方向各点处
M
e
n n
τ
dA
切应力的数值无变化.
M
e
n n
T
n
§3.3.1 薄壁筒扭转
二、薄壁筒切应力 薄壁筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有正应力， 只有切应力。因筒壁很薄，切应力沿壁厚分布可视作均匀的， 切应力沿圆周切线，方向与扭矩转向一致。
面）。
强度计算（危险截
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
§3.3.1 薄壁筒扭转
薄壁圆筒：壁厚 t 1 r0 （r0：为平均半径） 10
实验： 1.实验前：
①绘纵向线，圆周线；
②施加一对外力偶 。
§3.3.1 薄壁筒扭转
2.实验后： ①圆筒表面的各圆周 线的形状、大小和间 距均未改变，只是绕 轴线作了相对转动。
T是横截面上的内力偶矩，称为扭矩(torsional moment，
torque)。如果取圆轴的右半段分析，则在同一横截面上 可求得扭矩的数值大小相等而方向相反。为使从两段杆 所求得的同一横截面上的扭矩在正负号上一致，材料力 学中通常规定：按右手螺旋法则确定扭矩矢量，如果扭 矩矢量的指向与截面的外法向方向一致，则扭矩为正， 反之为负。
由图所示的几何关系得到
Me

Me

r l
l
式中, r 为薄壁圆筒的外半经. 薄壁圆筒的扭转试验发现,当外力偶 Me 在某一范围内时, 与 Me （在数值上等于 T ）成正比.
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
T
从 T 与 之间的线性关系,可推出 与 间
的线性关系.
G
该式称为材料的剪切胡克定律 (Hooke’s law for shear) G –剪切弹性模量 O


E 三个弹性常数的关系 G 2(1 )O§3 Nhomakorabea3 扭转
§3.3 扭转
由平衡方程 dy
y
Fy 0
两侧面的内力元素 dy dz
τ
dx
τ
x
大小相等,方向相反,将组成 一个力偶.
其矩为( dy dz) dx
z
§3.3.2 切应力互等定理
2. 要满足平衡方程
M z 0 Fx 0
τ
dy
y
在单元体的上、下两平面上必有 大小相等，指向相反的一对内力元素 它们组成力偶，其矩为 ( dxdy )dz 此力偶矩与前一力偶矩 ( dy dz) dx
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 用平行于杆轴线的坐标 x 表 T m1 示横截面的位置；用垂直于 _ m2 杆轴线的坐标 T 表示横截面 x 上的扭矩，正的扭矩画在 x 轴上方，负的扭矩画在 x 轴 下方. ①扭矩变化规律； 目 的
+
②|T|max值及其截面位置