平面直角坐标系下的图形变换王建华图形变换是近几年来中考热点，除了选择题、解答题外，创新探索题往往以“图形变换”为载体，将试题设计成探索性问题、开放性问题综合考察学生的逻辑推理能力，一般难度较大。
在平面直角坐标系中，探索图形坐标的的变化和平移、对称、旋转和伸缩间的关系，是中考考查平面直角坐标系的命题热点和趋势，这类试题设计灵活平移: 上下平移横坐标不变,纵坐标改变左右平移横坐标改变,纵坐标不变对称: 关于x轴对称横坐标不变,纵坐标改变关于y轴对称横坐标不变,纵坐标不变关于中心对称横坐标、纵坐标都互为相反数旋转：改变图形的位置，不改变图形的大小和形状旋转角旋转半径弧长公式L=nπR／180一、平移例1，如图1，已知△ABC的位置，画出将ABC向右平移5个单位长度后所得的ABC，并写出三角形各顶点的坐标，平移后与平移前对应点的坐标有什么变化？解析：△ABC的三个顶点的坐标是：A(-2，5)、B(-4，3)、C(-1，2)．向右平移5个单位长度后，得到的△A′B′C′对应的顶点的坐标是：A′(3，5，、B′(1，3）、C′(4，2）．比较对应顶点的坐标可以得到：沿x轴向右平移之后，三个顶点的纵坐标都没有变化，而横坐标都增加了5个单位长度．友情提示：如果将△ABC沿y轴向下平移5个单位，三角形各顶点的横坐标都不变，而纵坐标都减少5个单位．(请你画画看)．例2. 如图，要把线段AB平移，使得点A到达点A'(4，2)，点B到达点B'，那么点B'的坐标是_______。
析解：由图可知点A移动到A/可以认为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，∴)3,3(B经过相同的平移后可得)4,7(/B反思：①根据平移的坐标变化规律：★左右平移时：向左平移h个单位),(),(bhaba-→向右平移h个单位),(),(bhaba+→★上下平移时：向上平移h个单位),(),(hbaba+→向下平移h个单位),(),(hbaba-→二、旋转例3.如图2，已知△ABC，画出△ABC关于坐标原点0旋转180°后所得△A′B′C′，并写出三角形各顶点的坐标，旋转后与旋转前对应点的坐标有什么变化？解析：△ABC三个顶点的坐标分别是：A(-2，4)，B(-4，2)，C(-1，1)．△A′B′C′三个顶点的坐标分别是：图2图1B/图2图1A′(2，-4)，B′(4，-2)，C′(1，-1)．比较对应点的坐标可以发现：将△ABC沿坐标原点旋转180°后，各顶点的坐标分别是原三角形各顶点坐标的相反数．例3如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）.点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O 对称，….对称中心分别是A、B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环.已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2、P7、P100的坐标.分析：本题是一道和对称有关的探索题，是在中心对称和点的坐标知识基础上的拓宽题，由于是规律循环的对称，所以解决问题的关键是找出循环规律.如图，标出P1到P7各点，可以发现点P7和点P1重合，继续下去可以发现点P8和点P2循环,所以6个点循环一次，这样可以求出各点的坐标.解：如图P2(1,-1)，P7(1,1)，因为100除以6余4，所以点P100和点P4的坐标相同，所以P100的坐标为(1,-3).三、对称例4．如图3，已知△ABC，画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出各顶点的坐标．关于x轴对称的两个三角形对应顶点的坐标有什么关系？解析：△ABC三个顶点的坐标分别是：A(1，4)，B(3，1)，C(-2，2)．△A′B′C′三个顶点的坐标分别是：A′(1，-4)，B′(3，-1)，C′(-2，-2)．观察各对应顶点的坐标可以发现：关于x轴对称两个三角形的对应顶点的横坐标不变，纵坐标互为相反数．友情提示：关于y轴对成的两个图形，对称点的纵坐标不变，横坐标互为相反数．在直角坐标系中，ABC△的三个顶点的位置如图3所示．（1）请画出ABC△关于y轴对称的A B C'''△（其中A B C'''，，分别是A B C，，的对应点，不写画法）；（2）直接写出A B C'''，，三点的坐标：(_____)(_____)(_____)A B C'''，，．析解：如图4，根据关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数，即横坐标乘以1-，故可得（2）(23)A'，，(31)B'，，(12)C'--，反思：★关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标为原纵坐标的相反数，即纵坐标乘以1-★关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数，即横坐标乘以1-★关于原点成中心对称的点的，横坐标为原横坐标的相反数，纵坐标为原纵坐标的相反数，即横坐标、纵坐标同乘以1-四、位似例4 如图4，已知△ABC，画出△ABC以坐标原点0为位似中心的位似△A′B′C′，使△A′B′C′在第三象限，与△ABC 的位似比为21，写出三角形各顶点的坐标，位似变换后对应顶点发生什么变化？解析：△ABC三个顶点的坐标分别是：A(2，2)，B(6，4)，C(4，6)．△A′B′C′三个顶点的坐标分别是：A′(-1，-1)，B′(-3，-2)，C′(-2，-3)．图31 2 xO1-1ABCy1 2 xO1-1ABCA'B'C'y图3 图4C B AA 2C 2A 1B 1C 1O观图形可知，△A ′B ′C ′各顶点的坐标分别是△ABC对应各顶点坐标21的相反数．友情提示： △ABC 以坐标原点0为位似中心的位似△A ′B ′C ′，当△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比为21，且△A ′B ′C ′在第一象限时， △A ′B ′C ′各顶点的坐标分别是△ABC 各顶点坐标的21．课前练习：在如图的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,△ABC 的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点). ⑴画出△ABC 向下平移4个单位后的△A 1B 1C 1;⑵画出△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后的△A 2B 2C 2,并求出A 旋转到A 2所经过的路线长.解:⑴画出△A 1B 1C 1;⑵画出△A 2B 2C 2, ,连接OA 1、OA 2,OA=2223+=13点A 旋转到A 2,所经过的路线长为:ι=9013131802ππ⋅=点评:图形的变换可以转化为点的问题,即找到顶点变换后的对应点,再顺次连接这些点即可得到图形.旋转变换要明确旋转中心、旋转方向、旋转半径、旋转角度；平移变换要明确平移的方向和距离；作一个图形关于某点的中心对称图形要明确对应点的连线经过对称中心，且对应点到对称中心的距离相等；作一个图形关于某一条直线的的对称图形，要明确对应点的连线被对称轴平分，且对应点到对称轴的距离相等。
图形与坐标变换在数学和计算机图形学中，图形的展示离不开坐标变换。
坐标变换是一种将图形从一个坐标系转换到另一个坐标系的方法，在处理图形的旋转、平移和缩放等操作时起到了至关重要的作用。
本文将介绍常见的图形坐标变换方法及其应用。
一、平移变换平移变换是指将图形沿着坐标轴的方向平移一定的距离。
平移变换的数学表示为：```(x', y') = (x + dx, y + dy)```其中，（x，y）是原始点的坐标，（x'，y'）是平移后的点的坐标，dx和dy分别是平移的水平和垂直距离。
平移变换在图形处理中常用于移动对象、实现图像的滚动以及图形的布局调整等。
通过修改坐标偏移量，可以将图形相对于原始位置进行任意平移。
二、旋转变换旋转变换是指将图形绕一个旋转中心点旋转一定的角度。
旋转变换的数学表示为：```x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ```其中，（x，y）是原始点的坐标，（x'，y'）是旋转后的点的坐标，θ是旋转的角度。
旋转变换常用于图像的翻转、旋转效果的实现以及物体在平面内的旋转变化等。
通过调整旋转角度，可以改变图形的朝向和角度。
三、缩放变换缩放变换是指将图形按照比例因子进行放大或缩小。
缩放变换的数学表示为：```x' = x * sxy' = y * sy```其中，（x，y）是原始点的坐标，（x'，y'）是缩放后的点的坐标，sx和sy分别是水平和垂直方向的缩放比例因子。
缩放变换常用于图像的放大和缩小、图形的形变效果实现以及物体的大小调整等。
通过调整缩放因子，可以改变图形的大小比例。
四、矩阵变换矩阵变换是一种将多种变换方法结合起来进行处理的方式，常用的矩阵变换包括平移、旋转、缩放和剪切等。
矩阵变换的数学表示为：```[x'] [a b c] [x][y'] = [d e f] * [y][1] [g h i] [1]```其中，（x，y）是原始点的坐标，（x'，y'）是变换后的点的坐标，矩阵[A]是变换矩阵。
