第8章 曲线积分与曲面积分8.1 向量值函数在有向曲线上的积分 第二型曲线积分概念与形式恒力沿直线方向做功 →→→→⋅=⋅=l F l F w θcos ||||变力沿曲线运动⇒取微元 Qdy Pdx ds F dw +=⋅=→||，则⎰++=LQdy Pdx W 。
平面曲线⎰++LQdy Pdx ，空间曲线⎰+++LRdz Qdy Pdx ，性质⎰⎰-+=LL一、计算方法1．设参数，化定积分⎰Ldx y x P ),(＋dy y x Q ),(＝dt t y t y t x Q t x t y t x P t t })()](),([)()](),([{1⎰'+'2．平面闭曲线上积分－用格林公式⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ，其中L 是D 的取正向的边界曲线，D 为单连通区域，P ，Q 与L D ⋃上有连续一阶偏导数。
3．对于积分与路径无关的可自选路径 4．积分与路径无关),(),,(y x Q y x P 及偏导数于L D ⋃上连续。
下列四个命题等价 （1）⎰+CQdy Pdx ＝0，对D 内任意闭曲线C .（2）⎰+LQdy Pdx 积分与路径无关（3）存在),(y x u 使du ＝dy y x Q dx y x P ),(),(+BA LLu du Qdy Pdx |==+⇒⎰⎰（4）x Qy P∂∂=∂∂ 在D 内恒成立.常以（4）为条件，（2）作为结论，自选路径积分 二、例题1．基础题目，设参数，化定积分（1） 计算⎰-=Lydx xdyI ，:L 如图ABCDEA 解 （1）设参数法⎰∑⎰==Li L i51于1L 上 设t x cos =，t y sin =⎰⎰-=+=-02222)sin (cos 1ππdt t t ydx xdy L于2L 上 设t x cos =，t y sin 2=⎰⎰=⋅+⋅=-2)sin sin 2cos 2(cos 2ππdt t t t t ydx xdy L于3L 上 以x 为参数，xdxdy 2-=⎰⎰-=---=-22238)]2()2([3dx x x x ydx xdy L于4L 上 以y 诶参数 2-=x ，0=dx ⎰⎰-=-=-1224dy ydx xdy L 于5L 上 1-=y ，以x 为参数(0=dy ) ⎰⎰-=--=-022)1(5dx ydx xdy L综上231423+=-⎰πLydx xdy解（2）（用格林公式）)(224321S S S S dxdyydx xdy DL+++==-⎰⎰⎰231423222232212141412+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+⋅⋅+=πππ（2） 计算 ⎰++=Cdz x dy z dx y I 222。
§ 2 第二型曲线积分前面我们已讲过第一型曲线积分,但在力学.物理等许多问题中,还常常用到另外一类曲线积分,叫做第二型曲线积分.一 第二型曲线积分的定义1 力场作功问题如果质点受常力 F 的作用沿直线运动, 位移为s ，那末这个常力所做功为 θcos s F W = 其中s F ,分别表示向量(矢量)的长度,θ为F 与S 的夹角.设平面力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F = ，即力),(y x F 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为P(x,y)与Q(x,y). 质点在力场作用下，沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功.先用微元法讨论.再用定义积分的方法讨论这一问题.a) 分割T对有向曲线C 作分割},,.....,,{110n n M M M M T -=,即在AB 内插入n-1个分点,,.....,,121-n M M M 与A=n M B M =,0一起把曲线分成n 个有向小曲线段i i M M 1-(i=1,2,……,n)以i s ∆记为小曲线段i i M M 1-的弧长. i ni s T ∆=≤≤1max . b) 作和任取一点i i i i M M P 1),(-∈ηξ，由于有向线段),,().,(111i i i i i i y x M y x M ---在x 轴和y 轴方向上的投影分别为11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x ,于是 ),(1i i i i y x M M ∆∆=-.从而力),(y x F 在小曲线段i i M M 1-上所作的功i W ),(i F ηξ≈i i y x ∆∆,(）= P(j i ηξ,)i x ∆+Q (j i ηξ,)i y ∆c) 取极限于是力F 沿C(AB)所作的功可近似i W =∑=n i i W 1i ni i i i n i i i y s Q x s P ∆+∆≈∑∑==11),(),(ηη 当0→T 时,右端积分和式的极限就是所求的功.有很多物理量的确定,都要求计算上述形式的和式上极限（参见本节附录）, 这种类型和式极限就是下面所讨论的第二类曲线积分，因此给以下面的一般定义2 第二型曲线积分的定义（P202-203）设P,Q 为定义在平面有向可求长度的曲线（即光滑或分段光滑平面有向曲线）C 上的函数,对任一分割T,它把C 分成n 个小弧段i i M M 1-,I=1,2,3,……,n;记),(i i i y x M ,i i M M 1-弧长为i s ∆,i ni s T ∆=≤≤1max ,11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x , n i ,,2,1 =.任取(j i ηξ,)∈i i M M 1-,若极限 i n i ii i n i i i T y s Q x s P ∆+∆∑∑==→110),(),(lim ηη存在且与分割T 与界点(j i ηξ,)的取法无关,则称此极限为函数P,Q 有线段C 上的第二类曲线积分,记为 ⎰cQdy Pdx + 或者⎰AB Qdy Pdx + （1） 或者 ⎰⎰+c c Qdy Pdx 或者⎰AB Qdy Pds AB ⎰+按这一定义 , 有 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为⎰⋅=AB ds F W ⎰⎰+==ABAB Qdy Pdx dy dx Q P ),)(,(. 可类似地考虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x =沿空间曲线AB 所作的功，导出空间曲线上的第二型曲线积分. 若C 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,P,Q,R 为定义在C 上的函数,则可按上述办法定义沿有向曲线C 的第二类曲线积分,并记为⎰⋅AB ds F dz z y x R dy z y x Q dx z y x P c),,(),,(),,(++=⎰ （4） .介绍有向闭路曲线积分的记法 ⎰cfds平面上光滑闭曲线如何规定方向呢?(此时无所谓“起点”和”终点”)3 第二型曲线积分的性质（P204）(1)线性 设C 为有向曲线,⎰c fds ,⎰cgds 存在, 则 ,,R ∈∀βα则ds f f c )(⎰+βα存在,且⎰⎰⎰+=+cc c gds fds ds f f βαβα)( (2)可加性 设⎰c fds 存在,,21C C C ⋃=⎰⎰⇒21,c c fds fds 存在,且 ⎰⎰⎰+=21c c c fds fds fds （3）第二类曲线积分与曲线C 的方向有关设C -是C 的反向曲线(即C -和C 方向相反), 则⎰c fds =-⎰c fds （⎰⎰-=BA AB ） （5）第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性. 注意第一类曲线积分表达示是函数f 与弧长的乘积,它与曲线C 的方向无关,这是两种类型曲线积分的一个重要差别.定积分是第二型曲线积分中当曲线为X 轴上的线段时的特例.注1 第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论过的积分 相比, 除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用Riemma 的 思想建立的积分. 因此 , 第二型曲线积分具有(R )积分的共性 , 如线性、关于函数或积 分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性 , 这是由于一方面向 量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向 之间的夹角有关.二 第二型曲线积分的计算设L （AB ）为平面有向光滑或按段光滑曲线 , L :βαψϕ≤≤==t t y t x , )( , )(或者αβ≤≤t 起点A ())( , )(αψαϕ, 终点B ())( , )(βψβϕ; 函数),(y x P 和),(y x Q 在L 上连续, 则沿L ( 即从点A 到点B 的方向)有()()[]⎰⎰'+'=+L dt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P βαψψϕϕψϕ)()( , )()()( , )(),(),(. （6） 证明 略类似，设有空间有向光滑曲线C 的方程是X=x(t),Y=y(t),Z=z(t).曲线的方向是曲线上点A 到点B 设当t=a 时对应点A ，t=b 对应点B(注意:a<b 或者a>b 均有可能出现);又设)),,(),,,(),,,((),,(z y x R z y x Q z y x P z y x f =, 那么dt t z t z t y t x R y t y t z t y t x Q t x t z t y t x P fds ba c )}())](),(),([)())](),(),([)())](),(),([{'''++=⎰⎰ （7） 注2 式中,必须注意定积分上,下限的安排应该与曲线积分所给的曲线方向相一致,那下限对应于起点参数值,上限对应于终点的参数值.注3 曲线的自然方向:设曲线L 由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.例1 计算积分⎰-+Ldy x y xydx )(, L 的两个端点为A ( 1, 1 ) , B ( 2 , 3 ). 积分 从点A 到点B 或闭合, 路径为 （P205）（1） 直线段AB（2） 抛物线1)1(22+-=x y ;（3） A ( 1, 1 )→D ( 2 , 1 ) → B ( 2 , 3 ) → A ( 1, 1 ), 折线闭合路径 .注4 此例表明, 第二类曲线积分不仅与积分的起点和终点有关,而与还与所给曲线有关.即使同一个起点和同一个终点,但设不同的曲线将获得不同的积分值.(即不同的积分,积分值就不同),会不会有如下情形发生:积分只与起点和终点有关,而在积分路径无关?（参见例2） 从物理上讲有----重力作功.一般地讲,积分与路径无关里需要的,到底需什么呢?以后在讲.例2 计算积分⎰+Lydx xdy , 这里L : （P206） （1） 沿抛物线22x y =从点O ( 0 , 0 )到点B ( 1 , 2 );（2） 沿直线x y 2=从点O ( 0 , 0 )到点B ( 1 , 2 );（3） 沿折线闭合路径O (0,0) →A (1,0 ) →B (1,2 ) → O (0,0).例3 计算第二型曲线积分 I = ⎰+-+L dz x dy y x xydx 2)(, 其中L 是螺旋线bt z t a y t a x === , sin , cos , 从0=t 到π=t 的一段 . （P207） 例4 求在力场) , , (z y x x y ++-作用下,（1） 质点由点A ) 0 , 0 , (a 沿螺旋线到点B ) 2 , 0 , (b a π所作的功, 其中L 1 : bt z t a y t a x === , sin , cos , ) 20 (π≤≤t .（2） 质点由点A ) 0 , 0 , (a 沿直线L 2到点B ) 2 , 0 , (b a π所作的功. （P207）补例1 I=⎰+c dy x dx y 22 ;C:22a x + 22b y =1(y 0≥) ,方向：（-a,0）→(a,0). 补例2 I=⎰-cdy x xydx 22 ;C: 直线y=x,方向从原点到（０，０）附录（说明：附录是本章或本节内容的补充、深化和拓宽，根据情况，简单介绍，或者不讲） 稳流场通过曲线 ( 从一侧到另一侧 ) 的流量解释稳流场. ( 以磁场为例 ). 设有流速场),(y x ()),( , ),(y x Q y x P =. 求在单位时间内通过曲线AB 从左侧到 右侧的流量E . 设曲线AB 上点1-i M 处的切向量 B 为)sin , (cos αατ=, ( α是切向量方向与X 轴 i M 正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方 1-i M 向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问 A题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线 n 方向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向 .) .在弧段⋂-i i M M 1上的流量 ds n v dE ) , (=. )cos , (sin )2sin( , )2cos(ααπαπα-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=，因此 ,()=-⋅=||)cos , (sin ),( , ),(ds y x Q y x P dE αα ||cos ),(||sin ),(ds y x Q ds y x P ⋅-⋅=αα. 由 dx ds dy ds dy dx ds =⋅=⋅⇒=||cos , ||sin ), , (αα, 得 dx y x Q dy y x P dE ),(),(-=. 于是流速场),(y x ()),( , ),(y x Q y x P =在单位时间内通过曲线AB 从左侧到右侧的总流量E 为⎰⎰-==AB ABdx y x Q dy y x P dE E ),(),(.三 两类曲线积分的联系 （P208）作业 1（3）、（4）、（5），2。
曲线积分的计算方法与应用曲线积分是数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍曲线积分的计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、曲线积分的计算方法曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算，计算曲线上某一物理量的总量。
曲线积分有两种类型：第一类曲线积分和第二类曲线积分。
1. 第一类曲线积分第一类曲线积分是对曲线上的标量函数进行积分，其计算方法如下：设曲线C的参数方程为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中a≤t≤b。
若函数f(x,y,z)在曲线C上连续，则第一类曲线积分的计算公式为：∫[a,b]f(x,y,z)ds=∫[a,b]f(x(t),y(t),z(t))√(x'(t)²+y'(t)²+z'(t)²)dt2. 第二类曲线积分第二类曲线积分是对曲线上的向量函数进行积分，其计算方法如下：设曲线C的参数方程为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中a≤t≤b。
若向量函数F(x,y,z)=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))在曲线C上连续，则第二类曲线积分的计算公式为：∫[a,b]F(x,y,z)·dr=∫[a,b][P(x(t),y(t),z(t))x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))z'(t)] dt二、曲线积分的应用曲线积分在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
下面将介绍曲线积分在电磁学和流体力学中的应用。
1. 电磁学中的应用在电磁学中，曲线积分常用于计算电场和磁场的环路积分。
根据安培环路定理和法拉第电磁感应定律，可以通过计算曲线上的磁场和电场的环路积分来求解电流和电动势。
曲线积分在电磁学中有着重要的地位，它帮助我们理解电磁现象并解决实际问题。
2. 流体力学中的应用在流体力学中，曲线积分常用于计算流体的流量和力的做功。
