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(
x,
y)
y
x ,
Df (1,1) 1 1 .
0
2 y
0 2
3 df (1,1) 1
10
x
3x x y
0 2 y 2y
(
x0
)
fi (x0 x j
)
mn
当m=n时,Jacobi矩阵的行列式称为f 在x0处的Jacobi行列式.
记为
J
f
(
x0)
1((
f 2
x1
, ,
f , , n
x2 , ,
f xn
) )
x
0
当m=1时， f 为数量值函数
例如f x 2 2 xy , g y 2 x
则 ( f , g) ( x, y)
质点v的(t速) 度li向m量r(为t
t
)
r (t
)
t0
t
dr dt
(dx , dy , dz )T dt dt dt
质点a的(t加) 速li度m向v(量t 为t
)
v(t
)
t0
t
dv dt
(d2 x , d2 y , d2 z )T dt 2 dt 2 dt 2
3 一元向量值函数的微分
记为lim
x x0
k (x) ak
f ( x) （k
a. 1,2,,m）
2 一元向量值函数连续的概念
定义2
设一元向量值函数f
( f1( x),
f2 ( x),,
fm
(
x)) T
在U (
x
)
0
内有定义，若有
lim f (x) f ( x0 )
x x0
则称向量值函数 f ( x)在点x0处连续.
由定理
2知
f ( x)在点x0处连续
fi ( x)在点x0处连续(i 1,2, , m )
例如， f ( x ) ( x 3 ,sin x, cos 2 x)T 在R上每一点处连续 .
主要内容
1 向量值函数的概念 2 一元向量值函数极限和连续的概念 3 一元向量值函数的导数及其物理意义 4 多元向量值函数的导数和微分
若定存义在4 一设个f与: Ux(无x0关) 的R向量Ra
m
, (a
x0 ,a
12
x ,,
U ( x0 am ) R
), 若 m ,使
则称f在x
0处f可可微( x微0.并x称) afx(为x0
) f在
ax o( x ) x 0处的分微分,
记作df
即df ( x 0 ).
(
x0
)
ax
若f在x0可微 f ( x0 x) f ( x0 ) ax o( x )
x
f
(
f( 1
x),
f ( x),, 2
fm ( x))T 在x可导
f1( x), f2 ( x),, fm ( x)均在x可导
且有 f ( x) ( f1( x), f 2 ( x), , f m ( x))T
类似可定义一元向量值函数的高阶导数.
sin 2x
2cos2 x
4sin2 x
2 x 2y 1
2x 2y
Df
(
x0
)
f (x0 x1
)
f (x0 ) x2
f ( x0 ) xn
记为
f (x0)
称为 f在点x0 处的梯度向量.
例2 设有二元向量值函数 f ( x, y) x 3 , xy, y2 T ,试求f
在点(1,1)T处的导数和微分 .
3x2 0
3 0
解
Df
[
,
]
z z(t ),
可以表示为r
x(t ) y(t),
z(t )
或r r(t)
2 多元向量值函数的概念
设A Rn ,称映射 f : A Rm (m 2)为定义在A上的n元
向量值函数，记为
f1 (x) f1( x1, x2 ,, xn )
f ( x) f ( x , x ,, x )
例1
设f(x)
x2 e cos x
x
,
则f
( x)
2x e x , sin x
f
(x)
2 ex cos x
.
2 一元向量值函数导数的物理意义 设r (t )表示质点在 t时刻空间位置的向径，
则质点在空间R3中运 动的方程可表示为向量值函数 r r (t ) ( x(t ), y(t ), z(t ))T
1 一元向量值函数的概念
设A R, 称映射 f : A Rm (m 2)为定义在A上的一元
向量值函数，记为 f1( x)
f
(
x)
f2
(
x)
x A
f
m
(
x)
或y f (x),
y1 y
f1( x) f (x)
2
2
ym fm (x)
例如 空间R3中的曲线
x y
x(t ), y(t ),t
1 一元向量值函数的导数
定义3
设f
:U
( x0 )
R
m
R,
x0 x U ( x0 ), 若
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
存在，则称 记为f ( x0 ),
fd在fd(xxx0)处,可或导Df，(并x0称). 此极限值为
f
在x0处的导数，
x0
如果f在I上每一点都可导，则称 f 在I上可导.
f1( x0 ) f1 (x0 )
x2 f2 (x)
x2 fm (x0 )
xn f2 (x0 )
xn
dx1
dx
2
fm
(
x0
)
dxn
x1
x2
xn
称为f在x0处的微分. 此也矩称阵为称f 在为xf0处在的xJ0处aco的bi导矩数阵..记为Df ( x0 ).
2 Jacobi（雅可比）行列式与梯度向量 设f ( f1 , f2 ,, f m )T 为n元向量值函数，Df
若m 1, n 1, 则称f为n元向量值函数 . 统一记为 y f (x) x A
主要内容
1 向量值函数的概念 2 一元向量值函数极限和连续的概念 3 一元向量值函数的导数及其物理意义 4 多元向量值函数的导数和微分
1 一元向量值函数的极限
定义1 设一元向量值函数f ( f ( x), f ( x),, f ( x))T 在点x
1 多元向量值函数的导数与微分
定义5 设f : Rn Rm为n元向量值函数，如果 f 的每个
分量fi (i 1,, m)在点x0处可微，则称 f在x0处可微. 并将
f1( x0 )
df
(x0
)
df1( x0 )
df
2( x0
)
dfm ( x0 )
f(xx1 )
2 0
x1
fm ( x0 )
o
1
的某去心邻域U( x 0 )内有定义，a
2
m
(a ,a ,,a )T
12
m
Rm ,
0
若 0, 0,当0 x x0 时，有
m
f ( x) a ( fi ( x) ai )2
则称当x 定理1
x 时f ( x)以
0
lim f ( x) a
x x0
a 为极i限1 ,
lim f x x0
定理2
一元向量值函数
f
(
f ( x), 1
f ( x), , 2
f ( x))T m
在x0可微的充要条件是 f的每个分量都在 x0处可微.
且当f在x0处可微时，有 df (x0 ) f ( x0 )x （或f ( x0 )dx）
主要内容
1 向量值函数的概念 2 一元向量值函数极限和连续的概念 3 一元向量值函数的导数及其物理意义 4 多元向量值函数的导数和微分
f
(
x)
2
2
1
2
n fm ( x)来自f m(x 1
,
x 2
,,
x n
)
x A
其中fi为n元数量值函数 x ( x1, x2 ,, xn ).
3 数量值、向量值函数的统一定义
设A Rn ,映射 f : A Rm 若m 1,n 1, 则称f为一元数量值函数 . 若m 1,n 1, 则称f为n元数量值函数 . 若m 1, n 1, 则称f为一元向量值函数 .
fi ( x0 x) fi ( x0 ) ai x oi ( x )(i 1,, m)
a
(a 1
,
a 2
fi在x0可微，且ai
, , am
)T
(
f
1(
x 0
),
f 2(
fi( x0 )(i 1,,m)
x ),, 0
f m
(
x 0
))T
f
(
x0
)
df (x0 ) ax f (x0 )x
此时，x I ,都有f ( x), 称f ( x)为f ( x)的导函数.
设 f ( f1( x), f2( x),, fm ( x))T , 利用极限存在的充要条件知
lim f ( x0 x) f ( x0 ) 存在 lim fi ( x0 x) fi ( x0 ) 存在
x0
x
x0
第九章 多元函数微分法及其应用
9.9 向量值函数及其导数
数学与统计学院 李换琴
主要内容
1 向量值函数的概念 2 一元向量值函数极限和连续的概念 3 一元向量值函数的导数及其物理意义 4 多元向量值函数的导数和微分
