3．3几何概型（1）
人教版：必修3 牛亚竹
一、教学目标：
1、理解几何概型的概念，能识别几何摡型并会用其概率公式求解；
2、经历从具体到抽象、特殊到一般的思维过程，体会数学建模的一般
方法；通过问题求解，领会将实际问题或一般数学问题转化为几何
问题的解题策略；
3、在实际问题数学化的过程中感受数学与现实世界的联系；在探索交
流活动中感受合作的乐趣，提高学习的兴趣。
二、教学重点与难点：
教学重点：几何摡型概念的建构。
教学难点：从实际背景中观察、推断、归纳出几何概型概率计算公式。
三、教学方法与教学手段：
本节课以直观观察为主线，采用“引导发现、归纳猜想”为主的教学方法；以导向性问题解决作为教学路径，利用多媒体辅助教学手段。
四、教学过程
复习：1.古典概型
（1）所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性)
（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
2.古典概型的概率公式
请问：
一、在0至9中，任意取出一整数，则该整数小于3的概率.
二、在0至9中，任意取出一实数，则该整数小于3的概率.
三、有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出升,求小杯水中含有这个细菌的概率.
四、（转盘游戏）：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?
设计意图：这些问题都来自于日常生活中，学生们会跃跃欲试，情境具有暗示作用，在暗示作用下，学生不知不觉地参与了情境中的角色，这样他们的学习积极性和思维活动就会被极大的调动起来。
思考：
⑴问题二、三、四概率的求法与一、一样吗？若不一样,请问是什么原因导致的？
⑵如何求问题二、三、四的概率？
提示：可以借助几何图形的长度、面积等分析概率；
⑶有什么方法确保所求的概率是正确的？
提示：对转盘游戏进行模拟试验，确保所求的概率是正确的。
分析如下：
一、在0至9中，任意取出一整数，则该整数小于3的概率.
(1)分析：0至9中的整数是有限个，且每个整数取到都是等可能的，因此可以利用古典概型。
(2)求解：设取出的整数小于3为事件A则P(A)=
(3)设计意图：复习古典概型
古典概型
（1）所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性)
（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
古典概型的概率公式
二、在0至9中，任意取出一实数，则该整数小于3的概率.
（1）分析：0至9中的实数有无数多个，每个实数被取到的可能性相同，显然不符合古典概型。
（2）求解:此题可以看成向区间［0,9］内均匀投点,而且点落入［0,3］内的概率,设取出的实数小于3为事件A，则P（A）=
三、有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出升,求小杯水中含有这个细菌的概率.
（1）分析：细菌在杯中任何位置的机会是等可能的，但细菌所在位置却是无限多个，因而不能用古典概型，但所求事件的概率与取出的水的多少即水的体积有关，即取出水的体积与杯中所有水的体积比值越大，含细菌的概率越大。
（2）求解：设取出的升水中含有这个细菌为事件A,
则P(A)=取出水的体积/杯中所有水的体积
四、（转盘游戏）：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少? (1)分析：1、指针指向的每个方向都是等可能性的，但指针所指的位置却是无限个的，因而无法利用古典概型；
(2)求解：可以利用B区域的所对弧长、所占的角度或所占的面积与整个圆的
弧长、角度或面积成比例研究概率；
求解：法一（利用B区域所占的弧长）：
法二（利用B区域所占的圆心角）：
法三（利用B区域所占的面积）：
设计意图：让学生讨论，教师适当点拨。由学生分析总结问题的特征和解决问题的方法，进而总结几何概型的概念、基本特点、概率计算公式，之后要加以说明，以便学生理解记忆。帮助学生弄清其形式和本质，明确其内涵和外延。
统计验证：计算机模拟实验演示，分析验证求概率的正确性
设计意图：让学生亲自体验游戏，以此激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲望，自然地进入到本节课的主题“几何概型”
由计算机模拟实验的结果，我们知道上述解决问题的方法是可行的。那么
问题二、三、四这样的满足（1）一次实验的结果有无限多个，（2）每个结果发生的等可能性，这两条概率问题，就称作几何概型。
形成新知
几何概型（读课本：136页）
定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。
特征：无限性，等可能性
计算公式：在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
古典概型与几何概型的区别
对比迁移
判断以下各题中哪些属于几何概型？
（1）在集合 A= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 中任取一个元素a,则 3≥a 的概率为
（2）已知点O （0，0），点M （60，0），在线段OM 上任取一点P ，则 PM 10≤
的概率为
(3)随机的向四方格里投掷硬币50次，统计硬币正面朝上的概率。
（4）甲乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，这时方可离去，求两人能会面的概率。
分析：对比古典概型和几何概型的特点，判断（1）(3)是古典概型(2)(4)是几何概型
新知运用：
例1：某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
分析：收音机每小时报时一次，某人午觉醒来的时刻在两次整点报时之间都是等可能的，且醒来的时刻有无限多个的，因而适合几何概型。
解:设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心的事件A 恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内。
求解：法一：（利用[50,60]时间段所占的弧长）：
