线性规划问题新解法
简单的线性规划问题是高中数学新课标教材的重点内容，也是近年高考命题的热点．线性规划问题的常规解法是“截距法”，即利用线性目标函数(0)z ax by b =+≠的几何意义：“z
b 是直线a z y x b b
=-+在y 轴上的截距”来求解．而对于有些线性规划问题．也可以运用新的视角探究其解法．现以近年高考题为例向同学们介绍，以拓广同学们的解题思路．
一、函数单调性法
例1 （高考福建卷）非负实数x y ，满足24030x y x y ⎧+-⎪⎨+-⎪⎩
，，≤≤则3x y +的最大值是 ．
解析：在平面直角坐标系中作出不等式组表示的平面区域，如右图．
令3z x y =+，由图知，使目标函数3z x y =+取得最大值的
点一定在边界240x y +-=或30x y +-=上取得．
由24030x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，，解得12x y =⎧⎨=⎩
，． （1）当01x ≤≤时，33(3)29z x y x x x =+=+-+=-+，
在[01]，上为减函数，0x =∴时，max 9z =； （2）当12x ≤≤时，33(24)512z x y x x x =+=+-+=-+，
在[1
2]，上也为减函数，1x =∴时，max 7z =； 综上知当0x =时，3z x y =+有最大值为9．
点评：本解法是将二元一次函数转化为一元一次函数，然后利用函数单调性求解的．既体现了函数与不等式的密切转化关系，也说明了线性规划问题的“返璞归真”．
二、待定系数法
例2 （高考浙江卷）设z x y =-式中变量x 和y 满足条件3020x y x y ⎧+-⎪⎨-⎪⎩
，，≥≥则z 的最小值为（ ）
Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．3 Ｄ．3-
解析：令()(2)()(2)z x y m x y n x y m n x m n y =-=++-=++-，
则121m n m n +=⎧⎨-=-⎩，，解得1323m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，． 于是1212()(2)3013333
z x y x y x y =-=++-⨯+⨯=≥， 当且仅当320x y x y +=⎧⎨-=⎩
，时，z 取最小值1．故选Ａ．
例3 （高考江苏卷）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．
某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30％和10％．投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1．8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解析：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，则由题意知100.30.1 1.800x y x y x y ⎧+⎪+⎨⎪⎩
，，，，≤≤≥≥
目标函数0.5()(0.30.1)z x y m x y n x y =+=+++，
则0.310.10.5m n m n +=⎧⎨+=⎩，，解得0.252.5m n =⎧⎨=⎩，．
于是0.25() 2.5(0.30.1)z x y x y =+++．
显然当且仅当x y +与0.30.1x y +同时取得最大值时，z 最大．
由100.30.1 1.8x y x y +=⎧⎨+=⎩，，得46x y =⎧⎨=⎩
，． 此时0.540.567z x y =+=+⨯=（万元）．
∴当46x y ==，时，z 取得最大值．
故投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能确保在亏损不超过1．8万元的前提下，使可能的盈利最大．
点评：借助待定系数法求解线性规划问题的一般步骤是：①列出线性约束条件及目标函数；②用待定系数法构造变量组合；③解出“=”成立的条件
