高中数学解题方法谈 线性规划问题新解法

简单线性规划问题的几种简单解法依不拉音。

司马义（吐鲁番市三堡中学，838009）“简单的线性规划问题”属于高中数学新课程必修5，进入了高考试题，并且保持了较大的考察比例，几乎是每年高考的必考内容，也是高中数学教学的一个难点。

简单的线性规划是指目标函数只含两个自变量的线性规划。

简单线性规划问题的标准型为：1112220(0)0(0),(),0(0)m m m A x B y C A x B y C m N z Ax By A x B y C +++≥≤⎧⎪++≥≤⎪∈=+⎨⎪⎪++≥≤⎩L约束条件 目标函数 ，下面介绍简单线性规划问题的几种简单解法。

1. 图解法第一步、画出约束条件表示的可行区域，这里有两种画可行区域的方法。

⑴代点法：直线Ax+By+C=0（c 不为0）的某侧任取一点，把它的坐标代入不等式，若不等式成立，则不等式表示的区域在该点的那一侧；若不成立，则在另一侧。

⑵B 判别法：若Ｂ＞0（＜０），则不等式Ax+By+C ＞0（＜０）表示的区域在直线Ax+By+C ＝0的上方；若Ｂ＞０（＜０），则不等式Ax+By+C ＜０(＞0)表示的区域在直线Ax+By+C ＝0的下方。

（即若B 与0的大小方向跟不等式的方向相同，则可行区域是边界线的上方；若B 与0的大小方向与不等式的方向相反，则可信分区域是边界线的下方）用上面的两种方法画出可行区域是很简单，所以这里不必举例说明。

第二步、在画出的可行区域内求最优解（使目标函数取最大值或最小值的点），这个可以用下面的两种办法解决。

⑴y 轴上的截距法：若b >0，直线y a b x z b=-+所经过可行域上的点使其y 轴上的截距最大（最小）时，便是z 取得最大值（最小值）的点；若b <0，直线y a b x z b =-+所经过可行域上的点使其y 轴上的截距最大（最小）时，是z 取得最小值（最小值）的点（提醒：截距不是距离，截距可以取正负）。

线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。

它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。

线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。

本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。

一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。

它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。

通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。

在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。

这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。

例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。

这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。

二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。

决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。

2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。

3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。

例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。

4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。

它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。

高中数学解线性规划问题的方法与思路总结一、引言线性规划是高中数学中的重要内容，也是数学建模和实际问题求解中常用的方法之一。

本文将总结解线性规划问题的方法与思路，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用线性规划。

二、线性规划问题的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最优值的问题。

其中，线性约束条件可以用一组线性不等式或等式表示，线性目标函数是一次函数。

三、线性规划问题的解题步骤1. 建立数学模型：根据实际问题，确定决策变量、目标函数和约束条件，并将其转化为数学表达式。

2. 确定可行域：根据约束条件，确定决策变量的取值范围，即可行域。

3. 确定最优解：通过图像、代数或单纯形表等方法，确定最优解的存在性和唯一性。

4. 求解最优解：利用图像、代数或单纯形表等方法，求解最优解，并进行验证。

5. 分析最优解：对最优解进行解释和分析，得出结论。

四、线性规划问题的解题技巧1. 图像法：将线性规划问题转化为几何问题，在平面直角坐标系中绘制可行域和目标函数的图像，通过观察图像找到最优解。

例如，解决如下问题：求函数 f(x, y) = 3x + 4y 在约束条件x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y ≤ 6 的可行域中的最大值。

通过绘制可行域和目标函数的图像，可以观察到最优解在可行域的顶点处取得。

2. 代数法：通过代数计算，利用不等式关系和线性目标函数的性质，求解最优解。

例如，解决如下问题：求函数 f(x, y) = 2x + 3y 在约束条件x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4 的可行域中的最大值。

通过列出不等式组成的方程组，利用代数方法求解方程组，得到最优解。

3. 单纯形表法：适用于多个决策变量和多个约束条件的线性规划问题。

通过构建单纯形表，利用迭代计算的方法求解最优解。

例如，解决如下问题：求函数 f(x, y, z) = 5x + 4y + 3z 在约束条件x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z = 6 的可行域中的最大值。

高中数学线性规划解题技巧在高中数学中，线性规划是一个重要的内容，也是考试中常见的题型。

线性规划是一种优化问题，通过建立数学模型，找出使目标函数达到最优值的变量取值。

在解题过程中，我们需要掌握一些技巧和方法，下面就来具体介绍一下。

一、确定变量和目标函数在解线性规划问题时，首先要明确变量和目标函数。

变量是我们要求解的未知数，而目标函数则是我们要优化的目标。

例如，假设我们要求解一个生产问题，生产两种产品A和B，我们可以将A的产量表示为x，B的产量表示为y，目标函数可以是总利润或总成本。

二、列出约束条件约束条件是限制变量取值范围的条件，也是我们解题的关键。

要列出准确的约束条件，需要仔细分析题目并进行逻辑推理。

约束条件可以是生产能力、资源限制、市场需求等各种限制条件。

例如，假设某工厂生产产品A和B，A的生产需要2个单位的资源1和3个单位的资源2，B的生产需要4个单位的资源1和1个单位的资源2。

工厂拥有资源1的总量为10个单位，资源2的总量为12个单位。

那么我们可以得到以下约束条件：2x + 4y ≤ 103x + y ≤ 12三、确定可行域可行域是指满足所有约束条件的变量取值范围。

在解线性规划问题时，我们需要确定可行域的范围，以便找到最优解。

为了确定可行域，我们可以将约束条件转化为不等式，并将其绘制在坐标系中。

通过求解这些不等式的交集，我们可以确定可行域的范围。

以前面的例子为例，我们可以将约束条件绘制在坐标系中，得到以下图形：[图1]根据图中的交集部分，我们可以确定可行域的范围。

四、确定最优解确定最优解是线性规划的核心问题。

我们需要找到使目标函数达到最大或最小值的变量取值。

在确定最优解时，有两种常用的方法：图形法和单纯形法。

图形法通过绘制等高线图来找到最优解，而单纯形法通过迭代计算来逐步逼近最优解。

以目标函数为总利润的例子为例，我们可以通过图形法找到最优解。

在可行域中，我们需要找到使总利润最大化的点。

通过绘制等高线图，我们可以找到目标函数的等高线与可行域的交点，从而确定最优解。

高中数学中的线性规划问题解析在高中数学学习中，线性规划是一个重要的概念和工具。

它是一种数学建模方法，用于解决在给定约束条件下的最优化问题。

线性规划通常涉及到一组线性方程和不等式，以及一个目标函数，我们的目标是找到满足约束条件的最优解。

一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念包括目标函数、约束条件和可行域。

目标函数是需要最大化或最小化的函数，通常表示为一个线性方程。

在线性规划中，我们的目标是找到使目标函数取得最大或最小值的变量值。

约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为一组线性不等式。

这些约束条件可以是资源的限制、技术条件或其他限制。

可行域是满足所有约束条件的变量取值集合。

可行域通常是一个多边形或多维空间中的区域，它表示了问题的可行解的范围。

二、线性规划的求解方法线性规划可以使用图像法、代数法或单纯形法等方法进行求解。

图像法是一种直观的方法，通过绘制约束条件和目标函数的图像来找到最优解。

在二维平面上，可行域是一个多边形，最优解是目标函数与可行域的交点。

在三维空间中，可行域是一个多面体，最优解是目标函数与可行域的交点。

代数法是一种代数计算的方法，通过解线性方程组来找到最优解。

我们可以将约束条件转化为等式，然后求解线性方程组。

通过代数方法，我们可以得到最优解的具体数值。

单纯形法是一种高效的算法，通过迭代计算来找到最优解。

单纯形法将线性规划问题转化为一个线性规划表格，并通过一系列的操作来逐步逼近最优解。

单纯形法是一种通用的求解线性规划问题的方法，可以处理任意维度的问题。

三、线性规划的应用线性规划在实际生活中有广泛的应用。

例如，在生产计划中，我们可以使用线性规划来确定最优的生产数量和资源分配方案，以最大化利润或最小化成本。

在物流管理中，我们可以使用线性规划来确定最优的运输路径和货物分配方案，以最小化运输成本或最大化运输效率。

线性规划还可以应用于金融领域、市场营销、资源管理等各个领域。

通过合理地建立数学模型，我们可以利用线性规划的方法来解决实际问题，提高决策的科学性和有效性。

高二数学线性规划问题解题步骤总结高中线性规划解题技巧线性规划问题是最简单的优化问题，是高二数学学习的重点。

下面WTT给高二学生带的数学期望与随机变量知识要点，希望对你有帮助。

高二数学线性规划问题解题步骤高二数学线性规划问题教学反思线性规划是《运筹学》中的基本组成部分，是通过数形结合方法来解决日常生活实践中的最优化问题的一种数学模型，体现了数形结合的数学思想，具有很强的现实意义。

也是高中数学教材的新增知识点，在近两年高考中属于必考知识。

线性规划问题，高考主要以选择填空题的形式出现，常考两种类型：一类是求目标函数的最值问题(或取值范围)，另一类是考查可行域的作法。

下面我们结合教材和各地高考及模拟题举例说明。

第一大类：求目标函数的最值问题，解答此类题型时，关键是要正确理解目标函数的几何意义，再数形结合求出目标函数的最值，而目标函数的几何意义是由其解析式确定的，常见的目标函数有三类。

1、截距式(目标函数为二元一次型)，即，这也是最常见的类型，目标函数值的几何意义是与直线的纵截距有关。

2、距离式(目标函数为二元二次型)，目标函数值的几何意义与距离有关。

3、斜率式(目标函数为分式型)，目标函数值的几何意义与直线的斜率有关。

反思该节线性规划的教学，认为应注意如下几个问题1.线性规划应用题条，数据较多，梳理已知数据至关重要(以线定界，以点定面)2.学生作图时太慢，没有使用尺规作图，找最优解时不会通过斜率比较分析。

(用尺作图直观)3.借用线性规划思想解题能力不强，某些目标函数的几何意义理解不透。

(三组形式)4.高考中对线性规划的考查常以选择、填空题的形式出现，具有小巧、灵活的特点，因此，对常见题型要重点训练。

总之，对于线性规划问题，应坚持应用数形结合的思想方法解题，作出可行域和看出目标函数的几何意义是解题关键。

高二数学学习方法(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。

记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

高考数学中的线性规划算法解题技巧高考数学中的线性规划是一种非常重要的问题类型，在考试中经常被考查，对于学生来说是必须掌握的一项技能。

而在线性规划中，解题的算法是关键，正确运用算法不仅能够提高解题效率，还能避免不必要的错误。

本文将介绍一些线性规划解题的算法和技巧，帮助学生在考试中取得更好的成绩。

一、线性规划的基本概念在解题之前，我们需要熟悉线性规划的一些基本概念。

线性规划是指在一定的限制条件下，求解一个线性函数的最大或最小值。

在这个过程中，我们需要确定目标函数、约束条件以及变量的取值范围。

通常情况下，我们可以将线性规划问题表示为标准型或非标准型。

标准型的形式如下：$$\max(z)=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n$$$$s.t.\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n\le b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n\le b_2\\...\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n\le b_m\\\end{cases}$$变量取值范围为$x_i\ge0(i=1,2,...,n)$而非标准型的形式则可以被转化为标准型。

二、单纯形法的原理和步骤单纯形法是解决线性规划问题的一种经典算法，其基本原理是通过不断地构造可行解和寻找可行解中的最优解来达到最终的优化目标。

其具体步骤如下：1、将标准型问题中的目标函数系数、约束条件系数和右端项系数分别组成一个矩阵。

2、选择其中一个非基变量（即取值为0的变量）作为入基变量，计算出使目标函数增大的最大步长。

3、选择其中一个基变量（即取值不为0的变量）作为出基变量，计算出使目标函数增大的最小步长。

4、通过第2步和第3步计算出的步长来更新目标函数和约束条件，得到一个新的可行解。

5、使用新的可行解重复进行第2-4步的计算，直到找到最优解。

需要注意的是，单纯形法有两种可能的结果：一是存在最优解，二是存在无穷多个最优解。