全国重点大学(清华北大复旦交大同济)自主招生数学试题

清华大学自主招生数学试题解析一、引言近年来，自主招生考试逐渐成为高等教育选拔的重要方式之一。

作为中国顶尖的学府之一，清华大学在自主招生中具有极高的影响力和标准制定地位。

数学作为基础学科，是清华大学自主招生考试的重要科目。

本文将对清华大学自主招生数学试题进行解析，探讨其考察内容、特点及应对策略。

二、考察内容1、基础知识：清华大学自主招生数学试题中，基础知识考察占据较大比例。

包括但不限于高中数学中的函数、数列、三角函数、概率与统计等。

2、知识运用：除了基础知识外，试题还注重考察考生对数学知识的运用能力。

例如，通过实际应用题或几何题的形式，要求考生运用数学知识解决实际问题。

3、思维能力：清华大学自主招生数学试题注重考察考生的思维能力，包括逻辑推理、归纳分类、化归等能力。

这类题目通常需要考生灵活运用数学知识，通过猜想、归纳、推理等方式寻找解题思路。

4、创新精神：自主招生数学试题还注重考察考生的创新精神和实践能力。

这类题目通常以开放式问题的形式出现，要求考生从不同角度思考问题，寻找独特的解题方法。

三、特点分析1、覆盖面广：清华大学自主招生数学试题涉及的知识面较广，要求考生具备扎实的数学基础和广泛的知识储备。

2、难度适中：试题难度适中，既考察了考生的基础知识，又对其思维能力、创新能力进行了充分挑战。

3、突出重点：试题突出对重点知识的考察，如函数与方程、数列与不等式、平面几何等，要求考生对重点知识有深入理解和掌握。

4、强调应用：试题强调对数学知识的应用能力，通过设置实际应用题等方式，引导考生数学在实际生活中的应用价值。

四、应对策略1、巩固基础知识：针对清华大学自主招生数学试题中基础知识的考察，考生应注重巩固高中阶段的基础知识，尤其是函数、数列、三角函数等重点内容。

2、提高运用能力：在掌握基础知识的前提下，考生应注重提高对数学知识的运用能力。

通过练习实际应用题、几何题等类型，提高解决实际问题的能力。

3、培养思维能力：考生应在平时的学习中注重培养逻辑推理、归纳分类、化归等思维能力。

复旦大学自主招生数学1、当a和b取遍所有实数时，函数f a，b=a+5−3cos+a−2sin所能取到的最小值（）2、记2012！=1×2×3×⋯×2012从1到2012之间所有整数的连乘积，则2012！的值的尾部（从个位往前计数）连续的0的个数是（）3、已知数列a n满足：3a n+1+a n=4n≥1，且a1=9，其前n项和为S n，则满足不等式S n−n−6<1125的最小整数n是（）4、在如果所示三棱柱中，点A、BB1的中点M以及B1C1的中点N所决定的平面把三棱柱切割成体积不相同的两部分，则小部分的体积和大部分的体积之比为（）5、方程x−=1有（）解6、方程3x2−e x=0的实根是（）7、设f x=x8−x5+x2−x+1，则f x有性质（）8、证明2是一个无理数9、若对一切实数x都有x−5+x−7>a，则实数a的取值范围是（）10、设某个多边形Σ的顶点在复平面中均是形式为1+z+z2+⋯+z k−1的点，其中z≤1，则点z=0有性质（）多边形Σ上的点。

11、如图，半径为r的四分之一的圆ABC上，分别以AB和AC为直径作两个半圆，分别标有a的阴影部分面积和标有b的阴影部分面积，则这两部分面积a和b的大小关系是？12、设x，y，z>0满足xyz+y+z=12，则log4x+log2y+log2z的最大值为（）13、设实数r>1，如果复平面上的动点z满足z=r，则动点ω=z+1z的轨迹是（）焦距的椭圆。

14、对函数f：0，1→0，1，定义f1x=f x，L，f n x=f f n−1x，n=1，2，3，⋯，满足f n x=x的点x∈0，1称为f的一个n周期点，现设f x=2x，0≤x≤122−2x，12≤x≤1，问f的一个n周期点的个数是（）15、已知数列a n 满足：a 1=22的等比数列，则k=1na k =（）16、设集合X 是实数集R 的子集，如果点x 0∈R 满足：对任意a >0，都存在，使得0<x −x 0<ax 0为集合X 的聚点，则下列集合：①∈Z ，n ≥0，②R \0,∈Z ，n ≠0,④Z 中，以0为聚点的集合有（）17、在一个底面半径为12，高为1的圆柱内放入一个直径为1的实心球后，在圆柱内空余的地方放入和实心球、圆柱侧面及两个底面之一都相切的小球，最多可以放入这样的小球个数是（）18、经过坐标变换x ‘=x cos θ+y sin θy ’=−x sin θ+y cos θ将二次曲线3x 2−23xy +5y 2−6=0转化为形如x ‘2a 2±y ’2b 2=1的标准方程，求θ并判断二次曲线的类型（）19、已知常数k 1，k 2满足0<k 1<k 2，k 1k 2=1.设C 1与C 2分别是以y =±k 1x −1+1和y =±k 2x −1+1为渐近线且通过原点的双曲线，则C 1与C 2的离心率之比等于（）20、设非零向量a=a1，a2，a3，b =b1，b2，b3，c=c1，c2，c3为共面向量，x=x1，x2，x3是未知向量，则满足a∙x=0，b ∙x=0，c∙x=0的向量x的个数为（）21、将同时满足不等式x−ky−2≤0，2x+3y−6≥0，x+6y−10≤0k>0的点x，y组成的集合D称为可行域，将函数y+1x称为目标函数，所谓规划问题就是求解可行域中的点x，y使目标函数达到在可行域上的最小值。

大学自招数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)的值为：A. 1B. 3C. -1D. 52. 以下哪个选项是不等式x^2 - 5x + 6 < 0的解集？A. (1, 6)B. (2, 3)C. (-∞, 2) ∪ (3, +∞)D. (2, 3)3. 已知向量a = (3, -1)，向量b = (2, 2)，则向量a与向量b的点积为：A. 4B. 2C. -2D. 04. 若复数z满足z^2 = 1 + i，则z的值是：A. 1B. -1C. iD. -i二、填空题（每题5分，共20分）5. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x) 的值为 _______。

6. 已知等比数列{a_n}的首项a_1 = 2，公比q = 3，求第5项a_5的值为 _______。

7. 计算定积分∫(0 to π) sin(x) dx 的值为 _______。

8. 若矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，则矩阵A的行列式det(A)的值为_______。

三、解答题（每题15分，共40分）9. 证明：若x > 0，y > 0，则x + y ≥ 2√(xy)。

证明：由基本不等式可知，对于任意正数x和y，有x/y + y/x ≥ 2。

将不等式两边同时乘以xy，得到x^2 + y^2 ≥ 2xy。

由于x和y都是正数，所以x + y ≥ 2√(xy)。

10. 解方程组：\[\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases}\]解：将第一个方程乘以2，得到2x + 2y = 10。

将第二个方程加到第一个方程上，得到3x = 11，所以x = 11/3。

将x的值代入第一个方程，得到y = 5 - 11/3 = 4/3。

因此，方程组的解为x = 11/3，y =4/3。

四、综合题（20分）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f(x)的单调区间，并证明。

1、设函数y=f（x）=e x+1，则反函数OyxOyxO x答案：A2、设f（x）是区间[a，b]f（x）是[a，b]上的递增函数，那么，f（xA．存在满足x<y的x，y∈[a，b]B．不存在x，y∈[a，b]满足x<y且fC．对任意满足x<y的x，y∈[a，b]D．存在满足x<y的x，y∈[a，b]答案：A3、设]2,2[,ππβα-∈，且满足sinαA． [−2，2] B． [答案：D4、设实数0,≥yx，且满足2=+yxA．97/8 B．答案：C5则该多面体的体积为______________。

A．2/3 B．3/4答案：D6、在一个底面半径为1/2，高为1的圆柱内放入一个直径为1的实心球后，在圆柱内空余的地方放入和实心球、侧面以及两个底面之一都相切的小球，最多可以放入这样的小球个数是___________。

A ．32个；B ．30个；C ．28个；D ．26个答案：B7、给定平面向量（1，1），那么，平面向量（231-，231+）是将向量（1，1）经过________． A ．顺时针旋转60°所得； B ．顺时针旋转120°所得； C ．逆时针旋转60°所得；D ．逆时针旋转120°所得；答案：C8、在直角坐标系O xy 中已知点A 1（1，0），A 2（1/2，3/2），A 4（−1，0），A 5（−1/2，−3/2）和A6（1/2， −3/2）．问在向量−−→−ji A A （i ，j=1，2，3，4，5，6，i≠j）中，不同向量的个数有_____． A ．9个； B ．15个； C ．18个； D ．30个答案：C9、对函数f:[0，1]→[0，1]，定义f 1（x ）=f （x ），……，f n（x ） =f （f n −1（x ）），n=1，2，3，……．满足f n （x ）=x 的点x ∈[0，1]称为f 的一个n −周期点．现设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=121,22,210,2)(x x x x x f 问f 的n −周期点的个数是___________．A ．2n 个；B ．2n 2个；C ．2n个；D ．2（2n−1）个．答案：C10、已知复数z 1=1+3i ，z 2=−3+3i ，则复数z 1z 2的幅角__________． A ．13π/12 B ．11π/12 C ．−π/4 D ．−7π/12答案：A11、设复数βαβαcos sin ,sin cos i w i z +=+=满足z w =3/2，则sin （β−α）=______． A ．±3/2B ．3/2，−1/2C ．±1/2D ．1/2，−3/2答案：D12、已知常数k 1，k 2满足0<k 1<k 2，k 1k 2=1．设C 1和C 2分别是以y =±k 1（x −1）+1和y =±k 2（x −1）+1为渐近线且通过原点的双曲线．则C 1和C 2的离心率之比e 1/e 等于_______．A ．222111k k ++ B ．212211k k ++ C ．1 D ．k 1/k 2答案：C13、参数方程0,)cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 所表示的函数y=f （x ）是____________．A ．图像关于原点对称；B ．图像关于直线x =π对称；C ．周期为2a π的周期函数D ．周期为2π的周期函数．答案：C14、将同时满足不等式x −k y −2≤0，2x +3y −6≥0，x +6y −10≤0 （k>0）的点（x ，y ）组成集合D 称为可行域，将函数（y +1）/x 称为目标函数，所谓规划问题就是求解可行域中的点（x ，y ）使目标函数达到在可行域上的最小值．如果这个规划问题有无穷多个解（x ，y ），则k 的取值为_____．A ．k≥1;B ．k≤2C ．k=2D ．k=1．答案：C15、某校有一个班级，设变量x 是该班同学的姓名，变量y 是该班同学的学号，变量z 是该班同学的身高，变量w 是该班同学某一门课程的考试成绩．则下列选项中正确的是________．A ．y 是x 的函数；B ．z 是y 的函数；C ．w 是z 的函数；D ．w 是x 的函数．答案：B16、对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是________． A ．逆命题为“周期函数不是单调函数”； B ．否命题为“单调函数是周期函数”； C ．逆否命题为“周期函数是单调函数”； D ．以上三者都不正确 答案：D17、设集合A={（x ，y ）|log a x +log a y >0}，B={（x ，y ）|y +x <a}．如果A∩B=∅，则a 的取值范围是_______ A ．∅ B ．a>0，a≠1 C ．0<a≤2， a≠1 D ．1<a≤2答案：D18、设计和X 是实数集R 的子集，如果点x 0∈R 满足：对任意a>0，都存在x ∈X 使得0<|x −x 0|<a ，则称x 0为集合X 的聚点．用Z 表示整数集，则在下列集合（1）{n/（n+1）|n ∈Z ， n≥0}， （2） R\{0}， （3）{1/n|n ∈Z ， n≠0}， （4）整数集Z 中，以0为聚点的集合有_____． A ．（2），（3）B ．（1），（4）C ．（1），（3）D ．（1），（2），（4）答案：A19、已知点A （−2，0），B （1，0），C （0，1），如果直线kx y =将三角形△ABC 分割为两个部分，则当k =______时，这两个部分得面积之积最大？A ．23-B ．43-C ．34-D ．32-答案：A20、已知x x x x f 2cos 3cos sin )(+=，定义域⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ππ127,121)(f D ，则=-)(1x f_____A ．π12123arccos 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x B ．π6123arccos 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x C ．π12123arcsin 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x D ．π6123arcsin 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 答案：A21、设1l ，2l 是两条异面直线，则直线l 和1l ，2l 都垂直的必要不充分条件是______ A ．l 是过点11l P ∈和点22l P ∈的直线，这里21P P 等于直线1l 和2l 间的距离 B ．l 上的每一点到1l 和2l 的距离都相等 C ．垂直于l 的平面平行于1l 和2lD ．存在与1l 和2l 都相交的直线与l 平行 答案：D22、设ABC −A’B’C’是正三棱柱，底面边长和高都为1，P 是侧面ABB’A’的中心，则P 到侧面ACC’A’的对角线的距离是_____A ．21B ．43C ．814D ．823答案：C23、在一个球面上画一组三个互不相交的圆，成为球面上的一个三圆组．如果可以在球面上通过移动和缩放将一个三圆组移动到另外一个三圆组，并且在移动过程中三个圆保持互不相交，则称这两个三圆组有相同的位置关系，否则就称有不同的位置关系．那么，球面上具有不同的位置关系的三圆组有______A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种 答案：A24、设非零向量()()()321321321,,,,,,,,c c c c b b b b a a a a ===为共面向量，),,(31x x x x x = 是未知向量，则满足0,0,0=⋅=⋅=⋅x c x b x a的向量x 的个数为_____A ．1个B ．无穷多个C ．0个D ．不能确定 答案：B25、在Oxy 坐标平面上给定点)1,2(),3,2(),2,1(C B A ，矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-112k 将向量OC OB OA ,,分别变换成向量,,，如果它们的终点',','C B A 连线构成直角三角形，斜边为''C B ，则k 的取值为______A ．2±B ．2C ．0D ．0，−2 答案：B26、设集合A ，B ，C ，D 是全集X 的子集，A∩B≠∅，A∩C≠∅．则下列选项中正确的是______． A ．如果B D ⊂或C D ⊂，则D∩A≠∅； B ．如果A D ⊂，则C x D∩B≠∅，C x D∩C≠∅； C ．如果A D ⊃，则C x D∩B=∅，C x D∩C=∅； D ．上述各项都不正确．27、已知数列{}n a 满足21=a 且n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，则∑==nk k a 1______A ．221-+n nB ．22)1(1+-+n n C ．)1(22-+n n n D ．n n n 22)1(+-28、复平面上圆周2211=+--iz z 的圆心是_______ A ．3+i B ．3−iC ．1+iD ．1−i29．已知C 是以O 为圆心、r 为半径的圆周，两点P 、P *在以O 为起点的射线上，且满足|OP|∙|OP *|=r 2，则称P 、P *关于圆周C 对称．那么，双曲线22x y -=1上的点P （x ，y ）关于单位圆周C':x 2＋y 2=1的对称点P *所满足的方程是（A ）2244x y x y -=+（B ）()22222x y x y-=+（C ）()22442x y x y-=+（D ）()222222x y x y-=+30、经过坐标变换⎩⎨⎧+-=+=θθθθcos sin 'sin cos 'y x y y x x 将二次曲线06532322=-+-y xy x 转化为形如1''2222=±b y a x 的标准方程，求θ的取值并判断二次曲线的类型_______ A ．)(6Z k k ∈+=ππθ，为椭圆 B ．)(62Z k k ∈+=ππθ，为椭圆C ．)(6Z k k ∈-=ππθ，为双曲线D ．)(62Z k k ∈-=ππθ，为双曲线31、设k ， m ， n 是整数，不定方程mx+ny=k 有整数解的必要条件是____________ A ．m ，n 都整除kB ．m ，n 的最大公因子整除kC ．m ，n ，k 两两互素D ．m ，n ，k 除1外没有其它共因子。

2022年复旦大学自主招生数学试题2022年的高校自主招生已经落下帷幕，笔者对2022年复旦大学自主招生数学试题作出解析，以餐读者.第1题 抛物线22y px =, 过焦点F 作直线交抛物线于A B 、两点, 满足3AFFB =, 过A 作抛物线准线的垂线, 垂足记为A ', O 为顶点, 若四边形'CFAA 的面积为123, 求p .解法1:由题意可知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为()02p x my m =+>，()(),,,AABBA x yB x y联立222y pxpx my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得2220y pmy p --=由韦达定理可得：22,ABABy y pm y y p +==-因为3AF FB=,所以3ABy y=-易得22223B B y pm y p -=⎧⎨-=-⎩，所以2133A m y p ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以32A x p =所以2'3333123222A AA CF S y p p p +=⋅=⋅==，解得22p =.解法2:设直线AB 的倾斜角为θ，易得,1cos 1cos p pAF BF θθ==-+因为3AFFB =，则1cos 31cos θθ+=-，解得1cos 2θ=，所以3πθ= 因为3'2,'232AF AA p CA p p ===⨯=所以()1231232S p p p =+⋅=，解得22p =. 第2题 已知实数xy , 满足221x xy +=, 求22x y +最小值.解法1:（消元法）因为0x ≠ ，则112y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2222111515422x y x x -⎛⎫+=+-≥⎪⎝⎭ 当且仅当2215x x =，即255x =时，等号成立. 解法2:（三角换元法）设222x y r +=，则cos ,sin x r y r θθ==因为221x xy +=，所以222cos 2sin cos 1r r θθθ+⋅=即()221cos 215151cos sin 2sin 2sin 222222r θθθθθϕ+=+=++=++≤ 因此2512r -≥，所以22x y +的最小值为512-. 第3题已知()sin(2π)cos(2π)sin(4π)cos(4π)f x a x b x c x d x =+++, 若()()122f x f x f x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭, 则在,,,a b c d 中能确定的参数是________. 解：因为()()122f x f x f x⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以令0x =，则102f d b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以b d =令14x =，则3110442f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得20d -=，则0b d ==易得()sin(2π)sin(4π)f x a x c x =+因为()()122f x f x f x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以2sin 4sin 4sin8c x a x c x πππ=+恒成立即()sin 422cos40x c a c x ππ--=，惟独0a c ==恒成立，所以0a b c d ====. 第4题 若三次方程32450x ax x +++=有一个根是纯虚数, 则a =________.解：设纯虚数根为bi ，则32450b i ab bi --++=，所以3245b b b a⎧=⎨=⎩，解得54a =5.展开式102311x y x y ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭中, 常数项为________.解法1：101010101023233410101010i=0i=0001111i i i i i i k k i j j i i i k j x y C x y C C x C y x y x y ---+--==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫+++=++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑则有304100k i j i -=⎧⎨+-=⎩，即3104i k ij ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，易得0,3,6,9i =当0i =时，52j Z =∉；当3i =时，74j Z =∉；当9i =时，14j Z =∉；当6i =时，2j k ==符合题意，则常数项为622106412600C C C ⋅⋅=解法2:只有一种情况出现常数，即()()3422311x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，它的系数为24131084312600C C C C ⋅⋅⋅=.6. ()111lim ++14253n n n →∞⎡⎤+=⎢⎥⨯⨯+⎣⎦________. 解：因为()1111333n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 所以()1111111111111++14253314253123n n n n n n ⎛⎫+=-+-++⋅⋅⋅+-+- ⎪⨯⨯+-++⎝⎭1111111323123n n n ⎛⎫=++--- ⎪+++⎝⎭， 所以()11111111111lim ++lim 11425332312318n n n n n n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫+=++---= ⎪⎢⎥⨯⨯++++⎝⎭⎣⎦ 第7题 点()4,5绕点()1,1顺时针旋转60度, 所得的点的坐标为________. 解法1:设点()()()1,1,3,4,,A B C x y ，则直线AB 的斜率为514413ABk-==- 由夹角公式可得43tan 6034113AC ABAC ABACACkk kk kk --︒===+⋅+,所以2534839AC k -=由()()221253481391125y x x y ⎧--=⎪-⎨⎪-+-=⎩可解得54326332x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，所以所得的点的坐标为54363322⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭， 解法2: 设点()()()1,1,3,4,,A B C x y ，则()3,4AB =,()1,1AC x y =-- 因为5AB AC ==,所以()()221125x y -+-=因为3471cos 252AB ACx y BAC AB AC⋅+-∠===⋅，所以41332y x =-+ 由()()22413321125y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪-+-=⎩可解得：54326332x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 易得点的坐标为54363322⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭， 解法3: 设点()()1,1,3,4A B ，则()3,4AB =,在复平面对应的复数为()345cos sin z i i θθ=+=+（其中34cos ,sin 55θθ==）则顺时针旋转60︒，则15cos sin 33z AC i ππθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即343433,22AC ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭,易得点的坐标为54363322⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭， 第8题 方程5cos 43cos2ρθρρθ=+所表示的曲线形状是________.解法1：因为()25cos 43cos2432cos 1θθθ=+=+-，所以26cos 5cos 10θθ-+=所以1cos 2θ=或者1cos3θ=，所以曲线形状是从原点出发的左半平面的四条射线.解法2:原方程可化为2225cos 43cos2ρθρρθ=+，即()()222222543x x y x y x y +=++- 所以222257x x y x y +=+，即222424110x x y y -+=， 故()()()22223800x y xy x --=≥，所以()3,220y x y x x =±=±≥，所以曲线形状是从原点出发的左半平面的四条射线.第9题 设ππ,,,44x y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦若333πcos 20,24sin cos 0x x a y y y a ⎧⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪++=⎩则()cos 2x y += . 解：由333πcos 20,24sin cos 0x x a y y y a ⎧⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪++=⎩可得()33sin 202sin 220x x a y y a ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩构造函数()3sin f x x x=+，易得()f x 是奇函数.所以()()20f x f y +=所以20x y +=，则()cos 21x y +=第10题 实数,x y 满足221,x y +=若262x y a a x y +-++--的值与,x y 无关,则a 的范围是 .解法1:()262262x y a a x y x y a x y a +-++--=+-+-+-的值与,x y 无关，所以2x y a +-与()62x y a -+-同号，即026x y a ≤+-≤，所以26a x y a ≤+≤+因为221x y +=，令cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，则()2cos 2sin 5sin 5,5x y αααϕ⎡⎤+=+=+∈-⎣⎦所以565a a ⎧≤-⎪⎨+≥⎪⎩，所以565a -≤≤-.解法2: ()2622625+55x y a x y a x y a a x y ⎡⎤+-++-+-++--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的值与,x y 无关，说明直线()20,260x y a x y a +-=+-+=在单位圆的两侧，所以565a -≤≤-. 第11题 在△ABC 中,1cos ,3BAC ∠=若O为内心,且满足,AO xAB y AC =+则x y +的最大值为 .解:设ADAO xAB y AC λλλ==+,因为,,B C D 三点共线，所以1x y λλ+=即11111sin 2AO AO AO x y OE AAD AO OD AO OE AO λ+===≤==++++因为21cos 1sin 23A A =-=,所以3sin 23A =.所以332x y -+≤第12题 已知直线:cos m y x α=和:3n x y c +=, 则( ) A.m 和n 可能重合 B. m 和n 不可能垂直C. 存在直线m 上一点,P 以P 为中心旋转后与m 重合D. 以上都不对解：直线m 的斜率为[]cos 1,1α∈-，所以m 和n 不可能重合，故A 错；当1cos 3α=时，两直线垂直，故B 错；直线m 和n 必相交，当点P 位于交点处时，以点P 为中心旋转后与m 重合，故选C.第13题 抛物线23y x =的焦点为,F A 在抛物线上,A 点处的切线与AF 夹角为30°,则A 点的横坐标为 .解：设()23,A y y ，对隐函数23yx =求导可得6'1y y ⋅=，即1'6y y=，所以切线的斜率为016k y =，因为0201312AF y k y =-，由夹角公式tan 301AF AF k k kk -︒=+,解得133AF k k k +=-即002003161133126y y y y+=--，解得0123y =,所以200134x y ==第14题 已知P 为直线6014x y -=-上一点,且P 点到()2,5A 和()4,3B 的距离相同,则P 点坐标为.解：直线方程为460x y +-=，线段AB 的中点为()34，，所以直线AB 的中垂线方程为1y x =+，点P 为直线460x y +-=与直线AB 的中垂线的交点.则146y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，所以P 点坐标为()12， 第15题 已知{},1,2,3,4,5,6,7,8,9x y ∈且,y x ≠联结原点O 和()(),,,A x y B y x 两点,则12arctan 3AOB ∠=的概率为 .解法1：如图，设线段AB 的中点为C ,即1arctan 3AOC ∠=，易得,22x y x y C ++⎛⎫⎪⎝⎭在Rt ADC 中，,22x y x yCD AC --==, 所以在Rt ACO 中，2212sin 10x yACAOC AOx y -∠=⇒=+，解得12y x =在1~9中任取两个数,x y 满足12y x =的有()()()()21426384，，，，，，，，所以29419P C ==. 解法2:如图，设1arctan 3α=，线段OA 与x 轴正半轴所成的角为β，所以1113tan tan 14213πβα-⎛⎫=-== ⎪⎝⎭+，所以12y x = 在1~9中任取两个数,x y 满足12y x =的有()()()()21426384，，，，，，，，所以29419P C ==. 第16题 14323arcsin arcsin 84++=. 解：设14323arcsin,arcsin 84αβ+==，则14323sin ,sin 84αβ+== 易得32147cos ,cos 84αβ-==，所以()2cos cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-=-，故34παβ+= 第17题 已知三棱锥-P ABC 的体积为10.5, 且6,4,10,AB AC BC AP BP =====则CP 长度为 .解：如图，取AB 的中点D ,连接,PD CD ,易得AB ⊥平面PCD ,91,7PD CD ==,所以三棱锥-P ABC 的体积为12132PCD SAB⋅=,即1121917sin 6322PDC ⨯⨯⨯⨯∠⨯=所以3sin 213PDC ∠=，所以43cos 213PDC ∠=±由余弦定理可得291+743cos 2917213PC PDC -∠==±⨯⨯,解得98743PC =± 第18题 在△ABC 中,9,6,7,AB BC CA ===则BC 边上中线长度为 .解法1:取BC 的中点D ，由中线长公式可得：222222AB AC AD BD +=+,解得214AD =.解法2:由余弦定理可知22296717cos 29627B +-==⨯⨯, 所以2279329321427AD =+-⨯⨯⨯= 第19题 若()21,f x x =-则()()f f x 的图象大致为 . 解：()()()2242112f f x x x x =--=-，图象大致为W 形.第20题 定义{}1,(),|()()11,M M Nx M f x M N x f x f x x M ∈⎧⎪=⊗==-⎨-∉⎪⎩, 已知{}|2A x x x =<-, {}|(3)(3)0B x x x x =+->, 则A B ⊗= .解：易知()()(),1,3,03,A B =-∞=-+∞当3x ≤-时，()()1AB fx f x =-满足题意；当30x -<<时，()()1AB fx f x =不满足题意；当01x ≤<时，()()1ABf x f x =-满足题意；当13x <≤时，()()1ABf x f x =不满足题意；当3x >时，()()1ABfx f x =-满足题意.综上所述，(][)(),30,13,A B ⊗=-∞-+∞第21题 方程34122022x y z ++=的非负整数解的组数为 .解：因为34122022x y z ++=，,,0x y z ≥，易得4|x ，设4x m =，则124122022m y z ++= 即33505m y z ++=，则3|505y -，因此()505mod3y ≡，则()1mod3y ≡，设31y n =+所以168,,,0m n z m n z ++=≥，设111p m q n r z =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，则171,,1p q r p q r ++=≥，，用隔板法可得2170C 种.第22题 已知,,m n ∈且011,n ≤≤若满足202220222312,m n +=+则n = . 解：因为()()2022202220222022231mod3233mod 4+=+=，，所以7n =.第23题 凸四边形,ABCD 则BAC BDC ∠=∠是DAC DBC ∠=∠的 条件. 解：充要条件第24题 设函数()33x x f x -=-的反函数为()1,y f x -=则()()111g x f x -=-+在[]3,5-上的最大值和最小值的和为 .解：()()111g x f x -=-+在[]3,5-上的最大值和最小值等价于求()11f x -+在[]44-,上的最大值和最小值，即()44f x -≤≤,解得52325x -≤≤+，所以()()22log 52,log 25x ⎡⎤∈-+⎣⎦，所以()()111g x fx -=-+在[]3,5-上的最大值和最小值的和为()()32log52522⎡⎤+-+=⎣⎦. 第25题 若4,k >直线2280kx y k --+=与222440x k y k +--=和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是 .解：直线2280kx y k --+=与222440x k y k +--=恒过定点()2,4C ，则2480,4,2,0A B k k ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2214181411422448,0,224S k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+-⨯=-+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以17,82S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.第26题 已知A B C D 、、、四点共圆,且1,2,4,5,AB CD AD BC ====则PA 的长度为 . 解：易得PABPCD ,则12PA PB AB PC PD CD ===,设,PA X PB Y ==,则25124254Y X X Y Y X Y X =-⎧==⇒⎨=+++⎩,解得143X = 第27题 给定5个函数,其中3个奇函数,2个偶函数,则在这5个函数中任意取3个,其中既有奇函数、又有偶函数的概率为 .解：33359110C P C =-= 第28题 下列不等式恒成立的是( )A. 2211x x x x+≥+ B. 12x y x y -+≥- C. x y x z y z -≥-+- 解：()()()()()222322221111111110x x x x x x x x x x x x x x x x -++-⎛⎫⎡⎤+-+=-+=---=≥ ⎪⎣⎦⎝⎭，A 选项正确；当0,2x y ==时，B 选项不成立；当1,2,0x y z ===时，C 选项不成立. 第29题 向量数列{}n a 满足1,n n a a d +=+且满足1133,,2a a d =⋅=-令11,n n ii S a a =⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑则当nS 取最大时,n 的值为 . 解：()()()211111313913244n n i i n n n n S a a a na d n n n =--⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅+=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，当6n =或者7n =时，nS 取得最大值. 第30题 某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任务,每人负责一天.已知甲不安排在第一天,乙不安排在第二天,甲和丙在相邻两天,则不同的安排方式有 种.解：当甲丙在第一二天时，则有55120A =种；当甲丙在第二三天时，则有2525240A A =种； 当甲丙连续在第三四五六七天时，则有242444768A A =种；所以共有120+240+768=1128种.第31题 直线12,l l 交于O 点,M 为平面上任意一点,若,p q 分别为M 点到直线12,l l 的距离,则称(),p q 为点M 的距离坐标.已知非负常数,,p q 下列三个命题正确的个数是 .(1) 若0,p q ==则距离坐标为()0,0的点有且仅有1个;(2) 若0,pq =且0,p q +≠则距离坐标为(),p q 的点有且仅有2个;(3) 若0,pq ≠则距离坐标为(),p q 的点有且仅有4个.解：(1)正确，当0,p q ==则距离坐标为()0,0的点有且仅有1个为O 点;(2)正确，若0p =时，该点分别为关于交点O 对称的点,A B ；若0q =类似.(3)正确，作12,l l 的平行线交于,,,A B C D ,,AC BD 距离2l 为q ，,AB CD 距离1l 为p 故答案为3个.。

自主招生试题选讲(清华、北大、交大等)2009，11清华大学、上海交通大学、中国科学技术大学、南京大学、西安交通大学五所顶尖大学自主招生上强强联手，掀开了国内高招史上的新篇章自主招生试题特点：试题难度高于高考，有的达到竞赛难度，试题灵活，毫无规律可寻，但各个学校有自己命题风格。

一般说来，各高校对后续性的知识点：如，函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。

应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，基础题目分数比例大约占60-70% 2、适当拓展知识面，自主招生中，有不少内容是超出教材范围3、对考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手，并进行分析。

几个热点问题方程的根的问题：1. 已知函数2()f x ax bx c =++(0)a ≠，且()f x x =没有实数根．那么(())f f x x =是否有实数根？并证明你的结论．（08交大）2. 设432()(1)(32)4f x a x x a x a =++-+-，试证明对任意实数a ： （1）方程()0f x =总有相同实根； （2）存在0x ，恒有0()0f x ≠．（07交大）3.（06交大）设3229,29270k x kx k x k ≥++++=解方程4. （053=的实数根．5.（05交大）320x ax bx c +++=的三根分别为a ,b ,c ，并且a ,b ,c 是不全为零的有理数，求a ,b ,c 的值．6. 解方程：．求方程x =n 重根）的解．(09交大)凸函数问题1. (2009复旦)如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x ，y 都满足()()()22x yf x f y f ++≤，则称这个函数时下凸函数，下列函数（1）()f x 2x = （2）()f x =3x（3）()f x =2log x （0x >）（4）,0,()2,0,x x f x x x <⎧=⎨≥⎩中是下凸函数的有-------------------。

北京大学 2023 年优秀中学生寒假学堂数学试题说明：本试题为考生回忆版，共 20 题，每题 5 分，考试时间 60 分钟。

1．设复数,,a b c 满足2223330,3a b c a b c a b c ++=++=++=，则202320232023a b c ++的值为A ．0B ．3C ．2023D ．其它三个答案都不对2．方程组2223334,6,10x y z x y z x y z ++=++=++=的解的个数为A ．0B ．3C ．6D ．其它三个答案都不对3．设三角形ABC 的三个顶点为复平面上的三点123,,z z z ，满足1231231223310,82i,1510i z z z z z z z z z z z z =++=+++=+，则三角形ABC 内心的复数坐标z 的虚部所在区间为A ．(0.0,5) C ．(1,2)B ．(0,0.5)D ．其它三个答案都不对4．若P 是三角形ABC 的外心，0,120PA PB BC C λ++==︒∠，则实数λ的值为B ．其它三个答案都不对2A ． -1C ． −3D ．12-5．在四面体ABCD 中，面ABC 与面BCD 成60︒的二面角，顶点A 在BCD 的投影H 是三角形BCD 的垂心，G 是三角形ABC 的重心，若4,AH AB AC ==，则GH 的长度是ABC ．其它三个答案都不对D6．过单位正方体1111ABCD A B C D -对角线1BD 做截面，则截面面积的最小值为A．3B．4C ．其它三个答案都不对D ．627．已知直线l 与双曲线22221(0)x y b a a b-=>>两支分别交于点,P Q ，O 为原点，若OP OQ ⊥，则O 到直线l 的距离为A ．abb a-B ．2ab b a -C ．其它三个答案都不对D8．在三角形ABC 中，444222,,,2(),72AB c AC b BC a a b c c a b A ===++=+∠=︒，则B ∠=A ．其它三个答案都不对B ．63︒C ．45︒D ．60︒9．设222121011133520212023S =+++⋅⋅⋅ ，则[]S 的值为A ．251B ．252C ．其它三个答案都不对D ．25310．过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左焦点1F 做倾角为60︒的直线l 交椭圆与,A B 两点，若2AF BF =，则椭圆的离心率为A ．34B ．23C ．其它三个答案都不对D ．1211．以一个正方体的顶点为顶点构成的棱锥的个数为A ．其它三个答案都不对B ．104C ．106D ．10812．已知函数:f →R R 的图像关于点3(,0)4-中心对称且3()(),(1)1,(0)22f x f x f f =-+-==-，则(1)(2)(2022)f f f +++ 的值为A ．其它三个答案都不对B ．6-C ．6D ．013．已知数列{}n a 满足12111,1,,2n n n a a a a a n +-===+≥，则2020202320212022a a a a ⋅-⋅的值为A ．1-B ．1C ．2-D ．其它三个答案都不对14．对于任意的实数z ，方程组22,231,x ay z xy z z +=⎧⎨=++⎩有实数解(,)x y ，则参数a 的变化范围是A ．[4,0)-B ．[2,2)-C ．其它三个答案都不对D ．[0,4)15．以一个给定正2022边形的4个顶点为顶点的梯形称为好梯形，好梯形的个数为A ．100910101011⋅⋅B ．100810091010⋅⋅C ．100010111012⋅⋅D ．其它三个答案都不对16．已知圆内接四边形的边长为2,6,4AB BC CD DA ====，则四边形ABCD 的面积为A．B．C．D ．其它三个答案都不对17．设π,(0,)2x y ∈，则222211cos sin sin cos x x y y+的最小值为A ．8B ．10C ．9D ．其它三个答案都不对18.设=2023,x y =20232023，且y nn n=a x ,x n=b y ，则（ ）A.∃N ∈ n ∀n >,N a n <b ,n +a b n <∀n > ∀∈n ,n a b C. ++，使得nB.D. 其它三个选项<均不对19.数列{a }n 满足a 012=1,=2,a a =6且+32+1=7n n n n a a a a +5++，记k =(2023)!，则a k −1模 ） B.13179的余数为（ A.166C.1D.其它三个选项均不对20.有六件货物，其中两件为次品，其余四件合格，每次从中抽取一件检验后不放回，求恰好需要四次检验就能确定出次品的概率.2023年北京大学优秀中学生寒假学堂数学测试题答案1.解：因为2222()2220a b c a b c ab bc ca ab bc ca ++=+++++⇒++=且3332223()()=1a b c abc a b c a b c ab bc ca abc ++-=++++---⇒从而我们有=001a b c ab bc ca abc ++⎧⎪++=⎨⎪=⎩由韦达定理知,,a b c 是方程310x -=的三个根.由于20231(mod 3)≡，所以202320232023=0a b c a b c ++++=故选择A .2.解：类似于上题，我们可以得到=452x y z xy yx zx xyz ++⎧⎪++=⎨⎪=⎩从而,,x y z 是方程324520t t t -+-=的三个根，注意到322452(1)(2)t t t t t -+-=--从而,,x y z 是1,1,2的一个排列，即原方程组的解有3组，故选择B .3.解：不失一般性，设10z =，则1212+=8+21510z z i z z i=+，从而有23=532z z i=+，不妨设23,z z 对应的点为A 和B ，内心为I ，从而有5,13,8OA OB AB ===且3Im()()OA z OA AB OB r ⋅=++⋅所以105138r =++于是我们有510100.5165169594r <=<<=++++从而选择B 4.解：设AB 的中点为D ，则2PA PB PD +=.由0PA PB PC λ++=，有20PD PC λ+= 所以向量,PD PC共线，又P 是ABC ∆外心，故PA PB PD AB =⇒⊥，从而CD AB ⊥，因为120ACB ∠=，所以120APB ∠=，即四边形APBC 是棱形，于是2PA PB PD PC+== 所以20PD PC PC PC λλ+=+= 所以1λ=-，故选择A .5.设平面AHD 交BC 于F ，则BC DF ⊥，从而BC ADF ⊥面，于是BC AF ⊥，这说明AFH ∠为平面ABC 与平面BCD 成的二面角，即60AFH ∠=.在ABC ∆中，由AB AC =可知BF CF =，从而G 在AF 上且13GF AF =.在直角三角形AHF 中，4AF =，所以FH AF GF ===.在GFH ∆中，由余弦定理可得2221122cos 27GH GF FH GH HF AFH =+-⋅∠=从而9GH ==，故选择B6.解：由对称性，我们只需要考虑截面与面1AD 的交线交线段1AA 于E 的情形.注意到截面面积1112BD A BED F S S S BD d ∆===⋅=四边形其中d 为点E 到线段1BD 的距离.要使得截面面积S 最小，只需要考虑1AA 上的点到1BD 的距离d 最小.取E 为1AA 的中点，易得1OE BD ⊥，且1OE AA ⊥，此时d OE =为异面直线1AA 到1BD 的距离，为d 的最小值且min 122d EF ==.于是截面面积min min 2622S ===故选择D .7.解：不妨设OP m OQ n ==，且POx θ∠=。

1、（Ⅰ）已知函数：1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值;（Ⅱ）证明:()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈；（Ⅲ）定理:若123,,k a a a a L 均为正数,则有123123()n n nn nk k a a a a a a a a k k++++++++≥L L 成立(其中2,,)k k N k *≥∈为常数．请你构造一个函数()g x ，证明：当1231,,,,,k k a a a a a +L 均为正数时，12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++L L ．解：（Ⅰ）令111'()2()0n n n f x nx n a x ---=-+=得11(2)()2n n x a x x a x x a --=+∴=+∴=…2分 当0x a ≤≤时，2x x a <+ '()0f x ∴≤ 故()f x 在[0,]a 上递减．当,'()0x a f x >>故()f x 在(,)a +∞上递增．所以，当x a =时，()f x 的最小值为()0f a =.….4分 （Ⅱ）由0b >，有()()0f b f a ≥= 即1()2()()0n n n n f b a b a b -=+-+≥ 故()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈．………………………………………5分 （Ⅲ）证明:要证： 12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++L L只要证：112311231(1)()()n n n n n nk k k a a a a a a a a -+++++++≥++++L L设()g x =1123123(1)()()n n n nn n k a a a x a a a x -+++++-++++L L …………………7分 则11112'()(1)()n n n k g x k nx n a a a x ---=+⋅-++++L 令'()0g x =得12ka a a x k+++=L …………………………………………………….8分当0x ≤≤12ka a a k+++L 时，1112'()[(]()n n k g x n kx x n a a a x --=+-++++L故12()[0,]k a a a g x k +++L 在上递减，类似地可证12()(,)ka a a g x k++++∞L 在递增所以12()k a a a x g x k +++=L 当时，的最小值为12()ka a a g k+++L ………………10分而11212121212()(1)[()]()n n n n n n k k k k k a a a a a a a a a g k a a a a a a k k k-+++++++++=+++++-++++L L L L L =1121212(1)[()()(1)()]n n n n nn n k k k nk k a a a a a a k a a a k -++++++++-++++L K L =11212(1)[()()]n n n n n n k k nk k a a a k a a a k -++++-+++L L =1112121(1)[()()]n n n n n n k k n k k a a a a a a k---++++-+++L L 由定理知: 11212()()0n n n nn k k k a a a a a a -+++-+++≥L L 故12()0ka a a g k+++≥L故112311231(1)()()n n n n n n k k k a a a a a a a a -+++++++≥++++L L即: 12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++L L .…………………………..14分2、用类比推理的方法填表答案：5354321b b b b b b =••••3、10．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：（i ）1*1=1，（ii ）（n +1）*1=n *1+1，则n *1等于A ．nB ．n +1C ．n -1D ．2n 答案：D4、若)(n f 为*)(12N n n ∈+的各位数字之和，如：1971142=+，17791=++，则17)14(=f ;记=∈===+)8(*,)),(()(,)),(()(),()(20081121f N k n f f n f n f f n f n f n f k k 则K ____答案：55、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面。

清华、北大、复旦、人大、上交大、同济等10大高校自招试题汇总
本文试题包括：北京大学、清华大学、人民大学、复旦大学、浙江大学五所高校2018年自主招生笔试面试题目。

01
北京大学
2018年通过北京大学各类自主选拔项目审核的人数接近6000人。

对于一些具有特殊天赋和才能的学生，北大将量身定制测试方式。

01
考试安排
6月11日上午：主要进行自主招生笔试、筑梦计划笔试和博雅初审优秀面试。

自主招生、筑梦计划笔试时间为8:00-11:00，笔试在北京大学第三教学楼进行，考试分多个考场。

博雅初审优秀面试入场从7:30开始，10:40左右结束，面试在北京大学文史楼。

6月11日下午：13:00-18:30进行博雅计划笔试。

6月12日：不同的考生进行各种面试，体测。

6月13日：学科单独面试，主要针对报考经管、光华等项目的考生。

特殊提醒：本次自主招生学科营优秀的考生，只需进行笔试，无面试和体测。

体质测试参考项目：身高标准体重、肺活量体重指数、坐位体前屈、立定跳远、仰卧起坐（女）、引体向上（男）等，具体测试项目以现场要求为准。

02
自主招生笔试题。

全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总一．集合与命题 (2)二．不等式 (9)三．函数 (20)四．数列 (27)五．矩阵、行列式、排列组合，二项式定理，概率统计 (31)六．排列组合，二项式定理，概率统计（续）复数 (35)七．复数 (39)八．三角 (42)近年来自主招生数学试卷解读第一讲集合与命题第一部分近年来自主招生数学试卷解读一、各学校考试题型分析：交大：题型：填空题10题，每题5分；解答题5道，每题10分；考试时间：90分钟，满分100分；试题难度：略高于高考，比竞赛一试稍简单；考试知识点分布：基本涵盖高中数学教材高考所有内容，如：集合、函数、不等式、数列（包括极限）、三角、复数、排列组合、向量、二项式定理、解析几何和立体几何复旦：题型：试题类型全部为选择题（四选一）；全考试时间：总的考试时间为3小时（共200道选择题，总分1000分，其中数学部分30题左右，，每题5分）；试题难度：基本相当于高考；考试知识点分布：除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如：行列式、矩阵等；考试重点：侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等同济：题型：填空题8题左右，分数大约40分，解答题约5题，每题大约12分；考试时间：90分钟，满分100分；试题难度：基本上相当于高考；考试知识点分布：常规高考内容二、试题特点分析：1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。

关键步骤提示：2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。

关键步骤提示：()()()4243222342(2)(2)(1)(2)(1)f a x x a x x xx x x a x x x =--++-=+-+++-111(,),(,),(,)nnni i i ii i i i i i id u w a d v w b d u v a b a b a b ======-+≥-∑∑∑由绝对值不等式性质，三、 应试和准备策略1.注意知识点的全面数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，因此，要求学生平时要把基础知识打扎实。