第七章 振动和波动

第七章 振动和波动7-1 说明下列运动是否简谐振动： (1)拍皮球时球的上下运动；(2)一个小球沿着半径很大的光滑凹球面往返滚动，小球所经过的弧线很短，如题图所示；(3)竖直悬挂的轻弹簧的下端系一重物，把重物从静止位置拉下一段距离(在弹簧的弹性限度内)，然后放手任其运动 (忽略阻力影响)。

解：（1）不是简谐振动F kx （小球在空中受力为mg ）(2)可以近似看成简谐振动，弧线很短，半径很大 如图示sin小球的振动方程为：22sin d mR mg dt即得：2220d dt其中2ql此方程即为简谐振动方程 （3）是简谐振动由胡克定律：0mgkx 得0mgx k重物在任一位置时，所受的合力为： 0()F kx mg k xx由牛顿第二定律 22d xFm dt 令： '0x xx 则得：2''2d x kxm dt即得：2'2'20d x x dt其中：2km此方程即为简谐振动方程。

7-2 一个运动质点的位移与时间的关系为：50.1cos 23x t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭, 其中x 的单位是m ，t 的单位是s 。

试求： (1)周期、角频率、频率、振幅和初相位；(2) 2t s 时质点的位移、速度和加速度。

解：（1） 50.1cos()23xt m52rads ； 24552T s ； 524hg 振幅： 0.1A m 初相位：3rad （2）2ts 时： 0.1cos(5)0.1cos 0.0533x m 1255530.1sin()0.10.6822322t sdxt ms dt22222255510.1cos 0.13.0822322t sd x atms dt7-3 一个质量为2.5 kg 的物体系于水平放置的轻弹簧的一端，弹簧的另一端被固定。

若弹簧受10 N 的拉力，其伸长量为5.0 cm ，求物体的振动周期。

解：2100210210510o oF F kx kN m x物体作简谐振动：222102.5k m18.94rad s 故： 20.702Ts7-4 求题图所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为m m ，两个轻弹簧的劲度系数分别为1k 和2k 。

解：如图： 物体在任一位置受到的弹力为： 1212()Fk x k x k k x2122()d x Fm k k x dt即得：2220d x x dt其中212k k m12122k k m7-5 求图所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为m ，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1 和k2。

解：是轴弹簧；两弹簧受到的弹力相同，均为F又：两弹簧伸长量为12xx x设：两弹簧串联后的劲度系数为k 则：FxK 又：11Fx K 22F x K 12F F FKK K 即得：1212K K K K K由牛顿第二定律：222220d x d x Fm x dt dt1212()K K K mm K K1212122()K K m K K7-6 仿照式(6-15)的推导过程，导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。

解： 0cos()t21(1cos )2p E mgl E mgh mgl22011(1cos )22kpEE E m mgl mgl故：2202(1cos )(22cos )gl gl gl 2022cos l7-7 与轻弹簧的一端相接的小球沿x 轴作简谐振动，振幅为A ，位移与时间的关系可以用余弦函数表示。

若在0t =时，小球的运动状态分别为(1)x A =-； (2)过平衡位置，向轴正方向运动； (3)过2A x =处，向轴x 负方向运动； (4)过2Ax =处，向x 轴正方向运动。

试确定上述各状态的初相位。

解：（1）0cos x A a cos 1（2）00cosx A 0sin0v A32（3）0cos 2A x A ϕ== 0sin 0v A ωϕ=-< 3πϕ∴= （4）0cos 2A x A ϕ== 0sin 0v A ωϕ=-> 4πϕ∴=-7-8 长度为l 的弹簧，上端被固定，下端挂一重物后长度变为l s +，并仍在弹性限度之内。

若将重物向上托起，使弹簧缩回到原来的长度，然后放手，重物将作上下运动。

(1)证明重物的运动是简谐振动；(2)求此简谐振动的振幅、角频率和频率；(3)若从放手时开始计时，求此振动的位移与时间的关系(向下为正)。

解： (1) 如图，椐题意由胡克定律：ks mg = mgk s∴= 重物在任一位置时，所受的合力为：()F kx mg k x s =-+=--由牛顿第二定律：22;d x F m dt= 令'x x s =-则得：2''2d x kx m dt -= 即得 ：2'22'0d x x dt ω+= 其中： 2k g m sω== 即为简谐振动。

（2）平衡位置为：x s =初始状态为弹簧缩回到原来的长度：A s ∴= k g m s ω== 11222k g m sωνπππ=== （3）据题意，如图：0cos x A A ϕ=-=；00v = ϕπ∴= 振动位移与时间的关系为：cos()x A t ωπ=+7-9 一个物体放在一块水平木板上，此板在水平方向上以频率ν作简谐振动。

若物体与木板之间的静摩擦系数为0μ ，试求使物体随木板一起振动的最大振幅。

解：简谐振动的最大作用力为：2cos()F ma mA t ωωϕ==-+20m m F ma mA mg ωμ∴==-=故：0002222(2)4g g gA v vμμμωππ=== 7-10 一个物体放在一块水平木板上，此板在竖直方向上以频率ν作简谐振动。

试求物体和木板一起振动的最大振幅。

解：简谐振动的最大加速度为g （据题意）2g A ω= 2222(2)4gg gA v v ωππ∴===7-11 一个系统作简谐振动，周期为T ，初相位为零。

问在哪些时刻物体的动能与势能相等？解：据题意，简谐振动方程为： 2cos()x A t Tπ= 22sin()dx v A t dt T Tππ∴==- 由机械能守恒定律：22112()22m E mV m A Tπ==-K P E E E =+ 当 K P E E = 时： 12K E E =22122112[sin()]()222A t A T T Tπππ∴= 即得： 22sin()2t T π=±21()424T t n t n T πππ∴=±⇒=± 即：(41)8Tt n =± 7-12 质量为10 g 的物体作简谐振动，其振幅为24 cm ，周期为1.0 s ，当t=0时，位移为+24 cm ，求：(1)18t s =时物体的位置以及所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x=12 cm 处所需要的最少时间；(3)在x=12 cm 处物体的速度、动能、势能和总能量。

解：据题意物体的振动方程为： ()()()224cos 00.24cos 21.0x t cm t m ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（1）124cos 16.9784t s x cm π∴====时： ()()2232210102 3.1416.9710 6.710F ma m x N ω---==⋅-=-⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯（2） 当x=12cm 时： 1cos 2223t t πππ=⇒= 10.176t s ∴== (3) ()()0.242sin 20.48sin 2;0.242m v t t v πππππ=-⨯=-=⨯112cos 22x cm t π==当时 2110.481 1.32v m s π-⎛⎫∴=⨯-=⋅ ⎪⎝⎭()2323111010 1.38.51022k E mv J --==⨯⨯⨯=⨯()()22321110100.242 1.141022m E mv J π--==⨯⨯⨯⨯=⨯230.2910 2.910p k E E E J J --∴=-=⨯=⨯7-13 质量为0.10 kg 的物体以22.010m -⨯的振幅作简谐振动，其最大加速度为24.0m s -⋅，求：(1)振动周期；(2)通过平衡位置的动能；(3)总能量。

解：（1）令振动方程为：()cos x A t ωϕ=+ 则：()222cos d x a A t dtωωϕ==-+224.0 2.010m a m s A m --=⋅=⨯ 22242102.010m a A ω-∴===⨯⨯ 114.14rad s ω-=⋅22 3.140.4414.14T s πω⨯===（2）通过平衡位置的动能为：2221122k E E mv mA ω===（3）总能量为：()()22310.01 2.01014.14 4.0102km E E J --==⨯⨯⨯⨯=⨯7-14 一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动：()10.05cos 23x t π=+和()120.06cos 23x t π=- (式中x 的单位是m，t 的单位是s)，求合振动的振幅和初相位。

解：1220.05cos 20.06cos 233x x x t t ππ⎛⎫⎛⎫=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭220.05cos 2cos sin 2sin 0.06cos 2cos sin 2sin 3333t t t t ππππ⎡⎤⎡⎤=⋅-⋅+⋅+⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦110.05cos 20.0520.06cos 20.06sin 22222t t t t =⨯-⨯-⨯+⨯10.01cos 2222t t =-⨯+10.01cos 222t t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦440.01cos cos 2sin sin 233t t ππ⎡⎤=⨯-⎢⎥⎣⎦40.01cos 23t π⎛⎫=+⎪⎝⎭另解：1220.05cos 20.06cos 233x x x t t ππ⎛⎫⎛⎫=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20.05cos 20.06cos 2233t t ππππ⎛⎫⎛⎫=-++++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭440.05cos 20.06cos 233t t ππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭40.01cos 23t π⎛⎫=+⎪⎝⎭7-15 有两个在同一直线上的简谐振动：()130.05cos 104x t π=+和()20.06cos 104x t π=-，试问：(1)它们合振动的振幅和初相位各为多大？(2)若另有一简谐振动()30.07cos 10x t ϕ=+，分别与上两个振动叠加，ϕ为何值时，13x x +的振幅为最大？ϕ为何值时，23x x +的振幅为最小？解：（1）1240.05cos 100.06cos 1034x x x t t ππ⎛⎫⎛⎫=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭30.05cos 100.06cos 1044t t πππ⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭330.05cos 100.06cos 1044t t ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭30.01cos 104t π⎛⎫=-+⎪⎝⎭0.01cos 104t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴合振动的振幅为0.01m 。