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2017年北京四中自主招生数学试卷

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2017年北京四中自主招生数学试卷一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．（5.00分）已知＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（）A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80° C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30°2．（5.00分）实数b满|b|＜3，并且有实数a，a＜b恒成立，a的取值范围是（）A．小于或等于3的实数B．小于3的实数C．小于或等于﹣3的实数D．小于﹣3的实数3．（5.00分）x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k 的值为（）A．﹣1 B．或﹣1 C．D．﹣或14．（5.00分）代数式的最小值为（）A．12 B．13 C．14 D．115．（5.00分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6六个数．连续掷两次，掷得面向上的点数之和是3的倍数的概率为（）A．B．C．D．6．（5.00分）1×2+2×3+3×4+…+99×100=（）A．223 300 B．333 300 C．443 300 D．433 300二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．（5.00分）多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为．8．（5.00分）已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤2x+6，x、y为整数，则点P的个数是．9．（5.00分）已知⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别是、，则∠BAC 的度数是．10．（5.00分）方程（2007x）2﹣2006×2008x﹣1=0的较大根为a，方程x2+2006x ﹣2007=0的较小根为b，则a﹣b=．11．（5.00分）已知x=，则x3+12x的算术平方根是．12．（5.00分）如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6．△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至AB边延长线上的C′处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）的面积是．三、解答题（共5小题，满分60分）13．（10.00分）现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若干个小正方体．在这些小正方体中，求：（1）两面涂有红色的小正方体的个数；（2）任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率；（3）若将原正方体每条棱n等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数．14．（10.00分）已知x，y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，求代数式x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值．15．（12.00分）在直角△ABC中，∠C=90°，直角边BC与直角坐标系中的x轴重合，其内切圆的圆心坐标为P（0，1），若抛物线y=kx2+2kx+1的顶点为A．（1）求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向；（2）用k表示B点的坐标；（3）当k取何值时，∠ABC=60°？16．（14.00分）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ．（1）求证：RQ是⊙O的切线；（2）求证：OB2=PB•PQ+OP2；（3）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围．17．（14.00分）平面上有n个点（n≥3，n为自然数），其中任何三点不在同一直线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于．2017年北京四中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．（5.00分）已知＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（）A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80° C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30°【分析】首先明确cos30°=，sin80°=cos10°，再根据余弦函数随角增大而减小，进行分析．【解答】解：∵cos30°=，sin80°=cos10°，余弦函数随角增大而减小，∴10°＜A＜30°．故选：D．【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键；还要知道正余弦之间的转换方法：一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值．2．（5.00分）实数b满|b|＜3，并且有实数a，a＜b恒成立，a的取值范围是（）A．小于或等于3的实数B．小于3的实数C．小于或等于﹣3的实数D．小于﹣3的实数【分析】熟悉绝对值的意义，根据绝对值的意义求得b的取值范围，再根据a，b的关系求得a的取值范围．【解答】解：∵|b|＜3，∴﹣3＜b＜3，又∵a＜b，∴a的取值范围是小于或等于﹣3的实数．故选：C．【点评】此题考查了绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，更直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．3．（5.00分）x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k的值为（）A．﹣1 B．或﹣1 C．D．﹣或1【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，再根据x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2代入已知条件中，求得k的值．【解答】解：根据根与系数的关系，得x1+x2=﹣1，x1x2=k．又x12+x1x2+x22=2k2，则（x1+x2）2﹣x1x2=2k2，即1﹣k=2k2，解得k=﹣1或．当k=时，△=1﹣2＜0，方程没有实数根，应舍去．∴取k=﹣1．故选：A．【点评】注意：利用根与系数的关系求得的字母的值一定要代入原方程，看方程是否有实数根．4．（5.00分）代数式的最小值为（）A．12 B．13 C．14 D．11【分析】先将原式可化为+，代数式的值即P（x，0）到A（0，﹣2）和B（12，3）的距离之和，显然当P为“x轴与线段AB交点”时，PA+PB=AB最短．【解答】解：如图所示：设P点坐标为P（x，0），原式可化为+，即=AP，=BP，AB==13．代数式的最小值为13．故选：B．【点评】解答此题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根，当a=0时，=0，当a小于0时，二次根式无意义．2、性质：=|a|．5．（5.00分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6六个数．连续掷两次，掷得面向上的点数之和是3的倍数的概率为（）A．B．C．D．【分析】依据题意先分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【解答】解：共有6×6=36种可能，掷得面向上的点数之和是3的倍数的有12种，所以概率是，故选C．【点评】用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6．（5.00分）1×2+2×3+3×4+…+99×100=（）A．223 300 B．333 300 C．443 300 D．433 300【分析】根据题目中的数据可以求出该式子的结果，从而可以解答本题．【解答】解：1×2+2×3+3×4+…+99×100=++…+===333300，故选：B．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，找出题目中数字的变化规律．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．（5.00分）多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．【分析】将﹣11x2分为﹣6x2和﹣5x2两部分，原式可化为6x3﹣6x2﹣5x2+x+4，6x3﹣6x2可提公因式，分为一组，﹣5x2+x+4可用十字相乘法分解，分为一组．【解答】解：6x3﹣11x2+x+4，=6x3﹣6x2﹣5x2+x+4，=6x2（x﹣1）﹣（5x2﹣x﹣4），=6x2（x﹣1）﹣（x﹣1）（5x+4），=（x﹣1）（6x2﹣5x﹣4），=（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．【点评】本题考查了用分组分解法进行因式分解，要考虑分组后还能进行下一步分解，把﹣11x2分成﹣6x2和﹣5x2两部分是解题的关键，也是难点．8．（5.00分）已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤2x+6，x、y为整数，则点P的个数是6．【分析】先根据第二象限点的坐标特征求出x，y的取值范围，再根据y的取值范围求出x的整数解，进而可求出符合条件的y的值．【解答】解：∵点P（x，y）位于第二象限，∴x＜0，y＞0，又∵y≤2x+6，∴2x+6＞0，即x＞﹣3，所以﹣3＜x＜0，x=﹣1或﹣2，当x=﹣1时0＜y≤4，y=1，2，3，4；当x=﹣2时，y≤2，即y=1或2；综上所述，点P为：（﹣1，1），（﹣1，2）（﹣1，3），（﹣1，4），（﹣2，1），（﹣2，2）共6个点．【点评】本题主要考查了不等式的解法及坐标系内点的坐标特点，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求特殊值．9．（5.00分）已知⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别是、，则∠BAC 的度数是15°或75°．【分析】根据垂径定理和勾股定理可得．【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．∵OE⊥AC，OD⊥AB，根据垂径定理得AE=AC=，AD=AB=，∴sin∠AOE===，sin∠AOD==，根据特殊角的三角函数值可得∠AOE=60°，∠AOD=45°，∴∠BAO=45°，∠CAO=90°﹣60°=30°，∴∠BAC=45°+30°=75°，或∠BAC′=45°﹣30°=15°．故答案为：15°或75°．【点评】此题主要考查了垂径定理和勾股定理．注意要考虑到两种情况．10．（5.00分）方程（2007x）2﹣2006×2008x﹣1=0的较大根为a，方程x2+2006x ﹣2007=0的较小根为b，则a﹣b=2008．【分析】根据系数的特点，应用十字相乘法来因式分解，从而求解．【解答】解：（2007x）2﹣2006×2008x﹣1=0，原方程可化为，20072x2+（﹣20072+1）x﹣1=0，（x﹣1）（20072x+1）=0，解得x1=1，x2=﹣．∵所求方程x2+2006x﹣2007=0，则原方程可化为，（x﹣1）（x+2007）=0，解得x3=1，x4=﹣2007．方程（2007x）2﹣2006×2008x﹣1=0的较大根为x1=1，方程x2+2006x﹣2007=0的较小根为x4=﹣2007；则a﹣b=1﹣（﹣2007）=2008．【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．11．（5.00分）已知x=，则x3+12x的算术平方根是2．【分析】观察题目，可用借助于整体思想，设=a，=b，进行替换，加以解答．【解答】解：设=a，=b．则，．又4==a3b3，∴x=a2b﹣ab2，x2=a4b2﹣2a3b3+a2b4，故原式=x（x2+12），=（a2b﹣ab2）（a4b2﹣2a3b3+a2b4+12），=（a2b﹣ab2）（a4b2﹣8+a2b4+12），=（a2b﹣ab2）（a4b2+a2b4+4），=ab（a﹣b）a2b2（a2+b2+ab），=a3b3（a3﹣b3），=，=4×2=8．则其算术平方根是2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了立方根、算术平方根的定义，解题时注意运用公式简便计算（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3．同时注意用一个字母可以表示一个较复杂的数的整体思想．12．（5.00分）如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6．△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至AB边延长线上的C′处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）的面积是9π．【分析】根据旋转变换的性质可得△ABC与△A′BC′全等，从而得到阴影部分的面积=扇形ABA′的面积﹣小扇形CBC′的面积．【解答】解：根据旋转变换的性质，△ABC≌△A′BC′，∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6，∴BC=AB=3，∴阴影面积=﹣=9π．【点评】本题考查了扇形的面积计算，解题的关键是看出阴影部分的面积的表示等于两个扇形的面积的差，还考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．三、解答题（共5小题，满分60分）13．（10.00分）现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若干个小正方体．在这些小正方体中，求：（1）两面涂有红色的小正方体的个数；（2）任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率；（3）若将原正方体每条棱n等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数．【分析】（1）根据题意画出图形，计算出各小正方形的个数即可；（2）无色的小正方体的个数为83=512；除以所有正方体的个数即可；（3）得到大正方体的一个面只有一面涂有红色的小正方体的个数，乘以6即可．【解答】解：（1）8×12=96块；（2）P===0.512；（3）每个面有（n﹣2）2个（n＞1），6个面有N=6（n﹣2）2．【点评】考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．（10.00分）已知x，y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，求代数式x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值．【分析】由已知条件xy+（x+y）=17，x2y+xy2=xy（x+y）=66，可以看出xy和（x+y）是方程t2﹣17t+66=0的两个实数根，可得出xy=11，x+y=6时，x、y是方程v2﹣6v+11=0的两个根或xy=6，x+y=11时，x、y是方程u2﹣11u+6=0的两个根，根据根的判别式△=b2﹣4ac，判断两个方程有无实数根，有实数根时可以整理出x2+y2=（x+y）2﹣2xy，把原代数式化简为含x2+y2的形式，代入求值即可．【解答】解：由已知条件可知xy和（x+y）是方程t2﹣17t+66=0的两个实数根，由t1=6，t2=11得或，当xy=11，x+y=6时，x、y是方程v2﹣6v+11=0的两个根，∵△1=36﹣44＜0，∴此方程没有实数根；当xy=6，x+y=11时，x、y是方程u2﹣11u+6=0的两个根，∵△2=121﹣24＞0，∴此方程有实数根，这时x2+y2=（x+y）2﹣2xy=109，∴x4+x3y+x2y2+xy3+y4=x4+y4+x2y2+xy（x2+y2）=（x2+y2）2﹣x2y2+xy（x2+y2）=12499．【点评】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是掌握①一元二次方程根的判别式的有关内容．根的判别式△=b2﹣4ac＞0⇒方程有两个不相等的实数根；△=0⇒方程有两个相等的实数根；△＜0⇒方程没有实数根．②一元二次方程根与系数的关系：如果一个一元二次方程的两根是x1、x2，那么这个一元二次方程为x2﹣（x1+x2）x+x1x2=0．15．（12.00分）在直角△ABC中，∠C=90°，直角边BC与直角坐标系中的x轴重合，其内切圆的圆心坐标为P（0，1），若抛物线y=kx2+2kx+1的顶点为A．（1）求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向；（2）用k表示B点的坐标；（3）当k取何值时，∠ABC=60°？【分析】（1）对二次函数式进行变形，可得y=k（x+1）2+（1﹣k），即得顶点坐标A（﹣1，1﹣k），对称轴就是x=﹣1，又x=0时，y=1，说明函数经过（0，1），也就是二次函数的开口必然向下，即k＜0；（2）用k的代数式分别表示AC、BC、AB，利用勾股定理可得相等关系，可求出OB，即得B点坐标；（3）在Rt△ABC中利用∠ABC的正切值，可求出k的值，注意k＜0．【解答】解：（1）∵y=kx2+2kx+1∴对称轴x=﹣1，易见抛物线是以Rt△ABC的直角边AC所在直线为对称轴，∴A（﹣1，1﹣k），当x=0时，y=1，即抛物线过p（0，1），故k＜0开口向下．（2）如图，由题意可知：AC=1﹣k，BC=CO+OB=1+OB，AB=AD+BD=AE+OB=AC﹣CE+OB=OB﹣k由勾股定理得（1﹣k）2+（1+OB）2=（OB﹣k）2，解得：OB=，∴B（，0）；（3）∵∠ABC=60°，∴tan∠ABC=，又tan∠ABC===，∴=，∴k2+2﹣1=0，解得k1=﹣+2，k2=﹣﹣2，又∵k＜0∴k=﹣﹣2．【点评】本题是二次函数的综合题，利用了二次函数的解析式可以变形，勾股定理，以及三角函数，解一元二次方程等知识．16．（14.00分）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ．（1）求证：RQ是⊙O的切线；（2）求证：OB2=PB•PQ+OP2；（3）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围．【分析】（1）要证明RQ是⊙O的切线只要证明∠OQR=90°即可；（2）先证明△BCP∽△AQP，从而得到PB•PQ=PC•PA，整理即可得到OB2=PB•PQ+OP2；（3）分别考虑当RA=OA时或与A重合时，∠B的度数，从而确定其取值范围．【解答】证明：（1）连接OQ；∵OB=OC，PR=RQ；∴∠OBP=∠OQP，∠RPQ=∠RQP；∵∠OBP+∠BPO=90°，∠BPO=∠RPQ；∴∠OQP+∠RQP=90°；即∠OQR=90°，∴RQ是⊙O的切线．证明：（2）延长AO⊙O交于点C；∵∠BPC=∠QPA，∠BCP=∠AQP，∴△BCP∽△AQP，∴PB•PQ=PC•PA=（OC+OP）（OA﹣OP）=（OB+OP）（OB﹣OP）=OB2﹣OP2，∴OB2=PB•PQ+OP2．解：（3）当RA=OA时，∠R=30°，易得∠B=15°，当R与A重合时，∠B=45°；∵R是OA延长线上的点，∴R与A不重合，∴∠B≠45°；又∵RA≤OA，∴∠B＜45°，∴15°≤B＜45°．【点评】此题考查了学生对切线的判定及相似三角形的判定等知识点的综合运用．17．（14.00分）平面上有n个点（n≥3，n为自然数），其中任何三点不在同一直线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于．【分析】题目中的n个点中不妨设这两个点为A1、A2，则可以分当∠A2A1An≥180°﹣和当∠A2A1A n＜180°﹣两种情况进行讨论．根据三角形的内角和定理就可以证出．【解答】解：如图，在这n个点中，必存在这样的两点，使其它各点均在这两点所在直线同侧，设这两个点为A1、A2，其它各点按逆时针方向设为A3、A4、A n．（1）当∠A2A1A n≥180°﹣时，连接A2A n．在△A1A2A n中，∠A1A2A n+∠A1A n A2=180﹣∠A2A1A n≤则∠A2A1A n、∠A1A n A2中必有一个角不大于；（2）当∠A2A1A n＜180°﹣时，∠A2A1A3+∠A3A1A4+∠A4A1A5+…+∠A n﹣A1A n＜180°﹣，1则在这n﹣2个角中，必有一个角不大于设∠A i A1A i﹣1≤，则△A i A1A i﹣1即为所求三角形．【点评】本题的难度较大，分情况讨论是解题的关键．。

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2017北京四中

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B 1C 1A BEC2017北京四中高二（上）期中数 学（理）（试卷满分为150分，考试时间为120分钟） 试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分 （卷（．．I ．）和卷（．．．．II ．．）的所有题目都在答题纸上作答．．．．．．．．．．．．．．） 卷（I ）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 下面四个条件中，能确定一个平面的条件是 ( )． A. 空间任意三点 B.空间两条直线 C.空间两条平行直线 D.一条直线和一个点2．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ( )．A ．12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒B ．12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥C ．123////l l l ⇒1l ，2l ，3l 共面D ．1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面3. 已知m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题中正确的是： ( )．A ．若,αγβγ⊥⊥，则α∥βB ．若,m n αα⊥⊥，则m ∥nC ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β 4. 在四面体ABC P -的四个面中，是直角三角形的面至多有 ( )． A.0 个 B.1个 C. 3个 D .4个 5. 下列命题中错误．．的是 ( ).A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，l =βα ，那么l γ⊥平面D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β6. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA 垂直底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正 确的是 ( )．AA 1B 1BCC 1PA. 1CC 与1B E 是异面直线B. AC ⊥平面11ABB AC. AE ,11B C 为异面直线，且11AE BC ⊥D. 11//AC 平面1ABE 7. 把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角后，下列命题正确的是 ( )． A. BC AB ⊥ B. BD AC ⊥C. ABC CD 平面⊥D. ACD ABC 平面平面⊥ 8. 如图所示点P 为三棱柱111C B A ABC -侧棱1AA 上一动点， 若四棱锥11B BCC P -的体积为V ，则三棱柱111C B A ABC -的 体积为 ( )．A .V 2 B. V 3 C. 34V D. 23V二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9. 已知平面βα,和直线m ，给出条件：①α//m ；② α⊥m ；③ α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//(1) 当满足条件________（填序号或序号组合）时，有β//m ； (2) 当满足条件________（填序号或序号组合）时，有β⊥m .10．已知l m ,是直线，βα,是平面，给出下列命题正确的是________________. (1) 若l 垂直于α内的两条相交直线，则α⊥l ； (2) 若l 平行于α，则l 平行于α内所有直线；(3) ；则且βαβα⊥⊥⊂⊂,,,m l l m (4) ；则且若βααβ⊥⊥⊂,,l l (5) αβα且,,⊂⊂l m //m ，则β//l .11. 底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是___________.12. 三棱锥P —ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，PA =1，2==PC PB ，已知空间中有一个点到这四个点距离相等，则这个距离是 ___________.13. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .O BP A CEF14．如图，边长为a 的等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，已知'A DE ∆是ADE ∆绕DE 旋转过程中的一个图形（不考点'A 和A 、F 重合的情况）， 给出下列命题:①动点'A 在平面ABC 上的射影在线段AF 上； ②BC ∥平面'A DE ；③三棱锥'A FED -的体积有最大值； 其中正确的命题的序号是___________. 三、解答题：本大题共3小题，共30分15．如图，已知O PA 圆⊥所在的平面，AB 是O 圆的直径，2=AB ,O C 是圆上的一点，且BC AC =,角所在的平面成与圆 45O PC ，PC E 是中点，PB F 为的中点.(1) 求证：EF //面ABC ; (2) 求证：PAC EF 面⊥; (3) 求三棱锥PACB -的体积.16.如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点. 求证：（1）平面//EFG 平面ABC ； （2）SA BC ⊥.17. 如图1，在Rt A B C ∆中，90C ∠=，,D E 分别为,AC AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE ∆沿DE折起到1A DE ∆的位置，使1A F CD ⊥，如图2。

2017-2018年北京四中高二(下)期中数学试卷(理科)和解析PDF

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18． （5 分）对于函数 f（x）＝（2x﹣x2）ex （1） （2） 是 f（x）的单调递减区间； 是 f（x）的极小值， 是 f（x）的极大值；
（3）f（x）有最大值，没有最小值； （4）f（x）没有最大值，也没有最小值． 其中判断正确的是 ．
三、解答题：本大题共 4 小题，每小题 15 分，共 60 分. 19． （15 分）已知函数 f（x）＝ax3+x2（a∈R）在 （1）确定 a 的值； （2）若 g（x）＝f（x）ex，讨论 g（x）的单调性． 20． （15 分）设 f（x）＝a（x﹣5）2+6ln x，其中 a∈R，曲线 y＝f（x）在点（1， f（1） ）处的切线与 y 轴相交于点（0，6） ． （1）确定 a 的值； （2）求函数 f（x）的单调区间与极值． 21． （15 分）已知函数 f（x）＝ex+ ． 处取得极值．
11． （5 分）设函数 f′（x）是奇函数 f（x） （x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当 x＞0 时， xf′ （x） ﹣f （x） ＜0， 则使得 f （x） ＞0 成立的 x 的取值范围是 （ A． （﹣∞，﹣1）∪（0，1） C． （﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） B． （﹣1，0）∪（1，+∞） D． （0，1）∪（1，+∞） ）
14． （5 分）如图，函数 y＝f（x）的图象在点 P 处的切线方程是 y＝﹣x+8，则 f （2018）+f'（2018）＝ ．
15． （5 分）已知函数 f（x）＝ex﹣2x+a 有零点，则 a 的取值范围是 16． （5 分） 已知函数 （ f x） ＝x3+ax2+bx+a2 在 x＝l 处有极值 10， 则 （a， b） ＝
2017年北京市北京四中小升初分班测试卷(解析版)

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一、基本运算技能.（每小题 4 分，共 40 分） 1． （4 分）9876543×9+1＝ ． ． ． ．
2． （4 分）46391÷23﹣（82+22）＝ 3． （4 分） （101010﹣10101）×66÷99＝
4． （4 分）[11﹣（0.2+6.86÷0.7）]×（969.696+1047.304）＝ 5． （4 分）1.23÷3+2.31÷3+3.12÷3＝ 6． （4 分） 7． （4 分） 8． （4 分） 9． （4 分） 10． （4 分） ＝ ＝ ＝ ＝ ． ＝ ． ． ． ． ．
和这五个数的平均数 （共六个数） ，从小 个位置．
到大重新排列，那么平均数 排在第
15． （4 分）一个真分数，如果分子减去 1，分数变为 ；如果分子减去 2，分数 变为 ，那么这个分数为 16． （4 分）如果 例中项，则 x＝ ．
（x＞0） ，那么 x 叫做 a、b 的比例中项．若 是 和 x 的比 ． ． cm2，
28． （3 分）在多边形中，连结不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．这 样，三角形没有对角线，四边形有 2 条对角线，五边形有 5 条对角线，六边 形有 条对角线，十边形有 条对角线．
29． （3 分）如图是一个正方形的四分之三．请你想一想，能不能把它分割成面 积相等、并且与原图形的形状相同的四个图形？如果可以，请在该图中，画 出你分割的示意图．
四、数学活动体验（共 25 分） 26． （4 分） （1）用六根 2cm 长的铁丝拼图，最多能组成 出示意图； （2）用八根 2cm 长的铁丝拼图，最多能组成 个正方形．并画出示意图． 个正方形，并画
2017北京四中高二(下)期中数学(文)含答案

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2017北京四中高二（下）期中数学（文）卷（I）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1. 复数=A. +iB. +iC. 1-iD. 1+i2. 下列求导正确的是A. （3x2-2）'=3xB. （log2x）'=C. （cosx）'=sinxD. （）'=x3. 曲线y=x·e x在x=1处切线的斜率等于A. 2eB. eC. 2D. 14. 设a>0，b>0，则“a>b”是“lna>lnb”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件5. 函数f（x）=3+xlnx的单调递增区间为A. （0，）B. （e，+∞）C. （，+∞）D. （，e）6. 在复平面内，复数（i是虚数单位）的共轭复数对应的点位于A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限7. 命题“x0∈（0，+∞），lnx0=x0-1”的否定是A. x0∈（0，+∞），lnx0≠x0-1B. x0（0，+∞），1nx0=x0-1C. x∈（0，+∞），lnx≠x-1D. x（0，+∞），lnx=x-18. 已知f（x）=1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n，则f'（0）=A. nB. n-1C.D.9. 函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是A. （-1，2）B. （-3，6）C. （-∞，-3）∪（6，+∞）D. （-∞，-1）∪（2，+∞）10. 方程x2=xsinx+cosx的实数解个数是A. 3B. 0C. 2D. 1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11. 复数（2+i）·i的模为___________.12. 命题“若a-b=0，则（a-b）（a+b）=0”的逆否命题为___________.13. 若曲线y=x3+x-2上的在点P0处的切线平行于直线y=4x-1，则P0坐标为__________.14. 函数f（x）=在区间[0，3]的最大值为___________.15. 若命题“x{x|x2-5 x+4>0}”是假命题，则x的取值范围是___________.16. 对于函数y=f（x），x D，若对于任意x1D，存在唯一的x2D，使得，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M. 那么函数f（x）=x3-x2+1，在x=[1，2]上的几何平均数M=____________.三、解答题：本大题共2小题，共20分.17. 设函数f（x）=lnx-x2+x.（I）求f（x）的单调区间；（II）求f（x）在区间[，e]上的最大值.18. 已知函数f（x）=，其中a∈R.（I）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（II）求f（x）的极值.卷（II）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。