2019年高考全国Ⅲ卷理科数学(解析版)

2019年高考全国Ⅲ卷理科数学（解析版）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝( )

A．{－1，0，1} B．{0，1}

C．{－1，1} D．{0，1，2}

A 【考查目标】 本题主要考查集合的交运算与一元二次不等式的求解，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．

【解析】 集合B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝{－1，0，1}．

2．若z(1＋i)＝2i，则z＝( )

A．－1－i B．－1＋i

C．1－i D．1＋i

D 【考查目标】 本题主要考查复数的四则运算，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．

【解析】 z＝2i1＋i＝2i（1－i）（1＋i）（1－i）＝2＋2i2＝1＋i.

3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )

A．0.5 B．0.6

C．0.7 D．0.8

C 【考查目标】 本题主要考查韦恩图的应用与概率问题，考查考生的阅读理解能力，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数据分析．

【解析】 根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下：

所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7.

4．(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( )

A．12 B．16 C．20 D．24

A 【考查目标】 本题主要考查二项展开式通项公式的应用，考查的核心素养是数学运算．

【解析】 展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C34＋2C14＝4＋8＝12.

5．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝( )

A．16 B．8

C．4 D．2

C 【考查目标】 本题主要考查等比数列通项公式的应用，考查方程思想与运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．

【解析】 设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.

6．已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )

A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1

C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1

D 【考查目标】 本题主要考查导数的几何意义，考查的核心素养是数学运算．

【解析】 因为y′＝aex＋ln x＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以ae＋1＝2，b＝－1，解得a＝e－1，b＝－1.

7．函数y＝2x32x＋2－x在[－6，6]的图象大致为( )

B 【考查目标】 本题主要考查函数图象与性质的应用，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算．

【解析】 因为f(x)＝2x32x＋2－x，所以f(－x)＝－2x32－x＋2x＝－f(x)，且x∈[－6，6]，所以函数y＝2x32x＋2－x为奇函数，排除C；当x＞0时，f(x)＝2x32x＋2－x＞0恒成立，排除D；因为f(4)＝2×6424＋2－4＝12816＋116＝128×16257≈7.97，排除A.故选B.

8.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )

A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线

B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线

C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线

D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线

B 【考查目标】 本题主要考查空间线线位置关系，考查考生的空间想象能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．

【解析】 取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝3，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝32，CP＝32，所以BM2＝MP2＋BP2＝322＋322＋22＝7，得BM＝7，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线，选B.

9.执行右边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于( )

A．2－124 B．2－125

C．2－126 D．2－127

C 【考查目标】 本题主要考查程序框图，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．

【解析】 执行程序框图，x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝12，不满足x＜ε＝1100，

所以s＝1＋12＝2－121，x＝14，不满足x＜ε＝1100，

所以s＝1＋12＋14＝2－122，x＝18，不满足x＜ε＝1100，

所以s＝1＋12＋14＋18＝2－123，x＝116，不满足x＜ε＝1100，

所以s＝1＋12＋14＋18＋116＝2－124，x＝132，不满足x＜ε＝1100，

所以s＝1＋12＋14＋18＋116＋132＝2－125，x＝164，不满足x＜ε＝1100， 所以s＝1＋12＋14＋18＋…＋164＝2－126，x＝1128，满足x＜ε＝1100，

输出s＝2－126，选C.

10．双曲线C：x24－y22＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为( )

A.324 B．322

C．22 D．32

A 【考查目标】 本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质、三角形的面积，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算．

【解析】 不妨设点P在第一象限，根据题意可知c2＝6，所以|OF|＝6.又tan∠POF＝ba＝22，所以等腰三角形POF的高h＝62×22＝32，所以S△PFO＝12×6×32＝324.

11．设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )

A．flog314＞f(2－32)＞f(2－23)

B．flog314＞f(2－23)＞f(2－32)

C．f(2－32)＞f(2－23)＞flog314

D．f(2－23)＞f(2－32)＞flog314

C 【考查目标】 本题主要考查函数的单调性、奇偶性，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力，考查的核心素养是数学抽象、直观想象．

【解析】 根据函数f(x)为偶函数可知，flog314＝f(－log34)＝f(log34)，因为0＜2－32＜2－23＜20＜log34，且函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，所以f(2－32)＞f(2－23)＞flog314.

12．设函数f(x)＝sinωx＋π5(ω＞0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：

①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点

②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点

③f(x)在0，π10单调递增

④ω的取值范围是125，2910

其中所有正确结论的编号是( ) A．①④ B．②③

C．①②③ D．①③④

D 【考查目标】 本题主要考查三角函数的图象与性质，考查考生的数形结合能力，考查的核心素养是数学抽象、直观想象、逻辑推理．

【解析】 如图，根据题意知，xA≤2π＜xB，根据图象可知函数f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据xA≤2π＜xB，有24π5ω≤2π＜29π5ω，得125≤ω＜2910，所以④正确；当x∈0，π10时，π5＜ωx＋π5＜ωπ10＋π5，因为125≤ω＜2910，所以ωπ10＋π5＜49π100＜π2，所以函数f(x)在0，π10单调递增，所以③正确．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－5b，则cos〈a，c〉＝________．

23 【考查目标】 本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．

【解析】 设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(2，－5)，所以cos〈a，c〉＝a·c|a|·|c|＝21×4＋5＝23.

14．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则S10S5＝________．

4 【考查目标】 本题主要考查等差数列的通项公式与前n项和公式，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．

【解析】 设等差数列{an}的公差为d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得d＝2a1，所以S10S5＝10a1＋10×92d5a1＋5×42d＝10a1＋10×92×2a15a1＋5×42×2a1＝10025＝4.

15．设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．

(3，15) 【考查目标】 本题主要考查椭圆的标准方程及定义，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算．

【解析】 不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝36－20＝4.因为