力 物体的平衡训练题答案

【训练题】：

1、一个小物体与竖直墙面之间的摩擦因数0.25，当作用力与竖直方向成的角度53时，F至少为10N才能维持物体静止，如图所示，问：

（1）在不变的情况下，需要多大的力才能使物体沿墙面做匀速运动？

（2）在已确定的情况下，要使物体向上做匀速运动，有什么限制？

解 （1）物体静止，由图（a）可知

0xF sinNF

0yF cosNFG

解得 8()GN

要使物体向上匀速运动，由图（b）和平衡条件可知

0xF sinNF

0yF cosFNG

解得 820()cos530.25sin53FN

（2）由上面的F表达式知

cossin0

即cotarc时，F趋向无穷大，物体不可能向上运动。

2 一根长度为l的杆AB重为G，B端压在粗糙的地面上，A端用一根足够牢的轻绳斜拉在地上，绳与杆的夹角为。在离B端al处有一个水平作用力F。问：

（1）杆B端与地面之间的动摩擦因数至少为多大，才能维持杆静止？ 

N f

G F N

G f



（b） 

al A



l

B  F （2）如果B端与地面之间的动摩擦因数为0，那么在AB上有一点D，在AD之间不论施加多大的水平力F，都不会破坏AB的平衡，求D点的位置。

解 这是一个一般刚体平衡的问题，形成第二问结果的原因是：当F的作用点高于某一高度时，杆B端受地面的最大静摩擦力f与F力同步增大，因此形成“自锁”，如图所示。

（1）000yxBFFM 即cossinsinTGNTfFTlalF

因为是求最小的动摩擦因数，所以由fN，可解得

(1)sincossinFaaFG

（2）设D点离B点的距离是xl，通过和（1）相同的方程，可解得

001cotGFxx

F的表达式分子是个定值，当分母

01cot0xx

即

011cotx

此时F，即无论多大的力F，也不会破坏AB杆的平衡。

用摩擦角的观念，也可以用图解的方法得到相同的结果。因为D点以上可以作用任意大的力F，所以此种情况下，F杆的自重G可以忽略不计。这样一来，杆就只受三个力：绳的拉力T、水平力F和地面的作用力F，就是摩擦角。

0(1)tantanxlxlxl

00tan1tan1cotlxll

3 质量为m的两环A、B用长为a的细线相连套在水平杆上，在细线的中点挂有一质量为M的物块C，如图所示。A、B环与杆间的静摩擦因数为，求平衡情况下两环的最大距离x。

解 设A、B相距最远时，线与水平杆间成角，且此时线的张力为T，则当C平衡时，有

2sinTMg ① f N G xl

A

T

B F

F D

f N A

T

B F 



T B mf NmmgCMA 设此时杆对A的支持力为N，摩擦力为f，则当A平衡时，有

sinNmgT ②

cosfT ③

在A、B相距最远的情况下，f为最大静摩擦力，故有

fN ④

由②和④式消去N得

sinfmgT

将③式代入上式得

cossinTmgT

整理后得 (cossin)Tmg ⑤

由①和⑤式消去T得

2cossinsinmM

或 2(1)sincosmM

由此解得

2cot(1)mM

则

222(1)cos21(1)mMmM

由cosxa得

22(12)21(1)mMxamM

4、 质量为1M、2M的两星体相距L，一质量为m的小星体位于两星体的连线上，求小星体的平衡位置，并分别讨论对小星体沿连线方向的扰动和垂直于连线方向的扰动，其平衡的稳定性。

解 如图所示，设小行星的平衡位置离1M的距离为l，m    2M L

l 1M 它受1M的万有引力应等于受2M的万有引力，故有

1222()MmMmGGlLl

即 2212()MLlMl

12MlLlM

由此得 12121MMlLMM

当小星体从平衡位置向右移动一小位移x时，它所受的合力（以向右为正）为

2122212222[]()()()(1)(1)MMFGmLlxlxMMGmxxLllLll

但由于2122()MMCLll，代入上式得

22110(1)(1)FGmCxxLll

不难看出，当0x（小星体向左偏移）时，0F，可见，当小星体沿连线方向偏离平衡位置时，外力引起一堆斥力，将小星体推离平衡位置，所以平衡是不稳定的。

当小星体从平衡位置沿垂直于连线方向有一小位移时，它将同时受1M、2M两星体的引力作用，两引力大小几乎相等，方向间夹一钝角，故合力指向平衡位置，平衡是稳定的。

5、 石质的水库底上有一棱长为2am的立方体，其材料密度是水密度的7倍，想用一装置把立方体从水库底提上来，该装置采用吸盘的原理，如图所示，即把一边长为a的正方体吸盘紧扣在立方体的上表面，抽走吸盘内的空气直到压强0p。试问能不能借助这个装置把立方体拉到水面？如果不能，在什么深度立方体脱离吸盘？已知大气压强5010paP.

解 设1F、2F为水对立方体下侧和上侧面的压力，F为拉力，对立方体、吸盘所组成的系统有

120FFFmg

其中 2210()Fgahaap水

2220Faapgh水

3mgga体

由此得 3()Fga体水

对吸盘，由平衡条件得

20FNF

式中N是重物对吸盘的向上压力，由此得

220[()]NpFFaghga水体水

当0N时吸盘不脱落，在0N时吸盘将脱落，即

0()0pghga水体水

0(1)()2hagpm体水水

6 如果把一只截面是六角形的铅笔放在与水平面成角的斜面上，垂直于斜面母线（斜面与水平面的交线），则铅笔静止不动。如果把铅笔平行于母线放置，则它向下滚。现将铅笔的轴与斜面母线间成夹角放置，如图所示，铅笔还处于平衡，试求角。

解 设六角形中心到六角形任意一顶点的距离为l，铅笔正好处于既不向下滑动、又不向下滚动的临界状态，其静摩擦因数为min，与水平线的最小夹角为min，此时铅笔应满足一般物体的平衡条件，即

minsncos0immgg ①

mincos30csios300ncossinlmmggl ②

②式是以铅笔同桌面接触的下边一个棱为轴，重力沿斜面向下和垂直于斜面的两个分力对轴的力矩代数和，由②式得   min1arccos(cot)3

由此可见，如果满足条件1arccos(cot)23，铅笔处于平衡。

当1tan3，即13的情况下，角的表达式有意义。

7 一盛水容器绕竖直重心轴匀速转动，试证明容器中的水面为抛物面。

解 要证明水面为抛物面，关键是要找到水面上任一点A的坐标(,)xy之间满足的函数关系。由于水面上各点运动情况并不完全相同，故本题肯定要通过微元法来解。

建立如图坐标系，在A(,)xy正下方y处沿x轴取一段长为x，左右两侧截面均为S的细水柱，设水的密度为，则细水柱的质量为

mxS

细水柱绕O作圆周运动的向心力由两端的压力差提供，其大小为

FpSgyS

设转动的角速度为，则细水柱作圆周运动的半径为2xr，且有

2mFr

即 22xgySxS

得 222yxg

这是一个抛物面方程，因为液面上任一点A的坐标满足抛物线方程，所以过A点的曲线是抛物线，绕中心轴旋转的水面为抛物面。

8 一个质量为m的碗，反扣在装满水的较大密度容器底部，碗的形状是半径为R，高也为R的圆柱，再挖去一个半径同样是R的半球形空穴，如图（a）所示。在空穴里充满水银，将水从容器里慢慢抽出。水、水银的密度分别为、1，试确定： x y

x

O A y

(a) 接抽水机 水

水银 h （1）在水柱高度h为何值时，碗内水银开始从它的下边流出？

（2）假定从容器里把水全部抽出，孔里水银的高度1h是多少？

解 研究碗，它受上部水对它向下的压力为

2()FghRR水压

水银对碗向上的浮力为

31113FgVgR浮碗

（1）临界条件时满足

FmgF浮水压

得 12(1)3mhRR

（2）水全部抽出后碗内水银的高度为1h，则

311113FgVgh浮

由 Fmg浮