2020年四川省南充市高考数学二诊试卷(文科) (含答案解析)

2020年四川省南充市高考数学二诊试卷(文科)

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 复数3−𝑖𝑖=(

)

A.

1+3𝑖

B.

−1−3𝑖

C.

−1+3𝑖 D. 1−3𝑖

2. 设集合𝐴={1,3，4}，𝐵={2,3，6}，则𝐴∪𝐵等于( )

A. {3} B. {1,2，3，4}

C. {1,2，3，6} D. {1,2，3，4，6}

3. 现有历史、政治、数学、物理、化学共有5本书，从中任取2本，取出的书至少有一本文科书的概率为( )

A. 310 B. 12 C. 710 D. 45

4. 已知𝛼∈[𝜋,3𝜋2]，𝑠𝑖𝑛𝛼=−35，则𝑡𝑎𝑛𝛼=( )

A. −43 B. 43 C. −34 D. 34

5. 在𝛥𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=3，𝐵𝐶=√13，𝐴𝐶=4，则边AC上的高为( )

A. 3√22 B. 32 C. 3√32 D. 3√3

6. 已知函数𝑦=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋4)，则它的一条对称轴方程为( )

A. 𝑥=−𝜋8 B. 𝑥=0 C. 𝑥=𝜋8 D. 𝑥=𝜋4

7. 过圆𝑥2+𝑦2=2外一点𝑃(1,3)向该圆引两条切线，M，N为切点，则MN的直线方程为( )

A. 2𝑥+𝑦−1=0 B. 𝑥+3𝑦−2=0

C. 𝑥+2𝑦−3=0 D. 2𝑥−3𝑦+2=0

8. 已知函数𝑓(𝑥)的定义域[−3,+∞)且𝑓(6)=2，𝑓′(𝑥)为𝑓(𝑥)的导函数，𝑓′(𝑥)的图象如图所示，若正数𝑎,𝑏满足𝑓(2𝑎+𝑏)<2，则𝑏+3𝑎−2的取值范围是( )

A. (−∞,−32)∪(3,+∞)

B.

(−92,3)

C.

(−∞,−92)∪(3,+∞) D. (−32,3)

9. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为( )

A. 8+4√3𝜋3 B. 8+2√3𝜋3 C. 4+4√3𝜋3 D. 4+8√3𝜋3

10. △𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，𝑏=2√2,𝐴=30∘,𝐶=105∘，则𝑎=( )

A. 1 B. √2 C. 2 D. √3

11. 已知正三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1(底面是正三角形，且侧棱垂直于底面)的底面边长为4，侧棱长为2√3，则该正三棱柱外接球的表面积为( )

A. 253𝜋 B. 1003𝜋 C. 25𝜋 D. 100𝜋

12. 如图，𝐹1、𝐹2分别是双曲线的左、右焦点，过𝐹1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点，若△AB𝐹2为等边三角形，则该双曲线的离心率为( )

A. √3

B. √5

C. √7

D. 3

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知|𝑏⃗ |=1，𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ =2，则向量(2𝑎⃗ −𝑏⃗ )⋅𝑏⃗ =______．

14. 已知某班有女生20人，男生30人，一次考试女生的平均分为75分，全班的平均分为72分，则男生的平均分为______． 15. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+𝑥，则函数𝑦=𝑓(𝑥)图象在点(1,𝑓(1))处的切线方程为______．

16. 过抛物线C：𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点F的直线与抛物线交于M，N两点，若𝑀𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4𝐹𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线l的斜率为______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 在等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎2+𝑎3=7，𝑎4+𝑎5+𝑎6=18．

(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；

(2)设数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，求1𝑆3+1𝑆6+⋯+1𝑆3𝑛．

18. 某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如图．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．

(1)在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的

成绩中随机抽取2个，求抽出的2个均“成绩优秀”的概率；

(2)由以上统计数据作出列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．

𝑃(𝐾2≥𝑘0) 0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.025

𝑘0 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024

参考公式：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑)

19. 如图，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的底面ABCD是边长为2的菱形，∠𝐵𝐴𝐷=60°，𝑃𝐵=𝑃𝐷=2，𝑃𝐴=√6，E为PA的中点，

(1)证明：𝑃𝐶//面BCE；

(2)求三棱锥𝑃−𝐵𝐶𝐸的体积．

20. 如图，椭圆C：𝑥24+𝑦23=1的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆交于A，B两点，直线n：𝑥=4与x轴相交于点E，点M在直线n上，且满足𝐵𝑀//𝑥轴．

(1)当直线l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)证明：直线AM经过线段EF的中点．

21. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑙𝑛𝑥+2𝑥−1．

(1)求𝑓(𝑥)的极值；

(2)若对任意的𝑥>1，都有𝑓(𝑥)−𝑘(𝑥−1)>0(𝑘∈𝑍)恒成立，求k的最大值．

22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线𝐶1：𝑥2+𝑦2−2𝑦=0，倾斜角为𝜋6的直线l过点𝑀(−2,0)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线𝐶2的极坐标方程为．

(1)求𝐶1和𝐶2交点的直角坐标；

(2)若直线l与𝐶1交于A，B两点，求|𝑀𝐴|+|𝑀𝐵|的值．

23. 已知函数𝐹(𝑥)=|3𝑥−1|+𝑎𝑥

(Ⅰ)当𝑎=3时，解关于x的不等式𝑓(𝑥)≥|𝑥−3|； (Ⅱ)若𝑓(𝑥)≥𝑥−12在R上恒成立，求实数a的取值范围．

【答案与解析】

1.答案：B

解析：解：3−𝑖𝑖=−𝑖(3−𝑖)−𝑖2=−1−3𝑖，

故选：B．

直接由复数代数形式的乘除运算化简复数3−𝑖𝑖，则答案可求．

本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．

2.答案：D

解析：解：由已知集合𝐴={1,3，4}，𝐵={2,3，6}，则𝐴∪𝐵={1,2，3，4，6}；

故选D．

找出两个集合的公共元素组成的集合．

本题考查了集合的并集运算；属于基础题．

3.答案：C

解析：分析：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．

历史、政治、数学、物理、化学共有5本书，从中任取两本，基本事件总数有10种，取出的书至少有一本文科书有7种，根据概率公式计算即可．

解：历史、政治、数学、物理、化学共有5本书，从中任取两本，

基本事件有：(历史，政治)，(历史，数学)，(历史，物理)，(历史，化学)，(政治，数学)，(政治，物理)，(政治，化学)，(数学，物理)，(数学，化学)，(物理，化学)，

共10种，

取出的书至少有一本文科书有7种情况，

∴取出的书至少有一本文科书的概率𝑝=710，

故选C． 4.答案：D

解析：

由条件利用同角三角函数的基本关系，求得𝑡𝑎𝑛𝛼的值．

本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．

解：∵已知𝛼∈[𝜋,3𝜋2]，𝑠𝑖𝑛𝛼=−35，

∴𝑐𝑜𝑠𝛼=√1−sin2𝛼=−45，

则𝑡𝑎𝑛𝛼=𝑠𝑖𝑛𝛼cos𝛼=34，

故选：D．

5.答案：C

解析：

本题考查了解三角形的应用.由点B向AC作垂线，交点为D，设𝐴𝐷=𝑥，则𝐶𝐷=4−𝑥，

利用勾股定理可知𝐵𝐷=√𝐴𝐵2−𝐴𝐷2=√𝐵𝐶2−𝐶𝐷2，进而解得x的值，再利用勾股定理求得BD．

解：由点B向AC作垂线，交点为D．

设𝐴𝐷=𝑥，则𝐶𝐷=4−𝑥，

∴𝐵𝐷=√9−𝑥2=√13−(4−𝑥)2，解得𝑥=32，

因此𝐵𝐷=√9−𝑥2=32√3．

故选C．

6.答案：C

解析：解：由2𝑥+𝜋4=𝑘𝜋+𝜋2，得𝑥=𝑘𝜋2+𝜋8(𝑘∈𝑍)，

令𝑘=0，得𝑥=𝜋8，

∴它的一条对称轴方程为𝑥=𝜋8，

故选：C．

利用正弦函数的对称性，可知2𝑥+𝜋4=𝑘𝜋+𝜋2(𝑘∈𝑍)，k赋值为0即可求得答案．