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勾股定理--与实际问题

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1 17.1(5)勾股定理--与实际问题

一．【知识要点】

1.勾股定理--与实际问题

二．【经典例题】

1.如图，一架长13米的梯子AB斜靠在一竖直的墙上，这时AO=12米.

（1）如果梯子的顶端A沿墙下滑1米，则梯子的底端B也外移1米吗？

（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑7米，则梯子的底端B也外移7米吗？

（3）如果梯子的顶端A沿墙下滑8米，则梯子的底端B也外移8米吗？

2.假期中，小强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏点B的直线距离是多少千米？

三．【题库】

【A】

1、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的点B200m，结果他在水中实际游了520m，则该河流的宽度为 m.

2.如果一梯子底端离垂直建筑物9 m远，那么15 m长的梯子可达到建筑物的高度是_______m.

3.如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）

A.12米 B.13米 C.14米 D.15米

4．在同一地平面上有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则至少飞了________米．

【B】 2 1.等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）

A.43 B.3 C.23 D.3

2.如图，将一根长为20cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm

的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为 cm．

3.为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书室，该社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB = 25km，CA

= 15 km，DB = 10km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等?

4.放学以后，小明和小刚从学校出发，分别沿东南方向和西南方向回家，若小明和小刚行走的速度都是40米/分，小明用15分钟到家，小刚用20分钟到家，小明家和小刚家的距离为（ ）

A.600米 B.800米 C.1000米 D.不能确定

5．如图，一根长4米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′，若AA′＝2，则BB′的长为（ ）

A．4﹣2 B．4﹣2 C．4﹣4 D．2

BDEAxC 3

【C】

1. 如图，将一根15cm长的细木棒放入长、宽、高分别为4cm，3cm和12cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是_______________。

2.如图，一架长25分米的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时，梯底距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，则梯子的底端将平滑（ ）

A.9分米 B.15分米 C.5分米 D.8分米

3.将一根长为15㎝的筷子置于底面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，

设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围是________________。

4.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．•当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为3米，则梯顶离路灯多少米？

4

【D】

1（8分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．今年首个超强台风“圣帕”于8月13日在北纬21.3度，东经123.3度的太平洋上生成，其中心气压925百帕，近中心最大风速55米/秒，生成时还是热带风暴的“圣帕”，在连跳两级后，15日晚8时已“变身”为超强台风．向台湾东部沿海逼近并登陆台湾岛，之后于19日上午将在福建中南部沿海福州一带再次登陆．在这之前，台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：

（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？

（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？

2．（绵阳2020年期末11题）如图，将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB中，初始位置为CD，当一端C下滑至C'时，另一端D向右滑到D'，则下列说法正确的是（ ）

A．下滑过程中，始终有CC'＝DD'

B．下滑过程中，始终有CC'≠DD'

C．若OC＜OD，则下滑过程中，一定存在某个位置使得CC'＝DD'

D．若OC＞OD，则下滑过程中，一定存在某个位置使得CC'＝DD'

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第03讲 勾股定理的应用(解析版)-八年级数学

第03讲 勾股定理的应用(解析版)-八年级数学

第03讲勾股定理的应用

1.利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题。

2.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．

知识点1：勾股定理应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角

形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方

进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的

结论．本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题

类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题

类型二、应用勾股定理解决旗杆高度

类型三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离

类型四、应用勾股定理解决大树折断前的高度

类型五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题

类型六、应用勾股定理解决航海问题

类型七、应用勾股定理解决河的宽度

类型八、应用勾股定理解决汽车是否超速问题

类型九、应用勾股定理解决是否受台风影响问题

类型十、应用勾股定理解决选扯距离相离问题

类型十一、应用勾股定理解决几何图形中折叠问题

知识点2：平面展开图-最短路径问题几何体中最短路径基本模型如下：

基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解考点一：应用勾股定理解决梯子滑落高度问题

例1．（2023春•潮阳区校级期中）如图，一架长10米的梯子AB，斜靠在竖直的墙

上，这时梯子底端离墙（BO）6米

（1）此时梯子顶端A离地面多少米？

（2）若梯子顶端A下滑3米到C处，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D处？

【答案】（1）8米（2）米

【解答】解：（1）∵AB＝10米，BO＝6米，梯子距离地面的高度米，

答：此时梯子顶端离地面8米；

（2）∵梯子下滑了3米，即梯子距离地面的高度CO＝8﹣3＝5米，∴米，∴米，即下端滑行了米．答：梯子底端将向左滑动了米．

【变式1】（2023春•北辰区期中）如图梯子斜靠在竖直的墙AO，AO长为24dm，OB为7dm．

（1）求梯子AB的长；

（2）梯子的顶端A沿墙下滑4dm到点C，梯子底端B外移到点D，求BD的长．

勾股定理的实际应用案例分析

勾股定理的实际应用案例分析

勾股定理的实际应用案例分析

勾股定理是数学中的重要定理之一，也是人们在实际生活中常用的数学工具。本文将通过分析一些实际应用案例，展示勾股定理在解决问题中的作用和价值。

1. 建筑领域中的勾股定理应用

在建筑领域，勾股定理是测量和设计中不可或缺的工具之一。例如，当建筑师设计一个直角形房间时，他们需要使用勾股定理来确保房间的墙壁是垂直的。通过测量房间两个相对角的长度，并应用勾股定理计算斜边的长度，建筑师可以确保墙壁是垂直的，从而确保房间的稳定性和安全性。

2. 地理测量中的勾股定理应用

地理测量中的三角测量法是一种常用的测量方法，其中就包括利用勾股定理来计算距离和角度。例如，当测量两个地点之间的直线距离时，测量员可以使用勾股定理，通过测量两个直角边的长度计算出斜边的长度，从而得到两地之间的距离。

3. 航空航天领域中的勾股定理应用

在航空航天领域，勾股定理也起到重要的作用。例如，飞机在空中导航时会使用仪表着陆系统（ILS）来进行着陆。这个系统包括一个地面引导系统和一个飞机上的接收机。通过利用勾股定理，地面引导系统可以计算出飞机与跑道之间的距离和高度，从而为飞行员提供准确的导航和着陆指引。 4. 电子设备制造中的勾股定理应用

在电子设备制造过程中，勾股定理也常被应用于检测和排除设备中的故障。例如，在制造电视机时，工程师可能要使用勾股定理来测量电视屏幕的对角线，以确保屏幕大小符合规格要求。如果测量出的对角线长度不符合预期结果，就可能意味着设备存在问题，需要进行进一步检查和修复。

综上所述，勾股定理在实际生活中有着广泛的应用。无论是在建筑领域、地理测量、航空航天还是电子设备制造等领域，勾股定理都是不可或缺的工具和方法。通过分析勾股定理的实际应用案例，我们可以更加深入地理解这个数学定理的重要性，并通过它解决问题和改进现有技术。

勾股定理的实际案例计算炮弹的射程

勾股定理的实际案例计算炮弹的射程

勾股定理的实际案例计算炮弹的射程

勾股定理是数学中的一条重要定理，用于在平面直角坐标系中计算三角形的边长或角度。虽然在数学学科中应用广泛，但其实际应用远不止于此。在物理学和工程学领域中，勾股定理也有着丰富的实际案例，例如计算炮弹的射程。本文将通过某个实际案例，详细介绍勾股定理在计算炮弹射程中的应用。

案例背景：

某国防部门计划测试一种新型炮弹的射程，以便确定其可行性和精确度。根据这种炮弹的设计，它将被以一定初始速度和角度发射到空中，然后受重力和空气阻力的影响，最终落地。为了预测炮弹的射程并作出必要的调整，必须利用勾股定理进行计算。

解决过程：

1. 收集数据：首先，我们需要收集炮弹的相关参数，包括：初始速度（V₀）、发射角度（θ）、重力加速度（g）以及空气阻力（r）。

2. 分解速度：将初始速度分解为水平方向和垂直方向的分速度。由于发射角度为θ，可以得到炮弹在水平方向上的初速度为 V₀cosθ，而在垂直方向上的初速度为 V₀sinθ。

3. 计算时间：由于炮弹的水平运动速度保持不变，且水平方向上没有外力作用，所以水平位移符合等速直线运动的规律。根据时间和水平方向速度之间的关系，可以得到水平运动的时间 t = x / (V₀cosθ)，其中 x 表示水平位移。 4. 计算落地点：通过重力加速度 g 和垂直初速度 V₀sinθ 的关系，可以计算出炮弹在垂直方向上的运动时间。根据自由落体运动的规律，垂直方向上的位移 h = V₀sinθ × t - 0.5gt²。根据该式子可知，炮弹的落地点与时间 t 和发射角度 θ 有关。

5. 计算射程：根据水平位移 x 和落地点 h 的关系，可以得到射程（即总位移）为 R = √（x² + h²）。

6. 调整参数：当我们得到初步计算的射程后，可以根据需要进行参数调整。通过改变初始速度、发射角度等参数，来优化炮弹的射程和精确度。

案例数据：

- 初始速度 V₀ = 100 m/s

勾股定理生活中的应用

勾股定理生活中的应用

勾股定理生活中的应用

勾股定理是数学中的一个重要定理，可以应用于许多实际问题中。在生活中，勾股定理有以下应用：

1. 测量直角三角形的直角边和斜边的长度。例如在建筑工程中，使用勾股定理可以测量房间的对角线长度、屋顶的倾斜角度等。

2. 计算物体的投影距离。例如，在射击运动中，使用勾股定理可以计算弹道的投影距离，帮助射手瞄准目标。

3. 计算电路中电压、电流和电阻之间的关系。例如，在电子工程中，使用勾股定理可以计算电路中不同元件之间的参数，帮助工程师设计电路。

4. 计算航空航天器的飞行轨迹和速度。例如，在航空航天领域中，使用勾股定理可以计算卫星的轨道位置和速度，帮助天文学家和工程师进行航天探测任务。

总之，勾股定理是一种非常实用的数学工具，可以广泛应用于生活中的各个领域，帮助人们解决实际问题。