勾股定理在实际中的应用

勾股定理常考分类习题

方程思想的应用：

1、 如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，求、、的值。

2．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．

3．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．

4. 如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长

5. 如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把△ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积

DCBAFE典型几何题

1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．

2．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求CD的长．

3．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．

4．已知：如图，△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝4，AC＝2，AD⊥BC，D是垂足，求AD的长．

5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB， BC=6，AC=8， 求AB、CD的长

6．已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝CB41，求证：AF⊥FE．

DCBA7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为BC和AC的中点，AD＝5，BE＝102求AB的长．

8. 如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.

实际应用：

1．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．

1题图 2题图 3题图

勾股定理的实际运用

一、勾股定理内容回顾

勾股定理是指在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两条直角边长度分别为和，斜边长度为，那么。

二、勾股定理实际运用的常见类型

1. 工程测量中的应用

测量建筑物高度

例如，想要知道一座垂直于地面的大楼的高度。我们可以在大楼旁边的平地上选一点，从点向大楼底部点拉一条绳子，测量出的距离。然后在点用测角仪测量出大楼顶部点与点连线和地面的夹角。

此时在直角三角形中，，如果我们知道和，可以求出。然后再根据勾股定理求出大楼的高度。

测量两点间的距离（不可直接测量的情况）

假设在一个池塘的两边有、两点，我们要测量、两点间的距离。我们可以在池塘边找一点，使得。测量出的长度和的长度，然后根据勾股定理，就可以得到、两点间的距离。

2. 航海问题中的应用 一艘船从港口出发，向正东方向航行海里后到达点，然后改变航向，向正南方向航行海里到达点。此时船从港口到点的距离就是直角三角形的斜边长度。

根据勾股定理，海里。航海中利用勾股定理可以计算船只的航行轨迹和距离等信息。

3. 生活中的简单应用

梯子问题

有一个长度为的梯子靠在墙上，梯子底部与墙的距离为，梯子顶端与地面的垂直高度为。如果梯子底部向外滑动了距离，那么顶端下滑的距离可以通过勾股定理来计算。

初始时，滑动后，通过这两个等式联立求解可以得到的值。

电视屏幕尺寸问题

电视屏幕的尺寸是按照对角线长度来衡量的。如果屏幕的长为单位，宽为单位，那么对角线长度就满足。我们可以根据这个关系来判断不同尺寸屏幕的实际大小关系等。

三、勾股定理实际运用的解题步骤总结

1. 分析问题，确定是否为直角三角形问题。如果是，找出直角三角形的三条边（已知边和未知边）。 2. 根据勾股定理（为斜边）列方程。

3. 解方程求出未知边的值。

勾股定理的实际运用

一.勾股定理：

（1）直角三角形两直角边的_______等于斜边的平方，如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么_____.

(2)我国古代把直角三角形中较短的直角边称为_____,较长的直角边称为________,斜边称为______.

二.直角三角形的判别条件

1.直角三角形的判别条件（也称为勾股定理的逆定理）

如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形（此判别条件也称为勾股定理的逆定理）.如图所示，在△ABC中，如果AC2+BC2=AB2.那么△ABC就是以∠C为直角的直角三角形.

2.判断直角三角形的步骤

（1）确定最长边. (2)算出最长边的平方与另两边的平方和.（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等,若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形.

3.直角三角形的判别条件与勾股定理的联系和区别

（1）联系

都是和直角三角形有关的内容，都和三角形的三边有关系，都渗透了数形结合的思想.

(2)区别

勾股定理是由形到数，即由直角三角形得到三边之间的数量关系，是直角三角形的一个性质；而直角三角形的判别条件是由数到形，即由三边关系得到三角形的形状—直角三角形，是直角三角形的一种判别方法.

知识点一.确定几何体表面上的最短路线

1.解决几何体表面上两点之间最短路线问题的关键是把立体图形转化为平面图形，具体步骤是：（1）把立体图形展开成平面图形；（2）确定最短路线；（3）确定直角三角形；（4）根据直角三角形的边长，利用勾股定理求解

2.求立体图形表面上两点之间的最短路线长，主要涉及如下问题：

（1）圆柱形物体表面上两点之间的最短路线长，主要涉及如下问题：（1）圆柱形污图表面两点之间的最短路线长；（2）长方体表面两点之间的最短路线长；（3）台阶表面两点之间的最短路线长.

18．如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？

19．（2007•义乌市）李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．

（1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处；

（2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处；

（3）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．

20．（2013•贵阳模拟）请阅读下列材料：

问题：如图1，圆柱的底面半径为1dm，BC是底面直径，圆柱高AB为5dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：

路线1：高线AB+底面直径BC，如图1所示．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图2所示．（结果保留π）

（1）设路线1的长度为L1，则=

_________ ．设路线2的长度为L2，则= _________ ．所以选择路线 _________ （填1或2）较短．

（2）小明把条件改成：“圆柱的底面半径为5dm，高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算．此时，路线1：=

_________ ．路线2：= _________ ．所以选择路线 _________ （填1或2）较短．

（3）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2dm，高为hdm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．

21．如图，正方体边长为30cm，B点距离C点10cm，有一只蚂蚁沿着正方体表面从A点爬到B点，其爬行速度为每秒2cm，则这只蚂蚁最快多长时间可爬到B点？ ©2010-2014 菁优网