高二数学椭圆及其标准方程
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教学内容：椭圆及其标准方程
【基础知识精讲】
1.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆；这两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做焦距.
注意：定义中的常数用2a表示；｜F1F2｜用2c表示；当2a＞2c＞0时；轨迹为椭圆；当2a=2c时；轨迹为线段F1F2；当2a＜2c时；无轨迹.这样；椭圆轨迹一定要有2a＞2c这一条件.另外；应用定义来求椭圆方程或解题时；往往比较简便.
当焦点在x轴上时：22ax+22by=1(a＞b＞0)
当焦点在y轴上时：22ay+22bx=1(a＞b＞0)
注意：(1)三个量之间的关系：a2=b2+c2
(2)由x2；y2的分母大小确定焦点在哪条坐标轴上；x2的分母大；焦点就在x轴上；y2的分母大；焦点就在y轴上.
(3)在方程Ax2+By2=C中；只有A、B、C同号时；才可能表示椭圆方程.
(4)当且仅当椭圆的中心在原点；其焦点在坐标轴上时；椭圆的方程才具有标准形式.
本节学习方法：
1.求椭圆方程常用待定系数法；定义法；参数法；轨迹法等.
2.利用椭圆的定义和标准方程解决有关问题；一般都转化成某些数值的确定；而这些数值的确定可通过列方程；解方程去解决.
【重点难点解析】
同学们学习“椭圆”应与学习“圆”一样；遵循渐近性；逻辑性.注重数形结合；主要掌握椭圆的定义及其标准方程；需要大家学习本节时；先复习求曲线方程的方法；进行反复的再思考；再分析再理解.
例1 求与椭圆92x+42y=1共焦点；且过点M(3；-2)的椭圆方程.
解法一：(待定系数法)由已知椭圆方程92x+42y =1得C2=9-4=5；且焦点在x轴上；设所求椭圆方程为22ax+522ay=1
又∵点M(3；-2)在椭圆上 ∴29a+542a=1；得a4-18a2+45=0
∴a2=15或a2=3＜5=C2(舍)
∴所求椭圆方程为152x+102y=1
解法二：(定义法)椭圆两焦点为F1(-5；0)；F2(5；0)；点M(3；-2)到这两个焦点距离之和是2a；即
2a=｜M1F1｜+｜M1F2｜=4)53(2 +4)53(2=215
∴a2=15 b2=a2-c2=15-5=10
∴所求椭圆方程为152x+102y=1
例2 已知椭圆的中心在原点；以坐标轴为对称轴；且经过两点P1(6；1)；P2(-3；-2)；求椭圆的方程.
解：设椭圆方程为mx2+ny2=1；(m＞0；n＞0)
由题意有12316nmnm
解得m=91；n=31
∴所求椭圆方程为92x+32y=1
说明：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0；n＞0)可免讨论焦点的位置；而且计算简便.
例3 已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上；点P到两焦点的距离分别为345和325；过P作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；求椭圆方程.
解：设两个焦点为F1F2；且｜PF1｜=345；｜PF2｜=325
由椭圆定义知2a=｜PF1｜+｜PF2｜=25 ∴a=5
而｜PF1｜＞｜PF2｜知PF2与焦点所在的对称轴垂直.
∴Rt△PF2F1中；sin∠PF1F2=12PFPF=21
∴∠PF1F2=6 2C=｜PF1｜cos6=3215
∴b2=a2-c2=310
故所求方程为52x+103y2=1或103x2+52y=1
3.(代入法)与椭圆有关的轨迹问题：常用的方法有定义法；坐标转移法；交轨法；点差法.
例4 已知圆C1：x2+y2+4x-12=0与圆C2:x2+y2-4x=0；动圆C与C1相内切；且与C2相外切；求动圆圆心的轨迹方程.
解：圆C1与C2的标准方程是
(x+2)2+y2=16；(x-2)2+y2=4
圆心分别为C1(-2；0)；C2(2；0)
设动圆P的圆心为P；半径为r；有
｜PC1｜=4-r；｜PC2｜=2+r
∴｜PC1｜+｜PC2｜=6＞｜C1C2｜=4
∴P点在椭圆上运动；又2a=6；2c=4；∴b2=a2-c2=5
∴P的轨迹为92x+52y=1(在已知圆C1内)
【难题巧解点拨】
例1 已知MN是椭圆22ax+22by=1(a＞b＞0)中垂直于长轴的动弦；AB是椭圆长轴的两端点；求直线MA与NB的交点P的轨迹方程.
解：设M、N的坐标为M(x0；y0)；N(x0；-y0)；又A(-a；0)；B(a；0)
所以直线AM的方程为y=axy00 (x+a) ①
直线BN的方程为：y=axy00)ax( ②
①×②得：y2=22020axy(x2-a2) ③
∵点M(x0；y0)在椭圆上；∴b2x20+a2y20=a2b2
∴x20-a2=-22bay02；代入得③得：y2=22ab(x2-a2)
∴交点P的轨迹方程为22ax-22by=1 例2 已知椭圆22x+y2=1
(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程
(2)过A(2；1)引椭圆的割线；求截得的弦中点轨迹方程
(3)求过点P(21；21)；且被P平分的弦所在的直线方程.
解：(点差法)设弦的两端点分别为M(x1；y1)
N(x2；y2)、MN的中点为P(x；y)；则
x21+2y21=2；x22+2y22=2；两式相减并除以(x2-x1)得：
x1+x2+2(y1+y2)
1212xxyy=0
而x1+x2=2x；y1+y2=2y
∴x+2y·1212xxyy =0 (*)
(1)将1212xxyy=2代入(*)式得所求的轨迹方程为
x+4y=0(椭圆内部分)
(2)将1212xxyy=21xy代入(*)式；得所求的轨迹方程为x2+2y2-2x-2y=0(椭圆内部分)
(3)将x1+x2=1；y1+y2=1代入(*)式；得1212xxyy=-21
∴所求的直线方程为2x+4y-3=0
例3 已知中心在原点；一焦点为F(0；50)的椭圆被直线l:y=3x-2截得弦的中点横坐标为21；求椭圆方程.
解：∵C=50 ；∴a2=b2+50
∴可设椭圆方程为5022by+22bx=1
把直线y=3x-2代入椭圆方程整理得
10(b2+5)x2-12b2x-b4-46b2=0
∴x1+x2=)5(101222bb
又∵221xx=21 ∴12b2=10b2+50
解得b2=25 a2=75
∴所求的椭圆方程为752y+252x=1
例4 已知P为椭圆252x+92y=1上的一点；F1F2是椭圆上的两焦点；∠F1PF2=60°；求△F1PF2的面积.
解：∵21PFFS△=21｜PF1｜·｜PF2｜sin∠F1PF2
∴只需求｜PF1｜·｜PF2｜即可
解得｜PF1｜·｜PF2｜=12
∴21PFFS△=21×12×23=33
例5
已知方程2(k2-2)x2+k2y2+k2-k-6=0表示椭圆；求实数k的取值范围.
解：结合椭圆的变形方程式a2y2+b2x2-a2b2=0从而有：
∴k∈(-2；-2)∪(2；2)∪(2；3)
例6 △ABC的三边a＞b＞c；且a+c=2b；｜AC｜=2；求顶点B的轨迹.
解：以AC的中点为坐标原点建立坐标系；则A(-1；0)；C(1；0)；又a+c=2b=4
由椭圆的定义知B点在椭圆上运动.
∵a＞b＞c；且A、B、C三点不共线
∴B点的轨迹方程是椭圆42x+32y=1；在y轴左侧的部分；但要去掉点(-2；0)；(0；3)；(0；-3)
【知识探究学习】
问题：如何用尺规作图法作椭圆的大致示意图.
提示：由椭圆的定义作图；建立如图的坐标系；取｜OF1｜=｜OF2｜=C；｜OA1｜=｜OA2｜=a
在F1F2间任取一点P1；以｜P1A1｜为半径；以F1为圆心画弧；以F2为圆心；以｜P1A21F2间取一系列点；最后用圆滑曲线连起来即可.请同学们证明.
【典型热点考题】
例1 求椭圆1002x+252y=1上一动点P到直线3x+8y+72=0距离的最大值及最小值.
分析 常规思路是设P(x0；y0)是椭圆上的点；其到直线的距离为d=2200837283yx；怎样求d的最值呢?这样计算较为麻烦!换一个角度思考；假设椭圆上点P(x0；y0)到直线的距离最大或最小；过P作已知直线的平行线l′；则l′与椭圆的位置关系怎样呢?应相切；否则P一定不是距离的最大或最小.
解：设与直线3x+8y+72=0平行直线为3x+8y+t=0；由12510008322yxtyx消去y得：25x2+6tx+(t2-1600)=0
令△=0即4［9t2-25(t2-1600)］=0
∴t=±50
当t=50时；直线3x+8y+50=0与直线3x+8y+72=0间的距离是d1=737322
当t=-50时；直线3x+8y-50=0与直线3x+8y+72=0间的距离是d2=7373122
∴最大距离为7373122；最小距离为737322
例2 在面积为1的△PMN中；tan∠PMN=21 ；tan∠MNP=-2；建立适当的坐标系求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程.
分析 以MN所在直线为x轴；线段MN的垂直平分线为y轴；建立直角坐标系如下图.
设所求椭圆方程为22ax+22by=1(a＞b＞0)；分别设M、N、P点坐标为(-c；0)；(c；0)和(x0；y0).
∵tanα=tan(π-∠MNP)=2
由题设知)(2)(210000cxycxy
解得cycx343500
即 P(35c； 34c)
在△MNP中；｜MN｜=2c；MN上的高为34c
∵S△MNP=21·2c·34 c=1
∴c=23即P(635；333)
∵点P在椭圆上且a2=b2+c2
∴2222)332()23()635(bb=1
解得 b2=3或b2=-31(舍去)
∴a2=b2+c2=415
故所求椭圆方程为：154x2+32y=1
