高中数学 《数列》教案5 苏教版必修5

数 列

教学目标

1．理解数列概念，了解数列的分类，理解数列是一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列；

2．理解数列的通项公式的概念，能根据数列的前几项写出数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；

3．对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式；

4．数列的前n项的和的公式及其应用．

5．提高观察、抽象的能力．

教学重点

1．理解数列概念； 2．通项公式的应用．

教学难点

根据一些数列的前几项写出数列的一个通项公式．克服难点的关键是由各项的特点，分析、寻找各项的构成未规律．

教学方法

发现式教学法

教学过程

设置情境

考察下列问题：

某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位（如图），那么各排的座位数依次为

20，22，24，26，28，„． ①

人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为

1740，1823，1906，1989，2072，„． ②

某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为

1，2，4，8，16，„． ③

“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为１份，那么每日剩下的部分依次为

1，21，41，81，161，„． ④

某种树木第1年长出幼枝，第２年幼枝长成粗干，第３年粗干可生出幼枝（如图），那么按照这个规律，各年树木的枝干数依次为

1，1，2，3，5，8，„． ⑤

从1984年到2004年，我国共参加了6次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为

15，5，16，16，28，32． ⑥

问题1 这些问题有什么共同的特点？

把数按照一定的次序排成一列．

意义建构、数学理论

数列的概念

按照一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number），数列的一般形式可以写成

1a，2a，3a，„，na，„， 简记为｛na｝．其中1a称为数列｛na｝的第１项（或称为首项），2a称为第２项，„，na称为第n项．„．

思考：能不能把数列的定义改成“按照一定规律排列的一列数称为数列”？

数列中数的有序性，如果我们将数列1，2，4，8，16，„中2，4位置交换得：1，4，2，8，16，„这个数列就是与原数列不同的数列了．

项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项．在数列｛na｝中，1a称为数列｛na｝的第１项（或称为首项），2a称为第２项，„，na称为第n项．„．

数列的分类：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．

在上面我们考察的数列中那些是有穷数列，那些是无穷数列？

学生活动

问题2 上面这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？

（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）

对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：

项 20， 22， 24， 26， 28，„． ①

↓ ↓ ↓ ↓ ↓

序号 1 2 3 4 5

这个数列的某一项与这一项的序号可用一个公式：nan218来表示其对应关系，即：只要依次用1，2，3„代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项．

进一步考察上面这些数列，依次可以写出第n项与n的关系如下：

数列②：na=1740+(n-1)83(nN*)，

数列③：12nna（n≥1，nN），

数列④：121nna（n≥1，nN）．

必须注意，不是所有的数列都可以写出上面这样的关系的，如数列⑥．

通项公式：如果数列na的第n项na与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．

问题3 数列的通项公式与函数有何联系？

为了解决这个问题我们先回顾函数的有关概念．

在前面第二章中我们一起学习了有关映射与函数的知识，现在我们再来回顾一下函数的定义:

如果A、B都是非空数集，那么A到B的某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，这样的对应叫做从从A到B的一个函数，记作：)(xfy，其中Ax．

从函数的观点来观察数列的通项公式，数列实际上就是特殊的函数，数列可以看作是一个定义域为正自然数集N+（或它的有限子集n,,2,1的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式．

我们知道函数通常可以用列表法、图象法和解析式法来表示，因此数列也可以用列表法、图象法及解析式来表示．数列的通项公式实际上就是数列的解析式． 下面我们结合例题来看看如何用列表法及图象法表示数列．

数学应用

例1 已知数列｛na｝的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：

（1）na＝1nn； （2）na＝nn2)1(．

解

我们用列表法分别给出这两个数列的前５项．

n 1 2 3 4

5

1nnan 21 32 43 54 65

nnna2)1( 21 41 81 161 321

其图象如图所示：

特点：它们都是一群弧立的点．

从函数的观点看数列，它就是一种特殊函数的一列函数值．因为，数列中的每一个数都对应着一个序号；反之，每个序号也都对应着数列中一个数，如数列1，21，31，41，51中第3项（序号3）就对应着数31，第5项对应着数51．因此，可以认为这个数列是定义在集合{1，2，3，4，5}上的函数f(n)依次得到的函数值，而f(n)＝n1就是这个函数的解析式．

为什么要用函数的观点看数列呢？因为这样才能从本质上去理解数列的通项公式、求和公式、递增与递减等等有关问题，并用所学过的函数知识去指导我们解有关数列的问题．

一方面不是所有的数列都很方便地能写出它的通项公式（如同有的函数关系不能用解析式表达一样）；另一方面，有的数列的通项公式在形式上可能不唯一，如―1，1，―1，1，―1，1,„，它的通项公式可以是an＝(－1)n，也可以是an＝cosn，还可以是.1,1为奇数时为奇数时nnan

例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

（1）1，3，5，7；

（2）2122，3132，4142，5152；

（3）211，321，431，541．

［分析］（1）项1=2×1-1， 3=2×2-1， 5=2×3-1， 7=2×4-1，

↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4

∴12nan；

（2）序号：1 2 3 4

↓ ↓ ↓ ↓

项分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1

↓ ↓ ↓ ↓

项分子： 22-1 32-1 42-1 52-1

∴11)1(2nnan；

‖ ‖ ‖ ‖

)11(11)1(1 )12(21)1(2 )13(31)1(3 )12(21)1(2

∴)1(1)1(nnann．

例3 写出以下各数列的一个通项公式：

（1）－1，58，－715，924，－1135，„；

（2）2－1，4＋21，8－31，16＋41，„；

（3） 0.9，0.99，0.999，0.9999，„；

帮助学生分析为什么题中要说明是写出一个通项公式．

解 （1）要求出此数列的通项公式应分别寻找符号、分子、分母的变化规律．符号：－1，1，－1，1，„规律为(－1)n；分母：3，5，7，9，11„(第一项应化成－33)，规律为2n＋1；分子：3，8，15，24，35，„，可看作22－1，32－1，42－1，52－1，62－1，„规律为（n+1）2－1，

故an＝(－1)n 121)1(2nn．

（2）数列的每一项分别由两部分组成，前一部分2，4，8，16，„，规律为2n；后一部分－1, 21，－31，41，„，规律为nn1)1(， ∴ an＝2n＋nn)1(．

（3）数列可看成1－0.1，1－0.01，1－0.001，1－0.0001，„， ∴nna101．

[说明] 仅仅根据数列的前几项写出数列的通项公式应该说是不科学的，因为后面未写出的项是否满足此规律不得而知，因此这类题仅作“寻找数列各项变化规律”的练习用，以培养观察、分析能力．

例4 已知数列a1＝2，an＋1＝2＋nnaa12，写出它的前4项．

解： a1＝2，a2＝2＋1112aa＝－2，a3＝2＋2212aa＝2＋32)2(1)2(2， a4＝2＋3312aa＝6．

[说明] 通过递推关系给出数列也是构成数列的一种重要方法，数学中有不少重要的数列都是由递推公式构成的，如由a1＝a2＝1，且an＝an－1＋an－2(n≥3)就得出有名的斐波拉契数列：211 1



321 3



431 3



541 4

 （3）序号 1，1，2，3，5，8，13，„．

数列的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋„＋an，Sn与an之间的关系为：

),,2(),1(*11NnnSSnSannn 这个关系式今后常常要用．

例5 数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋1，求a1、a5的值．

解： 根据),,2(),1(*11NnnSSnSannn可得311Sa，

183351455SSa．

课堂练习

（1）若数列的通项公式是an＝n(n＋1)，则an＋1－an为（ ）．[C]

Ａ．2n Ｂ．2n＋1 Ｃ．2n＋2 Ｄ．2n＋3

（2）数列{an}为1，0，1，0，„，则下列各式中不能作为它的通项公式的是（ ）．[C]

Ａ．2)1(11n Ｂ．sin22n Ｃ．3)4)(2(nn Ｄ．2cos1n

（3） 已知数列5，11，17，23，29，„，则55是它的第 项．[21]

（4） 写出下列数列的一个通项公式：

① －1，3，－5，7，－9，„； ② －267,175103,51，„；