安徽省马鞍山市高三数学第一次教学质量检测试题理(扫描版)

1 安徽省马鞍山市2017届高三数学第一次教学质量检测试题 理（扫描版） 2 3 4 5 马鞍山市2017届高中毕业班第一次教学质量检测

高三理科数学参考答案

一、选择题

选项 1

2

3 4 5 6 7 8 9 10 11

12

答案 A

C A D C D B C C B C

C

二、填空题

（13）60 （14）5 （15）22(1)(1)5xy （16）(21)，

三、解答题

（17）(本小题满分12分)

在ABC中，角,,ABC所对的边长分别为,,abc，且满足sin3coscBbC,2222acb

(Ⅰ)求C的大小；

(Ⅱ)若ABC的面积为213，求b的值.

【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，难度：简单题．

【解】(Ⅰ)由已知及正弦定理可得，sinsin3sincos,CBBC

tan3C3C …………………………（5分）

(Ⅱ) 由(Ⅰ)可得，2221cos22abcCab222abcab

又2222acb3ab由题意可知，2133sin21324ABCSabCb228b

27b …………………………（12分）

（18）(本小题满分12分)

2.5PM是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它是形成雾霾天气的主要原因之一. 2.5PM日均值越小，空气质量越好. 2012年2月29日，国家环保部发布的《环境空气质量标准》见下表：

针对日趋严重的雾霾情况各地环保部门做了积极的治理。马鞍山市环保局从市区2015年11月2.5PM日均值k(微克) 空气质量等级

35k 一级

3575k 二级

75k 超标 6 ~12月和2016年11月~12月的PM2.5检测数据中各随机抽取15天的数据来分析治理效果。样本数据如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）

2015年 2016年

1 7 8

8 2 3

1 1 3 0 9 9

5 4 1 1 4 9

8 5

1 2 5 8

1 0 6 2 3 9

7 5 7 0

4 8

8 2 9

(Ⅰ)分别求这两年样本数据的中位数和平均值，并以此推断2016年11月~12月的空气质量是否比2015年同期有所提高？

(Ⅱ)在2016年的样本数据中随机抽取3天，以X表示抽到空气质量为一级的天数，求X的分布列与期望.

【命题意图】本题考查统计和离散型随机变量，难度：中等题．

解答：（1）2015年数据的中位数是58，平均数是

28313141414445586061757784929857.315

2016年数据的中位数是51，平均数是

17182330393949515255586263697046.315

2016年11月~12月比2015年11月~12月的空气质量有提高。…………………………（5分）

（2）2016年的15个数据中有4天空气质量为一级，故X的所有可能取值是0,1,2,3

3122131141141143333151515153344664(0),(1),(1),(0)9191455455CCCCCCPXPXPXPXCCCC

X 0 1 2 3

P 3391 4491 66455 4455

33446643644()012391914554554555EX.…………………………………………（12分）

（19）(本小题满分12分)

如图，在四棱锥SABCD中，点O是正方形ABCD的中心，SOABCD平面，且SOOD， 7 点P为棱SD上一点.

(Ⅰ) 当点P为棱SD的中点时.，求证：SDPAC平面；

(Ⅱ)是否存在点P，使得直线BC与平面PAC所成角的正弦值为1010?若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由.

【命题意图】本题考查立体几何中的线面关系及空间向量的应用，

难度：中等题．

【解】(Ⅰ)由题意不妨设1OSOD，

则2,2,2.SDCDADSASC

SADSCD和为等边三角形，

当PSD是的中点时，APSDCPSD，

又APCPP，

SDPAC平面.…………………………………………（5分）

(Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz则可得，

(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),BCSDA

假设存在符合题意的点P，可设,(,0,1)SPSDP得

(,1,1),(0,2,0).APAC

设平面PAC的一个法向量为(,,),nxyz

则(1020xyzy）

不妨取(1,0,),n又(1,1,0),BC

由22110cos,10(1)2BCnBCnBCn可得23840,

解得2(2)3舍去.所以符合题意的点P是棱SD上靠近点D的三等分点. ………（12分）

（20）(本小题满分12分)

已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=>>的焦距为4，过焦点且垂直于x轴的弦长为22．

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)过椭圆E右焦点的直线l交椭圆于点MN，，设椭圆的左焦点为F，求FMFN×的取值范围．

【命题意图】本题考查圆锥曲线的综合运用，难度：中等题． SOPDCBAzyxABCDPOS 8 【解】(Ⅰ)椭圆2222:1(0)xyEabab+=>>的焦距是4，所以焦点坐标是(2,0)-，(2,0)

\由题可得，椭圆E过(2,2)点，

2202(22)242,a\=++++=

22,2.ab\==

\椭圆E的方程是221.84xy+=…………………………………………………………（4分）

(Ⅱ)由题易得，左焦点(2,0),F-右焦点坐标为(2,0),

若直线l垂直于x轴，则点(2,2),(2,2),MN-

(4,2)(4,2)14.FMFN\??=………………………………………………………（6分）

若直线l不垂直于x轴，可设l的方程为(2),ykx=-设点1122(,),(,),MxyNxy

将直线l的方程代入椭圆E的方程得到2222(21)8880,kxkxk+-+-=

则22121222888,.2121kkxxxxkk-\+=?++

11222221212(2,)(2,)(1)2(1)()4(1)FMFNxyxykxxkxxk\?+?=++-+++

22228418142121kkk-==-++.

218018,21k

FMFN\?的取值范围是[4,14].-………………………………………………………（12分）

（21）(本小题满分12分)

设函数1()lnfxaxxx（0a）．

（Ⅰ）当1a时，讨论()fx的单调性；

（Ⅱ）设()()gxfxax，若()0gx恒成立，求a的取值范围．

【命题意图】本题考查导数知识的综合运用，考查学生应用知识解决问题的能力，难度：较难题．

`【解】（Ⅰ）由已知，当1a时，1()lnfxxxx

'21()ln1,(0)fxxax

'()(0,)fx在Q上单调递增，且'(1)0f

''01()0,1()0xfxxfx时，时， 9 ()(0,1)fx在上单调递减，在(1,)上单调递增. ………………………………………（4分）

（Ⅱ）（方法一）由题可得，1()ln,(0)gxaxxaxxx，

则2211'()lnlngxaxaaaxxx

0aQ'()(0,)gx在上单调递增，

令'0()0gx

则2001lnaxx，由0a知01x，且''000()0,()0xxgxxxgx时，时，

0min00000000002ln1121()()ln0lnlnxgxgxaxxaxxxxxxx

01ln2x0xe

20012lnaexx，

a的取值范围是2(0,]e.………………………………………………………（12分）

（方法二）由题可得2()1ln0fxaaxaxx恒成立，

令21()lnhxaxax，则2'33322()()22()axxaaxaahxxxxx

''220()0;()0xhxxhxaa时，时，

min22()()ln02ahxhaaa

2ln1a,解得2ae

a的取值范围是2(0,]e.………………………………………………………（12分）

四、请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

选修4-4：坐标系与参数方程

（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为cos1sinxy（为参数，R），在以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:sin()24C． 10 （Ⅰ）求曲线1C的普通方程与曲线2C的直角坐标方程；

（Ⅱ）若曲线1C和曲线2C相交于,AB两点，求||AB的值．

解：（Ⅰ）由22coscos(1)11sin1sinxxxyyy………………………………3分

由22sin()2sincos22422yx

即2:20Cxy.………………………………………………………………6分

（Ⅱ）∵直线20xy与圆22(1)1xy相交于,AB两点，

又22(1)1xy的圆心(0, 1)，为半径为1，

故圆心到直线的距离22|012|221(1)d，

∴222||21()22AB．……………………………………………………10分

选修4-5：不等式选讲

（23） （本小题满分10分）

已知函数()fxxa.

（Ⅰ）若1a，解不等式()43fxx；

（Ⅱ）若()1fx的解集为[0,2]，112amn（0m，0n），求mn的最小值.

【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法和均值不等式，中等题.

解：（Ⅰ）当1a时，不等式为143xx，即134xx，

24,3;132,13;42,1.xxxxxxx

∴4x或0x，∴原不等式的解集为(,0][4,)；……………………5分

（Ⅱ）111111fxxaxaaxa⇔⇔⇔，

∵1fx的解集为0,2∴10112aaa………………………………………7分

∴111120022mnmnmn，，