第17章勾股定理全章导学案

17.1勾股定理

学习目标：了解勾股定理的发现过程，会用面积法证明勾股定理并会计算重点：勾股定理 的内容及证明。

难点：勾股定理的证明

一、自学导航（阅读课本内容，完成下面内容）

1、知识回顾（用学过的知识完成下列填空）

①含有一个 的三角形叫做直角三角形。

② 已知RtA ABC中的两条直角边长分别为a、b，则S ABC二。

③ 已知梯形上下两底分别为a和b，高为（a+ b），则该梯形的面积为

④ 在RtA ABC中，已知/ A=30°, / C=90°,直角边BO1,则斜边A吐

二、互动冲浪

（一）、勾股定理的发现

1 .在古代，人们将直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股,

斜边叫做弦.

2 . （1）能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗?

结论1： _______________________________

（2）填表：

（3 ）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.

3 .猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么

4 、 在 RtA ABC 中、/ C=90

①若 a=6, b=8厕 c= ;②若 a=15, c=25,贝ij b=；

③若 c=61, b=60厕 a=°

（二八勾股定理的验证

1 ,已知：在A ABC 中，Z C=90。，/ A、/ B、/ C 的对边为 a、b、c。

A的面积 B的面积 C的面积

左图

右图

求证：a2 b2 c2

证明：4SA +S小正= S 大正二

根据的等量关系：

由此我们得出：

2.归纳定理：直角三角形两条 平方.

如果直角三角形的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么的平方和等于的 三、当堂检测

注意：在用勾股定理求第三边时，分不清直角三角形的斜边和直角边；另外不 论是否是直 角三角形就用勾股定理；为了避免这些错误的出现，在解题中，同 学们一定要找准直角边 和斜边，同时要弄清楚解题中的三角形是否为直角三角形.

1、 下列说法正确的是（）

A.若 a、b、c 是ZA ABC 的三边，贝 U a2 b2 c2

B.若 a、b、c 是 Rt △ ABC 的三边，贝ij a2 b2 c2

C.若 a、b、c 是 Rt △ ABC 的三边，A 90，则 a2 b2 c2

D.若 a、b、c 是 Rt △ ABC 的三边，C 90，则 a2 b2 c2

2、 在 RtA ABC / C=90°

(1)已知 a=b=5,求 c(2)已知 a=1,c=2,求 b (3)已知 c=17,b=8,求 a

四、课后练习

1、直角三角形的一直角边长6,斜边长比另一直角边长大2,则斜边的长为_

2、 _____________________________________________________________________________ 一个

直向三赢丽函k布而百"花1 万4而南三函白勺吊

3、已知，如图在△ ABC中，AB=BC=CA=2，AD是边BC上的高.

求①AD的长；②A ABC的面积.

4、如图，已知在ZA ABC中，CDLAB于D, AO20, BO 15, D吐9。⑴求DC的长。

（2）求AB的长。 3、（1）若一个直角三角形的两直角边分别为 3和4,则第三边的长为多少？

（2 ）若一个直角三角形的两条边长分别为 3和4,则第三边的长为多少? 5、已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积。20

17.1 勾股定理（2）

学习目标：

1•会用勾股定理解决简单的实际问题。

2 •树立数形结合的思想。

3•经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。

4 •培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。重点：勾股定理的应 用。

难点：实际问题向数学问题的转化。

一.预习新知

1 .①在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？

②直角三角形中哪条边最长？

2 .在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC长.

问题（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？

（2） 一个门框的尺寸如图1所示.

① 若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？

②若薄木板长3米，宽1.5米呢？

③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？

图1

课堂展示例：如图2, 一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙A0上，这时AO 的距离为2.5米.

① 求梯子的底端B距墙角O多少米？

② 如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C.

算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）. 三•随堂练习

1 .书上P26练习1、2

2 •小明和爸爸妈妈八一登香山，他们沿着45度的坡路走了 500米，看到了一棵

红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米’

3.如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4 3米，

则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离 是

四.课堂检测米

1 .如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固 定点之间的距离是。

2 .如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技 术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里 造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，

AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？

3 .如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对 岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，/ B=60。,则 江面的宽度为。

4 .有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去

盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。

5 .一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、

两点，PQ=16厘米，且RP _L PQ贝U RQ 厘米。

6 .如图3,分别以Rt △ ABC三边为边向外作三个正方形，

其面积分别用 S「勺、S3表示，容易得出 S「S2、S3之间有的关系式

变式：如图4.

图4

原因是 17.1勾股定理（3）

学习目标：

1、能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长；并在数轴上表示无理 数。

2、体会数与形的密切联系，增强应用意识，提高运用勾股定理解决问题的能力

一、忆一忆

勾股定理的内容 ___________________________________________________________________

二、互动冲浪

（一）、探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上 画出表示13的点吗？

分析：（1）如果能画出长为 的线段，就能在数轴上画出表示4 73的点

（2）由勾股定理知，长为42的线段是两条直角边都为 的直角三角形的斜

边。长为，13的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗？

由勾股定理，可以发现，长为吊的线段是直角边为正整数、的直

角三角形的斜边。

作法：在数轴上找到点A，使例二，作直线I垂直于的在I上取点B，

使AB=，以原点0为圆心，以0B为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示

. 13的点。

2.在数轴上画出表示.77的点？（尺规作图）

（二八想一想

1.如图：螺旋状图形是由若干个直角

三角形所组成的，其中①是直角边长为1的等腰直

角三角形。那么0A= 0A二

0A二 z 0A二2 0A二2 0A二二0A二工…QA4 二

——QA二二思考：利用课本上的方法能找出表示,6

和’280的点吗？

我的回答是： 、当堂检测

1 •已知直角三角形中30。角所对的直角边长是2 3 cm则另一条直角边的长是

2 . 八 ABC

中，人吐15, AC= 13,高AD= 12JIJA ABC的周长为（ ）

A . 42 B . 32 C . 42 或 32 D . 37 或 33

3 . 一架 25

分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端 7分米.

如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动（ ）

A.9分米 B.15分米 C.5分米 D.8分米

4 .如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开

拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路” •他们仅仅

少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草.

5 .等腰△

ABC勺腰长A吐10cm底BC为16cm则底边上的高为，面积 A. 4cm B. 4 .. 3 cm C. 6cm D. 6,3 cm 原因是 17.2 勾股定理的逆定理（1）

学习目标：

1 •体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2 •理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

学习重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。

学习难点：勾股定理的逆定理的证明。

一、互动冲浪

（一）、合作探究

1、怎样判定一个三角形是直角三角形？

2.画ZA ABC 使 a二 3, b二 4, c= 5,量出/ C 的度数；若改 a= 2.5 , b= 6, c= 6.5，

再量出/ C的度数.

猜想：如果三角形的三边长a、b、c,满足a? b2 c2，那么这个三角形是

三角形

这个猜想的题设是： _______________________________________________________________

结论是： _________________________________________________________________________

该猜想的 一」

3、如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这样的两个命题叫做

命题，若把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 命题•譬如：

①原命题：若b厕a2=b2; •逆命题：. （正确吗？答一） ②原命题：对顶角相等；逆命题： .

（正确吗？答

）

由此可见：原命题正确，它的逆命可能命题，不 也可能 . 正确的命题叫真

正确的命题叫假命题验证猜想•… 已知：△ ABC 中，BC + AC= AW； 求证：/ C= 90°.

证明：作 RtA AB'C',使/。=90 B'CI BO a, A

r 。= AOb.

通过证明，我发现勾股定理的逆命题是 的，它也是一个，我们

把它叫做勾股定理的.

（二八回顾与归纳

1、勾股定理是直角三角形的 定理；勾股定理的逆定理是直角三角形的 定理.

2、已知三角形的三边长，判断该三角形是不是直角三角形的步骤是：