学案9：2.3.1 抛物线及其标准方程

2.3.1 抛物线及其标准方程

学习目标

1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.

2.会求简单的抛物线的方程．

学习重点：抛物线的定义及其标准方程的应用．

学习难点：抛物线标准方程的四种形式．

要点整合

知识点一 抛物线的定义

[填一填]

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 叫做抛物线的焦点， 叫做抛物线的准线．

[答一答]

1．在抛物线定义中，若去掉条件“l不经点F”，点的轨迹还是抛物线吗？

2．抛物线定义中有“一个动”及“三个定”，分别指什么？

知识点二 抛物线的标准方程

[学一学]

[答一答] 3．抛物线标准方程中的参数p有什么作用？

4．如何记忆抛物线的四种标准方程？

5．抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)与二次函数y＝ax2(a>0)有什么区别？

特别关注

1．对抛物线定义的理解

(1)定义条件：直线l不经过定点F.

(2)一动三定：

①“一动”，即动点P；

②“三定”，即定点F，定直线l和定值，也就是P到定点F与到定直线的距离的比值是定值1.

2．抛物线标准方程的特点

(1)方程特点：抛物线的标准方程是关于x，y的二元二次方程，等号的左边是其中一个变量的平方，另一边是另一个变量的一次项．

(2)参数p：在抛物线的方程中只有一个参数p，它的几何意义是焦点到准线的距离，因此p>0，p越大，抛物线开口越开阔，反之越扁狭．

(3)四种标准方程的位置的相同点：

①原点在抛物线上；

②焦点在坐标轴上；

③准线与焦点在原点两侧，且准线与其中一条坐标轴垂直.

典例讲解

类型一 求抛物线的焦点及准线

例1 指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向．

(1)y＝14x2；

(2)x＝ay2(a≠0)．

通法提炼

针对训练1

(1)抛物线x2＝8y的焦点坐标是( )

A．(0,2) B．(0，－2)

C．(4,0) D．(－4,0)

(2)若抛物线y2＝ax的准线方程为x＝1，则a＝ .

类型二 求抛物线的标准方程

例2 分别求适合下列条件的抛物线的标准方程．

(1)过点(－3,2)；

(2)焦点在直线x－2y－4＝0上；

(3)以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为52.

通法提炼

求抛物线的标准方程的关键与方法

1.关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数.

2.方法：①直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程；

②直接根据定义求p，最后写标准方程；

③利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数.

针对训练2

根据下列条件求抛物线的标准方程，并求其准线方程．

(1)已知抛物线的焦点是F(3,0)；

(2)已知抛物线的焦点在y轴的正半轴上，焦点到准线的距离为3.

类型三 抛物线定义的应用

例3 O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为( )

A．2 B．22

C．23 D．4

通法提炼

抛物线中经常把点到焦点的距离转化为点到准线的距离，或者把点到准线的距离转化为点到焦点的距离，然后根据平面几何的有关知识求解.

针对训练3

若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M.其横坐标为－9.它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标．

类型四 素养提升

抛物线方程的实际应用

例4 某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一木船宽4米，高2米，载货的木船露在水面上的部分为0.75米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？

【解后反思】 本题以应用问题描述为载体，利用待定系数法求抛物线方程，解题中利用点与坐标、曲线与方程的对应关系，融进参数的讨论，富有新意．解决实际问题时，建立适当的平面直角坐标系是解决问题的关键，坐标系的选择直接关系到解题的繁简程度．

针对训练4

如下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米．

课堂达标

1．焦点是F(0,5)的抛物线的标准方程是( )

A．y2＝20x B．x2＝20y

C．y2＝120x D．x2＝120y

2．以直线3x－4y－12＝0与x轴的交点为焦点的抛物线的方程为( )

A．y2＝16x B．y2＝－16x

C．y2＝12x D．y2＝－12x

3．若双曲线x2m－y23＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则m＝ .

4．抛物线y2＝16x上一点P到x轴的距离为12，则点P与焦点F的距离|PF|＝ .

5．求抛物线x2＝y上到直线2x－y－4＝0的距离最小时的点P的坐标．

参考答案

要点整合

知识点一 抛物线的定义

[填一填] 点F 直线l

[答一答]

1．提示：不一定是抛物线，当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F，且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．

2．提示：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线的距离之比等于1)，定值实现了距离间的转化，为解题带来了方便．

知识点二 抛物线的标准方程

[答一答]

3．提示：参数p称为焦准距或焦参数，可根据p求出抛物线的焦点坐标和准线方程；求抛物线的标准方程时，也只需确定参数p.

4．提示：(1)方程特点：焦点在x轴上，x是一次项，y是平方项；焦点在y轴上，y是一次项，x是平方项．

(2)一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀：

焦点轴一次项，符号确定开口向；

若y是一次项，负时向下正向上；

若x是一次项，负时向左正向右．

5．提示：y2＝2px(p>0)与y＝ax2(a>0)对应的图形都是抛物线形，但开口方向和对称轴都不一样．y2＝2px(p>0)：焦点(p2，0)，对称轴为x轴；y＝ax2(a>0)，即x2＝1ay，焦点(0，14a)，对称轴为y轴．

典例讲解

类型一 求抛物线的焦点及准线

例1 解：(1)抛物线y＝14x2的标准形式为x2＝4y，

∴p＝2，∴焦点坐标是(0,1)，准线方程是y＝－1.抛物线开口向上．

(2)抛物线方程的标准形式为y2＝1ax，∴2p＝1|a|.

①当a>0时，p2＝14a，抛物线开口向右，

∴焦点坐标是14a，0，准线方程是x＝－14a；

②当a<0时，p2＝－14a，抛物线开口向左，

∴焦点坐标是14a，0，准线方程是x＝－14a. 综合上述，当a≠0时，抛物线x＝ay2的焦点坐标为14a，0，准线方程为x＝－14a.a>0时，开口向右；a<0时，开口向左．

针对训练1

【答案】(1) A (2)－4

【解析】(1)由抛物线的方程为x2＝8y知，抛物线的焦点在y轴上，所以2p＝8，p2＝2，所以焦点坐标为(0,2)，故选A.

(2)y2＝ax的准线方程为x＝－a4，解－a4＝1，a＝－4.

类型二 求抛物线的标准方程

例2 解：(1)由题知(－3,2)在第二象限，设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0)，

将点(－3,2)代入方程得2p＝43或2p＝92，

故抛物线方程为y2＝－43x或x2＝92y.

(2)①令x＝0，由方程x－2y－4＝0得y＝－2，

∴抛物线的焦点坐标为(0，－2)．

设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则由p2＝2，得2p＝8，∴所求抛物线的方程为x2＝－8y.

②令y＝0，由x－2y－4＝0得x＝4，

∴抛物线的焦点坐标为(4,0)．

设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由p2＝4得2p＝16，

∴所求抛物线的方程为y2＝16x.

(3)由题意可得p＝52，则所求抛物线方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.

针对训练2

解：(1)由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．

∵p2＝3，∴p＝6.

故抛物线的标准方程为y2＝12x，其准线方程为x＝－3.

(2)由题意，设抛物线方程为x2＝2py(p>0)．

∵p＝3，故抛物线的标准方程为x2＝6y，

∴其准线方程为y＝－32.

类型三 抛物线定义的应用

例3 【答案】 C 【解析】 由题意知抛物线的焦点F(2，0)，如图，由抛物线的定义知|PF|＝|PM|，又|PF|＝42，所以xP＝32，代入抛物线方程求得yP＝26，所以S△POF＝12·|OF|·yP＝23.

针对训练3

解：由抛物线定义，焦点为F(－p2，0)，

准线为x＝p2，由题意设M到准线的距离为|MN|，

则|MN|＝|MF|＝10，即p2－(－9)＝10，∴p＝2.

故抛物线方程为y2＝－4x，将M(－9，y)，代入y2＝－4x，解得y＝±6，∴M(－9,6)或M(－9，－6)．

类型四 素养提升

抛物线方程的实际应用

例4 解：以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴，建立直角坐标系(如图)．

设抛物线的方程是x2＝－2py(p>0)，由题意知点A(4，－5)在抛物线上，

故16＝－2p×(－5)⇒p＝85，

则抛物线的方程是x2＝－165y(－4≤x≤4)，

设水面上涨，木船面两侧与抛物线形拱桥接触于点B、B′时，木船开始不能通航，

设B(2，y′)．则22＝－165y′⇒y′＝－54.

故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2米时，木船开始不能通航．

针对训练4

【答案】26

【解析】设水面与桥的一个交点为A，