八年级数学平行四边形与特殊平行四边形解题技巧

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初中数学解题技巧专题

特殊平行四边形中的解题方法

◆

类型一 特殊四边形中求最值、定值问题

一、利用对称性求最值【方法10】

1．(2017·青山区期中)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，P，Q分别是AC，

AD上的动点，连接DP，PQ，则DP＋PQ的最小值为________．

第1题图 第2题图

2．(2017·安顺中考)如图，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正

方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为________．

二、利用面积法求定值

3．如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且PE⊥AC，PF⊥BD，AB＝6，

BC＝8，则PE＋PF的值为________．

【变式题】矩形两条垂线段之和→菱形两条垂线段之和→正方形两条垂线段之和

(1)(2017·眉山期末)如图，菱形ABCD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点，

分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF等于________．

变式题(1)图 变式题(2)图

(2)如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线BD上一点且BE＝BC，点P为线段CE

上一动点，且PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，则PM＋PN的值为________．

◆

类型二 正方形中利用旋转性解题

4．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边

形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．

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5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°.求证：S

△AEF

＝S

△ABE＋S

△ADF.

6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P为正方形ABCD外一点，

且BP⊥CP，连接OP.

求证：BP＋CP＝2OP.

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参考答案与解析

1 1对1个性化教案

学 生 学 校 年 级 八年级

教 师 授课日期 2016-3-20 授课时段 8：00-10：00

课 题 特殊的平行四边形

重 点

难 点 1、特殊的平行四边形的判定

2、特殊的平行四边形的性质

教

学

步

骤

及

教

学

内

容 知识点一 矩形

一个平行四边形活动框架移动过程，当移动到一个角是直角时停止，观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．

矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．

矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象．

矩形性质1 矩形的四个角都是直角．

矩形性质2 矩形的对角线相等．

如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=21AC=21BD．

因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

应用举例

例1已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．

例2 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE

2 于F，若AE=BC． 求证：CE＝EF．

例3 已知：如图3，矩形ABCD中，BDAE于E，且BAEDAE3。

求：CAE的度数。

ABODCE图3

随堂练习

1．（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 ．

（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为 、 、 、 ．

（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 cm， cm， cm， cm．

八（下）数学：证明平行四边形的常用方法，总结全面，收藏复习

同学们好，在八年级数学下册第六单元，我们学习了平行四边形。这一单元的知识，无论是在平时的考试中，还是在中考里，都属于重点内容之一。特别是平行四边形的性质与判定，一定要作为重中之重去对待。接下来老师就带大家一起来对这一块的知识进行一下复习：

1.平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行且相等；平行四边形两组对角分别相等；平行四边形两条对角线互相平分

2.平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。

接下来我们就一起来看看具体证明平行四边形的方法吧：

方法一：利用两组对边分别平行判定平行四边形

1

第1题相对比较基础，由四边形ABCD是平行四边形，可得AD//BC,AD=BC,则BF//DE,再结合BF=DE,可判定四边形BEDF是平行四边形，根据平行四边形性质可得BE//DF,即ME//FN。接着由BF=DE,AD=BC,可证AE=CF,结合AE//CF,从而可证四边形AECF是平行四边形，最后根据平行四边形的性质可得FM//EN,从而可证四边形FMEN是平行四边形。

方法二：利用两组对边分别相等判定平行四边形

2

方法三：利用一组对边平行且相等来判定平行四边形

3

方法四：利用对角线互相平分判定平行四边形

4

以上就是老师为大家分享的平行四边形判定常用的四种方法。要证明一个四边形是平行四边形，同学们一定先要将判定方法熟记于心，才能根据具体的题目条件判断出使用的证明方法。

今天的内容分享就到这里，也欢迎大家下方留言或评论，来一起说说你们的想法或建议吧。

第十八章平行四边形【思维导图】

【平行四边形】(1)平行四边形的定义与表示

定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

表示：平行四边形用“□”表示。

2)符号“□”必须与表示顶点的字母同时使用，不能单独使用。的顺序依次排列。点拨：1)在用“□”表示平行四边形时， 应把表示顶点的字母按顺时针或逆时针边形。平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四(2)平行四边形的基本元素

如图，在□ABCD中，

邻边：AD和AB，AD和DC，DC和BC，BC和AB

对边：AB和DC，AD和BC

邻角：∠BAD和∠ADC，∠ADC和∠DCB，∠DCB和∠ABC，∠ABC和∠BAD

对角：∠BAD和∠BCD，∠ABC和∠ADC

对角线：AC和BD

【平行四边形的性质】

性质1：平行四边形的对边相等

几何语言：如图1，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC

性质2：平行四边形的对角相等

几何语言：如图1，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，∠B=∠D

下面证明性质1和2 证明：如图2，连接AC。

∵AD∥BC，AB∥CD

∴∠1=∠2，∠3=∠4.

又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA

∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠1+∠4=∠2+∠3，即∠BAD=∠BCD

性质3：平行四边形的对角线互相平分

几何语言：如图3，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=0C=1/2AC，OB=OD=1/2BD

【典例】(中考)在□ABCD中，下列结论一定正确的是(）

A.AC⊥BDB.∠A+∠B=1800C.AB=ADD.∠A≠∠C

解析：平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直，所以选项A错误；@简单初中生平行四边形的邻角互补，所以选项B正确；平行四边形的对边相等但邻

边不一定相等，所以选项C错误；平行四边形的对角相等，所以∠A=∠C，所