平面与平面的平行与垂直
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【重点节】高三总复习---刘剑敏---2012
平面与平面的平行与垂直
一、考纲要求：掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；
二、知识网络：
三、基础过关
1．两个平面的位置关系：
2．两个平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条 直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
(记忆口诀：线面平行，则面面平行)
3、两个平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的 平行．
(记忆口诀：面面平行，则线线平行)
4．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为 二面角，则这两个平面互相垂直．
5．两个平面垂直的判定：如果一个平面 有一条直线 另一个平面，则这两个平面互相垂直．
6．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面 的垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面．
四、典型例题
例1．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1中点．
(1) 求证：平面AMN∥平面EFDB；
(2) 求异面直线AM、BD所成角的余弦值．
变式训练1：如图，∥，AB交、于A、B，
CD交、 于C、D，ABCD＝O，O在两平面之间，
AO＝5，BO＝8，CO＝6．求CD．
A1
A B C B1 C1
E F
M N D1
D
B D β α A C
O 空间两个平面 两个平面平行
两个平面相交 距离
两个平面平行的判定与性质
两个平面垂直的判定与性质 二面角 例2 . 已知平面∥平面，AB、CD是夹在平面和平面间的两条线段，点E、F分别在AB、CD上，且nmFDCFEBAE．求证：EF∥∥．
变式训练2：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点．
求证：(1) APMN；
(2) 平面MNP∥平面A1BD．
例3.如图，平面∥平面，ABC．A1B1C1分别在、内，线段AA1、BB1、CC1交于点O，O在、之间，若AB＝2AC＝2，∠BAC＝60°，OA:OA1＝3:2．
求A1B1C1的面积．
B1
A1 C1 β α B C A
O 变式训练3：如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝2a，点E是PD的中点．
证明：PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；
例4、 如图所示，在四面体S－ABC中，SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°．
求证：平面ABC⊥平面BSC．
变式训练4：如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．
⑴ 求证：AB⊥BC；
⑵ 若设二面角S－BC－A为45°，
SA＝BC，求二面角A－SC－B的大小．
C A
S D B D E
A
C B P
A S
B C 例5.如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P－CD－B为45°．
⑴ 求证：AF∥平面PEC；
⑵ 求证：平面PEC⊥平面PCD；
⑶ 设AD＝2，CD＝22，求点A到面PEC的距离．
变式训练5：如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．
证明：AB⊥平面VAD；
五、小结
1、证明面面平行的方法： (1)定义法；(2)判定定理．
2．注意线线平行，线面平行，面面平行的相互转化：线∥线线∥面面∥面．
3、在证明两平面垂直时，一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加，在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后再转化为线线垂直．“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化是解决这类问题的关键．
C B D F P
A
E
C
B A V
D
