直线垂直于平面的判定方法
判定一条直线是否垂直于一个平面是数学和几何学中的基本概念，我们可以通过以下方法判断直线与平面之间的垂直关系：
一、利用向量
1.计算法向量
首先，我们需要计算平面的法向量。平面的法向量是垂直于平面的一个向量。可以通过叉乘计算而得。
2.计算直线向量
利用直线上两点的坐标计算直线向量。直线向量指的是直线上的一个向量。我们需要计算直线向量与平面的法线向量的数量积，如果它们的点积为0，则说明这条直线与平面垂直。
二、利用点坐标
1.确定直线方向
首先，我们需要确定直线的方向。可以通过已知的两个点上的坐标来计算。
2.确定平面方向
然后，我们需要计算平面的方向。可以取平面上的一个点，然后根据与点相邻的两个边的坐标计算平面法向量。
3.计算坐标差
接下来，我们计算直线上两点与平面上选定点之间的坐标差。如果这些向量的点积为0，则说明这条直线与平面垂直。
总结：
判定直线是否垂直于平面的方法有很多，但主要的方法可以总结为两类：利用向量的方法和利用点坐标的方法。其中，利用向量方法计算效率高，但需要一定的向量计算知识；利用点坐标方法计算比较简单，但会占用较大的内存空间。在具体的实际问题中，应根据需要选取合适的方法进行计算。
第 1 页 共 2 页 高中数学知识点：直线和平面垂直的定义与判定
1.直线和平面垂直的定义
如果直线l和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l.直线l叫平面的垂线；平面叫直线l的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.
要点诠释：
(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同，注意区别.
(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式.
(3)若,ab，则ab.
2.直线和平面垂直的判定定理
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
图形语言：
符号语言：,,,mnmnBllmlnI
特征：线线垂直线面垂直
要点诠释：
(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视. 第 2 页 共 2 页 (2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.
相关的重要结论
①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条．
②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直．
③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直．
第9章 立体几何（教案） 【课题】9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质
【教学目标】
知识目标：（1）了解空间两条直线垂直的概念；
（2）掌握与平面垂直的判定方法与性质，平面与平面垂直的判定方法与性质．
能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．
【教学重点】直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质．
【教学难点】判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直．
【教学设计】
在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点作与已知直线垂直的直线，能作无数条.
例1是判断异面直线垂直的巩固性题目，根据异面直线垂直的定义，只要判断它们所成的角为90即可.
在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解．
两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．在日常生活和工农业生产中，两个平面互相垂直的例子非常多，教学时可以多结合一些实例，以引起学生的兴趣．
例4是判断平面与平面垂直的巩固性题目，关键是在平面1BAC内找到一条直线AC与平面B1BDD1垂直．例5是巩固平面与平面垂直的性质的题目.
【教学备品】教学课件．
【课时安排】2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程 教师
行为 学生
行为 教学
意图 时间
*揭示课题
9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质
*创设情境 兴趣导入
【知识回顾】
如果空间两条直线所成的角是90º，那么称这两条直线互相垂直，直线a和b互相垂直，记作a⊥b．
【想一想】
演示并画出两条相交直线垂直与两条异面直线垂直的位置关系，并回答问
介绍
质疑
了解
思考
启发
学生思考
0
第9章 立体几何（教案） 教 学
过 程 教师
行为 学生
行为 教学
意图 时间
题：经过空间任意一点作与已知直线垂直的直线，能作几条？ 引导
1、直线a与平面α内的两条直线都垂直，则a与α的位置关系是 ( )
A.垂直 B.平行
C.斜交 D.上述都有可能
2、下面四个命题
(1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直 (2)过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直
(3)一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面
(4)垂直于同一平面的两条直线互相平行
其中真命题个数为 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3、“直线l垂直平面α内的无数直线”是“l⊥α”( )条件。
A.充分 B.必要
C.充要 D.既不充分又不必要 4、已知O为三棱锥PABC的顶点P在平面ABC上的射影，若PA=PB=PC，则O为△ABC的
心；若有PA⊥BC，PB⊥AC，则O为△ABC的 心；若
P到△ABC三边AB、BC、CA
的距离相等，则O为△ABC的 心。
5、 △ABC的三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为2、3、4。它们在平面α的同侧，侧△
ABC的重心G到α的距离为
。 6、如果β⊥α，γ⊥α，β∩γ=a 求证a⊥α
7、如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1=A1C1，A1B⊥AC1，求证：A1B⊥B1C
8、已知：四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直SC的平面分别交SB、SC、SD
于E、F、G，求证：AE⊥SB，AG⊥SD。
9、设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则：
(1)A点到CD1的距离为
；
(2)A点到BD1的距离为 ；
(3)A点到面BDD1B1的距离为 ；
(4)A点到面A1BD的距离为 ；
(5)AA1与面BB1D1D的距离为 。
10、如图，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、
SF
、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G。
