1990考研数二真题及解析

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

(1) 曲线33cossinxtyt上对应于点6t点处的法线方程是＿＿＿＿＿＿.

(2) 设1tan1sinxyex,则y＿＿＿＿＿＿.

(3) 101xxdx＿＿＿＿＿＿.

(4) 下列两个积分的大小关系是：312xedx＿＿＿＿＿＿ 312xedx.

(5) 设函数1, ||1()0, ||1xfxx,则函数[()]ffx＿＿＿＿＿＿.

二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 已知2lim01xxaxbx,其中,ab是常数,则 ( )

(A) 1,1ab (B) 1,1ab

(C) 1,1ab (D) 1,1ab

(2) 设函数()fx在(,)上连续,则()dfxdx等于 ( )

(A) ()fx (B) ()fxdx

(C) ()fxC (D) ()fxdx

(3) 已知函数()fx具有任意阶导数,且2()[()]fxfx,则当n为大于2的正整数时,()fx

的n阶导数()()nfx是 ( )

(A) 1![()]nnfx (B) 1[()]nnfx

(C) 2[()]nfx (D) 2![()]nnfx

(4) 设()fx是连续函数,且()()xexFxftdt,则()Fx等于 ( )

(A) ()()xxefefx (B) ()()xxefefx (C) ()()xxefefx (D) ()()xxefefx

(5) 设(), 0()(0), 0fxxFxxfx,其中()fx在0x处可导,(0)0,(0)0ff,则0x

是()Fx的 ( )

(A) 连续点 (B) 第一类间断点

(C) 第二类间断点 (D) 连续点或间断点不能由此确定

三、(每小题5分,满分25分.)

(1) 已知lim()9xxxaxa,求常数a.

(2) 求由方程2()ln()yxxyxy所确定的函数()yyx的微分dy.

(3) 求曲线21(0)1yxx的拐点.

(4) 计算2ln(1)xdxx.

(5) 求微分方程ln(ln)0xxdyyxdx满足条件1xey的特解.

四、(本题满分9分)

在椭圆22221xyab的第一象限部分上求一点P,使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小(其中0,0ab).

五、(本题满分9分)

证明：当0x,有不等式1arctan2xx.

六、(本题满分9分)

设1ln()1xtfxdtt,其中0x,求1()()fxfx.

七、(本题满分9分)

过点(1,0)P作抛物线2yx的切线,该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形,求此平面图形绕x轴旋转一周所围成旋转体的体积.

八、(本题满分9分)

求微分方程44axyyye之通解,其中a为实数.

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)

(1)【答案】133(3)88yx

【解析】将6t代入参数方程得,xy在6t处的函数值:6338tx,61;8ty

得切点为31(3,)88.

过已知点00(,)xy的法线方程为00()yykxx,当函数在点00(,)xy处的导数

00xxy时,01()kyx.所以需求曲线在点6t处的导数.

由复合函数求导法则,可得

dydydtdydxdtdtdxdtdx223sincos3cossintttttant,

613xty； 法线斜率为3.k所以过已知点的法线方程为133(3).88yx

【相关知识点】复合函数求导法则：

如果()ugx在点x可导,而()yfx在点()ugx可导,则复合函数()yfgx在点x可导,且其导数为

()()dyfugxdx或dydydudxdudx.

(2)【答案】11tantan22211111secsincosxxeexxxxx

【解析】原函数对x求导,有

111tantantan111sinsinsinxxxyeeexxx

11tantan1111tansincosxxeexxxx

11tantan22211111secsincos.xxeexxxxx

【相关知识点】1.两函数乘积的求导公式：

()()()()()()fxgxfxgxfxgx.

2.复合函数的求导法则:

如果()ugx在点x可导,而()yfx在点()ugx可导,则复合函数()yfgx

在点x可导,且其导数为

()()dyfugxdx或dydydudxdudx.

(3)【答案】415

【解析】 对于原定积分,有换元法或拆项法可选择,不管是何种方法,最终的目的都是去

掉积分式子中的根式或使得根式积分可以单独积分出结果.

方法1：换元法,令1xt,原积分区间为01x,则011x,进而011x,新积分区间为01t；当0x时,1t,当1x时,0t,故新积分上限为0,下限为1.

1dxdt11221dtdxdxtx,则2dxtdt.

原式 021(1)(2)tttdt 11243500112235ttdttt

1142.3515

方法2：拆项法,11xx,

原式 10111xxdx

31120011xdxxdx

11352200221135xx224.3515

(4)【答案】

【解析】由于3xe,3xe在[2,1]连续且3xe3xe,根据比较定理得到

312xedx312xedx.

【相关知识点】对于相同区间上的定积分的比较,有“比较定理”如下：

若()fx与()gx在区间[,]ab(,ab为常数,ab)上连续且可积,且()fx()gx,则有()().bbaafxdxgxdx

(5)【答案】1

【解析】对于分段函数的复合函数求解必须取遍内层函数的值域,不能遗漏,求出复合后函数的所有可能的解析式.

根据()fx的定义知,当||1x时,有()1.fx代入[()]ffx,又(1)1.f于是当||1x时,复合函数[()]1ffx；

当||1x时,有()0.fx代入[()]ffx,又(0)1,f即当||1x时,也有[()]1ffx.

因此,对任意的(,)x,有[()]1ffx.

二、选择题(每小题3分,满分15分.)

(1)【答案】C

【解析】本题考查多项式之比当x时的极限.

由题设条件,有

22(1)()limlim011xxxaxabxbaxbxx, 分析应有10,0,aab 否则2(1)()lim01xaxabxbx.

所以解以上方程组,可得1,1.ab所以此题应选C.

(2)【答案】B

【解析】由函数的不定积分公式:

若()Fx是()fx的一个原函数,()()fxdxFxC,()()dFxfxdx,有

[()][()]().dfxdxfxdxdxfxdx

所以本题应该选(B).

(3)【答案】A

【解析】本题考查高阶导数的求法.

为方便记()yfx.由2yy,逐次求导得

322,yyyy243!3!,yyyy,

由第一归纳法,可归纳证明()1!nnyny.

假设nk成立,即()1!kkyky,则

(1)()1!1!kkkkyykykyy

111!kky,

所以1nk亦成立,原假设成立.

(4)【答案】A

【解析】对()()xexFxftdt两边求导数得

()()()()()xxFxfeefxx()().xxefefx

故本题选A.

【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：

若()()()()ttFtfxdx,()t,()t均一阶可导,则

()()()()()Fttfttft.

2.复合函数求导法则：

如果()ugx在点x可导,而()yfx在点()ugx可导,则复合函数()yfgx

在点x可导,且其导数为()()dyfugxdx或dydydudxdudx.

(5)【答案】B