1992考研数二真题及解析
- 格式：docx
- 大小：53.87 KB
- 文档页数：11
1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
fx = f (t) -兀，
⑴设 3t 其中f可导，且f (0)=0,则
[y = f(e -1),
⑵函数y=x+2cosx在[0,3上的最大值为 ________
⑶lim匸心2 = ___________ .
X—0 e -cosx
说 dx
x(x2 1)
⑸由曲线y=xex与直线y二ex所围成的图形的面积S二 二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)当 xr 0 时,x -sin x 是 x2 的()
(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小
(C)等价无穷小(D)同阶但非等价的无穷小
I x , x 兰 0 ⑵设f(X)二2 ,则() lx 七 X'XM -x , x 二0 (A)f(-x)= 2
-(X2 x),x 0
,x , x 兰 0 (C) f(-x) = { 2 (D) f(—x) = t
lx ?x,x>10 I x —1 ⑶当x—-T时，函数 --- exj的极限() x—1
(A)等于2(B)等于0
(C)为二(D)不存在但不为::
X2 2 ,
⑷设 f (X)连续，F(x) = J0 f (t2)dt，则 F (x)等于() (A) f(x4)(B)x2f(x4)
(C) 2xf(x4)(D) 2xf (x2)
⑸若f (x)的导函数是si nx,则f (x)有一个原函数为()
(A) 1 sin x (B) 1 -sin x
(C) 1 cosx (D) 1 -cosx
三、 (本题共5小题,每小题5分，满分25分.) dy
dxy
■ ■ 2 (x x),x：：：0 (B)f(-x) 2
「I —x , xHO
_ x —x,x c 0
x2, X^0 3 x害
(1)求 lim( ) 2 . x¥6+x 2
⑵设函数y = y(x)由方程y—xey =1所确定,求d-y 的值•
3 dx x
⑶求.—=2 dx .
' /+x2
⑷求 o ；1 -sinxdx.
⑸求微分方程(y-x3)dx-2xdy=0的通解.
四、 (本题满分9分)
、戸 1+x2,xv0 亠 3
设 f(x)=」 ，求 “ f (x-2)dx.
,e x 30 勺
五、 (本题满分9分)
求微分方程y'" -3y 2y =xex的通解.
六、 (本题满分9分)
计算曲线y =1 n(1 -x2)上相应于0 _x 的一段弧的长度.
七、 (本题满分9分)
求曲线、二、x的一条切线l,使该曲线与切线I及直线x = 0,x = 2所围成的平
面图形面积最小.
八、 (本题满分9分)
已知f (x) *0, f (0) =0,试证：对任意的二正数xi和X2恒有
f (xi X2)：： f (Xi) f(X2)
成立.
1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】3
【解析】由复合函数求导法则可得 或=业型=3ef 仁T),于是=3.
dx dx/dt f (t) dxy 【相关知识点】复合函数求导法则 ：如果u =g(x)在点x可导,而y = f (x)在点 u =g(x)可导，则复合函数y = f〔g(x)在点x可导，且其导数为
3=f(u)g(x)或 dy=dy du.
dx dx du dx
⑵【答案】.3 -
6
■JT !JT
【解析】令y T -2sin x =0,得［0,—］内驻点x .
2 6
因为只有一个驻点，所以此驻点必为极大值点，与端点值进行比较，求出最大值.
,, 兀 L 兀 兀 兀
又 y(0) =2,y(：) =,3 匸，y(=)
6 6 2 2
可见最大值为y( ) = .3 .
6 6
⑶【答案】0
1
⑷【答案】丄ln2
2
【解析】令b > ::
面积为
1 S= .0(ex-xex)dx,再利用分部积分法求解，得
S = ^x2 -xex 亠 I exdx e T . 2 0 '0 2
注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题 ，如果选择不当可能引起 【解析】由等价无穷小，有X-； 0时,1 - 1-x； 1—厂2 li"2^x lim x lim —— t e -cosx 7e
上式为“ 0”型的极限未定式，又分子分母在点 0 -x2 2(_xj Jx2，故
22 2
-COSX
0处导数都存在，由洛必达法则，原式=lim =0. ex sin x
b dx
原式二lim b 1 x
. 2 = lim「一 dx= lim f (一 — 一)dx(分项法)
b—：’’ 1 x(x2 1) b—; ： 1 x(x2 1) b_“ 1 x x 1
■2^— dx2 (凑微分法)
b i 1 lim ln ln 2
b「： . b2 1 2 1 ln 2 . 迥1 nx b 「 1
1 一』叫2
b 1 2
1 沁 2〔n(x +1)
b2 b
1
1 1
2 ln 2 =ln1 ln 2 b2 1 2 2 "：ln，
⑸【答案】e-1 2
【解析】联立曲线和直线的方程，解得两曲线的交点为(0,0),(1,e),则所围图形 若lim :(x)
■(x) 不存在(不为::),称〉(x), -(x)不可比较.
(2)【答案】(D)
【解析】直接按复合函数的定义计算
I (-X), —x"
f(-X)二 2
(—x) +(—X), —XA0 x2 _ x,
x ：： 0,
所以应选(D).
(3)【答案】(D)
【解析】对于函数在给定点X0的极限是否存在,需要判定左极限X > X,和右极
x > X。•是否存在且相等，若相等，则函数在点X的极限是存在的.
x2 -1 ex^ = lim( x 1)ex4 = 0 ,
1 lim
X :1 一 x_1 X …1 ex/ 二 |呷.x 1)ex^ 二:: lim
x 1 x「1 更繁杂的计算，最后甚至算不出结果来•在做题的时候应该好好总结，积累经验•
【相关知识点】分部积分公式：假定 u =u(x)与V二v(x)均具有连续的导函数，则
uv dx = uv - u vdx,或者 udv 二 uv - vdu.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) ⑴【答案】(B)
【解析】lim3x^2inx为“ 0 ”型的极限未定式，又分子分母在点0处导数都存
在，连续运用两次洛必达法则，有四 X 学 X = 四1 ；os x = 四 = 0 ,故选(B).
【相关知识点】无穷小的比较：
设在同一个极限过程中「(x)「(x)为无穷小且存在极限lim^凶=丨，
P(x)
(1)若1=0,称〉(x),"x)在该极限过程中为同阶无穷小；
⑵若l =1,称〉(x), 1 (x)在该极限过程中为等价无穷小，记为〉(X)U 1 (x)；
(3)若1=0,称在该极限过程中:(x)是1 (x)的高阶无穷小,记为
0 =::，故当x > 1时函数没有极限，也不是：：.故应选(D).
⑷【答案】(C)
X2
【解析】F(x)=[ ° f(t2)dt] = f[(x2)2] (x2) =2xf(x4), 故选(C).
【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：
l，(t) 一
若 F(t) = _(t) f(x)dx」(t), ：(t)均一阶可导，则
F ⑴= P(t) f(t) (t) f 上(t) 1.
⑸【答案】(B)
【解析】由f (x)的导函数是sin x ,即f(x)=sinx,得
f (x)二 f (x)dx 二 sinxdx - -cosx C ,其中 C 为任意常数.
所以f(x)的原函数
F(x) = f (x)dx = ( -cosx C)dx 二-sin x Gx C?，其中 G,C2 为任意常数. 令 G = 0, C2
T 得 F (x) = 1 -sin x .故选(B).
三、(本题共5小题,每小题5分，满分25分.)
3
(1)【答案】e*
【解析】此题考查重要极限：lim(1 {)x =e.
将函数式变形，有
- 6七X」 Q r —
)6 x 2 _6 打「— iim
=lim e6 x 2 = ex 法 x 2
⑵【答案】2e2
【解析】函数y=y(x)是一个隐函数，即它是由一个方程确定，写不出具体的解
析式.
方法1 :在方程两边对x求导，将y看做x的函数,得
・ y y y -e -xe Y = 0,即 y J ey
1 -xey x J 3 X) ~2~
6 x
把x =0, y 代入可得y (0) =e.
两边再次求导，得
y eyy(1 -xey) ey(ey xeyy)
把 x = 0, y =1 , y (0)二 e 代入得 y
(0) xey)2
= 2e2.
x-0
方法2 :方程两边对x求导，得y -e-xeyy =0 ；
再次求导可得 y eyy-(eyy • xeyy2 xeyy ) =0,
d2y
把X =0,y =1代入上面两式，解得y(0) =e, y“(0) = ―y
dx = 2e2.
x=0
【相关知识点】 1.复合函数求导法则：如果u二g(x)在点x可导,而y二f (x)在点
u =g(x)可导，则复合函数y = f lg(x)在点x可导，且其导数为
dy dy du 驚f(u)g(x)或乂忑
2.两函数乘积的求导公式：
3.分式求导公式: 〔f (x) g(x)l 二 f (x) g(x) • f(x) g (x). fu ?
u V - uv
2 V lv ____________
(3)【答案】(1 • x2)2 - . rx^ C其中C为任意常数•
【解析】方法1:积分的凑分法结合分项法，有
x3 1
------ dx 二 _
1 x : 2' 1d(1 *2) x2 2 1 (1 x2) -1 - d(1 x )= 1 x2 . 2 \ 1 X2
=丄 J(J1 +x2 _ , 1 X2' J -1 X2d(1 X2)
2 3 _ 21 x2
= 1(1 X2)^ .1 X2 C其中C为任意常数. 3
方法 2 :令 x=ta nt,则 dx 二 sec2tdt,
3 X Q O o
「「 dx = Jtan tsectdt = ftan td(sect) = [(sec t T)d(sect)
1 * \ 1 3 —
sec31 - sect C (V x2)^ ' V x2 C ,其中 C 为任意常数. 3 3
方法 3 :令 t =x2,贝U x=\ZT, dx=^^,
t 1 --------- )d(1 x )
1 2 d(r x2) 1 x
2、
2屁
宀dx亏匚陰dt此后方法同方法1.积分的凑分法结合分项法
1 x2
