第1章概率论基础2.

第1章 概率论基础

课程简介

【研究对象】 随机信号的特点与规律 -----> 对其将来行为能够做出预测

【课程目标】

(1)掌握随机信号的基本理论和分析方法，主要是统计规律：概率密度、分布函数、平稳性、

相关函数和功率谱密度等；

(2)掌握随机信号通过电子系统的特征：随机信号通过线性系统、窄带随机过程。

【课程难点】

(1)概念转变：确定(确定信号)--->不确定(随机信号)--->确定(统计规律性)；

(2)数学基础(概率论)＋物理基础(电学、信号与系统)

【先修课程】

高等数学＋概率论基础=数学基础；信号与系统＝确定信号分析基础

【主要内容】

1、概率论基础补充，主要增加：随机变量的函数，矩函数；2、随机信号基本概念；3、平稳

随机过程；4、功率谱密度；5、随机信号通过线性系统；6、窄带随机过程

【学习思路】 t只作为确定参量分析加入参量t

在此结果上, t 作为变量分析

统计平均＝时间平均

利用信号系统中确知信号时域

卷积或频域相乘分析方法

应用：两种特定随机信号的时频分析0()()cos(())XtAtttωΦ=+

0()cos()()XtatNtωθ=++

【学习方法】

注重随机信号的物理概念，但分析过程中不应死扣物理意义。

1-1 第1章 概率论基础

第1章 概率论基础Foundation of Probability Theory

本章计划学时6--8学时。

目标：1、复习与总结概率论的基本知识；2、扩充一些新知识点，瑞利与莱斯分布，随机变

量的基本实验方法。

重点：随机变量与概率分布、随机变量的函数分布及统计特性、数字特征、正态分布、均匀

分布、瑞利分布。

1.1 概率空间（Probability Space）

1.1.1 概率定义（Probability Definition）

一、随机现象Random phenomena

自然现象和社会上发生的现象多种多样可以分为：

确定现象(Definite phenomenon)和随机现象(Random phenomenon)两类。

考研数学基础班——概率统计讲义

第一章 概率论的基本概念

一、随机事件其运算

1．随机试验、样本点和样本空间

(1)随机试验

随机试验具有如下特点的试验．

1、在相同的条件下，试验可以重复进行．

2、试验的所有可能结果是预先知道的，并且不止一个．

3、每一次试验出现那一个结果事先不能确定．

(2)样本点和样本空间

随机试验的每一个可能的(不可分解的)结果，称为这个随机试验的一个样本点，记为ω

．

随机试验的所有样本点组成的集合，称为这个随机试验的样本空间，记为． Ω

2．随机事件、基本事件、必然事件和不可能事件

在随机试验中，可能发生也可能不发生的事情称为该试验的随机事件，记为A

,B

等．

随机试验的随机事件可以表示为它的一些样本点组成的集合．在一次试验中，若试验结

果是随机事件A

中的一个样本点，则称在一次试验中事件A

发生．

只包含一个样本点的事件称为基本事件．

在任何一次试验中都发生的事件，称为必然事件，它就是Ω

所表示的事件，因而用Ω

表

示必然事件．

在任何一次试验中都不发生的事件，称为不可能事件，它就是由φ

所表示的事件，因而

用φ

表示不可能事件．

3．事件之间的关系和运算

(1)包含关系

设A

,B

为二事件，若A

发生必导致B

发生，则称事件A

包含于事件B

，或事件B

包

含事件A

，记为BA⊂

．BA⊂⇔A∈∀ω

必有B∈ω

，见图1—1．

(2)相等关系

设A

,B

为二事件，若BA⊂

并且AB⊂

，则称A

与B

相等，记为BA=

，见图1—2．

(3)事件的并

设A

,B

为二事件，称事件“A

,B

至少一个发生(A

发生或B

发生)”为A

,B

的并(或和)，

记为．BA∪BA∪}|{BA∈∈=ωωω或

．见图1—3．

(4)事件的交

设A

,B

为二事件，称事件“A

,B

同时发生(A

发生且B

发生)”为A

,B

的交(或积)．记

为或BA∩AB

．AB}|{BA∈∈=ωωω且

．见图1—4．

(5)事件的差

设A

,B

为二事件，称事件“A

发生且B

不发生”为A

第一章 概率论基础

一、填空题

1．设7.0)(,4.0)(BAPAP，若A，B互不相容，则)(BP ，

若A，B相互独立，则)(BP ．

2．设31)()()(321APAPAP，321,,AAA相互独立，则321,,AAA至少出现一个的概率为 ；321,,AAA恰好出现一个的概率为 ；

321,,AAA最多出现一个的概率为 ．

3．一袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机

地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 ．

4．设在一次试验中，事件A发生的概率为p．现进行n次独立试验，则事件A

至少发生一次的概率为 ；而事件A至多发生一次的概率为 ．

5．三个人独立破译密码，他们能单独译出的概率分别为41,31,51，则此密码被译

出的概率为 ．

二、选择题

1．设A、B为两个事件，则))((BABA表示 （ ）．

（A） 必然事件； (B) 不可能事件；

（C） A与B恰有一个发生； (D) A与B不同时发生．

2．对事件A、B，下列命题正确的是 （ ）．

（A） 如果A、B互不相容，则A、B也互不相容；

（B） 如果A、B相容，则A、B也相容；

（C） 如果A、B互不相容，且0)(AP，0)(BP，则A、B相互独立；

（D）如果A、B相互独立，则A、B也相互独立．

3．设CAB，则 （ ）．

（A） CAB ； （B） CA且CB；

复旦大学《概率论基础》习题答案

（第一版）

第一章 事件与概率

2、解：（1）ABCACABAABCABCA且显然)(，若A发生，则B与C必同时发生。

（2）AC且ABACBACBA，B发生或C发生，均导致A发生。

（3）ACAB与B同时发生必导致C发生。

（4）CBABCA，A发生，则B与C至少有一不发生。

3、解：nAAA21)()(11121nnAAAAAA

(或)＝121121nnAAAAAAA．

6、解：（1）{至少发生一个}=DCBA.

（2）{恰发生两个}=CABDBACDDABCCBADDBACDCAB.

（3）{A，B都发生而C，D都不发生}=DCAB.

（4）{都不发生}=DCBADCBA.

（5）{至多发生一个}=CBADDBACDCABDCBADCBA

CDBDBCADACAB.

8、解：（1）因为nnnnnnxnCxCxCx2211)1(，两边对x求导得

12112)1(nnnnnnxnCxCCxn，在其中令x=1即得所欲证。

（2）在上式中令x=-1即得所欲证。

（3）要原式有意义，必须ar0。由于kbbkbrbbarabaCCCC,，此题即等于要证akrbbakbbrkaarCCC00,.利用幂级数乘法可证明此式。因为

babaxxx)1()1()1(，比较等式两边rbx的系数即得证。

9、解：15.0335/311151516AAAAP

10、解：（1）第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以5/2!5/!42p

（2）可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以