2012年上海市高考压轴卷 理科数学试题

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2012年普通高等学校招生全国统一考试

上海 理科数学试卷

考生注意：

1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

2．答题前，务必在答题纸上填写准考证号和姓名，并将核对后的条形码贴在指定位置上。

3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

4．本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．

一、填空题（56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．已知复数2izi（i为虚数单位），则zz ．

2．计算 nnnn4132lim ．

3．函数)(xfy的反函数为)0(1)1(log2xxy，则)(xf._______

4．若以1431aa为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，则实数a的取值范围为 ．

5．532)23(xx的二项展开式中，常数项的值是 .

6．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）：125，124，121，123，127．则该样本的标准差s 克．

7．已知曲线12CC，的极坐标方程分别为π4cos002，≥≤，cos3，第 2 页 共 10 页 则曲线1C与2C交点的极坐标为 ．

8．设定点)2,1(A、)2,1(B，动点),(yxP满足：52PBPA，则动点P的轨迹方程为 ．

9．设直线m与平面相交但不．垂直，则下列所有正确的命题序号是 ．

①在平面内有且只有一条直线与直线m垂直；

②过直线m有且只有一个平面与平面垂直；

③与直线m平行的直线不．可能与平面垂直；

④与直线m垂直的直线不．可能与平面平行；

⑤与直线m平行的平面不．可能与平面垂直．

10．某校学生在上学路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2分钟．则该校某个学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的均值等于 分钟．

11．若关于x的不等式)1(2xbax的解集为}1|{xx，则b的取值范围为 ．

12．某城区从某年开始的绿化总面积y（万平方米）与时间x（年）的关系为xy15.1．则该城区绿化总面积从4万平方米到12万平方米所用的时间为 年．（四舍五入取整）

13．若212axx对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为 ．

14．对于任意的平面向量),(),,(2211yxbyxa，定义新运算：),(2121yyxxba．若cba,,为平面向量，Rk，则下列运算性质一定成立的所有序号是 ．

①baab； ②)()(bkabak； ③)()()(bkakbak

④cbacba)()(； ⑤cabacba)(.

二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15．如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程(,)0fxy的解”是正确的，则下列命题中正确的是（ ） 第 3 页 共 10 页 （A）曲线C是方程(,)0fxy的曲线；

（B）方程(,)0fxy的每一组解对应的点都在曲线C上；

（C）不满足方程(,)0fxy的点(,)xy不在曲线C上；

（D）方程(,)0fxy是曲线C的方程.

16、若框图所给的程序运行的结果为90S，那么判断框中应填入的关于k的

判断条件错误．．的是（ ）

（A）8k （B）8k （C）9k （D）9k

17．将若干水倒入底面半径为cm2的圆柱器皿中（底面水平放置），量得水面的高度为cm6．若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒置的圆锥形器皿中，则水面的高度是

（ ）

A．cm36 B．cm6 C．cm1823 D．cm1233

18．设}{na是公比为q的等比数列，首项6411a，对于Nn，nnab21log，当且仅当4n时，数列nb的前n项和取得最大值，则q的取值范围为 （ ）

A．)32,3( B．)4,3( C．)4,22( D．)23,22(

三、解答题（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对

应的题号）内写出必要的步骤．

19．（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

如图，菱形ABCD中，1ACAB，

其对角线的交点为O，现将ADC沿对角线

AC向上翻折，使得OBOD．在四面体

ABCD中，E在AB上移动，点F在DC

上移动，且)10(aaCFAE．

（1）求线段EF的最大值与最小值；

（2）当线段EF的长最小时，求异面

直线AC与EF所成角的大小． 第16题图 第 4 页 共 10 页 20．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

已知函数2π()cos12fxx，1()1sin22gxx．

（1）设0x是函数()yfx的一个零点，求0()gx的值；

（2）求函数()()()hxfxgx的单调递增区间．

21．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

某市一家庭一月份、二月份、三月份天然气用量和支付费用如下表所示：

月份 用气量（立方米） 支付费用（元）

一 4 8

二 20 38

三 26 50

该市的家用天然气收费方法是：天然气费＝基本费超额费保险费．

现已知，在每月用气量不超过A立方米时，只交基本费6元；每户的保险费是每月C元)5(C；用气量超过A立方米时，超过部分每立方米付B元．

设当该家庭每月用气量x立方米时，所支付费用为y元．求y关于x的函数解析式．

22．（本小题满分16分，第1小题满分8分，第2小题满分8分）

设椭圆22222:byxC（常数0b）的左右焦 点分别为12,FF，,MN是直线bxl2:上的两个动点，

120FMFN．

（1）若1225FMFN，求b的值；

（2）求MN的最小值．

第 5 页 共 10 页 23．（本小题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第2小题满分6分）

如图，),(111yxP，),(222yxP，„，),(nnnyxP，„是曲线)0(21:2yxyC上的点，)0,(11aA，)0,(22aA，„，)0,(nnaA，„

是x轴正半轴上的点，且110PAA，221PAA，„，

nnnPAA1，„ 均为斜边在x轴上的等腰直角

三角形（0A为坐标原点）．

（1）写出1na、na和nx之间的等量关系，

以及1na、na和ny之间的等量关系；

（2）猜测并证明数列}{na的通项公式；

（3）设nnnnnaaaab23211111，集合,,,,,321nbbbbB，R012|22xaaxxxA，，若BA，求实常数a的取值范围．

第 6 页 共 10 页 （理科数学）答案

一、 1．5 2．1 3．)1(121xx

4．13 5．1080 6．2

7．(23,)6 8．)1(2xxy 9．②③

10．34 11．),2( 12．8

13．),3[]1,( 14．①④

二、15．C． 16．D． 17．B． 18．C．三、19．解一：（1）以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系xyzO，„„1分

由已知可求得)0,21,23(aaE，)23,21,0(aaF，„2分

222)23()21()21(aaaaaEF

53)52(252a． „„„„„„„„„2

所以，当52a时，线段EF的最小值为515．„„1分

（2）)53,53,53(EF，)0,1,0(AC， „„2分

.515151553cosACEFACEF „„3分

所以，.515arccos „„„„„„„„1分

解二：（1）如图，过点F作DOFM//，则aFM23，„2分

在AEM中，由余弦定理，得

第 7 页 共 10 页 53)52(2560cos22222aAMAEAMAEEM．„„3分

所以，当52a时，线段EF的最小值为515． „„„„„„1分

（2）过点E作ACEN//，在EFN中，可求得53EN，56FN，由余弦定理可求．

20．解：（1）由题设知1π()[1cos(2)]26fxx21．

因为0xx是函数()yfx的一个零点，所以062cos1x，„„„„„„2分

162cosx即125kx（kZ）．„„„„„„„„„„„„„„„3分

所以.45652sin211sin211)(00kxxg„„„„„„„„„„„„„2分

（2）1π1()()()1cos21sin2262hxfxgxxx

1π31313cos2sin2cos2sin22622222xxxx

1π3sin2232x． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分

当πππ2π22π232kxk≤≤，即5ππππ1212kxk≤≤（kZ）时，

函数1π3()sin2232hxx是增函数，

故函数()hx的单调递增区间是5ππππ1212kk，（kZ）． „„„„„„„„2分

21．解：根据题意，　　　　　　　　　　　　　　)2(.,)(6)1(,0,6A　　xCAxBAxCy„„„„„„„2分

因为50C，所以116C．

由表格知，二、三月份的费用大于11，因此，二、三月份的用气量均超过基本量A，于是有