2012年浙江专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)
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2012年浙江专升本（高等数学）真题试卷 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题
选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1． 函数f(x)=在x∈(一∞，+∞)上为 ( )
A．有界函数
B．奇函数
C．偶函数
D．周期函数
正确答案：A 解析：因为=0，故函数f(x)有界，答案A正确；可验证f(x)非奇非偶函数，所以答案B，C错误，也明显不是周期函数．
2． 已知f′(x0)=2，当△x→0时，dy为△x的 ( )
A．同阶无穷小
B．等价无穷小
C．高阶无穷小
D．低阶无穷小
正确答案：A 解析：=f′(x0)=2，所以当△x→0时，dy为△x的同阶无穷小，即A答案正确．
3． 设函数f(x)满足f(0)=1，f(2)=3，f′(2)=5，f″(x)连续，则xf″(x)dx
( )
A．10
B．9
C．8
D．7
正确答案：C
解析：xf″(x)dx=xdf′(x)=xf′(x)f′(x)dx=2f′(2)一f(x)=2f′(2)一f(2)+f(0)=10—3+1=8，选项C正确．
4． 由y=，y=1，x=4围成的图形的面积为 ( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：画图并利用定积分的几何意义，可知所围图形的面积A=dx－3=，因此答案B正确．
5． 已知二阶微分方程y″+2y′＋2=e－xsinx，则设其特解y*= ( )
A．e－x(acosx+bsinx)
B．ae－xcosx+bxe－xsinx
C．xe－x(acosx+bsinx)
D．axe－xcosx＋be－xsinx
正确答案：C
解析：二阶微分方程y″+2y′+2=e－xsinx的特征方程为r2+2r+2=0，解得r1＝－1+i，r2＝－1－i，又因λ+ωi＝－1+i是特征方程的根，故取k=1，Rm(x)=1，因此y″+2y′+2=e－xsinx具有的特解形式可设为y*=xe－x(acosx+bsinx)，答案C正确．
填空题
6． －(x+1)]=___________．
正确答案：2
解析：－(x+1)]===2
7． 函数y=sin的连续区间为___________．
正确答案：[，1]
解析：该函数在定义域内处处连续，所以解不等式组，解得定义域为x∈[－，1]．因此所求函数的连续区间为x∈[－，1]
8． 已知f′(3)=2，则=___________．
正确答案：一4
解析：由导数定义可得=－4．
9． 若函数y=y(x)由方程y=1+xey所确定．则y′=___________．
正确答案：y′=
解析：隐函数方程求导，y′=ey+xey.y′，解得y′=
10． dx=___________．
正确答案：ln｜cscx－cotx｜＋cosx＋C 解析：dx=∫cscxdx－∫sinxdx=ln｜cscx－cotx｜＋cosx＋C
11． 极限表示的定积分为___________．
正确答案：dx
解析：利用定积分定义求极限，=，此极限为函数f(x)=在x∈[0，1]上的定积分，即
12． 级数的收敛区间为___________．
正确答案：(－1，1) 解析：因为ρ＝＝1，所以幂级数的收敛半径R==1，故收敛区间为(一1，1)．
13． 一阶线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)的通解为___________．
正确答案：y=e∫－P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]
解析：由一阶线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)的通解公式y=e∫－P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]．
14． 在xOy平面上与向量a=(4，一3，7)垂直的单位向量是___________．
正确答案：b=
解析：设所求向量b=(x，y，0)，则x2+y2=1 ①；且a.b=0，即4x－3y=0 ②由①和②解得，即b=，0)
15． 平面2x+y一z一1=0到平面2x+y一z＋3=0的距离为___________．
正确答案：
解析：可以判断两平面平行，故平面2x+y—z一1=0到平面2x+y—z+3=0的距离可以转换为平面2x+y－z－1=0上任一点到平面2x＋y－z＋3=0的距离，即d=
解答题解答时应写出推理、演算步骤。
16． 设f(x)=在x=0处的连续，求a的值．
正确答案：==3，
f(x)=a．因为函数f(x)在x=0处连续，所以f(0)=a=3．
17． 设f(x)=，求f′(x)
正确答案：当x＞0时，f′(x)=2x当x＜0时，f′(x)=－2e－2x∴f(x)在x=0处不可导∴f′(x)=
18． 设曲线，求其拐点及凹凸区间；
正确答案：据题意，y′=，y″=令y″=0，则可得x=0，x=一2当x＜0时，y″＞0；当0＜x＜2时，y″＜0；当x＞2时，y″＞0而且当x=0时，y=；当x=2时，y=所以点(0，)和(2，)为拐点 凸区间为x∈(0，2)，凹区间为(一∞，0)，(2，+∞)
19． 求方程x2=xsinx+cosx根的个数；
正确答案：令函数f(x)=x2一xsinx—cosx，则f(x)在x∈R上处处连续且可导∵f＞0∴在闭区间上分别应用零点定理可知，分别至少存在一点ξ∈(，0)，
η∈(0，)，使得f(ξ)=0，f(η)=0即方程x2=xsinx+cosx至少有两个实根又因为f′(x)=x(2－cosx)，当x＜0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在x∈(一∞，0)上单调递减，即当x＜0时，方程x2=xsinx+cosx只有一个实根ξ； 当x＞0时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x∈(0，+∞)上单调递增，即当x＞0时，方程x2=xsinx+cosx只有一个实根η．综上可知，方程x2=xsinx+cosx仅有两个实根．
20． 求不定积分∫x2lnxdx
正确答案：∫x2lnxdx=∫lnxdx3=x3lnx－∫x2]dx=x3lnx－x3+C
21． 求定积分
正确答案：
22． 求瑕积分
正确答案：x=0是瑕点，令t=，则x=t2，当x→0＋时，t→0，x=1时，t=1再令t=tanu，则当t=1
时，u=，当t=0时，u=0所以
23． 将函数ln(1一x一2x2)展开成x的幂级数，并指出其收敛域
正确答案：ln(1一x一2x2)=ln(1—2x)(1+x)=ln(1—2x)+ln(1+x) 因为ln(1+x)=xn，收敛区间为x∈(－1，1)．所以ln(1－2x)=，收敛区间为x∈() 所以ln(1－x－2x2)=[(－1)n－1－2n]，收敛区间为x∈()
综合题
24． 已知f(x)=(x＞0)，求f(x)．
正确答案：当0＜x＜e时，f(x)===1当x=e时，f(e)==1 当x＞e时，f(x)===lnx所以f(x)=
25． 设a＞b＞e，证明：ab＜ba．
正确答案：(拉格朗日中值定理)设f(x)=，x∈[b，a]函数f(x)在闭区间x
∈[b，a]上连续，在开区间(b，a)内可导所以由拉格朗日中值定理知，至少存在一点ξ∈(b，a)，使得f(a)－f(b)==f′(ξ)(a－b)∴(a－b)，其中b＜ξ＜a∵e＜b＜ξ＜a，∴lnξ＞lne，即lnξ一1＞01一lnξ＜0∴blna—alnb＜0，即alnb＞blna，ba＞ab∴ab＜baxf(sinx)dx=f(sinx)dx，(2)计算dx．
正确答案：xf(sinx)dx(π－t)f[sin(π－t)]dt=(π－t)f(sint)dt=πf(sint)dt－tf(sint)dt= πf(sinx)dx－xf(sinx)dx ∴xf(sinx)dx=f(sinx)dx利用上述结论，即得dx=－π
