2019年浙江专升本高等数学真题与答案解析(详细)
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浙江省2019年高职高专毕业生进入本科学习统一考试
高等数学
一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
1、设lim𝑥→0𝑥𝑛=𝑎则说法不正确的是（ ）
A、对于正数2，一定存在正整数𝑁，使得当n>𝑁时，都有|𝑥𝑛−𝑎|<2.
B、对于任意给定的无论多么小的正数ε，总存在整数𝑁，使得当n>𝑁时，不等于|𝑥𝑛−𝑎|
C、对于任意给定的𝑎的邻域(𝑎−𝜀,𝑎+𝜀), 总存在整数𝑁，使得当n>𝑁时，所有的𝑥𝑛都落在(𝑎−𝜀,𝑎+𝜀)内,而只有有限个（至多只有𝑁个）在这个区间外.
D、可以存在某个小的正数𝜀0，使得有无穷多个点𝜀0落在区间(𝑎−𝜀0,𝑎+𝜀0)外.
2、设在点𝑥0的某邻域内有定义，则在点𝑥0处可导的一个充分条件是（ ）
A、limℎ→0𝑓(𝑥0+2ℎ)−𝑓(𝑥0)ℎ存在 B、limℎ→0−𝑓(𝑥0)−𝑓(𝑥0−ℎ)ℎ存在
C、limℎ→0𝑓(𝑥0+ℎ)−𝑓(𝑥0−ℎ)ℎ存在 D、limℎ→+∞ℎ[𝑓(𝑥0+1ℎ)−𝑓(𝑥0)]存在
3、lim𝑥→+∞1𝑛[√1+sin𝜋𝑛+√1+sin2𝜋𝑛+⋯+√1+sin𝑛𝜋𝑛]等于（ ）
A、∫√sin𝜋𝑥𝑑𝑥10 B、∫√1+sin𝜋𝑥𝑑𝑥10
C、∫√1+sin𝑥𝑑𝑥10 D、π∫√1+sin𝑥𝑑𝑥10
4、下列级数或广义积分发散的是（ ）
A、∑(−1)𝑛−1𝑛+100∞𝑛=1 B、∑cos2𝑛∞𝑛=1
C、∫1√4−𝑥2𝑑𝑥21 D、∫1(1+𝑥2)2𝑑𝑥+∞1
5、微分方程y′′−4𝑦′+4𝑦=0的通解为（ ）
A、y=𝑐1𝑥+𝑐2𝑒−2𝑥 B、y=(𝑐1+𝑐2𝑥)𝑒−2𝑥
C、y=(𝑐1+𝑐2𝑥)𝑒2𝑥 D、y=(𝑐1+𝑐2𝑥)𝑥𝑒−2𝑥
二、填空题（只要在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，每小题4分，共40分）
6、极限lim𝑥→∞(1+sin1𝑛)𝑛= 7、设一雪堆的高度ℎ与时间𝑡的关系为ℎ(𝑡)=100−𝑡2，则雪堆的高度在时刻𝑡=5时的变化率等于
8、当𝑎=
时，极限lim𝑥→01−cos𝑥ln(1+𝑥3)(𝑎−𝑒𝑥)存在且不等于0.
9、设 ，则𝑑2𝑦𝑑𝑥2=
10、设g(𝑥)=∫sin𝑡2𝑑𝑥𝑥0，且当𝑥→0时，g(𝑥)与𝑥𝑛是同阶无穷小，则𝑛=
11、定积分∫√1−𝑥2𝑑𝑥10 =
12、设函数y=y(𝑥)由方程e𝑥+𝑦−𝑥𝑦=0确定，则𝑑𝑦𝑑𝑥=
13、曲线y(𝑥)=𝑥3+3𝑥2的拐点是
14、由曲线𝑦=√𝑥 ,𝑥=1 ,𝑥=2及𝑥轴围成的曲边梯形绕𝑥轴旋转一周而成的旋转体体积等于
15、设𝑦=32𝑥，则𝑦(𝑛)=
三、计算题（本大题共8小题，其中16-19题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分）
16、求极限lim𝑥→0ln(1+𝑥)−𝑥𝑥2.
17、设y(𝑥)=ln(2+cos𝜋𝑥)+𝑥𝑥，求函数y(𝑥)在𝑥=1处的微分.
18、求不定积分∫sin√𝑥𝑑𝑥.
19、设𝑓(𝑥)= ，求𝑝(𝑥)=∫𝑓(𝑡)𝑥0𝑑𝑡在[0,𝜋]上的表达式.
𝑥=sin𝑡
𝑦=cos𝑡
cos𝑥 ,𝑥∈[0,𝜋2)
𝑥 ,𝑥 ∈[𝜋2,𝜋] 20、一物体由静止到以速度𝑣(𝑡)=3𝑡√𝑡+1
(𝑚/𝑠)作直线运动，其中𝑡表示运动的时间，求物体运动到8秒时离开出发点的距离。
21、问是否存在常数𝑎使得函数𝑓(𝑥)= 在𝑥=0处可导？若存在，求出常数𝑎，若不存在,请说明原因.
22、求过点𝐴(1,0,2)且与两平面𝜋1：𝑥−𝑦+𝑧+1=0 ; 𝜋2：𝑥−𝑧=0都平行的直线的方程。
23、求幂级数∑1𝑛∞𝑛=1𝑥𝑛−1的收敛区间及和函数，并求级数∑1𝑛∞𝑛=1(12)𝑛−1.
四、综合题（本大题共3大题，每小题10分，共30分）
24、设𝑦=𝑓(𝑥)是第一象限内连续点𝑀(0,4),𝑁(2,0)的第一段连续曲线，𝑃(𝑥,𝑦)为该曲线上任意一点，点𝐵为𝑃在𝑥轴上的投影，𝑂为坐标原点，若梯形𝑂𝐵𝑃𝑀的面积与曲边三角形𝐵𝑃𝑁的面积之和等于另一曲线y=𝑥424+𝑥3 在点(𝑥,𝑥424+𝑥3)处的切线斜率，求该曲线𝑦=𝑓(𝑥)的方程（注：曲边三角形𝐵𝑃𝑁是指由直线段𝐵𝑃，𝑥轴以及曲线段𝑃𝑁所围成的封闭图形）
𝑥2+𝑎 ,𝑥≤0
1−e𝑎𝑥 ,𝑥>0
25、假设某公司生产某产品𝑥千件的总成本是𝑐(𝑥)=2𝑥3−12𝑥2+30𝑥+21（万元），售出该产品𝑥千件的收入是𝑟(𝑥)=60𝑥（万元），为了使公司取得最大利润，问公司应生产多少件产品？（注：利润等于收入建总成本）
26、设𝑓(𝑥)在[−1,1]上具有二阶连续导数，且𝑓(0)=0.
（1）写出𝑓(𝑥)的带拉格朗日型余项的一阶麦克劳林公式.
（2）设𝑀，𝑚分别是𝑓′′(𝑥)在[−1,1]上的最大值与最小值，证明𝑚3≤∫𝑓(𝑥)1−1𝑑𝑥≤𝑀3
（3）证明：在[−1,1]上至少存在一点𝜂使得𝑓′′(𝜂)=3∫𝑓(𝑥)1−1𝑑𝑥
浙江省2019年高职高专毕业生进入本科学习统一考试
高等数学
一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
1、设lim𝑥→0𝑥𝑛=𝑎则说法不正确的是（ ）
A、对于正数2，一定存在正整数𝑁，使得当n>𝑁时，都有|𝑥𝑛−𝑎|<2.
B、对于任意给定的无论多么小的正数𝜀，总存在整数𝑁，使得当n>𝑁时，不等于|𝑥𝑛−𝑎|<𝜀成立.
C、对于任意给定的𝑎的邻域(𝑎−𝜀,𝑎+𝜀), 总存在整数𝑁，使得当n>𝑁时，所有的𝑥𝑛都落在(𝑎−𝜀,𝑎+𝜀)内,而只有有限个（至多只有𝑁个）在这个区间外.
D、可以存在某个小的正数𝜀0，使得有无穷多个点𝜀0落在区间(𝑎−𝜀0,𝑎+𝜀0)外.
答案：D
解析：数列极限的定义：存在正整数𝑁，当下标大于𝑁时，无论𝜀多小都有|𝑥𝑛−𝑎|<𝜀，即无论𝜀是多少，在(𝑎−𝜀,𝑎+𝜀)区间外的点只有下标小于𝑁的点，即最多𝑁个点在区间外，为有限多个（𝑁为确定值）
2、设在点𝑥0的某邻域内有定义，则在点𝑥0处可导的一个充分条件是（ ）
A、limℎ→0𝑓(𝑥0+2ℎ)−𝑓(𝑥0)ℎ存在 B、limℎ→0−𝑓(𝑥0)−𝑓(𝑥0−ℎ)ℎ存在
C、limℎ→0𝑓(𝑥0+ℎ)−𝑓(𝑥0−ℎ)ℎ存在 D、limℎ→+∞ℎ[𝑓(𝑥0+1ℎ)−𝑓(𝑥0)]存在
答案：A
解析：B中只有左导数存在，D中只有右导数存在，C极限存在不能推出每部分极限都存在
3、lim𝑥→+∞1𝑛[√1+sin𝜋𝑛+√1+sin2𝜋𝑛+⋯+√1+sin𝑛𝜋𝑛]等于（ ）
A、∫√sin𝜋𝑥𝑑𝑥10 B、∫√1+sin𝜋𝑥𝑑𝑥10
C、∫√1+sin𝑥𝑑𝑥10 D、π∫√1+sin𝑥𝑑𝑥10
答案：B
解析：根据定积分的定义求极限，提起1𝑛，令𝑖𝑛=𝑥,即得∫√1+sin𝜋𝑥𝑑𝑥10
4、下列级数或广义积分发散的是（ ） A、∑(−1)𝑛−1𝑛+100∞𝑛=1 B、∑cos2𝑛∞𝑛=1
C、∫1√4−𝑥2𝑑𝑥21 D、∫1(1+𝑥2)2𝑑𝑥+∞1
答案：B
解析：A为交错级数，满足莱布尼茨定理，收敛；B不满足级数收敛的必要条件，发散；C可用三角换元法求得积分，收敛；D用三角换元法求得积分，收敛
5、微分方程y′′−4𝑦′+4𝑦=0的通解为（ ）
A、y=𝑐1𝑥+𝑐2𝑒−2𝑥 B、y=(𝑐1+𝑐2𝑥)𝑒−2𝑥
C、y=(𝑐1+𝑐2𝑥)𝑒2𝑥 D、y=(𝑐1+𝑐2𝑥)𝑥𝑒−2𝑥
答案：C
解析：微分方程的特征方程为：𝑟2−4𝑟+4=0,则特征根为重根𝑟=2，易得齐次方程的通解为y=(𝑐1+𝑐2𝑥)𝑒2𝑥
二、填空题（只要在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，每小题4分，共40分）
6、极限lim𝑛→∞(1+sin1𝑛)𝑛=
答案：𝑒
解析：由重要极限lim𝑥→∞(1+1𝑥 )𝑥=𝑒
lim𝑛→∞(1+sin1𝑛)𝑛=lim𝑛→∞(1+sin1𝑛)1sin1𝑛∙sin1𝑛∙𝑛=lim𝑛→∞𝑒sin1𝑛∙𝑛=𝑒lim𝑛→∞sin1𝑛1𝑛=𝑒
7、设一雪堆的高度ℎ与时间𝑡的关系为ℎ(𝑡)=100−𝑡2，则雪堆的高度在时刻𝑡=5时的变化率等于
答案：-10
解析：由题意可知：ℎ′(𝑡)=−2𝑡,当𝑡=5时的导数值ℎ′(5)=−10
8、当𝑎= 时，极限lim𝑥→01−cos𝑥ln(1+𝑥3)(𝑎−𝑒𝑥)存在且不等于0.
答案：1
解析：𝑥→0，1−cos𝑥~𝑥22, ln(1+𝑥3)~𝑥3等价代换后为lim𝑥→0(𝑎−𝑒𝑥)2𝑥=𝐴≠0
即(𝑎−𝑒𝑥)与2𝑥为同阶无穷小，可得lim𝑥→0𝑎−𝑒𝑥=0，即𝑎=1
9、设 ，则𝑑2𝑦𝑑𝑥2= 𝑥=sin𝑡
𝑦=cos𝑡
