复习对于连续型随机变量,我们需要掌握那些内容

复习：对于连续型随机变量，我们需要掌握那些内容？1、对于连续型的随机变量，我们考察事件X = x 的概率没有什么意义，而必须了解事件a ≤X ≤ b 的概率，这个概率是一个积分形式：()()()()baP a x b f x dx F b F a ≤≤==-⎰2、清楚什么是概率密度函数：f (x )我们用密度函数f (x )在[a , b ]区间上的面积来表示随机变量X 落在该区间的概率 解释：为什么f (x )被称为概率密度函数？根据导数的定义可知，0()()()limx F x x F x f x x∆→+∆-=∆（是不是很类似我们以前学过的频率密度公式？）3、清楚什么是累积分布函数：F (x ))()(x X P x F ≤=⎰∞-=xdt t f )(4、分布函数)(x F 与概率密度函数)(x f 的关系⎰-==≤≤baa Fb F dx x f b x a P )()()()(5、理解均匀分布，指数分布和伽玛分布及其它们的应用，并会用Excel 求指数分布和伽玛的概率值§3 随机变量的数字特征在前面，我们看到，对于离散型的随机变量，我们可以作出它的概率分布图，对于连续型随机变量，我们可以作出它的概率密度图，这些都非常类似于我们在描述统计中学到的频率或频数分布图。

这意味着对于随机变量，我们也可以来研究类似于平均数、方差这样的数字特征。

与平均数相对应的概念是数学期望，它反映随机变量取值的平均，另一个仍然是方差，它反映随机变量分布偏离期望的分散程度。

一、随机变量的数学期望1、定义：设X 是离散型随机变量，X 取值x x x i 12,......，其相应的概率为p p p i 12,,...,...,则称∑=iii px X E )(为X 的数学期望。

若X 是连续型随机变量，有概率密度函数f （x ），则称⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(为X 的数学期望。

令i ξ为无限分割后区间[]i i x x ,1-的组中值， （回忆一下运用分组资料计算平均数的情形：iki iw X X ∑==1）[]()()i i i i i iiE X p x f ξξξ≈=∆∑∑，当0→∆i x 时，i i x →ξ对上式求极限得到：∑⎰+∞∞-→∆=∆=ii i ix dx x xf x f X E i )()(lim)(0ξξ从随机变量数学期望的定义看出，随机变量的数学期望就是随机变量所有可能取值的加权平均数，类似于我们前面学过的一组数字的算术平均数。

从形式上看，确实如此，只不过数学期望是用概率加权，而一般平均数用频率加权，但它们实质上是不同的。

一般平均数说明的是实际存在的平均水平，数学期望反映的则是预期的平均结果。

因为概率是一种事前的预期，所以用概率加权得到的数学期望是事前预期的平均数，而非实际存在的平均水平。

例：某国际旅行团规定每位旅客须参加意外险，保险赔付额是每位旅客$10000。

假如每次旅游发生事故的概率为1/200，则平均的保费应是多少？解：保险公司付给每位旅客$10000的概率是0.005（1/200），令X 代表保险公司付给旅客的赔付金，则X 的概率分布为： X 0 10000 p i 0.995 0.005f (x )x i -1 ξi x ix则X 的数学期望值为：E （X ）=0×0.995+10000×0.005=$ 50即保险公司预期每位旅客的支付是$50, 如不考虑别的因素，长期或大量地来看，保险公司收取每人$50的保费正好是不赚不陪。

当然，保险公司还要考虑各种管理费、利润等，实际上所收的保费要高于这个数字。

例：设X 为某种产品的使用寿命（小时），其概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧=020000)(3x x f其他100>x 试求该产品使用寿命的数学期望。

解：⎰⎰∞∞=⋅=1001002312000020000)(dx x dx x x X E =200（小时）2、数学期望的性质 1）C C E =)(； 2）)()(X kE kX E =； 3）b X E b X E +=+)()(； 4）b X kE b kX E +=+)()(； 5）)()()(Y E X E Y X E +=+；6）若X 、Y 相互独立，则)()()(Y E X E XY E =。

二、随机变量的方差方差反映的是随机变量偏离数学期望的程度，它是随机变量所有可能取值与其数学期望的离差平方的数学期望，即用概率加权的平均离差平方。

在描述统计学中，我们学过的总体方差是一组资料中各数值与其算术平均数离差平方的平均数。

即nx x ni i 212)(∑=-=σ在概率论中，我们则是通过概率加权来进行平均的。

1、定义：设X 是一随机变量，若{}2)(X E X E -存在，则称它为X 的方差，记作：{}2)()(X E X E X D -=，称D X ()为均方差或标准差。

若X 为离散随机变量，其分布律为,2,1,)(===i p x X P i i ……，则∑-=ii ip X E xX D 2)]([)(若X 为连续随机变量，其密度函数为f （x ），则⎰+∞∞--=dx x f X E x X D )()]([)(2从方差的计算可以看出，方差反映的是随机变量偏离数学期望的程度，它是随机变量所有可能取值与其数学期望的离差平方的数学期望，即用概率加权的离差平方。

随机变量的方差反映的是风险和不确定性的大小。

风险是指人们预期的收益与实际收益之间的差异，这种差异既来自客观世界的不确定性（即外在的不确定性），也来自人们对客观世界的认识能力的局限性（通常意义的内在不确定性）。

不确定性是指事物运行过程中随机性、偶然性的变化或不可预测的趋势。

例 现有股票A 与股票B 在未来不同经济状况下的可能报酬率如下：试比较两种股票的预期报酬率和标准差。

解：（1）)(A R E = 0.3×0.1+0.2×0.2+0.1×0.3+0×0.3+ (-0.1)×0.1=0.09=9% )(A R D = 0.0129D R A ()=00129.= 0.1136 = 11.36%（2）)(B R E = (-0.45)×0.1+(-0.15)×0.2+0.15×0.3+0.45×0.3+0.75×0.1=18%D R B ()=01161.=0.2407=24.07% 即B 股票的预期报酬率为18%，是股票A 的2倍，但股票B 报酬率的方差也比股票A 大得多，购买股票B 虽然预期报酬率比较高，但风险也比较大。

2、方差的性质 1）D (C ) = 0 2）D (kX ) =k 2D (X ) 3）D (X+b ) = D (X ) 4）D (kX+b )=k 2D (X )5）若X 、Y 相互独立，则有D (X+Y )=D (X )+D (Y )。

三、几种重要分布的期望和方差 1、贝努里分布1,0)1();(1=-==-x p p p x X f xx )10(≤≤p即p x P ==)1( p x P -==1)0(p p p X E =⨯+⨯-=10)1()()1()1()0()1()(22p p p p p p X D -=-⨯+-⨯-=2、二项分布np X E =)( )1()(p np X D -=3、泊松分布λ=)(X E λ=)(X D4、均匀分布2)(b a X E += 12)()(2a b X D -=5、指数分布λ/1)(=X E 2/1)(λ=X D6、伽玛分布()E X αβ= 2()D X αβ=§4 正态分布统计学中最常用、最重要的分布。

均值Mean 中位数Median 众数Mode一、正态分布的历史对正态分布的认识始于对测量误差的研究，因此最初被称为 “law of errors ”。

几个重要人物Abraham De Moivre 1667-1754 1733年私下里出版了一本小册子，Doctrine of Chance ，但很快被忘记。

他第一次提到，独立的离散随机变量可以近似地用一个指数函数来描述。

Marquis de Laplace 1749-1827 长期对测量误差的性态进行研究，他证明了，几乎所有独立同分布的随机变量都会随着样本的增加迅速收敛于一个指数分布，即正态分布。

Carl Friedrich Gauss 1777-1855 正态分布也被称为“高斯分布”。

高斯在1809年第一个建立了两参数的指数函数，来描述天文观测中的误差分布。

1924年，英国统计学家Karl Pearson 偶然发现，De Moivre 在1733年就已经写出了正态分布的概率密度的数学表达式。

阅读材料：德国大学者高斯1809年在研究行星绕日运动时提出用正态分布刻画测量误差的分布。

正态分布也常称为高斯分布，其曲线是钟形，极象颐和园中玉带桥那样的形状，故有时又称为“钟形曲线”，它反映了这样一种极普通的情况：天下形形色色的事物中，“两头小，中间大”的居多，如人的身高，太高太矮的都不多，而居于中间者占多数——当然，这只是一个极粗略的描述，要作出准确的描述，须动用高等数学的知识。

正是其数学上的特性成为其广泛应用的根据。

正态分布在数理统计学中占有极重要的地位，现今仍在常用的许多统计方法，就是建立在“所研究的量具有或近似地具有正态分布”这个假定的基础上，而经验和理论（概率论中所谓“中心极限定理”）都表明这个假定的现实性，现实世界许多现象看来是杂乱无章的，如不同的人有不同的身高、体重。

大批生产的产品，其质量指标各有差异。

看来毫无规则，但它们在总体上服从正态分布。

这一点，显示在纷乱中有一种秩序存在，提出正态分布的高斯，一生在多个领域里面有不少重大的贡献，但在德国10马克的有高斯图像的钞票上，画出了正态曲线，以此可以看出人们对他这一贡献评价之高。

正态分布与颐和园玉带桥的形状十分相像。

颐和园西堤玉带桥05级经济学系刘振楠提供的拟合结果，蓝色的曲线为一条正态分布曲线二、正态分布的特点 1. 钟型，对称 2. 均值=中位数=众数 3. 随机变量值域无限三、正态分布的重要性1. 描述许多随机的活动和连续现象2. 统计推断基础四、正态分布概率密度函数与概率2)(2121)(μσσπ--=x ex f f (X ) =随机变量 X 的密度函数 π = 3.14159; e = 2.71828 σ= 总体的标准差X= 随机变量的值(-∞ < X < ∞) μ=总体的均值Xf正态分布的概率：⎰=<<dcdx x f d X c P )()(六、正态分布概率密度的性质1、 在直角坐标系中f （x ）图形以直线x = μ为对称轴呈钟形对称曲线，并且在 x = μ处达到最大值，即σπ21)(=x f ； 2、σμ±=x 处有拐点；3、当x →±∞时，曲线以x 轴为渐进线；4、参数变化 (μ 和 σ) 对分布图形的影响：如果σ 固定，改变 μ 的值，则f （x ）的图形沿着x 轴平行移动，但不改变形状；如果μ 固定，σ 大时，曲线平缓，σ 小时，曲线陡峭。