初一数学能力测试题提高题

初一数学能力测试题（十三）班级___________姓名___________一、选择题：1．“神威1”计算机的计算速度为每秒385000000000次，这个速度用科学记数法表示为每秒（）．（A）385×109次(B) 3.85×109次(C) 385×1011次(D) 3.85×1011次2．下列事件中，必然事件是（）．(A)2004年2月有30天(B) 明天会下雨(C) 今天星期一，明天星期二(D) 小彬明天的考试将得满分3.下列几种说法中，正确的是（）.(A) 0是最小的数(B)最大的负有理数是－1(C)任何有理数的绝对值都是正数(D)数轴上距原点3个单位的点表示的数是3或－34．在计算机上，为了让使用者清楚、直观的看出磁盘“已用空间”与“可用空间”占“整个磁盘空间”的百分比，使用的统计图是（）．（A）条形统计图(B) 折线统计图(C)扇形统计图(D) 条形统计图、折线统计图、扇形统计图都可以5．下面四个图形均由六个相同的小正方形组成，折叠后能围成正方体的是（）.（A）(B) (C) (D) 6．图中直线PQ、射线AB、线段MN能相交的是（）．（A）(B) (C) (D)７、下图自由转动的转盘, 转盘转动时转出黑色的可能性从小到大的排列顺序是（）（A）﹝1﹞﹝2﹞﹝3﹞﹝4﹞﹝5﹞﹝6﹞（B）﹝4﹞﹝2﹞﹝3﹞﹝1﹞﹝6﹞﹝5﹞(1)(2)(6)（C ）﹝4﹞﹝2﹞﹝1﹞﹝3﹞﹝6﹞﹝5﹞（D ）﹝4﹞﹝2﹞﹝1﹞﹝3﹞﹝5﹞﹝6﹞ 8．如图，点C 在线段AB 上，E 是AC 的中点，D 是BC的中点，若ED=6，则AB 的长为（ ）．(A) 6 (B) 8 (C) 12 (D) 16二、填空题： 9．比较下列每组数的大小：3.1； －25－３． 10．若m b a 232与48.0b a n -是同类项，则m = ,n = ．11．如图是“星星超市”中“飘扬”洗发水的价格标签，请你在横线上填写它的原价．12．国家规定：存款利息税＝利息×20%，银行一年定期储蓄的年利率为1.98%．小明有一笔一年定期存款，如果到期后全取出，可取回1219元．若设小明的这笔一年定期存款是x 元，根据题意，可列方程为 ． 13．计算：（1）2.42º= º ′ ″；(2) 2点30分时，时钟与分钟所成的角为 度．14．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90º，以BC 所在直线为轴旋转一周所得到的几何体是 . 15．“圆形方孔钱”是中国古钱币的突出代表．如图，一枚圆形方孔钱的外圆直径为a ，中间方孔边长为b ，则图示阴影部分面积为 ．16．用边长为10厘米的正方形，做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为 平方厘米.错误！未指定书签。

初一升数学测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. -1C. 1D. 2答案：C2. 计算下列算式的结果是多少？\( 3x + 5 = 20 \)，其中 \( x \) 的值是：A. 3B. 4C. 5D. 6答案：B3. 一个数的三倍加上5等于20，这个数是：A. 5B. 4C. 3D. 2答案：A4. 一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，它的面积是多少平方厘米？A. 25B. 50C. 75D. 100答案：B5. 一个数的一半加上4等于9，这个数是：A. 10B. 8C. 6D. 4答案：A6. 一个数加上它的两倍等于15，这个数是：A. 5B. 3C. 10D. 15答案：A7. 一个数的四倍减去8等于16，这个数是：A. 8B. 6C. 4D. 2答案：A8. 一个数的四倍加上它的两倍等于40，这个数是：A. 5B. 8C. 10D. 12答案：C9. 一个数的两倍减去3等于7，这个数是：A. 5B. 10C. 3D. 8答案：B10. 一个数的三倍加上7等于21，这个数是：A. 6B. 5C. 4D. 3答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的平方是36，这个数是______。

答案：±62. 如果一个数的相反数是-8，那么这个数是______。

答案：83. 一个数的绝对值是5，这个数可以是______或______。

答案：5，-54. 一个数的立方是-125，这个数是______。

答案：-55. 一个数的六倍加上8等于48，这个数是______。

答案：7三、解答题（每题10分，共50分）1. 一个数的四倍加上它的两倍等于60，求这个数。

答案：设这个数为 \( x \)，则 \( 4x + 2x = 60 \)，解得 \( x = 10 \)。

2. 一个数的五倍减去它的三倍等于24，求这个数。

答案：设这个数为 \( x \)，则 \( 5x - 3x = 24 \)，解得 \( x = 12 \)。

初一数学能力测试题（1）班级______姓名______一． 填空题1、将下列数分别填入相应的集合中：0、0.3、—2、21-、1.5、32、512-、+100 整数集合{ …} 非负数集合{ …}2、早晨的气温是－2℃，中午上升了10℃，半夜又下降了8℃，则半夜的气温是________0C3、—2与—3的和是_________；－4与－6的差是__________4、最小的正整数是________,绝对值最小的数是___________5、_______的相反数是0；_________的绝对值是它身；________平方是它本身6、一个数的平方等于1，则这个数是________7、如果—a =—3，则a=_________；如果|a —3|＝0，则a ＝______8、计算－|－2|＝__________；—(—2)2=__________9、绝对值大于2而小于5的所有数是__________________10、比较大小：—2_______—3 31____21-- 11、在数轴上点A 表示—2，点B 离点A 五个单位，则点B 表示___________12、|a|=2，|b|=3，且a>b ，则=ba ___________ 二．选择题1、下列说法正确的是（ ）A 、比负数大是正数B 、数轴上的点表示的数越大，就离开原点越远C 、若a>b ，则a 是正数，b 是负数D 、若a>0，则a 是正数，若a<0，则a 是负数2、下列说法：①正数的绝对值是正数；②两个数比较，绝对值大的反而小；③任何一个数的绝对值都不会是小于0的数；④任何一个整数的绝对值都是自然数 其中说法正确的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个3、下列说法正确的是（ ）A 、在有理数加法或减法中，和不一定比加数大，被减数不一定比减数大B 、减去一个数等于加上这个数C 、两个数的差一定小于被减数D 、两个数的差一定小于被减数4、一个数的立方等于它本身，这个数是 ( )A 、0B 、1C 、－1，1D 、－1，1，05、下列各式中，不相等的是 ( )A 、(－3)2和－32B 、(－3)2和32C 、(－2)3和－23D 、|－2|3和|－23|6、(－1)200＋(－1)201＝( )A 、0B 、1C 、2D 、－27、下列说法正确的是（ ）A 、两数的积是正数，则这个两数都是正数B 、异号两数的积的符号是绝对值较大的那个因数的符号C 、互为相反数的两数积是负数D 、三个有理数的积是正数，则这个有理数中至少有一个正数8、下列说法正确的是( )A 、有理数的绝对值一定是正数B 、如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等C 、如果一个数是负数，那么这个数的绝对值是它的相反数D 、绝对值越大，这个数就越大9、下列说法中错误的是( )A 、零除以任何数都是零。

1.化简：b b a a 3)43(4---.2.求比多项式22325b ab a a +--少ab a -25的多项式.3.先化简、再求值)432()12(3)34(222a a a a a a --+-+-- (其中2-=a )4、先化简、再求值)]23()5[(42222y xy x y xy x xy -+--+- (其中21,41-=-=y x )5、计算a a a ⋅+2433)(2)(36、（1）计算1092)21(⋅-=（2）计算532)(x x ÷（3）下列计算正确的是 ( ).(A)3232a a a =+ (B)a a 2121=- (C)623)(a a a -=⋅- (D)aa 221=-计算： (1))3()32()23(32232b a ab c b a -⋅-⋅-； (2))3)(532(22a a a -+-；（3）)8(25.123x x -⋅ ； （4）)532()3(2+-⋅-x x x ;（5）())2(32y x y x +-； （6）利用乘法公式计算:()()n m n m 234234+--+（7）()()x y y x 5225--- （8）已知6,5-==+ab b a ,试求22b ab a +-的值（9）计算:2011200920102⨯-（10）已知多项式3223-++x ax x 能被122+x 整除，商式为3-x ，试求a 的值1、 b a c b a 232232÷-2、 )2(23)2(433y x y x +÷+3、22222335121)433221(y x y x y x y x ÷+-4、当5=x 时,试求整式()()13152322+--+-x x x x 的值5、已知4=+y x ，1=xy ，试求代数式)1)(1(22++y x 的值6、计算:)()532(222223m m n n m n m a a b a a-÷-+-++7、一个矩形的面积为ab a 322+,其宽为a ,试求其周长8、试确定2011201075⋅的个位数字1．（辨析题）不改变分式的值，使分式115101139x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ）A ．10B ．9C ．45D ．902．（探究题）下列等式：①()a b c --=-a b c -;②x y x -+-=x y x -;③a b c -+=-a b c +; ④m n m --=-m n m-中,成立的是（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④3．（探究题）不改变分式2323523x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（• ）A ．2332523x x x x +++-B ．2332523x x x x -++-C ．2332523x x x x +--+D ．2332523x x x x ---+ 4．（辨析题）分式434y x a+，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．（技能题）约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m-+-．6.（技能题）通分：（1）26x ab ，29y a bc ； （2）2121a a a -++，261a -．7.（妙法求解题）已知x+1x=3，求2421x x x ++的值计算能力训练（分式2）1.根据分式的基本性质，分式a a b--可变形为（ ） A ．a a b -- B ．a a b + C ．-a a b - D ．a a b + 2．下列各式中，正确的是（ ）A ．x y x y -+--=x y x y -+;B ．x y x y -+-=x y x y ---;C ．x y x y -+--=x y x y +-;D ．x y x y -+-=x y x y-+ 3．下列各式中，正确的是（ ）A ．a m a b m b +=+B ．a b a b ++=0C ．1111ab b ac c --=-- D ．221x y x y x y -=-+ 4．（2005·天津市）若a=23，则2223712a a a a ---+的值等于_______． 5．（2005·广州市）计算222a ab a b+-=_________． 6．公式22(1)x x --，323(1)x x --，51x -的最简公分母为（ ） A ．（x-1）2 B ．（x-1）3 C ．（x-1） D ．（x-1）2（1-x ）37．21?11x x x -=+-，则？处应填上_________，其中条件是__________．拓展创新题8．（学科综合题）已知a 2-4a+9b 2+6b+5=0，求1a -1b 的值．9．（巧解题）已知x 2+3x+1=0，求x 2+21x 的值．计算能力训练(分式方程1)选择1、（2009年安徽）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是……………【 】A ．8 B.7 C ．6 D ．52、(2009年上海市)3．用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ）A ．230y y +-=B ．2310y y -+=C ．2310y y -+=D ．2310y y --= 3、（2009襄樊市）分式方程131x x x x +=--的解为（ ） A ．1 B ．-1 C ．-2 D ．-34、（2009柳州）5．分式方程3221+=x x 的解是（ ） A ．0=x B ．1=x C ．2=x D ．3=x5、（2009年孝感）关于x 的方程211x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是 A ．a ＞－1B ．a ＞－1且a ≠0C ．a ＜－1D ．a ＜－1且a ≠－26、（2009泰安）某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为（A ）18%)201(400160=++x x （B ）18%)201(160400160=+-+xx （C ）18%20160400160=-+x x （D ）18%)201(160400400=+-+x x7、（2009年嘉兴市）解方程x x -=-22482的结果是（ ） A ．2-=xB ．2=xC ．4=xD ．无解8、（2009年漳州）分式方程211x x =+的解是（ ） A ．1B ．1-C ．13D ．13- 9、（09湖南怀化）分式方程2131=-x 的解是（ ） A ．21=x B ．2=x C ．31-=x D ． 31=x10、（2009年安徽）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是【 】A ．8 B.7 C ．6 D ．511、（2009年广东佛山）方程121x x=-的解是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．312、（2009年山西省）解分式方程11222x x x-+=--，可知方程（ ） A ．解为2x = B ．解为4x = C ．解为3x = D ．无解13、（2009年广东佛山）方程121x x=-的解是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．314、（2009年山西省）解分式方程11222x x x-+=--，可知方程（ ） A ．解为2x = B ．解为4x = C ．解为3x = D ．无解计算能力训练(分式方程2)填空1、（2009年邵阳市）请你给x 选择一个合适的值，使方程2112-=-x x 成立，你选择的x ＝________。

七下数学第一章：平行线能力提升测试题答案一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1.答案：C解析：A、∵∠1=∠2，∴EF∥AC，故A不符合题意；B、∵∠4=∠C，∴EF∥AC，故B不符合题意；C、∵∠1+∠3=180°，∴DE∥BC，故C符合题意；D、∵∠3+∠C=180°，∴EF∥AC，故D不符合题意.故选择：C.2.答案：B解析：由平移可知AF=CE=2cm，∵AE=7cm，∴FC=AE-AF-CE=3cm．故选择：B．3.答案：C解析：∵∠1=∠2，∴l1l2，故A不符合题意；∵∠3=∠4∴l1l2，故B不符合题意；∠4与∠6不是两条直线被第三条直线所截形成的角，所以即使∠4=∠6，也不能判定l1l2，故C符合题意；∵∠2＋∠5=180°，∴l1l2，故D不符合题意；故选择：C．4.答案：C解析：∵l1∥l2∥l3，∴∠1＝∠2+∠4，∠4+∠3＝180°，∴∠1﹣∠2+∠3＝180°，故选择：C．5.答案：B解析“如图，将围巾展开，则∠ADM =∠ADF，∠KCB=∠BCN设∠ABC = x，则∠DAB=x+8°∵CDIlAB∴∠ADM=∠DAB=x+8°= ∠ADF∵DFlICG∴∠FDC=∠KCG=2x∵∠FDC + ∠FDM = 180°∴2x +2(x+ 8°) = 180°解得 x=41°∴∠DAB+2∠ABC=(x+ 8°)+2x= 131°故选择：B.6.答案：B解析：∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故选择：B．7.答案：B解析：根据题意得：图1中，AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB，设∠DEF=∠EFB=α，图2中，CF∥DE，AE∥BG，∴∠GFC=∠BGD=∠AEG=180°-2∠EFB=180°-2α，图3中，∠CFE=∠GFC-∠EFG=180°-2α-α=120°，解得α=20°．即∠DEF=20°，故选择：B．8.答案：C解析：如图1，∵AB∥EF，∴∠3＝∠2，∵BC∥DE，∴∠3＝∠1，∴∠1＝∠2．如图2，∵AB∥EF，∴∠3+∠2＝180°，∵BC∥DE，∴∠3＝∠1，∴∠1+∠2＝180°∴如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．设另一个角为x，则这一个角为4x﹣30°，（1）两个角相等，则x＝4x﹣30°，解得x＝10°，4x﹣30°＝4×10°﹣30°＝10°；（2）两个角互补，则x+（4x﹣30°）＝180°，解得x＝42°，4x﹣30°＝4×42°﹣30°＝138°．所以这两个角是42°、138°或10°、10°．故选：C．9.答案：D解析：如图，作HP∥AB，取AB与FG的交点为Q，设∠BEN=x，∠CGH=y，则∠FEN = 2x，∠FGH = 2y，∵AB∥CD，∴AB∥HP∥CD，∴∠PHN=∠BEN ，∠PHG=∠CGH ，∠FQE=∠FGD ， ∴∠H=∠PHN+∠CGH=∠BEN+∠CGH = x+y ，∴∠F=∠FEB-∠FQE=∠FEB-∠FGD=∠FEB-(180° -∠FGC)= 3x- (180° - 3y) = 3(x+y)- 180° =3∠H-180°， ∴3∠H-∠F= 180°， 故选择：D.10.答案：C解析：①∵AM ∥BN ，∴∠ACB ＝∠CBN （两直线平行，内错角相等），故①对； ②∵AM ∥BN ，∠A ＝64°，∴∠ABN ＝180°﹣∠A ＝180°﹣64°＝116°； ∵BC 、BD 分别平分∠ABP 和∠PBN ， ∴∠CBD ＝∠CBP +∠DBP ＝21（∠NBP +∠ABP ）＝21×∠ABN ＝21×116°＝58°，故②错； ③∵BC 、BD 分别平分∠ABP 和∠PBN ， ∴∠ABC ＝∠PBC ，∠PBD ＝∠NBD ，∵∠ACB ＝∠ABD （已知），∠ACB ＝∠CBN （已证）， ∴∠ABD ＝∠CBN ，则∠ABC ＝∠NBD ， ∴∠ABC ＝∠PBC ＝∠PBD ＝∠NBD ， ∴∠ABC ＝41∠ABN ＝29°，故③对； ④∵AM ∥BN ，∴∠APB ＝∠PBN ，∠ADB ＝∠DBN ， ∵BD 分别平分∠PBN ， ∴∠PBN ：∠DBN ＝2：1， ∴∠APB ：∠ADB ＝2：1，故④对， 故选择：C ．二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.答案：∠1+∠2=∠3. 解析：∵AB ∥CD ∥EF∴∠1=∠BCD ，∠3=∠DCE ， 又∵∠DCE=∠2+∠BCD ∴∠1+∠2=∠3故答案为：∠1+∠2=∠3.12.答案：12解析：由题意可得，阴影部分是矩形，长＝6﹣2＝4，宽＝4﹣1＝3， ∴阴影部分的面积＝4×3＝12， 故答案为：12．13.答案：①④解析：①∵∠1=∠3， ∴AD ∥BC ，故本选项符合题意； ②∵∠2=∠4， ∴AB ∥CD ，故本选项不符合题意； ③∵∠DAB =∠EDC ， ∴AB ∥CD ，故本选项不符合题意； ④∵∠DAB +∠B =180°，∴AD ∥BC ，本选项符合题意， 则正确的选项为①④． 故答案为：①④．14.答案221∠=∠解析：如图，过P 作AB PH //， ∵AB//CD ， ∴AB//CD//PH ，∴EPH BEP FPH ∠=∠∠=∠,2， ∴0902=∠=∠+∠EPF BEP ， ∴2900∠-=∠BEP ． ∵GEP BEP ∠=∠又，∴()222902*********∠=∠--=∠-=∠BEP ， 即．221∠=∠ 故答案为：221∠=∠15.答案：540解析：如图，把两条”之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是矩形．∵30232=-=CF （米），18220=-=CG （米）， ∴矩形EFCG 的面积5401830=⨯=（平方米）． 答：绿化的面积为2540m ． 故答案为540．16.答案：①②③④ 解析：//AB CD ，//CD EF ，//AB EF ∴，故①正确；AE 平分BAC ∠，21BAC ∴∠=∠， //AB CD ， 2180BAC ∴∠+∠=︒， 212180∴∠+∠=︒（1）， AC CE ⊥，2490∴∠+∠=︒（2），∠-∠=︒，故②正确；∴（1）-（2）得，21490AB EF，//BAE∴∠+∠=︒，3180AE平分BAC∠，∴∠=∠，1BAE13180∴∠+∠=︒，∴∠+∠=︒（3），2123360212180∠+∠=︒（1），（3）-（1）得，232180∠-∠=︒，故③正确；//CD EF，∴∠+∠=︒，4180CEF∴∠+∠+∠=︒，AEC34180⊥，AC CE190∴∠+∠=︒，AECAEC∴∠=︒-∠，901∴∠+∠-∠=︒，34190∠-∠=︒，214901∴∠=︒+∠，145421∴∠+∠=︒，故④正确．341352故正确的结论有：①②③④．故答案为：①②③④．三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17.解析：（1）∵AD∥BE，∴∠D=∠DCE．∵∠B=∠D，∴∠DCE=∠B，∴AB∥CD．（2）∵∠BAE=∠2=60°， ∵∠BAC=3∠EAC ，∴∠BAE=∠BAC+3∠EAC=4∠EAC=60°， ∴∠EAC=15°，∴∠BAC=3∠EAC=45°，∴∠B=180°-∠BAC-∠1=180°-45°-60°=75°.18.解析：（1）AD ∥EC ， 理由是：∵AB ∥CD ， ∴∠1＝∠ADC ， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠2+∠ADC ＝180°， ∴AD ∥EC ；（2）∵AD ∥EC ，CE ⊥AE ， ∴AD ⊥AE ， ∴∠FAD ＝90°，∵∠1+∠2＝180°，∠2＝140°， ∴∠1＝40°，∴∠FAB ＝∠FAD ﹣∠1＝90°﹣40°＝50°．19.解析：4∠=∠FAB ， 理由如下： ∵EF AC //， ∴018031=∠+∠， ∴32∠=∠ ∴CD FA //， ∴4∠=∠FAB ；（2）∵AC 平分FAB ∠， ∴CAD ∠=∠2， ∵32∠=∠ ，3∠=∠∴CAD ， CAD ∠+∠=∠3403978214213=⨯=∠=∠∴ EF AC BE BF //,⊥ BE AC ⊥∴ 090=∠∴ACB0051390=∠-=∠∴BCD20.解析：（1）平行；理由如下： //AC BD ，//MN AC ， //MN BD ∴；（2）//AC BD ，//MN BD ，1PBD ∴∠=∠，2PAC ∠=∠，12APB PBD PAC ∴∠=∠+∠=∠+∠．（3）答：不成立．它们的关系是APB PBD PAC ∠=∠-∠． 理由是：如图2，过点P 作//PQ AC ， //AC BD ，////PQ AC BD ∴，PAC APQ ∴∠=∠，PBD BPQ ∠=∠， APB BPQ APQ PBD PAC ∴∠=∠-∠=∠-∠．21.解析：（1）AB ∥DE ，理由如下： ∵MN ∥BC ，∠1＝60°， ∴∠ABC ＝∠1＝60°， 又∵∠1＝∠2， ∴∠ABC ＝∠2， ∴AB ∥DE ； （2）∵MN ∥BC ， ∴∠NDE +∠2＝180°，∴∠NDE ＝180°﹣∠2＝180°﹣60°＝120°， ∵DC 是∠NDE 的角平分线， ∴∠EDC ＝∠NDC ＝21∠NDE ＝60°， ∵MN ∥BC ，∴∠C ＝∠NDC ＝60°， ∴∠ABC ＝∠C ；（3）∵∠ADC +∠NDC ＝180°，∠NDC ＝60°， ∴∠ADC ＝180°﹣∠NDC ＝180°﹣60°＝120°， ∵BD ⊥DC ， ∴∠BDC ＝90°，∴∠ADB ＝∠ADC ﹣∠BDC ＝120°﹣90°＝30°， ∵MN ∥BC ，∴∠DBC ＝∠ADB ＝30°， ∵∠ABC ＝∠C ＝60°， ∴∠ABD ＝30°．22.解析：（1）证明：如图1，延长DE 交AB 于点F ，∵∠ACB ＝∠CED ，∴AC ∥DF ，∴∠A ＝∠DFB ，∵∠A ＝∠D ，∴∠DFB ＝∠D ，∴AB ∥CD ；（2）解：如图2，作EM ∥CD ，HN ∥CD ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥EM ∥HN ∥CD ，∴∠1+∠EDF ＝180°，∠MEB ＝∠ABE ，∵BG 平分∠ABE ，∴∠ABG ＝21∠ABE ， ∵AB ∥HN ，∴∠2＝∠ABG ，∵CF ∥HN ，∴∠2+∠β＝∠3，∴21∠ABE+∠β＝∠3， ∵DH 平分∠EDF ，∴∠3＝21∠EDF ， ∴21∠ABE+∠β＝21∠EDF ， ∴∠EDF ﹣∠ABE ＝2∠β，设∠DEB ＝∠α，∵∠α＝∠1+∠MEB ＝180°﹣∠EDF+∠ABE ＝180°﹣（∠EDF ﹣∠ABE ）＝180°﹣2∠β， ∵∠DEB 比∠DHB 大60°，∴∠α﹣60°＝∠β，∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°），解得：∠α＝100°，∴∠DEB 的度数为100°；（3）解：∠PBM 的度数不变，理由如下：如图3，过点E 作ES ∥CD ，设直线DF 和直线BP 相交于点G ，∵BM 平分∠EBK ，DN 平分∠CDE ，∴∠EBM ＝∠MBK ＝21∠EBK ，∠CDN ＝∠EDN ＝21∠CDE ， ∵ES ∥CD ，AB ∥CD ，∴ES ∥AB ∥CD ，∴∠DES ＝∠CDE ，∠BES ＝∠ABE ＝180°﹣∠EBK ，∠G ＝∠PBK ，由（2）可知：∠DEB ＝100°，∴∠CDE+180°﹣∠EBK ＝100°，∴∠EBK ﹣∠CDE ＝80°，∵BP ∥DN ，∴∠CDN ＝∠G ，∴∠PBK ＝∠G ＝∠CDN ＝21∠CDE ， ∴∠PBM ＝∠MBK ﹣∠PBK ＝21∠EBK ﹣21∠CDE ＝21（∠EBK ﹣∠CDE ）＝21× 80°＝40°. ∴∠PBM 的度数不改变.23.解析：（1）如图1，①∵∠MON ＝36°，OE 平分∠MON ，∴∠AOB ＝∠BON ＝18°，∵AB ∥ON ，∴∠ABO ＝18°；②当∠BAD ＝∠ABD 时，∠BAD ＝18°，∵∠AOB +∠ABO +∠OAB ＝180°，∴∠OAC ＝180°﹣18°×3＝126°；③当∠BAD ＝∠BDA 时，∵∠ABO ＝18°，∴∠BAD ＝81°，∠AOB ＝18°，∵∠AOB +∠ABO +∠OAB ＝180°，∴∠OAC ＝180°﹣18°﹣18°﹣81°＝63°，故答案为：①18°；②126°；③63°；（2）如图2，存在这样的x 的值，使得△ADB 中有两个相等的角．∵AB ⊥OM ，∠MON ＝36°，OE 平分∠MON ，∴∠AOB ＝18°，∠ABO ＝72°，若∠BAD ＝∠ABD ＝72°，则∠OAC ＝90°﹣72°＝18°；若∠BAD ＝∠BDA ＝（180°﹣72°）÷2＝54°，则∠OAC ＝90°﹣54°＝36°； 若∠ADB ＝∠ABD ＝72°，则∠BAD ＝36°，故∠OAC ＝90°﹣36°＝54°；综上所述，当x ＝18、36、54时，△ADB 中有两个相等的角．。

初一数学第二章测试题初一的小伙伴们！咱们第二章的数学知识学了这么久啦，是时候来一场小测验，看看自己到底掌握得咋样啦！这份测试题就像是一场数学冒险，准备好了吗？那咱们就开始咯！一、选择题（每题5分，共30分）1. 小明去商店买文具，一支铅笔2元，一个笔记本5元，他买了3支铅笔和2个笔记本，一共花了多少钱呀？A. 16元B. 13元C. 11元D. 19元。

哈哈，这题就像是咱们生活中去买东西算账一样，很简单吧，别粗心哦！2. 下列式子中，是一元一次方程的是（）A. x + 2y = 3B. 2x² 1 = 0C. 3x 5 = 4D. 1/x + 1 = 2.这题可得看清楚啦，一元一次方程有它特定的“模样”哦，可别被那些“伪装者”迷惑啦！3. 解方程3x 6 = 9，x的值是（）A. 5B. 4C. 3D. 6.解方程就像是解开一个神秘的密码，找到那个让等式成立的神奇数字，加油呀！4. 某班有x名学生，其中男生比女生多3人，那么女生有（）人。

A. (x 3)/2B. (x + 3)/2C. x 3D. x + 3.这题要动动小脑筋啦，根据男生和女生人数的关系，找出女生人数的表达式，相信你可以的！5. 若a = 3是方程2a b = 4的解，那么b的值是（）A. 2B. -2C. 10D. -10.把a的值代入方程，就像把钥匙插进锁孔，然后就能求出b这个“宝藏”啦！6. 一件商品按标价的8折出售，售价是160元，那么这件商品的标价是（）A. 128元B. 200元C. 180元D. 220元。

打折问题在生活中很常见哦，咱们得学会用数学知识算出原价，这样买东西就不会被忽悠啦！二、填空题（每题5分，共25分）1. 已知x = 2是方程3x + m = 10的解，则m = ______。

把x的值代入方程，然后通过简单的计算就能求出m啦，就像搭积木一样，一步一步来。

2. 某数的3倍比它的2倍多5，设这个数为x，则可列方程为______。

初一自学数学测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. -1C. 1D. 22. 如果一个数的立方等于自身，这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 23. 以下哪个表达式的结果不是整数？A. 2 × 3B. 5 ÷ 2C. 4 + 1D. 6 - 34. 一个数的绝对值是其本身或其相反数，这个数是：A. 正数B. 负数C. 零D. 正数或零5. 如果一个角是直角的一半，那么这个角是：A. 锐角B. 钝角C. 直角D. 平角二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的相反数是-5，这个数是______。

7. 一个数的平方是25，这个数可能是______或______。

8. 一个数的立方是-8，这个数是______。

9. 一个数的绝对值是7，这个数可能是______或______。

10. 一个三角形的内角和是______度。

三、计算题（每题5分，共15分）11. 计算下列表达式的值：(3 + 5) × 2 - 8 ÷ 412. 解下列方程：4x - 3 = 1713. 计算下列多项式的值：2x^2 - 3x + 1，当x = -2时。

四、解答题（每题5分，共20分）14. 一个长方形的长是20厘米，宽是10厘米，求它的周长和面积。

15. 一个数列的前三项是1, 3, 6，如果这是一个等差数列，求第四项。

16. 一个圆的半径是7厘米，求它的周长和面积。

五、应用题（每题10分，共10分）17. 小明的爸爸给他买了一个篮球，原价150元，现在打8折，小明实际支付了多少钱？答案：一、选择题1. C2. B3. B4. D5. A二、填空题6. 57. ±58. -29. ±7 10. 180三、计算题11. 14 12. x = 5 13. 15四、解答题14. 周长 = 60厘米，面积 = 200平方厘米15. 第四项 = 1016. 周长 = 44厘米，面积 = 153.94平方厘米五、应用题17. 小明实际支付了120元。

第一讲有理数之基础过关无理数：无限不循环小数有理数：1．除了无限不循环小数以外其他所有的数。

2．能够表示成分数m n(0n ≠，m 、n 均为整数且互质)形式的数。

有理数——整数和分数统称为有理数⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数自然数整数零负整数有理数正分数分数有限小数和无限循环小数负分数 数轴、相反数、绝对值、倒数、负倒数数轴: 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

相反数：只有符号不同的两个数，互称为相反数。

注意：求一个数或式子的相反数，只要在数和式子的前面加负号。

绝对值：点到原点距离。

注意：正数的绝对值是本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。

倒数： 乘积为1的两个数互为倒数。

负倒数：乘积为-1的两个数互为负倒数。

【例1】某公车原先有 22人，经过 4个站点时上下车情况如下(上车为正，下车为负)：(+4，-8)，(-5，+6)，(-3，+2)，(+1，-7)，则①“+4”、“-5”分别表示什么意义？②这4个站点总共新上了多少人？③经过 4个站点后，车上还有多少人？【例2】-a 的相反数为 5，b 的倒数是c ，c 的负倒数是2，d 在数轴的左边且与原点的距离为3，求32()a b d c ---的值。

【例3】已知a ，b 互为相反数，x 的绝对值为2，c 、d 互为倒数，试求219971998()()()x a b cd x a b cd ++++++-的值。

【例4】若有 x ，y 满足22002(1)1210x x y -+-+=，则22x y +的值为多少？【例5】式子212x ++的最小值是 ，这时x = 。

【例6】已知()22560x y y +++-=，则22315y xy x x -++= 。

【例7】改革开放以来，我国国内生产总值由1978年的3645亿元增长到2008年的300670亿元。

将300670亿元用科学记数法表示应为元，保留两个有效数字结果为元，精确到万亿元结果为元。

计算能力训练〔整式1〕6、〔1〕计算1092)21(⋅-=〔2〕计算532)(x x ÷ 计算能力训练〔整式2〕计算：(1))3()32()23(32232b a ab c b a -⋅-⋅-； (2))3)(532(22a a a -+-； 〔3〕)8(25.123x x -⋅； 〔4〕)532()3(2+-⋅-x x x ;〔5〕())2(32y x y x +-； 〔6〕利用乘法公式计算:()()n m n m 234234+--+〔7〕()()x y y x 5225--- 〔8〕6,5-==+ab b a ,试求22b ab a +-的值 计算能力训练〔整式3〕1、 b a c b a 232232÷-2、 )2(23)2(433y x y x +÷+ 34、当5=x 时,试求整式()()13152322+--+-x x x x 的值 5、4=+y x ，1=xy ，试求代数式)1)(1(22++y x 的值6、计算:)()532(222223m m n n m n m a a b a a -÷-+-++8、试确定2011201075⋅的个位数字计算能力训练〔分式1〕1．〔辨析题〕不改变分式的值，使分式115101139x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以〔• 〕A ．10B ．9C ．45D ．902．〔探究题〕以下等式：①()a b c --=-a b c -;②x y x -+-=x y x -;③a b c -+=-a b c +; ④m n m --=-m n m-中,成立的是〔 〕 A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④3．〔探究题〕不改变分式2323523x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的选项是〔• 〕A ．2332523x x x x +++-B ．2332523x x x x -++-C ．2332523x x x x +--+D ．2332523x x x x ---+ 4．〔辨析题〕分式434y x a+，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有〔 〕 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．〔技能题〕约分：〔1〕22699x x x ++-； 〔2〕2232m m m m-+-． 6.〔技能题〕通分：〔1〕26x ab ，29y a bc ； 〔2〕2121a a a -++，261a -． 7.〔妙法求解题〕*+1x=3，求2421x x x ++的值 计算能力训练〔分式2〕1.根据分式的根本性质，分式a a b--可变形为〔 〕 A ．a a b -- B ．a a b + C ．-a a b - D ．a a b + 2．以下各式中，正确的选项是〔 〕A ．x y x y -+--=x y x y -+;B ．x y x y -+-=x y x y ---;C ．x y x y -+--=x y x y +-;D ．x y x y -+-=x y x y-+ 3．以下各式中，正确的选项是〔 〕A ．a m a b m b +=+B ．a b a b ++=0C ．1111ab b ac c --=-- D ．221x y x y x y -=-+ 4．〔2005·**市〕假设a=23，则2223712a a a a ---+的值等于_______． 5．〔2005·市〕计算222a ab a b+-=_________． 6．公式22(1)x x --，323(1)x x --，51x -的最简公分母为〔 〕A ．〔*-1〕2B ．〔*-1〕3C ．〔*-1〕D ．〔*-1〕2〔1-*〕3 7．21?11x x x -=+-，则？处应填上_________，其中条件是__________． 拓展创新题 8．〔学科综合题〕a 2-4a+9b 2+6b+5=0，求1a -1b 的值． 9．〔巧解题〕*2+3*+1=0，求*2+21x 的值． 计算能力训练(分式方程1)选择1、〔2009年〕甲志愿者方案用假设干个工作日完成社区的*项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效一样，结果提前3天完成任务，则甲志愿者方案完成此项工作的天数是……………【 】A ．8 B.7 C ．6 D ．52、(2009年市)3．用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x-=，将原方程化为关于y 的整式方程，则这个整式方程是〔 〕A ．230y y +-=B ．2310y y -+=C ．2310y y -+=D ．2310y y --= 3、〔2009襄樊市〕分式方程131x x x x +=--的解为〔 〕 A ．1 B ．-1 C ．-2 D ．-34、〔2009〕5．分式方程3221+=x x 的解是〔 〕 A ．0=x B ．1=x C ．2=x D ．3=x5、〔2009年〕关于*的方程211x a x +=-的解是正数，则a 的取值围是A ．a ＞－1B ．a ＞－1且a ≠0C ．a ＜－1D ．a ＜－1且a ≠－26、〔2009〕*服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原方案提高了20%，结果共用了18天完成任务，问方案每天加工服装多少套？在这个问题中，设方案每天加工*套，则根据题意可得方程为〔A 〕18%)201(400160=++x x 〔B 〕18%)201(160400160=+-+xx 〔C 〕18%20160400160=-+x x 〔D 〕18%)201(160400400=+-+x x7、〔2009年市〕解方程xx -=-22482的结果是〔 〕 A ．2-=x B ．2=x C ．4=x D ．无解8、〔2009年〕分式方程211x x=+的解是〔 〕 A ．1 B ．1- C ．13 D ．13- 9、〔09〕分式方程2131=-x 的解是〔 〕 A ．21=x B ．2=x C ．31-=x D ．31=x 10、〔2009年〕甲志愿者方案用假设干个工作日完成社区的*项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效一样，结果提前3天完成任务，则甲志愿者方案完成此项工作的天数是【 】A ．8 B.7 C ．6 D ．511、〔2009年〕方程121x x=-的解是〔 〕 A ．0 B ．1C ．2 D ．312、〔2009年省〕解分式方程11222x x x-+=--，可知方程〔 〕 A ．解为2x = B ．解为4x =C ．解为3x =D ．无解13、〔2009年〕方程121x x=-的解是〔 〕 A ．0 B ．1C ．2 D ．314、〔2009年省〕解分式方程11222x x x-+=--，可知方程〔 〕 A ．解为2x = B ．解为4x =C ．解为3x =D ．无解计算能力训练(分式方程2)填空1、〔2009年市〕请你给*选择一个适宜的值，使方程2112-=-x x 成立，你选择的*＝________。

第四章 三角形【提高能力测试】 题型发散1.选择题，把正确答案的代号填入题中括号内. (1)下列各条件中，不能作出惟一直角三角形的是( ) (A)已知两直角边 (B)已知两锐角 (C)已知一直角边和一锐角 (D)已知斜边和一直角边(2)已知AM 、AH 、AD 分别是△ABC 的BC 边上的中线、高线和∠A 的平分线，AB≠AC ，那么AM 、AH 、AD 的位置关系为( )(A)AD 在AM 和AH 之间 (B)AM 在AD 和AH 之间 (C)AH 在AD 和AM 之间 (D)不能确定(3)已知三角形的两边长为2和7，第三边的数值是奇数，那么这个三角形的周长是( )(A)14 (B)15 (C)16 (D)17(4)在△ABC 中，若∠A=21∠B=31∠C ，那么这个三角形是( )(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)以上都不对(5)已知线段m ，n(m>n)，用直尺和圆规作等腰△ABC ，使AB=AC=m ，BC=n ，再分别以AB 、AC 为边向三角形外作等边△ABD 和等边△ACE ，连结BE 、CD ，那么( )(A)BE>CD (U)BE=CD (C)BE<CD (D)BE≤CD(6)在△ABC 中，AB>AC ，AD 为BC 边上的中线，则∠DAB 与∠DAC 的大小关系是( )(A)∠DAB>∠DAC (B)∠DAB<∠DAC (C)∠DAB=∠DAC (D)不能确定2.填空题.(1)在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE 垂直平分AB ，垂足为E ，则∠C=______________(2)在锐角△ABC 中，高AD 和BE 交于H 点，且BH=AC ，则∠ABC=___ _度.(3)已知△ABC ，D 在AC 上，∠A=︒36，∠DBC=︒36，∠C=︒72，那么∠BDC=_________度，∠ABD=_________度，其中等腰三角形有__________(4)边长为2，x-4，5的三根木条首尾相接组成三角形，则x 的取值范围是______________.(5)在△ABC 中，如果()242>-=n n a ，b=4n ，则c=_______时，∠C=︒90. (6)在Rt △ABC 中，AB=2AC ，CD 、CE 分别是斜边上的中线和高，则∠DCE=____________.解法发散1.如图5—75，已知在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使 BD=AB ，E 为AB 的中点，求证：CD=2CE.(按原图与如下四个图(见图5-76(a)～(d))所作辅助线用五种方法证明)2.如图5—77，已知在△ABC 中，∠A=︒90，∠C 的平分线交对边AB 于点E ，交斜边上的高AD 于O ，过点O 作OF ∥CB 交AB 于F ，求证：AE=BF.(用两种方法证明)3.如图5—78，已知△ABC 中，∠B 是锐角，且∠B=2∠C ，AD 是BC 边上的高.求证：AB+BD=DC(用两种方法证明)变换发散1.如图5—79，已知在△ABC 中，AB=AC ，P 是三角形内一点且有∠APB>∠APC.求证：PB<PC.2. 如图5—80，△ABC 按逆时针旋转至△C B A ''的位置，使AC 平分B B '.求证：B A '也平分C C '.逆向发散发散题如图5—81，在△ABC中，已知AB=AC，BD=DC，DE⊥AB，DF⊥AC.求证：DE=DF.构造发散1.如图5—82，在△ABC中，AD为∠A的平分线，E为BC的中点，过E作EF∥AD交AB于G，交CA的延长线于F，求证：BG=CF.2.如图5—83，已知在△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠C的平分线.求证：BC=AC+AD.3.如图5—84，在等边三角形ABC中，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连CE、DE.求证：CE=DE.变更命题发散1.如图5—85，已知在△ABC中，CF是AB边上的高，BE是AC边上的高，若AB>AC.求证：BE>CF.2.如图5—86，AB=AE，∠B=∠E.BC=ED.F是CD的中点.求证：AF⊥CD.3.如图5—87，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，求证：∠C=∠D.迁移发散1.已知△ABC的周长是12cm，若c+a=2b,c-a=2cm，求a、b、c的长度.2.如图5—88，已知△ABC 中，AB=2CA ，且CA 为最小边.求证：61(AB+BC+CA)<CA<41(AB+BC+CA).综合发散1.如图5—89，已知自Rt △ABC 的直角顶点A 作BC 上的高AD.求证：AD+BC>AB+AC2.如图5—90，C 是线段AB 上一点，分别以AC 、CB 为一边作等边三角形ACD 和CBE ，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N.求证：(1)△CMN 是等边三角形； (2)MN ∥AB.3.已知D 是△ABC 中∠BAC 平分线AE 上一点，AB>AC.求证：AB-AC>BD-DC.4.在△ABC 中，∠C= 90，AC=BC ，过C 在△ABC 外作直线MN ，使AM ⊥MN 于M ，BN ⊥MN 于N.(1)求证：MN=AM+BN ；(2)若过C 在△ABC 内作直线MN ，当MN 位于何位置时，AM 、BN 和MN 之间满足关系式AM-BN=MN.并证明之.5.如图5—91，已知：O 是△ABC 内一点.求证：(1)∠BOC>∠A ； (2)21(BC+CA+AB)<OA+OB+OC.6.如图5—92，在等腰直角三角形ABC 中，P 为斜边BC 的中点，D 为BC 上任一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC.求证：PE=PF ，PE ⊥PF.参考答案【提高能力测试】 题型发散1.(1)(B) (2)(A) (3)(C) (4)(B) (5)(B) (6)(B)2.(1)︒70 (2)︒45 (3)︒︒，3672,△ABC,△ABD,△BCD.(4)7<x<11.(5)42+n .(6)︒30.解法发散1.证法1如图5—75，取CD 的中点F ，连结BF. ∵AB=BD ，∴BF ∥AC ，且BF=21AC. ∴∠2=∠ACB.∵AB=AC ， ∴∠1=∠ACB.∴∠1=∠2 ∵BE=21AB ，∴BE=BF.又∵BC=BC ， ∴△BCE ≌△BCF.∴CE=CF.∴CD=2CE. 以下四种证法省略.2.证法1如图5—77，过点E 作EK ⊥BC ，垂足为K. ∵E 是∠C 平分线，∠BAC=︒90，∴EK=EA.又∠1和∠2同是21∠ACB 的余角，∴∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠3. ∴AE=AO=EK ，又FO ∥BC ，∴∠AFO=∠EBK,∠AOF=∠EKB=︒90， ∴Rt △AOF ≌△EKB. ∴AF=EB.故AE=BF.证法2如图85'-过点O 作OG ∥AB 交BC 于G ，则BGOF 是平行四边形.∴BF=GO.∵∠AOE=∠1+∠3，∠AEO=∠B+∠2， 又∠BAC=︒90，AD ⊥BC ，∴∠B=∠1.∵CE 是∠ACB 的平分线， ∴∠2=∠3.∴∠AOE=∠AEO. ∴AE=AO.在△AOC 和△GOC 中，∵∠CGO=∠B=∠1，∠2=∠3，OC 为公共边， ∴△AOC ≌△GOC ，AO=GO=AE=BF ，故AE=BF. 3.证法1在DC 上截取DE=DB ，连结AE. ∵AD ⊥DE ，BD=DE.AB=AE.∴∠B=∠AEB. ∵∠B=2∠C.∴∠AEB=2∠C. ∴∠C=∠EAC.∴AE=EC=AB. ∵DC=DE+EC ，∴AB+BD=DC.证法2如图95'-，延长CB 到F ，使BF=AB ，连AF.在△AFB 中，∵AB=BF.∴∠F=∠BAF.∵∠ABC=∠F+∠BAF ，即∠ABC=2∠F ， 又∠ABC=2∠C ，∠F=∠C. ∴AC=AF.又AD ⊥FC ，FD=DC.∵FD=FB+BD ，FD=AB+BD ，即AB+BD=DC. 变换发散1.分析：∵AB=AC ，本题以等腰三角形ABC 的顶点A 为旋转中心，顶角(∠BAC)为旋转角，旋转到P AC '，的位置.欲证P C PC '>，连P P '，只须证PC P C P P '∠>'∠.∵C P A APC '∠<∠，又P P A P AP '∠='∠ ∴PC P C P P '∠>'∠.∴C P PC '>. 问题得证.证明：以A 为顶点，以AC 为边，在△ABC 外作PAB AC P ∠='∠，在P A '上取AP P A ='，连C P '.∵AB=AC.∴P AC ABP '∆≅∆. ∴APB C P A ∠='∠，连P P ' ∵P A AP '=，∴P P A P AP '∠='∠ ∴PC P C P P '∠>'∠.∴C P PC '> ∵PB C P ='.∴PC>PB. 2.证法1在△B AB '中，∵B A AB '=，AC 平分B B '，∴AC 是等腰B AB '∆的顶角平分线， 即C A B BAC AC B BAC ''∠=∠'∠=∠.，C MA MAC '∠=∠. 又在△AMC 和C AM '∆中，∵C A AC '=，C MA MAC '∠=∠，AM=AM ， ∴C AM AMC '∆≅∆.∴C M MC '=.故B A '平分C C '.证法2可通过证明C A B BAC AC B BAC ''∠=∠'∠=∠,， 从而得C A B AC B ''∠='∠，可证得B A '，平分C C '. 逆向发散提示连结AD ，AD 是等腰三角形的顶角平分线，本题应用角平分线的两个互逆定理证明.构造发散1.分析：因有∠BGE=∠F ，欲证BG=CF 可考虑证明其所在的三角形全等，而△GBE 和△CFE 明显不全等，故须构造含已知角和欲证线段为边的直角三角形，或使夹已知角的另一对边相等，又注意到条件中有BE=CE ，若作BP ⊥EF ，CQ ⊥EF ，须证BP=CQ ，然此易由Rt △BPE ≌Rt △CQE 得到.证明：过B 、C 分别作BP ⊥EF ，CO ⊥FE. 垂足分别为P 、Q ，则BP ∥CQ 阅.∴∠PBE=∠QCE ，而BE=CE ，∴Rt △QPE ≌Rt △CAE.BP=CQ.又EF ∥DA ，AD 平分∠A ，∠BGE=∠F.∴Rt △BPG ≌Rt △CQF.故BC=CF.2.证明：在CB 上截取CE=CA ，连DE ，构造新三角形△CDE.在△ACD 和△ECD 中，∵AC=EC ，∠1=∠2，CD=CD ，∴△ACD ≌△ECD.∴AD=DE ，∠CED=∠A.∵∠A=2∠B ，∴∠CED=2∠B.∴∠B=∠EDB.∴DE=EB=AD.∵BC=CE+EB ，∴BC=AC+AD.3.分析：延长BD 到F ，使DF=BC 连结EF ，则BE=BF ，构造△DEF ，欲证△BCE ≌△FDE.证明：∵∠B=︒60，BE=BF ，∴△EFB 是等边三角形.∴∠B=∠F.∵BC=DF ，BE=FE ，∴△BCE ≌△FDE.∴CE=DE.变更命题发散1.∵CF AB S BE AC S ABC ABC ⋅=⋅=∆∆21,21， ∴CF AB BE AC ⋅=⋅.∵AB>AC ，∴BE>CF.2.连结AC 、AD.在△ABC 和△AED 中，∵AB=AE ，∠B=∠E ，BC=ED ，∴△ABC ≌△AED.∴AC=AD.在△ACF 和△ADF 中，∵AC=AD ，AF=AF ，CF=DF ，∴△ACF ≌△ADF.∴∠AFC=∠AFD.∵∠CFD=︒180，∴∠AFC=︒=︒⋅9018021.∴AF ⊥CD. 3.连结AC 、AD.∵AB=AE ，∠B=∠E ，BC=ED ，∴△ABC ≌△AED(SAS).∴∠1=∠2，AC=AD(全等三角形的对应角、对应边相等).∴在△ACD 中，∠3=∠4.∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BCD=∠EDC.迁移发散1.解：依题意，得方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=++2212a c ba c cb a 解方程组，得：a=3(cm),b=4(cm)，c=5(cm). 2.设AC=a ，AB=2a ，周长AB+BC+CA=l ，则：AB+BC+CA=2a+a+BC.∵BC>a ，∴AB+BC+CA>2a+a+a=4a.∴4l a <又BC<AB+CA=2a+a=3a ，则l=AB+BC+CA<2a+3a+a=6a.∴6l a >.综上46l a l <<. ∴即61(AB+BC+CA)<CA<41(AB+BC+CA). 综合发散1.分析：在BC 上截取BE=AB ，作EF ⊥AC 于F ，连结AE ，构造Rt △AEF 和Rt △ADE ，证明这两个直角三角形全等.证明：如图015'-，在BC 上截取BE=AB ，作EF ⊥AC 于F ，连结AE.∵BA ⊥AC ，EF ⊥AC ，∴AB ∥EF.∴∠BAE=∠2.又∠BAE=∠1，∴∠1=∠2.在Rt △ADE 和Rt △AEF 中，∵AE=AE ，∠1=∠2，∴Rt △ADE ≌Rt △AEF.∴AD=AF.∵BE=AB，EC>FC，∴AD+BE+FC>AF+AB+FC,即AD+BC>AB+AC.2.(1)∵△ACD和△CBE是等边三角形，∴AC=CD，CE=CB.∵∠ACD=∠ECB=︒60.60，∴∠BCE=︒∴∠ACE=∠DCB.∴△ACE≌△DCB.(SAS).∴∠AEC=∠DBC.在△MCE和△NCB中，∵∠AEC=∠DBC，CE=CB，∠MCE=∠NCB=︒60，∴△MCE≌△NCB.∴MC=NC.又∠MCN=︒60,∴△CMN是等边三角形.(2)∵∠NMC=∠ACM=︒60，∴MN∥AB.3.∵AB>AC，在AB上截取AF=AC，连结DF，则△ADF≌△ADC，∴DF=DC.在△DBF中，BF>DB-DF，∴BF>DB-DC.∵BF=AB-AC.即有AB-AC>DB-DC.4.(1)如图11-，5'∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC=∠BNC=︒90.∵∠ACB=︒90.∴∠MCA+∠NCB=︒90.∴∠ACM=∠CBN.又AC=CB ，∴△ACM ≌△CBN ，MC=BN ，AM=CN.∴MN=AM+BN.(2)若过C 在△ABC 内作直线MN ，当MN 经过等腰直角△ABC 的底边AB 的中点时，MN 、AM 、BN 之间满足关系式MN=AM-BN.证明略.5.(1)如图215'-延长BO 交AC 于点D.∵∠BOC 是△OCD 的外角，∴∠BOC>∠1.同理可证∠1>∠A ，∴∠BOC>∠A.(2)连结OA.在△ABO 中，∵AB<OA+OB ，同理BC<OB+OC ，AC<OA+OC.∴BC+CA+AB<2(OA+OB+OC) 即21(BC+CA+AB)<OA+OB+OC.6.连结AP.∵AP=BP=PC ，AF=ED=BE ，∠PAF=∠PBE=︒45,∴△PAF ≌△PBE.∴∠APF=∠BPE.∴PE=PF.∠APF+∠APE=∠BPE+∠APE.又∠APF+∠APE+∠BPE+∠APE=︒180，∴∠EPA+∠APF=︒90.即PE ⊥PF.。