第一章《计数原理》单元回归评价单

2017年高中数学第一章计数原理单元测评1（含解析）新人教A版选修2-3 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年高中数学第一章计数原理单元测评1（含解析）新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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计数原理(时间：90分钟满分:120分)第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（）A．70种B．112种C．140种D．168种解析：方法一（直接法）：分类完成：第1类，甲参加或乙参加,有C错误!C错误!种挑选方法；第2类，甲、乙都参加，有C错误!C错误!种挑选方法．所以不同的挑选方法共有C错误!C错误!＋C错误!C错误!＝140种．方法二(间接法）:从甲、乙等10人中挑选4人共有C错误!种挑选方法，甲、乙两人都不参加挑选方法有C错误!种，所以甲、乙两人中至少有1人参加的不同的挑选方法有C错误!－C错误!＝140种．答案:C2．五本不同的书在书架上排成一排，其中甲，乙两本必须连排，而丙,丁两本不能连排，则不同的排法共有（)A．12种B．20种C．24种D．48种解析：甲，乙看作一本，除去丙,丁后排列，再将丙，丁插入,共有A22A错误!A错误!＝2×3×2×2＝24种．答案：C3．在二项式错误!5的展开式中，含x4的项的系数是（）A．－5 B．5C．－10 D．10解析：T k＋1＝C错误!·（x2)5－k·错误!k＝C错误!·x10－2k·错误!k·（－1）k＝C错误!·x10－3k·(－1)k。

《21世纪课堂评价》结业作业模板作者信息本课程的结业作业要求您选择一个您所教的，且包含有探究内容的单元，为这个单元设计评价计划。

在每个模块结束的时候，您都需要使用这个模板，根据所学内容在其中添加新的想法或设计。

最终完成的作品要提交到平台上供学友们互评。

第一步：选择单元（模块1第2节后完成)请选定一个您所教的、且包含有探究内容的单元.在下面空格处简要介绍这个单元,包括您当前所使用的评价方法。

第2步：21世纪技能(模块1第2节后完成）在模块一中您学习了在教学中考虑21世纪技能的必要性.那么,在您选定的这个单元中，您将在什么地方来培养21世纪技能呢?请在下表中至少列出您将整合在单元中的三个21世纪技能，也考虑一下利用什么技术工具来支持这些技能的学习。

第3步：关注形成性评价（模块1第3节后完成）通过形成性评价,教师可以帮助学生成长为自主学习者。

请思考一下，您将如何使您的单第4步:选择或创建一个评价量规（模块2第4节后完成)您可以选择一个已有的量规，也可以创建一个新的量规.选项A:选择即有量规一个评价21世纪技能的量规.描述您将从评价项目库中至少选择一个作品和展示量规，使用下面的表格为您的单元创建一个新的量规。

创建了量规后，请描述您将怎样在选定的单元中使用这一评价量规。

第5步：在教学活动中嵌入评价（模块3第1节后完成）第6步：更多的评价(模块3第4节后完成）非正式的讨论、自评、互评、观察、讨论会等都可以作为评价计划中的重要组织部分。

描述您将如何在单元中包含这些评价。

第7步：修订教学目标（模块4第1节后完成）请将您的单元重新审视一下，再次明确单元的课程标准，修订单元的教学目标。

教学目标应与课程标准相联系，并体现21世纪技能。

第8步：有效的评价时间线（模块4第2节后完成）为您的单元创建一个评价时间线，记住要在整个项目中满足以下所有五个评价目标：评估学生需求、鼓励合作学习和自主学习、监控学习进展、检查理解与鼓励元认知、展示理解程度。

章末质量评估(一)(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．知识竞赛中给一个代表队的4人出了2道必答题和4道选答题，要求4人各答一题，共答4题，此代表队可选择的答题方案的种类为( )．A．A46 B．A24 C．C24A44 D．C24A24解析从4道选答题中选2道的选法为C24，2道必答题和2道选答题让4人各答一题的方法为A44，故选C.答案 C2．已知{1，2}⊆Z⊆{1，2，3，4，5}，满足这个关系式的集合Z共有( )．A．2个 B．6个 C．4个 D．8个解析由题意知集合Z中的元素1，2必取，另外，从3，4，5中可以不取，取1个，取2个，取3个，故共有C03＋C13＋C23＋C33＝8(个)．答案 D3．二项式(a＋2b)n展开式中的第二项系数是8，则它的第三项的二项式系数为( )．A．24 B．18 C．16 D．6解析T2＝C1n a n－1(2b)1＝C1n·2a n－1·b，所以2n＝8，n＝4，所以C2n＝C24＝6.答案 D4．某汽车生产厂家准备推出10款不同的轿车参加车展，但主办方只能为该厂提供6个展位，每个展位摆放一辆车，并且甲、乙两款车不能摆放在1号展位，那么该厂家参展轿车的不同摆放方案有( )．A．C210A48种 B．C19A59种C．C18A59种 D．C18A58种解析考查分步计数原理和排列数公式，在1号位汽车选择的种数为C18，其余位置的排列数为A59，故种数为C18A59，选C.答案 C5．在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况的种数为( )．A ．A 34B ．43C ．34D ．C 34解析 四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，每项冠军都有3种可能， 由分步乘法计数原理知共有3×3×3×3＝34种． 答案 C6．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中，常数项为15，则n 等于( )．A ．3B ．4C ．5D ．6解析 ∵T r ＋1＝C r n(x 2)n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r n x 2n －3r，∴又常数项为15，∴2n －3r ＝0，即r ＝23n 时，(－1)r C rn ＝15，∴n ＝6.故选D.答案 D7．用4种不同的颜色涂入图中的矩形A 、B 、C 、D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同涂法有 ( ).A.72种 B ．48种 C ．24种 D ．12种解析 涂A 共4种涂法，则B 有3种涂法，C 有2种涂法，D 有3种涂法． ∴共有4×3×2×3＝72种涂法． 答案 A8．在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是( )． A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．10解析 (1－x )5中x 3的系数为－C 35＝－10，－(1－x )6中x 3的系数为－C 36· (－1)3＝20，故(1－x )5－(1－x )6的展开式中x 3的系数为10. 答案 D9．从正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数为( )．A．C48－12 B．C48－8 C．C48－6 D．C48－4解析在正方体中，6个面和6个对角面上的四个点不能构成四面体．答案 A10．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有( )．A．252种 B．112种C．70种 D．56种解析分两类：甲、乙两个宿舍中一个住4人、另一个住3人或一个住5人、另一个住2人，所以不同的分配方案共有C37A22＋C27A22＝35×2＋21×2＝112种．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)11．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________种．解析(间接法)共有C47－C44＝34种不同的选法．答案3412．若(3x＋1)n(n∈N*)的展开式中各项系数的和是256，则展开式中x2项的系数是________．解析令x＝1，得(3＋1)n＝256，解得n＝4，(3x＋1)4的展开式中x2项的系数为C2432＝54.答案5413．在5名乒乓球队员中有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1，2号中至少有1名新队员的排法有________种．解析两老一新时，有C13×C12A22＝12种排法；两新一老时，有C12C23×A33＝36种排法，即共有48种排法．答案4814．设(2x－1)6＝a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a6|＝________．解析由(2x－1)6＝C06(2x)6＋C16(2x)5·(－1)＋…＋C66(－1)6，可知x6，x5，…，x0的系数正、负相间，且|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 6| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6. 令x ＝－1，有a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0 ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6 ＝(－3)6＝36. 答案 36三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(10分)已知(1＋2x )n的展开式中，某一项的系数恰好是它前一项系数的2倍，而且是它后一项系数的56，求展开式中二项式系数最大的项．解 由题意设展开式中第k ＋1项系数是第k 项系数的2倍，是第k ＋2项系数的56，∴⎩⎪⎨⎪⎧C k n ·2k ＝2C k －1n ·2k －1，C k n ·2k＝56C k ＋1n ·2k ＋1，解得n ＝7. ∴展开式中二项式系数最大的项是第4项和第5项，T 4＝C 37(2x )3＝280x 32，T 5＝C 47(2x )4＝560x 2.16．(10分)从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m 接力赛．试求满足下列条件的参赛方案各有多少种？(1)甲不能跑第一棒和第四棒； (2)甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．解 (1)法一 优先考虑特殊元素甲，让其选位置，此时务必注意甲是否参赛，因此需分两类：第1类，甲不参赛有A 45种排法；第2类，甲参赛，因只有两个位置可供选择，故有A 12种排法；其余5人占3个位置有A 35种排法，故有A 12A 35种方案．所以有A 45＋A 12A 35＝240种参赛方案．法二 先着眼于整体，后局部剔除不合要求的参赛方案．首先，6个人占4个位置有A 46种占法；其次，甲跑第一棒和第四棒的不合要求的参赛方案有2A 35种． 所以有A 46－2A 35＝240种参赛方案．(2)显然第一、四棒为特殊位置，与之相伴的甲、乙则为特殊元素，这时特殊元素与特殊位置的个数相等，对此我们仍从三方面进行思考，以在对比中积累经验． 法一 优先考虑特殊位置．第1类，乙跑第一棒有A 11A 35＝60种排法； 第2类，乙不跑第一棒有A 14A 14A 24＝192种排法． 故共有60＋192＝252种参赛方案． 法二 (间接法)共有A 46＝360种参赛方案，其中不合要求的有： ①甲跑第一棒，乙跑第四棒，有A 11A 11A 24＝12种排法； ②甲跑第一棒，乙不跑第四棒，有A 11A 14A 24＝48种排法； ③甲不跑第一棒，乙跑第四棒，有A 11A 14A 24＝48种排法． 综上知有360－12－48－48＝252种参赛方案．17．(10分)设f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n(m 、n ∈N ＋)，若其展开式中关于x 的一次项系数的和为11，试问m 、n 为何值时，含x 3的系数最小？这个最小值是多少？ 解 据题意可得C 1m ＋C 1n ＝11， ∴m ＋n ＝11，含x 3的系数为 C 3m ＋C 3n ＝m （m －1）（m －2）6＋n （n －1）（n －2）6＝m 3－3m 2＋2m ＋n 3－3n 2＋2n6＝（11－n ）3－3（11－n ）2＋2（11－n ）＋n 3－3n 2＋2n 6＝27n 2－297n ＋9906＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1122＋2318.∴当m ＝5，n ＝6或m ＝6，n ＝5时，x 3的系数最小为30. 18．(12分)有6名男医生，4名女医生．(1)选3名男医生，2名女医生，让这5名医生到5个不同地区去巡回医疗，共有多少种不同方法？(2)把10名医生分成两组，每组5人且每组都要有女医生，则有多少种不同分法？若将这两组医生分派到两地去，并且每组选出正副组长两人，又有多少种不同方案？ 解 (1)分三步完成．第一步：从6名男医生中选3名有C 36种方法； 第二步：从4名女医生中选2名有C 24种方法； 第三步：对选出的5人分配到5个地区有A 55种方法． 根据分步乘法计数原理，共有N ＝C 36C 24A 55＝14 400(种)．(2)医生的选法有以下两类情况：第一类：一组中女医生1人，男医生4人，另一组中女医生3人，男医生2人．共有C 14C 46种不同的分法；第二类：两组中人数都有女医生2人男医生3人．因为组与组之间无顺序，故共有12C 24C 36种不同的分法．因此，把10名医生分成两组，每组5人且每组都要有女医生的不同的分法共有C 14C 46＋12C 24C 36＝120种．若将这两组医生分派到两地去，并且每组选出正副组长两人，则共有＝96 000种不同方案．19．(12分)(2012·某某高二检测)从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？ (2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？ (4)在(1)中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？解 (1)分步完成：第一步在四个偶数中取三个，可有C 34种情况； 第二步在五个奇数中取四个，可有C 45种情况；第三步三个偶数，四个奇数进行排列，可有A 77种情况，所以符合题意的七位数有C 34C 45A 77＝100 800个．(2)上述七位数中，三个偶数排在一起的有C 34C 45A 55A 33＝14 400个． (3)上述七位数中，三个偶数排在一起，四个奇数也排在一起的有 C 34C 45A 33A 44A 22＝5 760个．(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把四个奇数排好，再将三个偶数分别插入5个空档，共有A 45C 34A 35＝28 800个．。

一、选择题1．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布2(100,)(0)σσ>，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（ ） A ．0.05 B ．0.1C ．0.15D ．0.22．甲乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7．若两人各投2次，则两人投中次数相等的概率为（ ） A ．0.2484B ．0.25C ．0.90D ．0.39243．西大附中为了增强学生对传统文化的继承和发扬，组织了一场类似《诗词大会》的PK 赛，A 、B 两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK ，除第三局胜者得2分外，其余各胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛A 队选手获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为（ ） A ．2027B ．5281C ．1627D ．794．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，则质点P 移动六次后位于点(2,4)的概率是（ ）A ．612⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．44612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．62612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．6246612C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭5．设1~(10,)B p ξ，2~(10,)B q ξ，且14pq >，则“()()12E E ξξ>”是“()()12D D ξξ<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．下列命题中真命题是（ ）（1）在18的二项式展开式中，共有4项有理项；（2）若事件A 、B 满足()0.15P A =，()0.60P B =，()0.09P AB =，则事件A 、B 是相互独立事件；（3）根据最近10天某医院新增疑似病例数据，“总体均值为2，总体方差为3”，可以推测“最近10天，该医院每天新增疑似病例不超过7人”. A ．（1）（2） B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）7．设102x <<，随机变量ξ的分布列如下：ξ0 1 2P0.50.5x -x则当x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时（ ）A ．()E ξ减小，()D ξ减小B ．()E ξ增大，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ减小，()D ξ增大8．先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，落在水平桌面上， 设事件A 为“第一次正面向上”，事件B 为“后两次均反面向上”，则概率(|)P B A =（ ） A ．12B ．13C ．14D ．389．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则P (X <2)等于 A ．715B ．815C ．1415D ．110．随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．511．某工厂生产的零件外直径（单位：cm ）服从正态分布()10,0.04N ，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75cm 和9.35cm ，则可认为（ ）A ．上午生产情况异常，下午生产情况正常B ．上午生产情况正常，下午生产情况异常C ．上、下午生产情况均正常D ．上、下午生产情况均异常12．小明的妈妈为小明煮了 5 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件‘‘"A 取到的两个为同一种馅，事件‘‘"B =取到的两个都是豆沙馅，则()P B A =∣ （ ）A ．14B ．34C ．110D ．310二、填空题13．随着电商的兴起，物流快递的工作越来越重要了，早在周代，我国便已出现快递制度，据《周礼·秋官》记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿，物流的官员“行夫”，其职责要求是“虽道有难，而不时必达”.现某机构对国内排名前五的5家快递公司的某项指标进行了3轮测试(每轮测试的客观条件视为相同)，每轮测试结束后都要根据该轮测试的成绩对这5家快递公司进行排名，那么跟测试之前的排名比较，这3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为_________.14．3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分，已知6名女生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名男生每人得2分的概率均为12，现选择2名女生和3名男生，每人答一题，则该班所选队员得分之和为6分的概率__________.15．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠.若该电梯在底层有6个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用X表示这6位乘客在第20层下电梯的人数，则(4)P X==________.16．若随机变量3~34X B⎛⎫⎪⎝⎭，, 则方差()D x=____________.17．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球,2个白球,乙袋装有1个红球,5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个小球,记抽取到红球的个数为X,则随机变量X的均值EX=_____.18．小李练习射击,每次击中目标的概率均为13,若用ξ表示小李射击5次击中目标的次数,则ξ的均值E(ξ)与方差D(ξ)的值分别是____.19．运动员参加射击比赛,每人射击4次(每次射一发),比赛规定:全不中得0分,只中一弹得15分,中两弹得40分,中三弹得65分,中四弹得100分.已知某一运动员每一次射击的命中率为35,则他的得分期望为_____.20．投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以利用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用，设稿件能通过各初审专家评审的概率均为12，复审的稿件能通过评审的概率为13，若甲、乙两人分别向该出版社投稿1篇，两人的稿件是否被录用相互独立，则两人中恰有1人的稿件被录用的概率为__________.三、解答题21．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，即“行让行人”.下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让行人”行为的统计数据：月份x1 2 3 4 5 6 不“礼让斑马线"驾驶员人数y120105100859080（1）请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让行人”的驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆˆy bx a =+；（2）若该十字路口某月不“礼让行人”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”.试判断6月份该十字路口“礼让行人”情况是否达到“理想状态”？（3）自罚单日起15天内需完成罚款缴纳，记录5月不“礼让行人”驾驶员缴纳罚款的情况，缴纳日距罚单日天数记为X ，若X 服从正态分布()~8,9X N ，求该月没能在 14天内缴纳人数. 参考公式：()()()112211ˆˆˆ,nni i i ii i nniii i x x y yx y nxybay bx x x xnx====---===---∑∑∑∑()()()0.6826,220.9544,330.9974P Z P Z P Z μσμσμσμσμσμσ-<<+=-<<+=-<<+=22．某运动会将在深圳举行，组委会招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图（单位：cm ），身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；（2）若从身高180cm 以上（包括180cm ）的志愿者中选出男、女各一人，设这2人身高相差cm ξ（0ξ≥），求ξ的分布列和数学期望（均值）．23．某大型电器企业，为了解组装车间职工的生活情况，从中随机抽取了100名职工进行测试，得到频数分布表如下： 日组装个数 [)155,165[)165,175[)175,185[)185,195[)195,205[]205,215人数6123430108（1）现从参与测试的日组装个数少于175的职工中任意选取3人，求至少有1人日组装个数少于165的概率；（2）由频数分布表可以认为，此次测试得到的日组装个数Z 服从正态分布(),169N μ，μ近似为这100人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.（i ）若组装车间有20000名职工，求日组装个数超过198的职工人数；（ii ）为鼓励职工提高技能，企业决定对日组装个数超过185的职工日工资增加50元，若在组装车间所有职工中任意选取3人，求这三人增加的日工资总额的期望.附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=.24．某高三年级学生为了庆祝教师节,同学们为老师制作了一大批同一种规格的手工艺品，这种工艺品有A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响，若A 项技术指标达标的概率为3,4B 项技术指标达标的概率为89，按质量检验规定：两项技术指标都达标的工艺品为合格品.（1）求一个工艺品经过检测至少一项技术指标达标的概率；（2）任意依次抽取该工艺品4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ的分布列. 25．近期，某超市针对一款饮料推出刷脸支付活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用刷脸支付.该超市统计了活动刚推出一周内每一天使用刷脸支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用刷脸支付的人次，统计数据如下表所示：（1）在推广期内，与y c d =⋅（均为大于零的常数）哪一个适宜作为刷脸支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）； （2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，求y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用刷脸支付的人次；（3）已知一瓶该饮料的售价为2元，顾客的支付方式有三种：现金支付、扫码支付和刷脸支付，其中有10%使用现金支付，使用现金支付的顾客无优惠；有40%使用扫码支付，使用扫码支付享受8折优惠；有50%使用刷脸支付，根据统计结果得知，使用刷脸支付的顾客，享受7折优惠的概率为16，享受8折优惠的概率为13，享受9折优惠的概率为12.根据所给数据估计购买一瓶该饮料的平均花费.参考数据：其中1i i v g y =，7117i i v v ==∑参考公式：对于一组数据1122,),,(,)n n x v x v ，其回归直线ˆˆˆv a bx=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆ,ni i i nii x v nxvbxnx==-=-∑∑ˆˆa v bx=-. 26．2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的COVID -9病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为12，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关. （1）求一个接种周期内出现抗体次数k 的分布列；（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X 元；②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y 元. 比较随机变量X 和Y 的数学期望的大小.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】1(80120)(80)(120)0.12P X P X P X -<<≤=≥== ,选B.2．D解析：D 【分析】根据题意，两人投中次数相等：两人两次都未投中，两人各投中一次，和两人两次都投中，进而根据相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，得到答案． 【详解】由题意，甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，则甲、乙两人各投2次： 两人两次都未投中的概率：()()22010.610.70.0144P =-⨯-=；两人各投中一次的概率：()()111220.610.60.710.70.2016P C C =⨯⨯-⨯⨯⨯-=；两人两次都投中的概率：2220.60.70.1764P =⨯=.所以，两人投中次数相等的概率为：0120.3924P P P P =++=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题.3．A解析：A 【分析】比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的情况有3种：A 全胜；A 三胜一负、A 第三局胜，另外三局一胜两负.利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的情况有3种：A 全胜；A 三胜一负、A 第三局胜，另外三局一胜两负.所以，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为43232432212122033333327P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅+⋅⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查概率的求解，考查独立重复试验概率的求解，考查计算能力，属于中等题.4．C解析：C 【分析】根据题意，质点P 移动六次后位于点(4,2)，在移动过程中向右移动4次向上移动2次，即6次独立重复试验中恰有4次发生，由其公式计算可得答案． 【详解】根据题意，易得位于坐标原点的质点P 移动六次后位于点(2,4)，在移动过程中向上移动4次向右移动2次，则其概率为4262466111222C P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==. 故选：C ． 【点睛】本题考查二项分布与n 次独立重复试验的模型，考查对基础知识的理解和掌握，考查分析和计算能力，属于常考题.5．C解析：C【分析】根据二项分布的期望和方差公式，可知()110E p ξ=，()210E q ξ=，那么()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >，并且()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，则()()12D D ξξ>等价于()()101101pp q q -<-，即()()11p p q q -<-，分情况讨论，看这两个条件是否可以互相推出即得. 【详解】由题得，()110E p ξ=，()210E q ξ=，故()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >. 又()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，故()()12D D ξξ>等价于()()101101p p q q -<-，即()()11p p q q -<-.若p q >，因为14pq >，说明12p >，且()()211124p p p p pq +-⎛⎫-<=< ⎪⎝⎭，故1p q -<，故有1122p q ->-.若12q <，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若12q ≥，则自然有11022p q ->->，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()()11p p q q -<-.若()()11p p q q -<-，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()()1114p p q q pq -<-≤<，1p q -<，即1122p q ->-.若102p -≤，则与221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矛盾，故12p >，若12q ≤，则自然有p q >，若12q >，则由221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知1122p q ->-，即p q >. 所以是充要条件.故选：C 【点睛】本题综合的考查了离散型随机变量期望方差和不等式，属于中档题.6．D解析：D 【分析】对三个命题分别判断真假，即可得出结论. 【详解】对于（1），18的二项展开式的通项为1815163621818rrrr rC x x C x ---⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当0r =、6、12、18时，为有理项，共有4个有理项，故（1）正确； 对于（2），事件A 、B 满足()0.15P A =，()0.60P B =，()0.09P AB =， 所以()()()0.150.600.09P AB P A P B =⨯==，满足A 、B 为相互独立事件，故（2）正确；对于（3），当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近于3， 所以，总体均值为2，总体方差为3时，没有数据超过7，故（3）正确. 故选：D. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查分析法与基本运算能力，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．B解析：B 【分析】分别计算()E ξ和()D ξ的表达式，再判断单调性. 【详解】()00.51(0.5)20.5E x x x ξ=⨯+⨯-+=+,当x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时, ()E ξ增大()222210.5(0.50)(0.5)(0.51)(0.52)24D x x x x x x x ξ=⨯+-+-⨯+-++-=-++ ()25(1)4D x ξ=--+，当x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时, ()D ξ增大 故答案选B 【点睛】本题考查了()E ξ和()D ξ的计算，函数的单调性，属于综合题型.8．C解析：C 【分析】由先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，得出事件A “第一次正面向上”，共有4种不同的结果，再由事件A “第一次正面向上”且事件B “后两次均反面向上”，仅有1中结果，即可求解. 【详解】由题意，先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，共有2228⨯⨯=种不同的结果， 其中事件A “第一次正面向上”，共有4种不同的结果，又由事件A “第一次正面向上”且事件B “后两次均反面向上”，仅有1中结果，所以()()1(|)4P AB P B A P A ==，故选C. 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，准确得出事件A 和事件A B 所含基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算能力，属于基础题.9．C解析：C 【分析】根据超几何分布的概率公式计算各种可能的概率，得出结果 【详解】由题意，知X 取0，1，2，X 服从超几何分布， 它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X ＝0)＝27210715C C =，P(X ＝1)＝1173210715C C C =⋅，P(X ＝2)＝23210115C C =， 于是P(X<2)＝P(X ＝0)＋P(X ＝1)＝7714151515+= 故选C 【点睛】本题主要考查了运用超几何分布求概率，分别求出满足题意的情况，然后相加，属于中档题．10．C解析：C 【解析】1111632p =--=，111()0223623E X a a =⨯+⨯+⨯=⇒=∴222111()(02)(22)(32)1623D X =-⨯+-⨯+-⨯=∴2(23)2()4D X D X -==点晴：本题考查的是离散型随机变量的期望,方差和分布列中各个概率之间的关系.先根据概率之和为1，求出p 的值，再根据数学期望公式，求出a 的值，再根据方差公式求出D （X ），继而求出D （2X-3）．解决此类问题的关键是熟练掌握离散型随机变量的分布列与数学期望．11．B解析：B 【解析】分析：根据3σ原则判断.详解：因为服从正态分布()10,0.04N ，所以10,0.2(100.23,100.23)(9.4,10.6)x μσ==∴∈-⨯+⨯= 所以上午生产情况正常，下午生产情况异常, 选B.点睛：利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.12．B解析：B 【详解】由题意，P （A ）=222310C C +=410，P （AB ）=2310C =310， ∴P （B|A ）=()AB A)P P （=34， 故选B ．二、填空题13．【分析】根据题意求出家快递公司进行排名与测试之前的排名比较出现家公司排名不变的概率根据题意满足二项分布根据二项分布概率计算即可【详解】解：首先在一轮测试中家快递公司进行排名与测试之前的排名比较出现家解析：572【分析】根据题意求出5家快递公司进行排名与测试之前的排名比较出现2家公司排名不变的概率，根据题意满足二项分布，根据二项分布概率计算即可. 【详解】解：首先，在一轮测试中5家快递公司进行排名与测试之前的排名比较出现2家公司排名不变的概率为255522011206C A ⨯==， 其次，3轮测试每次发生上述情形的概率均为16P =, 故3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为223155()6672C ⨯⨯=. 故答案为：572. 【点睛】独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略：（1）在求n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率时，首先要确定好n 和k 的值，再准确利用公式求概率；（2）在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n 和变量的概率，求得概率.14．【分析】首先对事件进行分类分成女生0分男生6分或女生2分男生4分或女生4分男生2分女生的概率可以按照超几何概率求解男生按照独立重复求解概率【详解】依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A 则可分为 解析：43120【分析】首先对事件进行分类，分成女生0分，男生6分，或女生2分，男生4分，或女生4分，男生2分，女生的概率可以按照超几何概率求解，男生按照独立重复求解概率. 【详解】依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A ，则可分为下列三类：女生得0分男生得6分，设为事件1A ；女生得2分男生得4分，设为事件2A ；女生得4分男生得2分，设为事件3A ，则：()32321326112120C P A C C ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭， ()211224232611241221205C C P A C C ⎛⎫⎛⎫=⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22143326111832212020C P A C C ⎛⎫⎛⎫=⨯== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()()12343120P A P A P A P A =++=. 故答案为：43120【点睛】本题考查概率的应用问题，重点考查分类讨论，转化与化归的思想，熟练掌握概率类型，属于中档题型.本题的关键是对事件分类.15．【分析】根据次独立重复试验的概率公式进行求解即可【详解】解：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验这是次独立重复试验故即有123456故答案为：【点睛】本题主要考查次独立重复试验的概率的计算根据 解析：20243【分析】根据n 次独立重复试验的概率公式进行求解即可． 【详解】解：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是6次独立重复试验， 故1~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．即有6612()()()33k kk P X k C -==⨯，0k =，1，2，3，4，5，6．42641220(4)()()33243P X C ∴==⨯=．故答案为：20243【点睛】本题主要考查n 次独立重复试验的概率的计算，根据题意确实是6次独立重复试验，是解决本题的关键，属于中档题．16．【分析】利用方差公式即可得出答案【详解】结合方差【点睛】本题考查了方差计算公式记住即可 解析：916【分析】利用方差公式()D x npq =，即可得出答案． 【详解】结合方差()31934416D x npq ==⋅⋅=． 【点睛】本题考查了方差计算公式，记住()D x npq =，即可．17．【分析】结合题意分别计算对应的概率计算期望即可【详解】列表：X 0 1 2 P 所以【点睛】本道题考查了数学期望计算方法结合题意即可属于中等难度的题解析：56【分析】结合题意，分别计算0,1,2x =对应的概率，计算期望，即可． 【详解】()112511665018C C P x C C ===，()111452116611118C C C P x C C +===，()11411166129C C P x C C === 列表：所以012181896EX =⨯+⨯+⨯= 【点睛】本道题考查了数学期望计算方法，结合题意，即可，属于中等难度的题．18．【解析】试题分析：的可能取值是012345 0 1 2 3 4 5 考点：期望方差的计算解析：510 , 39【解析】试题分析：ξ的可能取值是0,1,2,3,4,5,012345．考点：期望、方差的计算．19．552【解析】分析：由次独立重复试验的概率公式计算出射中01234次的概率得到得分的分布列再由期望公式得期望详解：设该运动员中弹数为ξ得分数为η则P(ξ=4)==01296P(ξ=3)==03456解析：552.【解析】分析：由n次独立重复试验的概率公式计算出射中0，1，2，3，4次的概率得到得分的分布列，再由期望公式得期望．详解：设该运动员中弹数为ξ,得分数为η,则P(ξ=4)=435⎛⎫⎪⎝⎭=0.129 6,P(ξ=3)=33432C?·55⎛⎫⎪⎝⎭=0.345 6,P(ξ=2)=222432C?·55⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=0.345 6,P(ξ=1)=31432C?·55⎛⎫⎪⎝⎭=0.153 6,P(ξ=0)=425⎛⎫⎪⎝⎭=0.025 6.由题意可知P (η)=P (ξ),所以E (η)=100×0.129 6+65×0.345 6+40×0.345 6+15×0.153 6+0×0.025 6=51.552.点睛：本题考查随机变量的分布列与期望．解题时关键是理解射击时命中n 次就是n 次独立重复试验，由此可由概率公式计算出概率，从而可得得分的分布列，由分布列的期望公式计算出期望．20．【分析】计算出每人的稿件能被录用的概率然后利用独立重复试验的概率公式可求得结果【详解】记事件甲的稿件被录用则因此甲乙两人分别向该出版社投稿篇则两人中恰有人的稿件被录用的概率为故答案为：【点睛】思路点 解析：3572【分析】计算出每人的稿件能被录用的概率，然后利用独立重复试验的概率公式可求得结果. 【详解】记事件:A 甲的稿件被录用，则()2212111522312P A C ⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因此，甲、乙两人分别向该出版社投稿1篇，则两人中恰有1人的稿件被录用的概率为125735121272P C =⋅⋅=. 故答案为：3572. 【点睛】思路点睛：独立重复试验概率求法的三个步骤：（1）判断：依据n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验； （2）分拆：判断所求事件是否需要分拆；（3）计算：就每个事件依据n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算.三、解答题21．（1）ˆ8124yx =-+；（2）达到“理想状态”；（3）2. 【分析】（1）请根据表中数据计算x 、y ，求出回归系数，写出回归直线方程；（2）利用回归方程计算6x =时ˆy的值，比较即可得出结论； （3）根据正态分布的性质，结合()2140.9544P X <<=即可得答案. 【详解】（1）请根据表中所给前5个月的数据，计算1(12345)35x =⨯++++=， 1(1201051008590)1005y =⨯++++=；12222221()()(2)20(1)5001(15)2(10)ˆ8(2)(1)012()nii i nii xx y y bxx ==---⨯+-⨯+⨯+⨯-+⨯-===--+-+++-∑∑，ˆˆ100(8)3124ay bx =-=--⨯=； y ∴与x 之间的回归直线方程ˆ8124y x =-+；（2）由（1）知ˆ8124yx =-+，当6x =时，ˆ8612476y =-⨯+=； 且807645-=<，6∴月份该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”；（3）因为X 服从正态分布()~8,9X N ， 所以()2140.9544P X <<=， 该月没能在14天内缴纳人数为10.95449022-⨯=， 【点睛】方法点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,nnii ii i x y x x y ==∑∑的值；③计算回归系数,a b ；④写出回归直线方程为ˆy bx a=+. 22．（1）710p =；（2）分布列见解析，()116E ξ= 【分析】（1）根据分层抽样的比例关系得到人数，再计算概率得到答案.（2）ξ的可能取值为0,1,2,3,4，计算概率得到分布列，再计算数列期望得到答案. 【详解】（1）根据茎叶图：“高个子”有12个，“非高个子”有18个， 故抽取的“高个子”为125230⨯=个，抽取的“非高个子”有3个. 至少有一人是“高个子”的概率为232537111010C p C =-=-=. （2）身高180cm 以上（包括180cm ）的志愿者中选出男，女各有3人和2人， 故ξ的可能取值为0,1,2,3,4， 故()1113206p ξ==⨯=，()11111321323p ξ=⨯+⨯==， ()1113226p ξ==⨯=， ()1113236p ξ==⨯=，()1113246p ξ==⨯=.故分布列为：故()01234636666E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了分层抽样，概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 23．（1）149204（2）（i ）3173人（ii ）75 【分析】（1）利用对立事件公式结合古典概型求解（2）（i ）先求平均数185μ=，结合σ公式求得()10.68271980.158652P X ->==，再求人数；（ii ）先由正态分布得日组装个数为185以上的概率为0.5.设三人中日组装个数超过185个的人数为ξ，增加的日工资总额为η，得到ξ服从二项分布，由50ηξ=求得期望【详解】（1）设至少有1人日组装个数少于165为事件A ，则()3123181491204C P A C =-=，（2）1606170121803419030200102108185100X ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（个）又2169σ=，所以13σ=，所以185μ=，13σ=， 所以198μσ+=.（i ）()10.68271980.158652P X ->==， 所以日组装个数超过198个的人数为0.15865200003173⨯=（人）（ii ）由正态分布得，日组装个数为185以上的概率为0.5.设这三人中日组装个数超过185个的人数为ξ，这三人增加的日工资总额为η，则50ηξ=，且()~3,0.5B ξ，所以()30.5 1.5E ξ=⨯=，所以()()5075E E ηξ==. 【点睛】本题考查古典概型，考查正态分布的概率，考查二项分布，考查转化化归能力，其中确定人数与工资总额的函数关系是关键，是中档题 24．（1）3536；（2）见解析 【分析】(1)结合对立事件的概率关系可求出至少一项技术指标达标的概率； (2)由题意知，2~4,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，从而可求出()0P ξ=，(1)P ξ=，()2P ξ=，()3P ξ=，()4P ξ=的值，从而可求出分布列.【详解】(1)设:M 一个工艺品经过检测至少一项技术指标达标，则38()1-11493635P M ⎛⎫⎛⎫=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)依题意知2~4,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则411(0)381P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，1314218(1)3381P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()222421823327P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()334213233381P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()42164381P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭分布列为：本题考查了独立事件的概率，考查了离散型随机变量的分布列求解.本题关键是求出ξ每种可能取值下的概率.求离散型随机变量的分布列时，第一步写出变量的可能取值，第二步求出每种取值下的概率，第三步写出分布列.25．（1）x y c d =⋅适宜（2）23.210320y =⨯=，活动推出第8天使用刷脸支付的人次为320（3）平均花费为251150（元） 【分析】（1）直接根据统计数据表判断，x y c d =⋅适宜；（2）把x y c d =⋅，两边同时取常用对数，1gy 11gc gd x =+⋅，则lg y 与x 两者线性相关，根据已知条件求出lg y 关与x 的线性回归方程，进而转化为y 关与x 的线性回归方程；（3）记购买一瓶该饮料的花费为Z （元），则Z 的取值可能为：2,1.8,1.6,1.4，求出Z 的分布，进而求出Z 的期望. 【详解】（1）直接根据统计数据表判断，x y c d =⋅适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型；。

玉El—中“STT”问题导学型学习模式《Unit 5 First aid》单元回归评价单设计人：彭春玲班级：_________ 组名: __________ 姓名: ___________ 时间: ____________知识网络建构1.掌握基本的省略类型和规则2.so和not的替代功能3.识记一些固定搭配重点知识的生成在英文写作中，节约用词是一条重要的修辞原则，只要不损害语法结构或产生歧义，能省略就应省略。

有谚语为证:"Brevity is the soul of wit.(言以简为贵)”可以省略句子的一个或儿个成份。

例如：1・(I) beg your pardon・(It) sounds like a good idea・2.(Is) anyone here?3.——Where has Mr. Smith gone? 一-Sorry, I dorf t know (where he has gone).4.-一What do you want? 一-(I want) orange juice, please・5.■—Would you like to go with me? -一Yes, Fd like to (go with you).6.He would be happy once (he is) invited・7.—What made her so upset? —Losing her valuable necklace (made her soupset).8.——Where did you meet her father?■一It was in the office where he worked (that I met him).经常考查的省略现象和原则如下：考点1 •不定式符号to的省略在see, watch, hear, feel, observe, notice, listen to 等感官动词或短语及make, have, let 等使役动词之后的“宾语+不定式作宾语补足语”结构中，不定式前省略to,若变被动还原tOo1.The boss always makes his workers do much work.被动句________________________________________________2.The witness saw the suspect come into the building.被动句__________________________________________________考点2•不定式后动词的省略动词love, like, mean, want, expect, hope, intend, plan, refuse, tell, ask, advise, wish, 以及be happy/glad/eager/ready/wi 1 ling等后面接不定式时，为了避免重复，常省略与上文表达相同意思的动词，只保留不定式符号to,但to后有be或have (完成时)则不可省。

第1课时 组合与组合数公式1.理解组合的定义，正确相识组合与排列的区分与联系．2.理解排列数与组合数之间的联系，驾驭组合数公式，能运用组合数公式进行计算．3.会解决一些简洁的组合问题．,1．组合的定义一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．组合的概念中有两个要点：(1)取出元素，且要求n 个元素是不同的；(2)“只取不排”，即取出的m 个元素与依次无关，无序性是组合的特征性质． 2．组合数的概念、公式、性质组合数定义 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的全部不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数表示法C mn组合数 公式 乘积式 C m n＝A mn A m m ＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！阶乘式C mn ＝n ！m ！（n －m ）！性质 C m n ＝C n －mn ，C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n备注①n ，m ∈N *且m ≤n ；②规定：C 0n ＝1推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a 1，a 2，a 3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，全部组合的个数为C 23.( ) (2)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得C 24个积．( ) (3)C 35＝5×4×3＝60.( ) (4)C 2 0162 017＝C 12 017＝2 017.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ 若A 3n ＝8C 2n ，则n 的值为( )A．6 B．7C．8 D．9答案：A计算：(1)C37＝________；(2)C1820＝________．答案：(1)35 (2)190甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价有________种．解析：车票的票价有C23＝3种．答案：3探究点1 组合概念的理解推断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？(3)5个人规定相互通话一次，共通了多少次电话？(4)5个人相互写一封信，共写了多少封信？【解】(1)当取出3个数字后，假如变更3个数字的依次，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的支配依次有关，是排列问题．(2)取出3个数字之后，无论怎样变更这3个数字的依次，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的支配依次无关，是组合问题．(3)甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无依次区分，为组合问题．(4)发信人与收信人是有区分的，是排列问题．推断一个问题是否是组合问题的方法技巧区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看取出元素后是按依次排列还是无序地组合在一起．区分有无依次的方法是把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中随意两个元素的位置，看是否会产生新的变更．若有新变更，即说明有依次，是排列问题；若无新变更，即说明无依次，是组合问题．推断下列问题是排列问题还是组合问题：(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必需分完，有多少种安排方法？(2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？(3)从9名学生中选出4名参与一个联欢会，有多少种不同的选法？解：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的安排方法取决于从5人中选择哪4人，这和依次无关．(2)是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的． (3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不须要排列他们的依次． 探究点2 组合数公式、性质的应用计算下列各式的值． (1)3C 38－2C 25；(2)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310； (3)C 5－nn ＋C 9－nn ＋1.【解】 (1)3C 38－2C 25＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148.(2)利用组合数的性质C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n ， 则C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310 ＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 310－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 310－C 44＝ …＝C 411－1＝329.(3)⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5. 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.[变条件]若将本例(2)变为：C 55＋C 56＋C 57＋C 58＋C 59＋C 510，如何求解？ 解：原式＝(C 66＋C 56)＋C 57＋C 58＋C 59＋C 510 ＝(C 67＋C 57)＋C 58＋C 59＋C 510＝… ＝C 610＋C 510＝C 611＝C 511 ＝11×10×9×8×75×4×3×2×1＝462.关于组合数公式的选取技巧(1)涉及详细数字的可以干脆用nn －mC mn －1＝nn －m·（n －1）！m ！（n －1－m ）！＝n ！m ！（n －m ）！＝C mn 进行计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！（n －m ）！计算．(3)计算时应留意利用组合数的性质C mn ＝C n －mn 简化运算．1.C 58＋C 98100C 77＝________．解析：C 58＋C 98100C 77＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006. 答案：5 0062．若C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363，则正整数n ＝________． 解析：由C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363， 得1＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364， 即C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364. 又C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1，则C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 34＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 35＋C 25＋C 26＋…＋C 2n ＝…＝C 3n ＋1，所以C 3n ＋1＝364，化简可得（n ＋1）n （n －1）3×2×1＝364，又n 是正整数，解得n ＝13. 答案：133．解方程：C 3n ＋618＝C 4n －218.解：由原方程及组合数性质可知， 3n ＋6＝4n －2，或3n ＋6＝18－(4n －2)， 所以n ＝2，或n ＝8，而当n ＝8时，3n ＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去． 因此n ＝2.探究点3 简洁的组合问题现有10名老师，其中男老师6名，女老师4名． (1)现要从中选2名去参与会议有多少种不同的选法？(2)选出2名男老师或2名女老师参与会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女老师各2名去参与会议，有多少种不同的选法？【解】 (1)从10名老师中选2名去参与会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45种．(2)可把问题分两类状况：第1类，选出的2名是男老师有C26种方法；第2类，选出的2名是女老师有C24种方法．依据分类加法计数原理，共有C26＋C24＝15＋6＝21种不同选法．(3)从6名男老师中选2名的选法有C26种，从4名女老师中选2名的选法有C24种，依据分步乘法计数原理，共有不同的选法C26×C24＝6×52×1×4×32×1＝90种．[变问法]本例其他条件不变，问题变为从中选2名老师参与会议，至少有1名男老师的选法是多少？最多有1名男老师的选法又是多少？解：至少有1名男老师可分两类：1男1女有C16C14种，2男0女有C26种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C26＝39种．最多有1名男老师包括两类：1男1女有C16C14种，0男2女有C24种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C24＝30种．解简洁的组合应用题的策略(1)解简洁的组合应用题时，首先要推断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区分在于排列问题与取出元素之间的依次有关，而组合问题与取出元素的依次无关．(2)要留意两个基本原理的运用，即分类与分步的敏捷运用．[留意] 在分类和分步时，肯定留意有无重复或遗漏．某次足球竞赛共12支球队参与，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环竞赛，以积分及净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组其次名，乙组第一名与甲组其次名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参与决赛一场，决出输赢．问全部赛程共需竞赛多少场？解：小组赛中每组6队进行单循环竞赛，就是每组6支球队的任两支球队都要竞赛一次，所以小组赛共要竞赛2C26＝30(场)．半决赛中甲组第一名与乙组其次名，乙组第一名与甲组其次名主客场各赛一场，所以半决赛共要竞赛2A22＝4(场)．决赛只需竞赛1场，即可决出输赢．所以全部赛程共需竞赛30＋4＋1＝35(场)．1．下面几个问题属于组合的是( ) ①由1，2，3，4构成双元素集合；②5支球队进行单循环足球竞赛的分组状况； ③由1，2，3构成两位数的方法；④由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法． A ．①③ B ．②④ C ．①②D ．①②④解析：选 C.由集合元素的无序性可知①属于组合问题；因为每两个球队竞赛一次，并不须要考虑谁先谁后，没有依次的区分，故②是组合问题；③④中两位数依次不同数字不同为排列问题．2．若C n12＝C 2n －312，则n 等于( ) A ．3B ．5C ．3或5D ．15解析：选C.由组合数的性质得n ＝2n －3或n ＋2n －3＝12，解得n ＝3或n ＝5，故选C. 3．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C 410＝210种分法． 答案：2104．计算下列各式的值． (1)C 98100＋C 199200； (2)C 37＋C 47＋C 58＋C 69； (3)C 38－n3n ＋C 3n21＋n .解：(1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992×1＋200＝5 150.(2)C 37＋C 47＋C 58＋C 69＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210.(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧1≤38－n ≤3n ，1≤3n ≤21＋n ，即⎩⎪⎨⎪⎧192≤n ≤37，13≤n ≤212，所以192≤n ≤212.因为n ∈N *，所以n ＝10，所以C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝466.学问结构深化拓展1.排列与组合的相同点与不同点2.组合数的两特性质及其关注点 性质1：C mn ＝C n －mn .它反映了组合数的对称性．若m >n2，通常不干脆计算C mn ，而改为计算C n －mn ，这样可以削减计算量.性质2：C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .特点是左端下标为n ＋1，右端下标都为n ，相差1；左端的上标与右端上标的一个一样，右端的另一个上标比它们少1.要留意性质C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n 的顺用、逆用、变形用.顺用是将一个组合数拆成两个；逆用则是“合二为一”；变形式C m －1n ＝C mn ＋1－C mn 的运用，为某些项相互抵消供应了便利，在解题中要留意敏捷运用.名称 排列组合 相同点都是从n 个不同元素中取m (m ≤n )个元素，元素无重复 不同点1.排列与依次有关；2．两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列依次完全相同1.组合与依次无关； 2．两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同, [A 基础达标]1．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( ) A．72种B．84种C．120种D．168种解析：选C.需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空当中，所以关灯方案共有C310＝120(种)．2．方程C x28＝C3x－828的解为( )A．4或9 B．4C．9 D．5解析：选A.当x＝3x－8时，解得x＝4；当28－x＝3x－8时，解得x＝9.3．将2名女老师，4名男老师分成2个小组，分别支配到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女老师和2名男老师组成，则不同的支配方案共有( )A．24种B．12种C．10种D．9种解析：选B.第一步，为甲地选1名女老师，有C12＝2种选法；其次步，为甲地选2名男老师，有C24＝6种选法；第三步，剩下的3名老师到乙地，故不同的支配方案共有2×6×1＝12种．故选B.4．化简C9798＋2C9698＋C9598等于( )A．C9799B．C97100C．C9899D．C98100解析：选B.由组合数的性质知，C9798＋2C9698＋C9598＝(C9798＋C9698)＋(C9698＋C9598)＝C9799＋C9699＝C97100.5．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人解析：选A.设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2n C18－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．故选A.6．若A3n＝6C4n，则n的值为________．解析：由题意知n(n－1)(n－2)＝6·n （n －1）（n －2）（n －3）4×3×2×1，化简得n －34＝1，所以n ＝7.答案：77．某单位需同时参与甲、乙、丙三个会议，甲需2人参与，乙、丙各需1人参与，从10人中选派4人参与这三个会议，不同的支配方法有________种．解析：从10人中选派4人有C 410种方法，对选出的4人详细支配会议有C 24C 12种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有C 410C 24C 12＝2 520种． 答案：2 5208．若C m －1n ∶C mn ∶C m ＋1n ＝3∶4∶5，则n －m ＝________．解析：由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧C m －1n C mn ＝34，Cm n Cm ＋1n＝45，由组合数公式得⎩⎪⎨⎪⎧3n －7m ＋3＝0，9m －4n ＋5＝0，解得：n ＝62，m ＝27.n －m ＝62－27＝35. 答案：359．推断下列问题是否为组合问题，若是组合则表示出相应结果．(1)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法？(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列，构成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？ 解：(1)与依次无关是组合问题，共有C 510种不同分法． (2)大小依次已确定，故是组合问题，构成三位数共有C 39个． (3)握手无先后依次，故是组合问题，共需握手C 210次． 10．(1)解方程：C x －2x ＋2＋C x －3x ＋2＝110A 3x ＋3； (2)解不等式：1C 3x －1C 4x ＜2C 5x.解：(1)原方程可化为C x －2x ＋3＝110A 3x ＋3，即C 5x ＋3＝110A 3x ＋3，所以（x ＋3）！5！（x －2）！＝（x ＋3）！10·x ！，所以1120（x －2）！＝110·x （x －1）·（x －2）！，所以x 2－x －12＝0，解得x ＝4或x ＝－3，经检验知，x ＝4是原方程的解．(2)通过将原不等式化简可以得到6x （x －1）（x －2）－24x （x －1）（x －2）（x －3）＜240x （x －1）（x －2）（x －3）（x －4）. 由x ≥5，得x 2－11x －12＜0，解得5≤x ＜12.因为x ∈N *，所以x ∈{5，6，7，8，9，10，11}．[B 实力提升]11．式子C m ＋210＋C 17－m 10(m ∈N *)的值的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2≤10，17－m ≤10，得7≤m ≤8， 所以m ＝7或8.当m ＝7时，原式＝C 910＋C 1010.当m ＝8时，原式＝C 1010＋C 910，故原式的值只有一个．12．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有( )A ．35种B ．70种C ．30种D ．65种 解析：选B.先从7人中选出3人有C 37＝35种状况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种状况，故不同的调整方案种数为2C 37＝70.13．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C 38＝8×7×63×2×1＝56. (2)从口袋内取出3个球，有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 27＝7×62×1＝21. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝错误!＝35.14．(选做题)某足球赛共32支球队有幸参与，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队再分成8个小组决出8强，8强再分成4个小组决出4强，4强再分成2个小组决出2强，最终决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次足球赛共进行了多少场竞赛？解：可分为如下几类竞赛：(1)小组循环赛：每组有C24＝6场，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，依据赛制规则，16强分成8组，每组两个队竞赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，依据赛制规则，8强再分成4组，每组两个队竞赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛，4强再分成2组，每组两个队竞赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强竞赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队竞赛1场，决出第三、四名，共有2场．综上，共有48＋8＋4＋2＋2＝64场竞赛．。

学习资料§1 回归分析授课提示：对应学生用书第1页[自主梳理］一、线性回归方程y ＝a ＋bx 的求法 1．平均值的符号表示 假设样本点为（x 1，y 1)，（x 2，y 2），…，(x n ，y n )，在统计上，用错误!表示一组数据x 1，x 2,…，x n 的平均值，即错误!＝________＝________；用错误!表示一组数据y 1，y 2，…,y n 的平均值，即错误!＝________＝________。

2．参数a 、b 的求法 b ＝l xyl xx＝______________＝______________，a ＝______________。

二、相关系数1．相关系数r 的计算假设两个随机变量的数据分别为(x 1，y 1），(x 2，y 2），…，（x n ，,y n )，则变量间线性相关系数r ＝错误!＝______________＝______________。

2．相关系数r 的性质（1)r 的取值范围为________；(2）｜r ｜值越大，误差Q 越小，变量之间的线性相关程度越________； (3）｜r |值越接近0，Q 越大，变量之间的线性相关程度越________． 3．相关性的分类(1)当________时,两个变量正相关； （2)当________时，两个变量负相关； （3)当________时，两个变量线性不相关． 曲线方程 曲线图形 变换公式变换后的线性函数y ＝ax bc ＝ln a v ＝ln x u ＝ln y ______y ＝a e bxc ＝ln a u ＝ln y______y ＝a e 错误!c ＝ln a v ＝错误! u ＝ln y y ＝a ＋ ______b ln xv ＝ln x u ＝y______1．下列变量是相关关系的是（ ） A ．人的身高与视力B ．圆心角的大小与其所对的圆弧长C．直线上某点的横坐标与纵坐标D．人的年龄与身高2．已知回归方程y＝1.5x－15，则下面正确的是(）A。

一、选择题1．已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为800元，则所需检测费的均值为（ ） A ．2800元B ．2880元C ．3500元D ．3600元2．已知19,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()E X 、()D X 的值依次为（ ）. A ．3，2B ．2，3C ．6，2D ．2，63．从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为ξ，则数学期望E ξ=（ ） A ．1B ．45C ．75D ．24．先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，落在水平桌面上， 设事件A 为“第一次正面向上”，事件B 为“后两次均反面向上”，则概率(|)P B A =（ ） A ．12B ．13 C ．14 D ．385．抛掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的概率( ) A ．38B ．12C ．516D ．7166．将一枚质地均匀的硬币抛掷四次，设X 为正面向上的次数，则()03P X <<等于（ ） A ．18B ．38C ．58D ．787．某工厂生产的零件外直径（单位：cm ）服从正态分布()10,0.04N ，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75cm 和9.35cm ，则可认为（ ）A ．上午生产情况异常，下午生产情况正常B ．上午生产情况正常，下午生产情况异常C ．上、下午生产情况均正常D ．上、下午生产情况均异常8．根据以往数据统计,某酒店一商务房间1天有客人入住的概率为45，连续2天有客人入住的概率为35,在该房间第一天有客人入住的条件下,第二天也有客人入住的概率为（ ） A ．13B ．12C ．35D ．349．口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为（）．A．80243B．100243C．80729D．10072910．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落A袋中的概率为（）．A．18B．14C．38D．3411．设X为随机变量，且1:,3X B n⎛⎫⎪⎝⎭，若随机变量X的方差()43D X=，则()2P X== ( )A．4729B．16C．20243D．8024312．已知随机变量X的分布列为则E(6X＋8)＝()A．13.2 B．21.2 C．20.2 D．22.2二、填空题13．中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，210）.且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过1000小时的平均值为______台.14．数轴上有一质点，从原点开始每次等可能的向左或向右移动一个单位，则移动4次后，该质点的坐标为2的概率为________.15．某人乘车从A 地到B 地，所需时间（分钟）服从正态分布N （30，100），求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为__________．参考数据：若2~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．16．设在15个相同类型的产品中有2个是次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不放回，若以ξ表示取出次品的个数，则()E ξ=________．17．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若(3)0.0442P ξ>=，则(13)P ξ≤≤=________．18．（理）设随机变量ξ的概率分布律如下表所示：x0 1 2()P x ξ= abc其中a ，b ，c 成等差数列，若随机变量ξ的均值为43，则ξ的方差为__________． 19．已知随机变量ξ所有的取值为1，2，3，对应的概率依次为1p 、2p 、1p ，若随机变量ξ的方差12D ξ=，则12p p +的值是 _________. 20．1000名学生成绩近似服从正态分布N (100,100)，则成绩在120分以上的考生人数约为_________.[注：正态总体()2,N μσ在区间(),,μσμσ-+()()2,2,3,3μσμσμσμσ-+-+内取值的概率分别为0.683, 0.954, 0.997]三、解答题21．某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒预防知识竞答.竞答分为必答题（共5题）和选答题（共2题）两部分.每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响.已知甲同学答对每道必答题的概率为45，答对每道选答题的概率为25.（1）求甲恰好答对4道必答题的概率；（2）在选答阶段，若选择回答且答对奖励5分，答错扣2分，选择放弃回答得0分.已知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为12，试求甲同学在选答题阶段，得分X 的分布列.22．为加快推进我区城乡绿化步伐，植树节之际，决定组织开展职工义务植树活动，某单位一办公室现安排4个人去参加植树活动，该活动有甲､乙两个地点可供选择.约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个地点植树，掷出点数为1或2的人去甲地，掷出点数大于2的人去乙地.（1）求这4个人中恰有2人去甲地的概率；（2）求这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数的概率；（3）用,X Y 分别表示这4个人中去甲､乙两地的人数，记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望()E ξ.23．国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm ）在区间[]165,175内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[)165,167，[)167,169，[)169,171，[)171,173，[]173,175五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X （cm ）近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）求()167.86174.28P X <<；（ii ）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率.参考数据：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=11510.7≈，100.95440.63≈，90.97720.81≈，100.97720.79≈.24．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研究新产品成功的概率分别为34和35，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（1）求恰好有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A研发成功，预计企业可获得利润120万元，不成功则会亏损50万元；若新产品B研发成功，企业可获得利润100万元，不成功则会亏损40万元，求该企业获利ξ万元的分布列和期望．25．甲、乙两名篮球运动员，甲投篮一次命中的概率为23，乙投篮一次命中的概率为12，若甲、乙各投篮三次，设X为甲、乙投篮命中的次数的差的绝对值，其中甲、乙两人投篮是否命中相互没有影响.（1）若甲、乙第一次投篮都命中，求甲获胜（甲投篮命中数比乙多）的概率；（2）求X的分布列及数学期望.26．已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，现有A，B，C三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A，B，C三位学生材料初审合格的概率分别是13，12，14；面试合格的概率分别是12，13，23.（1）求A，B两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X为A，B，C三位学生获得该高校综合评价录取资格的人数，求X的概率分布与数学期望.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】设检测机器所需检测费为X，则X的可能取值为2000，3000，4000，分别求出相应的概率，由此能求出所需检测费的均值.【详解】设检测机器所需检测费为X，则X的可能取值为1600，2400，3200，211(1600)5410P X==⨯=，2313213213(2400)54354354310P X==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，133(3200)110105P X ==--=， 则133()160024003200280010105E X =⨯+⨯+⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查了独立事件概率的求法，离散型随机变量的数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式，是中档题.2．A解析：A 【分析】直接利用二项分布公式计算得到答案. 【详解】19,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()=⨯=1933E X ，()1191233D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查了二项分布，意在考查学生对于二项分布的理解.3．A解析：A 【解析】 【分析】随机变量随机ξ的所有可能的取值为0，1，2．分别求出其对应的概率，列出分布列，求期望即可. 【详解】随机变量ξ的所有可能的取值为0，1，2，P （ξ=0）30423615C C C ==,()214236315C C P C ξ===, ()124236125C C P C ξ===, 所有随机变量ξ的分布列为：所以ξ的期望()0121555E ξ=⨯+⨯+⨯= ,故选A ． 【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．4．C解析：C 【分析】由先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，得出事件A “第一次正面向上”，共有4种不同的结果，再由事件A “第一次正面向上”且事件B “后两次均反面向上”，仅有1中结果，即可求解. 【详解】由题意，先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，共有2228⨯⨯=种不同的结果， 其中事件A “第一次正面向上”，共有4种不同的结果，又由事件A “第一次正面向上”且事件B “后两次均反面向上”，仅有1中结果， 所以()()1(|)4P AB P B A P A ==，故选C. 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，准确得出事件A 和事件A B 所含基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算能力，属于基础题.5．C解析：C 【分析】掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的次数包含出现4次正面和出现3次正面一次反面，由此能求出出现正面的次数多于反面的次数的概率． 【详解】掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的次数包含出现4次正面和出现3次正面一次反面，∴出现正面的次数多于反面的次数的概率：4433441115()()22216p C C =+⋅=． 故选C ． 【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率计算公式的合理运用．6．C解析：C 【解析】分析：先确定随机变量得取法12X =，，再根据独立重复试验求概率. 详解：因为14244411(1)(),(2)(),22P x C P x C ====所以142444411105(03)(1)(2)()(),2228P x P x P x C C <<==+==+== 选C.点睛：n 次独立重复试验事件A 恰好发生k 次得概率为(1)kkn kn C p p --.其中p 为1次试验种A 发生得概率.7．B解析：B 【解析】分析：根据3σ原则判断.详解：因为服从正态分布()10,0.04N ，所以10,0.2(100.23,100.23)(9.4,10.6)x μσ==∴∈-⨯+⨯= 所以上午生产情况正常，下午生产情况异常, 选B.点睛：利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.8．D解析：D 【分析】首先设出所求的概率为P ，根据题中的条件，可以列出P 所满足的等量关系式，从而求得相应的结果. 【详解】设第二天也有客人入住的概率为P ，根据题意有43=55P ⋅，解得34P =，故选D.【点睛】该题考查的是有关两个事件同时发生的概率问题，也可以看做是有关条件概率的问题，在解题的过程中，需要正确应用公式求得结果.9．A解析：A 【解析】每次摸球中奖的概率为114529C C 2059C 36==，由于是有放回地摸球，故3次摸球相当于3次独立重复实验，所以3次摸球恰有1次中奖的概率2135580C 199243P ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭． 故选A ．点睛:判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n 次独立重复试验，在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p ；②随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，且()()1n kk kn p X k C p p -==-表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率．10．D解析：D 【解析】由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将落入A 袋，所以22123311113()C 1C 122224P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-+⋅⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选D ．11．D解析：D 【解析】随机变量X 满足二项分布，所以1224(),3393D x npq n n ==⨯⨯==n=6,所以224612(2)()()33P X C ===80243，选D.12．B解析：B 【解析】由题意知，E(X)＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2，∴E(6X ＋8)＝6E(X)＋8＝6×2.2＋8＝21.2.选B.二、填空题13．375【分析】由正态分布可知每个元件正常工作超过10000小时的概率为从而求出部件正常工作超过10000小时的概率再根据二项分布求出平均值【详解】由正态分布可知每个元件正常工作超过10000小时的概解析：375 【分析】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为12，从而求出部件正常工作超过10000小时的概率，再根据二项分布求出平均值. 【详解】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为12， 则部件正常工作超过10000小时的概率为21131228⎡⎤⎛⎫-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为310003758⨯=台. 故答案为：375. 【点睛】本题考查正态分布和相互独立事件及二项分布，考查逻辑推理能力、运算求解能力.14．【分析】由题意分析可知质点4次运动中有1次向左3次向右根据独立事件的概率公式求解【详解】由题意可知质点移动4次后位于坐标为2的位置说明4次中有1次向左3次向右并且每次向左或向右的概率都是所以移动4次解析：14【分析】由题意分析可知质点4次运动中有1次向左，3次向右，根据独立事件的概率公式求解. 【详解】由题意可知质点移动4次后位于坐标为2的位置，说明4次中有1次向左，3次向右，并且每次向左或向右的概率都是12，所以移动4次后，该质点的坐标为2的概率314111224p C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：14【点睛】本题考查独立事件概率的实际应用问题，属于基础题型，本题的关键是抽象出质点运动方向，以及概率类型.15．1359【分析】根据正态曲线的对称性求出概率即可；【详解】解：∵∴∴又∴∴∴∵∴因此此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率是故答案为：【点睛】本题考查正态曲线的性质属于中档题解析：1359 【分析】根据正态曲线的对称性求出概率即可； 【详解】解：∵()0.6826P X μσμσ-<<+=，∴10.6826()2P X μσ->+=，∴()1P X μσ<+=-10.682610.6826222-=+．又(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，∴10.9544(2)2P X μσ->+=，∴10.954410.9544(2)1222P X μσ-<+=-=+，∴(2)(2)P X P X μσμσμσ+<<+=<+-()P X μσ<+10.954410.6826()2222=+-+1(0.95440.6826)2=⨯-0.1359=． ∵30μ=，10σ=，∴(4050)0.1359P X <<=．因此，此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率是0.1359． 故答案为：0.1359【点睛】本题考查正态曲线的性质，属于中档题.16．【分析】根据题意可知取出次品的个数可能的值为012利用排列组合知识求出对应的概率从而得到分布列代入数学期望公式求解即可【详解】由题意知取出次品的个数可能的值为012所以可得的分布列为： 0 1 2解析：25． 【分析】根据题意可知，取出次品的个数ξ可能的值为0、1、2，利用排列组合知识求出对应的概率，从而得到分布列，代入数学期望公式求解即可. 【详解】由题意知，取出次品的个数ξ可能的值为0、1、2，∴()0321331522035C C P C ξ===，()1221331512135C C P C ξ===， ()212133151235C C P C ξ===， 所以可得ξ的分布列为：则()0123535355E ξ=⨯+⨯+⨯=． 故答案为：25【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望；考查运算求解能力；正确列出随机变量的分布列是求解本题的关键；属于中档题.17．4558【分析】随机变量服从正态分布根据对称性可求得的值再根据概率的基本性质可求得【详解】因为所以故所以故答案为：04558【点睛】本题考查了正态分布曲线的对称性属于基础题解析：4558 【分析】随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，(3)0.0442P ξ>=，根据对称性可求得(1)P ξ<-的值，再根据概率的基本性质，可求得(13)P ξ≤≤. 【详解】因为(3)0.0442P ξ>=，所以(1)0.0442P ξ<-=，故(13)1(3)(1)0.9116P P P ξξξ-≤≤=->-<-=． 所以(13)0.4558P ξ≤≤=． 故答案为：0.4558. 【点睛】本题考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题.18．【分析】根据题意已知成等差数列随机变量的均值为列出方程组得由此能求出【详解】解：由随机变量的概率分布律得：①因为成等差数列所以②而随机变量的均值为则③联立①②③得所以故答案为：【点睛】本题考查方差的解析：59【分析】根据题意，已知a ，b ，c 成等差数列，随机变量ξ的均值为43，列出方程组，得16a =，13b =，12c =，由此能求出()D ξ． 【详解】解：由随机变量ξ的概率分布律得：1a b c ++=，① 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b a c =+，② 而随机变量ξ的均值为43，则 40123a b c ⨯+⨯+⨯=，③联立①②③，得16a =，13b =，12c =， 所以2224141415012363()(3329()))(D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=． 故答案为：59． 【点睛】本题考查方差的求法，以及离散型随机变量的分布列、等差数列的性质等基础知识.19．【分析】先由分布列的性质可得再利用数学期望公式解得进而根据方差公式求得代入得到不难得到的值【详解】由分布列的性质可得即则故答案为：【点睛】本题考查离散型分布的期望与方差考查分布列的性质的应用属于基础题解析：34【分析】先由分布列的性质可得1221p p +=,再利用数学期望公式解得2E ξ=,进而根据方差公式求得1p ,代入1221p p +=得到2p ,不难得到12p p +的值 【详解】由分布列的性质可得1211p p p ++=,即1221p p +=,()12112122342222E p p p p p p p ξ=++=+=+=,()()()2221211112223222D p p p p ξ∴=-+-+-==,则114p =, 2111121242p p ∴=-=-⨯=, 12113424p p ∴+=+= 故答案为：34【点睛】本题考查离散型分布的期望与方差,考查分布列的性质的应用,属于基础题20．23【分析】由题意结合正态分布的性质首先求得之间的考生人数然后求解120分以上的考生人数即可【详解】在之间的为954在120分以上的为【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：①熟记P(μ－σ解析：23 【分析】由题意结合正态分布的性质首先求得(80,120)之间的考生人数，然后求解120分以上的考生人数即可. 【详解】(100,100),100,10N μσ==在(2,2)(80,120)μσμσ-+=之间的为10000.954⨯=954.∴在120分以上的为1(1000954)232⨯-=.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：①熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.三、解答题21．（1）256625；（2）答案见解析. 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式解之即可；（2）甲得分的可能性为4-分，2-分，0分，3分，5分和10分，然后根据相互独立事件的概率公式求出相应的概率，列出分布列即可. 【详解】（1）甲恰好答对4道必答题的概率为4454125655625P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）依题意，每道题选择回答并答对的概率为121255⨯=，选择回答且答错的概率为1332510⨯=，选择放弃回答的概率为12.甲得分的可能性为4-分，2-分，0分，3分，5分和10分. 所以9(4)100P X =-=， 121133(2)C 22510P X ⎛⎫=-=⨯⨯= ⎪⎝⎭， 111(0)224P X ==⨯=， 1211233(3)C 225525P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21121(10)22525P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭.所以X 的分布列为22．（1）827；（2）19；（3）分布列答案见解析，数学期望：14881. 【分析】(1)参加甲游戏的概率P=13,设"这4个人中恰有k 人去参加甲游戏"为事件A k (k ＝0,1,2,3,4),可求这4个人中恰有2个人去参加甲游戏的概率()2P A ,计算即可得出结果; (2)由(1)可知求()()34P A P A +;(3)ξ的所有可能取值为0,2,4,写出其对应的概率和分布列. 【详解】依题意知，这4个人中每个人去甲地的概率为13，去乙地的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去甲地”为事件0,1,2,3,4i A i =（），则4-412()()()33iiii P A C =.（1）这4个人中恰有2人去甲地的概率为22224128()()()3327P A C ==（2）设“这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数”为事件B ，则34B A A =⋃，由于3A 与4A 互斥，故3144443341211()()()3339PB P A PC C A =++==（）（）（）. 所以这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数的概率为19. （3）ξ的所有可能的取值为0,2,4，由于1A 与3A互斥，0A 与4A 互斥， 故28270PP A ξ===（）（），1340812P P A P A ξ==+=（）（）（）， 0417814P P A P A ξ==+=（）（）（）. 所以ξ的分布列为：故1714827801818124Eξ=⨯+⨯+⨯=（）. 【点睛】本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、互斥事件、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新,对于此类考题，要注意认真审题，对二项分布的正确判读是解题的关键，属于一般难度题型. 23．（1）170x =，2 4.6s =；（2）（i ）0.8185；（ii ）0.21 【分析】（1）由题意求出各组频率，由平均数公式及方差公式即可得解； （2）（i ）由题意结合正态分布的性质即可得解；（ii ）由题意结合正态分布的性质可得()174.280.0228P X >=，再由()10110.0228P =--即可得解.【详解】（1）由题知第三组的频率为750.375200=， 则第五组的频率为0.70.3750.12520.075--⨯=， 第二组的频率为10.70.0520.2--⨯=，所以五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075，故0.11660.21680.3751700.251720.075174170x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，22222(170166)0.1(170168)0.2(170172)0.25(170174)0.075s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯4.6=；（2）由题知170μ=， 2.14σ==≈， （i ）()()167.86174.282P X P X μσμσ<<=-<<+()()()222P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<+--<<+=-<<++0.95440.68260.68260.81852-=+=；（ii ）()()10.9544174.2820.02282P X P X μσ->=>+==， 故10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率：()1010110.022810.977210.790.21P =--=-≈-=.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了正态分布的应用，属于中档题. 24．（1）920；（2）见解析，121.5万元． 【分析】（1）设恰好有一种新产品研发成功为事件A ，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式可得P （A ）；（2）由题可得设企业可获得利润为ξ，则ξ的取值有﹣90，50，80，220．利用相互独立试验同时发生的概率计算方法分别得到每种情况的概率，列出分布列，算出期望即可. 【详解】解：（1）设恰好有一种新产品研发成功为事件A ，则 P （A ）＝（134-）3354⨯+⨯（135）920=；（2）由题可得设企业可获得利润为ξ，则ξ的取值有﹣90，50，80，220． 由独立试验的概率计算公式可得，P （ξ＝0）＝（134-）（135）110=，P （ξ＝50）33314520⎛⎫=-⨯=⎪⎝⎭， P （ξ＝80）33314510⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭， P （ξ＝220）3394520=⨯=， ∴ξ的分布列如下：则数学期望E （ξ）9010=-⨯+50802010⨯+⨯+22020⨯=121.5万元． 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与均值的计算，考查了学生的运算求解能力. 25．（1）49；（2）分布列见解析，1 【分析】（1）甲获胜的情况为3:1,3:2,2:1分别计算概率即可得解；（2）X 的所有可能取值是0，1，2，3，分别计算概率，写出分布列，计算数学期望. 【详解】（1）甲以3:1获胜的概率221211329P ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 甲以3:2获胜的概率22122212C 329P ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 甲以2:1获胜的概率213221113329P C ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 则甲获胜的概率1231214.9999P P P P =++=++= （2）由题意可得X 的所有可能取值是0，1，2，3.3323232112233333333112112112(0)C C C C C C 323323323P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭311111722161262724⎛⎫⨯=+++=⎪⎝⎭； 33232333212133331121121121(2)C C C C 3233233232P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11115723618924=+++=； 33331121111(3)32322162724P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 75111(1)124242424P X ==---=. X 的分布列为故()0123 1.24242424E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】此题考查求解概率和分布列，根据分布列求解期望，关键在于准确求解概率. 26．（1）518（2）详见解析 【分析】（1）记“A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格”为事件M ，分别算出A ，B 考生获得录取资格的概率，再分两类求解.（2）随机变量X 可能的取值为：0，1，2，3，分别求出A ，B ，C 考生获得录取资格的概率，再根据A ，B ，C 三位考生获得高校综合评价录取资格的人数服从二项分布，列出分布列再求期望. 【详解】（1）记“A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格”为事件M A 考生获得录取资格的概率为111326⨯=；B 考生获得录取资格的概率为111236⨯=； 所以15515()666618P M =⨯+⨯= 答：A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率为518； （2）随机变量X 可能的取值为：0，1，2，3 C 考生获得录取资格的概率为121436⨯=，由（1）得A ，B 两位考生获得录取资格的概率均为16， 所以A ，B ，C 三位考生获得高校综合评价录取资格的人数X ~B (3，16)， 则0335125(0)()6216P X C ===，1235175(1)()()66216P X C ===， 2235115(2)()()66216P X C ===，33311(3)()6216P X C ===，随机变量X 的概率分布表如下：125751511()01232162162162162E X=⨯+⨯+⨯+⨯=（人）答：X的数学期望为12人.【点睛】本题主要考查独立事件的概率以及离散型随机变量的分布列及期望，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。

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1.2.2 组合（二）答案小试牛刀1 D2 A3 B4 105 1 260 806 185例一 (1）即从7名学生中选出三名代表，共有选法C错误!＝35种．(2）至少有一名女生的不同选法共有C错误!C错误!＋C错误!C错误!＋C错误!＝31种,或C错误!－C错误!＝31种．（3）男、女生都要有的不同的选法共有C37－C错误!－C错误!＝30种，或C错误!C错误!＋C错误! C错误!＝30种．跟踪1 （1）记?°从袋中任意摸出2个球,至少得到1个黑球？±为事件A，设袋中黑球的个数为x，则P（A）＝1－P（A)＝1－错误!＝错误!，解得x＝3或者x＝20(舍去）,故黑球为3个．(2)记？°从袋中任意摸出3个球,至少得到2个黑球?±为事件B,则P(B）＝错误!＝错误!。

例二 (1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C1，2·C错误!＋C错误!·C错误!＝825（种)．或采用排除法有C错误!－C错误!＝825（种）．(2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C错误!·C错误!＋C错误!·C错误!＋C错误!＝966(种)．（3)分两种情况：第一类:女队长当选，有C错误!种;第二类:女队长不当选，有（C错误!·C错误!＋C错误!·C错误!＋C错误!·C错误!＋C错误!）种．故共有C错误!＋C错误!·C错误!＋C错误!·C错误!＋C错误!·C错误!＋C错误!＝790(种）．跟踪2 B例三我们把从共线的4个点取点的多少作为分类的标准．第1类：共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点，共有C错误!·C错误!＝48个不同的三角形；第2类：共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点,共有C1，4·C错误!＝112个不同的三角形；第3类:共线的4个点中没有点作为三角形的顶点，共有C错误!＝56个不同的三角形．由分类加法计数原理，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(个)．跟踪3这个问题可分四类加以考虑．①5个共面点确定1个平面；②5个共面点中任何2个点和其余7个点中任意一点确定7C错误!个平面；③5个共面点中任一点和其余7个点中任意2个点确定5C错误!个平面；④7个点中任何3个点确定C错误!个平面．∴总共确定平面的个数为1＋7C错误!＋5C错误!＋C错误!＝211（个）．例4解法1:(直接法)：把从5个偶数中任取2个分为两类（1)不含0的：由3个奇数数字和2个偶数数字组成的五位数，可分两步进行：第1步，选出3奇2偶的数字，方法有C错误!C错误!种；第2步，对选出的5个数字全排列有A错误!种方法．故所有适合条件的五位数有C错误!C错误!A错误!个．（2）含有0的：这时0只能排在除首位(万位)以外的四个位置中的一个，有A错误!种排法；再从2，4,6,8中任取一个,有C错误!种取法，从5个奇数数字中任取3个,有C错误!种取法，再把取出的4个数全排列有A错误!种方法，故有A错误!C错误!C错误!A错误!种排法．根据分类加法计数原理，共有C错误!C错误!A错误!＋A错误!A错误!C错误!A错误!＝11040个符合要求的数．解法2:（间接法)：如果对0不限制,共有C错误!C错误!A错误!种，其中0居首位的有C错误! C1，4A错误!种．故共有C错误!C错误!A错误!－C错误!C错误!A错误!＝11040个符合条件的数．跟踪4 240课堂检测1 D2 C3 B4 A5 B6 A课后作业1 B2 A3 A4 D5 106 367 20 630 8 1260 1680。