数学新同步湘教版选修2-3讲义+精练：第7章 7.1 两个计数原理 Word版含解析

7．3组__合第一课时　组合与组合数公式及其性质[读教材·填要点]1．组合从n 个不同的元素中取出m (m ≤n )个不同的元素，不论次序地构成一组，称为一个组合，我们用符号C 表示所有不同的组合个数，称C 为从n 个不同的元素中取m 个元素的组合m n mn 数．2．组合数有关公式(1)C ＝＝,0≤m ≤n .mn A mnAmn (n －1)…(n －m ＋1)m ！(2)C ＝,0≤m ≤n .mn n ！m ！(n －m )！3．组合数的性质(1)C ＝C ，m n n －m n(2)如果C ＝C ，则m ＝k 或者m ＝n －k ，mn k n (3)C ＝C ＋C .m n ＋1m n m －1n [小问题·大思维]1．“abc ”和“acb ”是相同的排列还是相同的组合？提示：由于“abc ”与“acb ”的元素相同，但排列的顺序不同，所以“abc ”与“acb ”是相同的组合，但不是相同的排列．2．如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？提示：区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素是否与顺序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．3．“组合”和“组合数”是同一个概念吗？有什么区别？提示：“组合”与“组合数”是两个不同的概念，“组合”是指“从n 个不同元素中取m (m ≤n )个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数.组合的概念[例1]　判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？(3)从a ，b ，c ，d 四名学生中选两名去完成同一份工作，有多少种不同的选法？[解]　(1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．(3)两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题．区分排列与组合的方法区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果解出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．1．判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)设集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e }，则集合A 的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？解：(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．(3)因为一种分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题．(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题．组合数公式及其性质应用[例2]　(1)求值：C ＋C ；5－n n 9－n n ＋1(2)求证：C ＝C .mn m ＋1n －mm ＋1n [解]　(1)Error!解得4≤n ≤5.又因为n ∈N ＋，所以n ＝4或n ＝5.当n ＝4时，原式＝C ＋C ＝5，145当n ＝5时，原式＝C ＋C ＝16.0546(2)证明：因为C ＝，mn n ！m ！(n －m )！C ＝·m ＋1n －m m ＋1n m ＋1(m ＋1)！n ！(n －m )(n －m －1)！＝，n ！m ！(n －m )！所以C ＝C .mn m ＋1n －mm ＋1n关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用C ＝·＝＝n n －m m n －1n n －m (n －1)！m ！(n －1－m )！n ！m ！(n －m )！C 进行计算．mn (2)涉及字母的可以用阶乘式C ＝计算．mn n ！m ！(n －m )！(3)计算时应注意利用组合数的性质C ＝C 简化运算．mn n －m n2．(1)计算C ＋C ·C ；58981007(2)计算C ＋C ＋C ＋C ＋C ＋C ；05152535455(3)解方程：C ＝C ；x 2－x 165x －516(4)解不等式：C ＞C ＋C .m －4m 6m －16m －1解：(1)原式＝C ＋C ×1＝＋3821008×7×63×2×1100×992×1＝56＋4 950＝5 006.(2)原式＝2(C ＋C ＋C )＝2(C ＋C )0515251625＝2×＝32.(6＋5×42×1)(3)∵C ＝C ，x 2－x 165x －516∴x 2－x ＝5x －5 ①或x 2－x ＋5x －5＝16. ②解①得x ＝1或x ＝5.解②得x ＝3或x ＝－7.经检验知，原方程的解是x ＝1或x ＝3.(4)原不等式可化为C ＞C ＋C ，即C ＞C ，4m5m －16m －14m 6m∴＞.m ！4！(m －4)！m ！6！(m －6)！∴30＞(m －4)(m －5)．即m 2－9m －10＜0，∴－1＜m ＜10.又∵m ≥7且m ∈N *，∴m ＝7或8或9.组合的简单应用[例3]　在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．[解]　(1)C ＝792种不同的选法；512(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C ＝36种不同的选法；29(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C ＝126种不同的选法；59(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C ＝3种13选法，再从另外的9人中选4人有C 种选法．共有C C ＝378种不同的选法．491349解简单的组合应用题，只需按照组合的定义，直接列出组合数即可，注意分清元素的总个数及取出元素的个数，必要时，需要分清完成一件事情需要分类还是分步．在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．3．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C ＝＝45.21010×92×1(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C 种方法；26第2类，选出的2名是女教师有C 种方法．24根据分类加法计数原理，共有C ＋C ＝15＋6＝21种不同的选法．2624(3)分步：首先从6名男教师中任选2名，有C 种选法，再从4名女教师中任选2名，26有C 种选法，根据分步乘法计数原理，所以共有C ·C ＝90种不同的选法.242624解题高手妙解题化简：A ＋A ＋A ＋…＋A .2324252100[尝试]　[巧思]　由于A ＝C ·A (n ≥2)，所以原式可变形为(C ＋C ＋C ＋…＋C )·A ，然后2n2n 223242521002利用组合数性质C ＋C ＝C 求解即可．mn m －1n m n ＋1[妙解]　原式＝C A ＋C A ＋…＋C A 23224221002＝(C ＋C ＋…＋C )·A 232421002＝(C ＋C ＋C ＋C ＋…＋C －C )·A 3232425210032＝(C ＋C ＋C ＋…＋C －C )·A 342425210032＝(C ＋C ＋…＋C －C )·A 3525210032…＝(C －C )·A 310132＝(C －1)·A 31012＝2C －2＝333 298.31011．以下四个问题，属于组合问题的是( )A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地解析：选C 由组合的定义可知，选项C 属于组合问题．2．已知C ＝10，则n 的值为( )2nA ．10B ．5C ．3D ．4解析：选B ∵C ＝＝10，∴n ＝5(n ＝－4舍去)．2nn (n －1)2×13．异面直线a ，b 上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( )A ．20B ．9C ．CD ．C C ＋C C 3924152514解析：选B 分两类：第一类，在直线a 上任取一点，与直线b 可确定C 个平面；第14二类，在直线b 上任取一点，与直线a 可确定C 个平面．故可确定C ＋C ＝9个不同的平151415面．4．若C ，C ，C 成等差数列，则n ＝________.4n5n 6n 解析：由已知得2C ＝C ＋C ，所以2·＝＋.整理5n4n 6n n ！5！(n －5)！n ！4！(n －4)！n ！6！(n －6)！得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14.答案：7或145．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ∶n ＝________.解析：∵m ＝C ，n ＝A ，∴m ∶n ＝.242412答案：126．已知6C ＝10A ，求x 的值．7x －32x －4解：原方程变为＝(x ＞7)，6(x －3)！(x －7)！(x －3－x ＋7)！10(x －4)！(x －4－2)！即x 2－9x －22＝0.解得x 1＝11，x 2＝－2(舍去)，所以x 的值为11.一、选择题1．计算：C ＋C ＋C ＝( )283829A ．120 B ．240C ．60D ．480解析：选A C ＋C ＋C ＝＋＋＝120.2838297×82×16×7×83×2×18×92×12．已知平面内A 、B 、C 、D 这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为( )A ．3B ．4C ．12D ．24解析：选B 由于与顺序无关，所以是组合问题，共有C ＝4个．343．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种解析：选A 先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有C C ＝12种安排方案．12244．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是( )A ．C CB ．C C 3103541025C ．CD ．A A 51541025解析：选B 按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有C C 种抽法．41025二、填空题5．若C －C ＝C ，则n ＝________.7n ＋17n 8n 解析：C －C ＝C ，即C ＝C ＋C ＝C ，7n ＋17n 8n 7n ＋18n 7n 8n ＋1所以n ＋1＝7＋8，即n ＝14.答案：146．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有__________对．解析：三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C －3＝12个不同四面体，而每个四46面体有三对异面直线则共有12×3＝36对．答案：367．对所有满足1≤m ≤n ≤5的自然数m 、n ，方程x 2＋C y 2＝1所表示的不同椭圆的个mn 数为________．解析：∵1≤m ≤n ≤5，∴C 有C ，C ，C ，C ，C ，C ，C ，C ，C ，C 共10mn 12132314243415253545个．其中C ＝C ，C ＝C ，C ＝C ，C ＝C ，所以x 2＋C y 2＝1能表示的不同椭圆有6个．1323143415452535m n 答案：68．不等式C －n <5的解集为________．2n解析：由C －n <5，得－n <5，2nn (n －1)2∴n 2－3n －10<0.解得－2<n <5.由题设条件知n ≥2，且n ∈N ＋，∴n ＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}．答案：{2,3,4}三、解答题9．(1)解方程：A ＝6C ；3m4m (2)解不等式：C >3C .x －18x 8解：(1)原方程等价于m (m －1)(m －2)＝6×，m (m －1)(m －2)(m －3)4×3×2×1∴4＝m －3，m ＝7.(2)由已知得：Error!∴x ≤8，且x ∈N ＋，∵C >3C ，x －18x 8∴>.8！(x －1)！(9－x )！3×8！x ！(8－x )！即>，19－x 3x∴x >3(9－x )，解得x >，∴x ＝7,8.274∴原不等式的解集为{7,8}．10．袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球．(1)共有多少种不同结果？(2)取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有几个？(3)取出的3球中至少有2个白球的结果有几个？解：(1)从4个白球，5个黑球中任取3个的所有结果有C ＝84个不同结果．39(2)设“取出3球中有2个白球，1个黑球”的所有结果组成的集合为A ，A 所包含的种数为C C .2415所以共有C C ＝30种不同的结果．2415(3)设“取出3球中至少有2个白球”的所有结果组成集合为B ，B 包含的结果数是C ＋C 34C .2415所以共有C ＋C C ＝34种不同的结果．342415第二课时　组合的综合应用有限制条件的组合问题[例1]　某医院从10名医疗专家中抽调6名组成医疗小组到社区义诊，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？24[解]　(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除去外科专家的6462446名专家中任选4名，有C种选法，所以共有C·C＝90(种)抽调方法．(2)“至少”的含义是“不低于”，有两种解答方法：法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：2446①选2名外科专家，共有C·C种选法；3436②选3名外科专家，共有C·C种选法；426③选4名外科专家，共有C·C种选法；24463436426根据分类加法计数原理，共有C·C＋C·C＋C·C＝185(种)抽调方法．610法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C种选法．考虑选取1名外科专家参加，14566有C·C种选法；考虑没有外科专家参加，有C种选法，所以共有61014566C－C·C－C＝185(种)抽调方法．(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答：6①没有外科专家参加，有C种选法；1456②有1名外科专家参加，有C·C种选法．2446③有2名外科专家参加，有C·C种选法．614562446所以共有C＋C·C＋C·C＝115(种)抽调方法．保持例题条件不变，求恰有1名外科专家的抽调方法有多少种？1456解：恰有1名外科专家指：1名外科专家和5名非外科专家，故有C·C＝4×6＝24种不同的抽调方法．解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”，其中用直接法求解时，应依据“特殊元素优先安排”的原则，即优先安排特殊元素，再安排其他元素．而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大时，不妨从反面问题入手，试一试看是否简单些，特别是涉及“至多”、“至少”等组合问题时更是如此．此时正确理解“都不是”、“不都是”、“至多”、“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．1．课外活动小组共13人，其中男生8名，女生5名，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生当选；(2)两名队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选．1548解：(1)一名女生，四名男生，故共有C·C＝350(种)选法．(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，2311故共有C·C＝165(种)选法．(3)直接法：至少有一名队长当选含有两类情况：只有一名队长当选和两名队长都当选，124112311故共有C·C＋C·C＝825(种)选法．513511间接法：共有C－C＝825(种)选法．(4)至多有两名女生当选含有三类情况：有两名女生当选，只有一名女生当选，没有女生当选．2538154858故共有C·C＋C·C＋C＝966(种)选法．412143724273417(5)分两类：第一类女队长当选：C种；第二类女队长不当选：(C·C＋C·C＋C·C＋C 44121437242734174)种．故共有C＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790(种)选法.几何问题中的组合问题[例2]　平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线．(1)经过这9个点，可确定多少条直线？(2)以这9个点为顶点，可确定多少个三角形？(3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？[解]　法一：(直接法)4141525(1)可确定直线C＋C C＋C＝31(条)．2415142535(2)可确定三角形C C＋C C＋C＝80(个)．2425143545(3)可确定四边形C C＋C C＋C＝105(个)．法二：(间接法)2924(1)可确定直线C－C＋1＝31(条)3934(2)可确定三角形C－C＝80(个)．4943415(3)可确定四边形C－C－C C＝105(个)．解答几何组合应用题的思考方法与一般的组合应用题基本一样，只要把图形隐含的条件视为组合应用题的限制条件即可．计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．2．已知M，N是两个平行平面，在M内取4个点，在N内取5个点，这9个点中再无其他4点共面，则(1)这些点最多能确定几个平面？(2)以这些点为顶点，能作多少个三棱锥？解：法一：直接法：2415(1)在平面M内取2个点有C种方法，在平面N内取1个点有C种方法，这3个点肯241514定不共线，可构成C C个平面；在平面M内取1个点，在平面N内取2个点，可构成C C 25个平面，再有就是M、N这两个平面．24151425共有C C＋C C＋2＝72个平面；3415(2)在平面M内取3个点有C种方法，在平面N内取1个点有C种方法，这4个点可3415构成C C个三棱锥；在平面M内取2个点，在平面N内取2个点；还可以在平面M内取1341524251435个点，在平面N内取3个点．可构成C C＋C C＋C C＝120个三棱锥．法二：排除法：39(1)从9个点中任取3个点的方法有C种，其中从平面M内4个点中任取3个点，即C 34353435种，从平面N内5个点中任取3个点，即C种，这C及C表示的都仅仅是平面M及平面N.393435能构成C－C－C＋2＝72个平面；49(2)从9个点中任取4个点的方法C中去掉从平面M内4个点取4个及从平面N内5个点任取4个点这两类构不成三棱锥(仅是平面M或平面N)的情况．49445能构成C－C－C＝120个三棱锥．排列与组合的综合应用[例3]　有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．35234513 [解]　(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有C C＋C C种，5后排有A种，352345135共(C C＋C C)·A＝5 400种．474(2)除去该女生后，先选后排有C·A＝840种．47144(3)先选后排，但先安排该男生有C·C·A＝3 360种．3613(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人3全排有A种，36133共C·C·A＝360种．解决排列、组合综合问题要遵循两个原则：(1)按事情发生的过程进行分步；(2)按元素的性质进行分类．解决时通常从三个途径考虑；①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数．3．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内．(1)共有几种放法？(2)恰有1个空盒，有几种放法？(3)恰有2个盒子不放球，有几种放法？解：(1)44＝256(种)．24(2)先从4个小球中取2个放在一起，有C种不同的取法，再把取出的两个小球与另外234个小球看作三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A种不同的放法．根据分步乘2434法计数原理，不同的放法共有C A＝144(种)．(3)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法；34第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C种，再放到2 2434242424个小盒中有A种放法，共有C A种放法；第二类，2个盒子中各放2个小球有C C种放34242424法，故恰有2个盒子不放球的方法共有C A＋C C＝84(种)．解题高手多解题用0到9这10个数字组成没有重复数字的五位数，其中含3个奇数与2个偶数的五位数有多少个？[解]　法一：直接法把从5个偶数中任取2个分为两类：(1)不含0的：由3个奇数和2个偶数组成的五位数，可分两步进行：第1步，选出335245奇2偶的数字，方法有C C种；第2步，对选出的5个数字全排列有A种方法．35245故所有适合条件的五位数有C C A个．14(2)含有0的：这时0只能排在除首位(万位)以外的四个位置中的一个，有A种排法；1435再从2,4,6,8中任取一个，有C种取法，从5个奇数数字中任取3个，有C种取法，再把41414354取出的4个数全排列有A种方法，故有A C C A种排法．352451414354根据分类加法计数原理，共有C C A＋A C C A＝11 040个符合要求的数．法二：间接法352553514435255如果对0不限制，共有C C A种，其中0居首位的有C C A种．故共有C C A－C 35144C A＝11 040个符合条件的数．1．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )A．36种 B．48种C．96种D．192种243434解析：选C　完成这件事情可用分步计数原理，有C C C＝96种．2．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有( )A．140种B．120种C．35种D．34种1432423解析：选D　若选1男3女有C C＝4种；若选2男2女有C C＝18种；若选3男1 3413女有C C＝12种，所以共有4＋18＋12＝34种不同的选法．3．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A．30种B．35种C．42种D．48种1324解析：选A　法一：选修1门A类，2门B类课程的选法有C C种；选修2门A类，1231413242314门B类的课程的选法有C C种．故选法共有C C＋C C＝18＋12＝30(种)．373法二：从7门选修课中选修3门的选法有C种，其中3门课都为A类的选法有C种，3437334都为B类的选法有C种，故选法共有C－C－C＝30(种)．4．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．37解析：第1步，从7名志愿者中选出3人在周六参加社区公益活动，有C种不同的选34法；第2步，从余下的4人中选出3人在周日参加社区公益活动，有C种不同的选法．3734根据分步乘法计数原理，共有C C＝140种不同的安排方案．答案：1405．从4台甲型和5台乙型电视机中任选3台，其中至少有甲型和乙型电视各一台，则不同的取法有______种．2415解析：分为两类：第一类，选出的3台电视机有2台甲型1台乙型有C C种选法；第1425二类，选出的3台电视机有1台甲型2台乙型有C C种选法；根据分类加法计数原理共有C 24151425C＋C C＝70种．答案：706．某车间有11名工人，其中5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选法？4546解：分三类：第一类，选出的4名钳工中无“多面手”，此时选法有C C＝75(种)；123545第二类，选的4名钳工中有1名“多面手”，此时选法为C C C＝100(种)；2254第三类，选的4名钳工中有2名“多面手”，此时选法为C C C＝10(种)．由分类加法计数原理，得不同的选法共有75＋100＋10＝185(种)．一、选择题1．某班共有10名任课教师，其中4名男教师，6名女教师．教师节这天要表彰一位男教师和一位女教师，不同的表彰方法有( )A．12种 B．30种C．15种D．24种1614解析：选D　分两步：第一步先选女教师，有C种选法；第二步选男教师，有C种1614选法，共有C·C＝24种选法．2．以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体有( )A．6个B．12个C．18个D．30个46解析：选B　从6个顶点中任取4个有C＝15种取法，其中四点共面的有3个，所以满足题意的四面体有15－3＝12个．3．将5名同学分成甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同分组方案的种数为( )A．180 B．120C．80 D．60252323512解析：选C　由题意可得不同的组合方案种数为C C A＋C C＝80.4．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )A．140种B．120种C．35种D．34种474解析：选D　从7人中选4人，共有C＝35种选法，4人全是男生的选法有C＝1种．故4人中既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34.二、填空题5．从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有________种．解析：5人中选4人则有C 种，周五一人有C 种，周六两人则有C ，周日则有C 种，4514231故共有C ×C ×C ＝60(种)．451423答案：606．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有________种．解析：当入选的3名队员为2名老队员1名新队员时，有C C A ＝12种排法；当入选13122的3名队员为2名新队员1名老队员时，有C C A ＝36种排法．故共有12＋36＝48种排法．12233答案：487．将0,1,2,3,4,5这六个数字，每次取三个不同的数字，把其中最大的数字放在百位上排成三位数，这样的三位数有________个．解析：先选取三个不同的数有C 种方法，然后将其中最大的数放在百位上，另外两个36不同的数放在十位或个位上，有A 种排法．故共有C ·A ＝40(个)三位数．2362答案：408．某公司为员工制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览．如果M ，N 为必选城市，并且在浏览过程中必须按先M 后N 的次序经过M ，N 两城市(M ，N 两城市可以不相邻)，则不同的游览线路种数是______．解析：先M 后N 的次序和先N 后M 的次序各占总数的.通过分析，我们可以得到不12同的游览线路种数为C C A ＝600.122355答案：600三、解答题9．3名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务，(1)若每辆车上都需要人但最多安排男女各一名，有多少种安排方法？(2)若男女各包2辆车，有多少种安排方法？解：(1)先将3名男同志安排到车上有A 种方法，在未安排男同志的那辆车安排女同志34有C 种方法，还有2个女同志有A 种安排方法，故共有A C A ＝432(种)安排方法．1323341323(2)男同志分2组有C 种方法，女同志分2组有C 种方法，将4组安排到4辆车上有A 2323种方法，故共有C C A ＝216(种)安排方法．42323410．有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解：法一：(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C 种方法；0可在后两位，有C 14种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C 种方法；又除含0的那张外，其他两张都1213141213有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C C C·22个．243(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数C·22·A个．343(3)0和1都不取，有不同的三位数C·23·A个．141213243343综上所述，共有不同的三位数：C·C·C·22＋C·22·A＋C·23·A＝432(个)．353法二：(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C·23·A个，其中0在百位的有C 242353242·22·A个，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C·23·A－C·22·A＝432(个)．。

数学选修 2-3 第一章计数原理知识点什么是分加法数原理？答：做一件事情，完成它有 n 法，在第一法中有m1种不同的方法，在第二法中有 m2种不同的方法⋯在第 n 法中有 m n种不同的方法。

那么完成件事情共有N m1m2m n种不同的方法。

1.什么是分步乘法数原理？答：做一件事情，完成它需要 n 个步，做第一个步有m1种不同的方法，做第二个步有 m2种不同的方法⋯⋯做第 n 个步有 m n种不同的方法。

那么完成件事情共有N m1m2m n种不同的方法。

2.排列的定是什么？答：一般地，从n 个不同的元素中任取m m n 个元素，按照一定的序排成一列，叫做从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的一个排列。

3.合的定是什么？答：一般地，从n 个不同的元素中任取m m n 个元素并成一，叫做从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的一个合。

4.什么是排列数？答：从 n 个不同的元素中任取m m n 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的排列数，作 A n m。

5.什么是合数？答：从 n 个不同的元素中任取m m n 个元素的所有合的个数，叫做从n 个不同的元素中任取m 个元素的合数，作C n m。

7.排列数公式有哪些？答：（ 1）A m n n 1 n 2n m 1或nA n mn！；n m !（2）A n n n!，定0! 1。

8.合数公式有哪些？答：（ 1）C n m n n 1 n 2n m 1 或m!C n m n！；m! n m !（ 2）C n m C n n m，定 C n01。

9.排列与合的区是什么？答：排列有序，合无序。

10.排列与合的系是什么？答：A n m C n m A m m，即排列就是先合再全排列。

11.排列与合的性有哪些？答：两个性公式：（1）排列的性公式：A n m1 A n m mA n m 1（ 2）合的性公式： C n m C n n m；C n m1C n m C n m 112.二式定理是什么？答：a b n C n0a n C n1a n 1b C n2a n 2b2C n r a n r b rC n n b n n N13二展开式的通是什么？答： T r 1C n r a n r b r 0 r n, r N , n N。

1.虚数单位i(1)i 2=- 1(即一1的平方根是 ±).(2)实数可以与i 进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立.i 4n = 1, i 4n +1= i , i 4n + 2=_ 1, i 4n + 3=_i(n € N + ),则有 2. 复数的分类了实数b = 0复数 a + bi , (a , b € R) i 虚数 fb z 0 'i \ f\3. 共轭复数设复数z 的共轭复数为z ,则--- 2 2(1) z • = |z| = 1 z 1 ；(2) z 为实数？ z = z ; z 为纯虚数？ z =- z .4. 复数相等的条件复数相等的充要条件为 a + bi = c + di ? a = c , b = d(a , b , c , d € R) •特别地，a + bi = 0? a = b = 0(a , b € R).5. 复数的运算(1)加法和减法运算：(a + bi) ±+ di) = (a 乂)+ (b ±d)i(a , b , c , d € R).⑵乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算，即(a + bi)(c + di) = (ac - bd)+ (ad + bc)i ;复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化. 逢型一 复数的概念［例 1］复数 z = Iog 3(x 2-3x — 3) + ilog 2(x — 3)，当 x 为何实数时,(1)z € R ? (2)z 为虚数？ (3)z 为纯虚数?归纳・n n +1 i + i(3)i 的幕具有周期性:n +2 n +3 + i n '2+ i n 3= 0(n € N +). 纯虚数a = 0 非纯虚数0［解］(1) •••一个复数是实数的充要条件是虚部为X2—3X—3>0, ①log^x —3 尸0,由②得x= 4，经验证满足①式.•••当x = 4 时，z€ R.(2) •••一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于0,x2—3x —3>0,•- log2 x—3 丰0,••当<x<4 或x>4 时，z 为虚数.(3) •••一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为0且虚部不为0,__ (2)|log3 x —3x—3 = 0,• log2 x— 3 丰0,X —3>0.x=—1 或x= 4,解得无解.x>3且x丰4.•复数z不可能是纯虚数.惜:题发挥解决此类问题的关键是正确理解复数的分类与复数的实部和虚部之间的关系，另外要注意某些函数的定义域.跟;踪演练a + 2i1.若复数z= -■_7 + (2 —i)为纯虚数，求实数a.解：「z=兰+ (2-⑴丑号I + (2 —i)1+ i 2=七予(2-。

模块综合检测(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，则不同的种植方法共有( )A ．24种B ．18种C ．12种D ．6种解析：选B 先选择一块土地种植黄瓜，有C 13种选择，再从剩余的3种蔬菜选出2种分别种在剩余的两块土地上有A 23种法，所以有C 13·A 23＝18种不同的种植方法．2．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ③线性回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过(x －，y －)； ④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个2×2列联表中，由计算得k ＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%.其中错误的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由方差的定义知①正确，由线性回归直线的特点知③正确，②④⑤都错误．3．设随机变量服从正态分布N (0,1)，P (X ＞1)＝p ，则P (－1＜X ＜1)＝( ) A.12p B ．1－p C ．1－2pD.12－p 解析：选C P (－1＜X ＜1)＝1－P (X ＞1)－P (X ＜－1)＝1－2P (X ＞1)＝1－2p . 4．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，数据如下表．由此建立的身高与年龄的回归模型为y ^＝7.19x ＋73.93.用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )B ．身高在145.83 cm 以上C ．身高在145.83 cm 左右D ．身高在145.83 cm 以下解析：选C 将x ＝10代入得y ^＝145.83，但这种预测不一定准确，应该在这个值的左右．5．5个人排成一排，甲、乙两人中至少有一人站在两端的排法种数为( ) A ．A 33B ．4A 33C ．A 55－A 23A 33D ．A 22A 33＋A 12A 13A 33解析：选C 不考虑限制条件有A 55种，甲、乙两人都站中间有A 23A 33种，则A 55－A 23A 33即为所求．6.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 8的展开式中的常数项是( )A ．7B ．－7C ．28D ．－28解析：选A T r ＋1＝C r 8⎝⎛⎭⎫x 28－r ⎝⎛⎭⎪⎫－13x r ＝(－1)r ·⎝⎛⎭⎫128－r ·C r 8x 8－r －13r ＝(－1)r ⎝⎛⎭⎫128－r C r8x 8－43r . 令8－43r ＝0，解得r ＝6，T 7＝(－1)6×⎝⎛⎭⎫128－6·C 68＝7. 7．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是( )A ．0.45B ．0.6C ．0.65D ．0.75解析：选D 目标被击中的情况有：①甲击中，乙未击中；②甲未击中，乙击中；③甲击中，乙也击中． 因此目标被击中的概率为P ＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8， 所以所求概率为0.60.8＝0.75.8．硕士学位与博士学位的一个随机样本给出了关于所获取学位类别与学生性别的分类数据如表所示：根据以上数据，则( A ．性别与获取学位类别有关 B ．性别与获取学位类别无关 C ．性别决定获取学位的类别 D ．以上都是错误的解析：选A 由列联表可得：博士：男性占2735≈77%，女性占835≈23%，相差很大，所以性别与获取学位的类别有关．9．(2017·全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80解析：选C 当第一个括号内取x 时，第二个括号内要取含x 2y 3的项，即C 35(2x )2(－y )3，当第一个括号内取y 时，第二个括号内要取含x 3y 2的项，即C 25(2x )3(－y )2，所以x 3y 3的系数为C 25×23－C 35×22＝10×(8－4)＝40.10．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )A.1320B.15C.14D.25解析：选D 设“儿童体型合格”为事件A ，“身体关节构造合格”为事件B ，则P (A )＝15，P (B )＝14.又A ，B 相互独立，则A ，B 也相互独立，则P (A ∩ B )＝P (A )P (B )＝45×34＝35，故至少有一项合格的概率为P ＝1－P (A ∩B )＝25. 11.⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．180 B ．90 C ．45D ．360解析：选A 只有第六项二项式系数是最大，则n ＝10，T r ＋1＝C r 10(x )10－r ⎝⎛⎭⎫2x 2r ＝2r C r10x 5－52r ，令5－52r ＝0，r ＝2，T 3＝4C 210＝180.12．从字母a ，b ，c ，d ，e ，f 中选出4个数排成一列，其中一定要选出a 和b ，并且必须相邻(a 在b 的前面)，共有排列方法( )A ．36种B ．72种C ．90种D ．144种解析：选A 从c ，d ，e ，f 中选2个，有C 24种选法，把a ，b 看成一个整体，则3个元素全排列为A 33种排法，共有C 24A 33＝36(种)排法．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若X 在(0,1)内取值的概率为0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为________．解析：∵X ～N (1，σ2)，故X 在(0,1)及(1,2)内取值的概率相同均为0.4，如图所示，故X 落在(0,2)内取值的概率为P (0＜X ＜1)＋P (1＜X ＜2)＝0.4＋0.4＝0.8.答案：0.814．已知(1＋kx 2)6(k 是正整数)的展开式中，x 8的系数小于120，则k ＝________.解析：x 8的系数为C 46k 4＝15k 4，∵15k 4<120，k 4<8， ∴k ＝1. 答案：115．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm.解析：设父亲身高为x cm ，儿子身高为y cm ，则x －＝173，y －＝176，b ＝0×(－6)＋(－3)×0＋3×602＋9＋9＝1，a ＝y －－bx －＝176－1×173＝3， ∴y ＝x ＋3，当x ＝182时，y ＝185. 答案：18516．一排长椅有7个座位，4个人坐，要求3个空位中有2个空位相邻，另一个空位与这两个空位不相邻，共有________种坐法．解析：可以用插空法或间接法．法一：把2个相邻空位看成一个整体，另一个空位与这个整体不相邻，就是用4个人把2个元素隔开．可以先让4人坐在4个位置上，再让空位的2个元素选择被4个人造成的5个“空隙”中的2个，这样有A 44·A 25＝480(种)坐法．法二：从全部入座的方法中，减去3个空位全相邻和3个空位全分开的坐法，得共有A 47－A 44·C 15－A 44·C 35＝480(种)坐法． 答案：480三、解答题(本大题共有6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率．解：法一：记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黑球”为事件B .注意，这里的问题和求“第一次取到白球，第二次取到黑球的概率”不一样．显然，事件“第一次取到白球，第二次取到黑球”的概率P (A ∩B )＝6×410×9＝415.由条件概率的计算公式，得P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝415610＝49.法二：抓住条件概率的本质，这个问题还可以这样理解：第一次取到白球，则只剩9个球，其中5个白球，4个黑球，在这个前提下，第二次取到黑球的概率当然是49.18．(本小题满分12分)已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋33x n展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64.(1)求x 3项的系数； (2)求二项式系数最大的项．解：令x ＝1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有4n 2n ＝2n＝64，∴n ＝6.(1)由T r ＋1＝C r 6(x )6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫3 3x r ＝3r C r 6x 3－5r6 可知，当r ＝0时，x 3项的系数为30C 06＝1. (2)∵此展开式共有7项， ∴二项式系数最大的项为第4项．∴T 4＝C 36(x )3⎝ ⎛⎭⎪⎫33x 3＝540x . 19．(本小题满分12分)针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和是否喜欢韩剧有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的16，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的23. 若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有多少人？解：设男生人数为x ，依题意可得列联表如下：若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则χ2>3.841， 由χ2＝3x 2⎝⎛⎭⎫x 6×x 6－5x 6×x 32x ·x 2·x 2·x ＝38x >3.841， 解得x >10.24， ∵x 2，x6为整数， ∴若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有12人．20．(本小题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？解：(1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P(X＝200)＝2＋1690＝0.2，P(X＝300)＝3690＝0.4，P(X＝500)＝25＋7＋490＝0.4.因此X的分布列为：(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此EY＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.当200≤n<300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此EY＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．21．(2017·全国卷Ⅲ)(本小题满分12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．附：，χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).解：(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62. 因此，事件A的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表χ2＝200×(62×66－34×38)2100×100×96×104≈15.705.由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg 到55 kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg 到50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．22．(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．解：(1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}， A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意知A 1与A 2相互独立，A 1A －2与A －1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A－2＋A －1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A －2＋A －1A 2)＝P (A 1A －2)＋P (A －1A 2) ＝P (A 1)P (A －2)＋P (A －1)P (A 2) ＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2) ＝25×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－25×12＝12. 故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验， 由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15.于是P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151⎝⎛⎭⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152⎝⎛⎭⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153⎝⎛⎭⎫450＝1125. 故X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35.。

7．2排__列第一课时 排列与排列数公式及简单应用[读教材·填要点]1．排列从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．用符号A m n 表示排列的个数时，有A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)． 2．排列数的相关公式①n ！＝1×2×3×…×n,0！＝1. ②A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！(n －m )！.[小问题·大思维]1．北京—上海，上海—北京的车票是同一个排列吗？提示：由于北京—上海、上海—北京的车票都与顺序有关，所以不是同一个排列． 2．如何判断一个具体问题是不是排列问题？提示：判断一个具体问题是不是排列问题，就是看从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素时是有序还是无序，有序就是排列，无序就不是排列．3．你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗？它们有什么区别？提示：“排列”与“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事．“排列数”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数．[例1] (1)某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？ (2)从2,3,5,7,9中任取两数分别作对数的底数和真数，有多少不同对数值？(3)从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (4)从集合M ＝{1,2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1?[解](1)是．选出的2人，担任正、副班长任意，与顺序有关，所以该问题是排列问题．(2)是．显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有关．(3)是．任取两个数组成点的坐标，横、纵坐标的顺序不同，即为不同的坐标，与顺序有关．(4)不是．焦点在x轴上的椭圆，方程中的a、b必有a>b，a、b的大小一定．排列的特点是“先取后排”，即先从n个不同的元素中取出m个元素，再按一定顺序把这m个元素排成一列．因此，判断一个问题是否为排列问题，只需考察与顺序是否有关，有关则是排列问题，无关则不是排列问题．1．判断下列问题是不是排列问题，并说明理由．(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，有多少种不同的结果？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，有多少种不同的结果？(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？解：(1)不是排列问题；(2)是排列问题．理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两元素的位置无关，但做除法时，两元素谁做除数，谁做被除数不一样，此时与位置有关，故做加法不是排列问题，做除法是排列问题．(3)第一问不是，第二问是．理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法求结果时，与两个元素的位置无关，但列除法算式时，两个元素谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关．选出3个座位与顺序无关，“入座”问题同“排队”，与顺序有关，故选3个座位安排3位客人入座是排列问题．[例2](1)个？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．[解](1)由题意作“树形图”，如下．故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．(2)由题意作“树形图”，如下．故所有的排列为：abc ，abd ，acb ，acd ，adb ，adc ，bac ，bad ，bca ，bcd ，bda ，bdc ，cab ，cad ，cba ，cbd ，cda ，cdb ，dab ，dac ，dba ，dbc ，dca ，dcb .“树形图”是解决简单排列问题的有效方法，特别是元素较少时．在具体操作中，先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素在首位为分类标准，进行分类，在每类中再在前面元素不变的情况下定第二位元素，依次一直进行到完成一个排列．2．写出A ，B ，C ，D 四名同学站成一排照相，A 不站在两端的所有可能站法． 解：如图所示的树形图：故所有可能的站法是BACD ，BADC ，BCAD ，BDAC ，CABD ，CADB ，CBAD ，CDAB ，DABC ，DACB ，DBAC ，DCAB ，共12种．[例3] (1)计算2A 88A 88－A 59；(2)求证：A m n －1＋m A m －1n －1＝A mn .[解](1)2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2－9×8×7×6×5＝8×7×6×5×(8＋7)8×7×6×5×(24－9)＝1.(2)证明：A m n －1＋m A m －1n －1＝(n －1)！(n －1－m )！＋m (n －1)！(n －m )！＝(n －1)！[(n －m ＋m )](n －m )！＝n ！(n －m )！＝A mn .若A q p ＝(55－n )(56－n )…(69－n )(n ∈N ＋且n ＜55)，求q 的值．解：∵55－n,56－n ，…，69－n 中的最大数为69－n ，且共有69－n －(55－n )＋1＝15个，∴(55－n )(56－n )…(69－n )＝A 1569－n ，∴p ＝69－n ，q ＝15.对排列数公式的理解应注意以下两点：(1)排列数公式中连乘积的特点是：第一个因数是n ，后面每一个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是n －m ＋1，共有m 个因数相乘．(2)一般来说，在直接进行具体计算时，选用连乘积形式较好；当对含有字母的排列数的式子进行变形、解方程或论证时，采用阶乘形式较好．3．(1)用A m n 的形式表示(x ＋1)！(x －2)！(x ≥2，x ∈N ＋)；(2)解关于x 的方程A 42x ＋1＝140A 3x . (3)解不等式：A x 8<6A x －28.解：(1)(x ＋1)！(x －2)！＝(x －2)！(x －1)x (x ＋1)(x －2)！＝(x －1)x (x ＋1)＝A 3x ＋1.(2)由A 42x ＋1＝140A 3x 得(2x ＋1)2x (2x －1)(2x －2)＝140x (x －1)(x －2)， 由题意知x ≥3，所以可变形为 (2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)， 整理得4x 2－35x ＋69＝0， 解之得x 1＝3，x 2＝234(舍去)，所以x ＝3. (3)由排列数公式，得8！(8－x )！<6·8！(10－x )！，化简得1<6(10－x )(9－x )，即x 2－19x ＋84<0， 所以7<x <12.又因为x ∈N ＋，0<x ≤8,0<x －2≤8， 所以2<x ≤8且x ∈N ＋， 所以x ＝8.若M ＝A 11＋A 22＋A 33＋…＋A 2 0182 018，则M 的个位数字是( )A ．3B ．8C ．0D ．5[尝试][巧思] 因为A n n ＝1×2×3×…×n ，所以A 55＝1×2×3×4×5＝120，故当n ≥5时，A nn ＝1×2×3×4×5×…×n ＝120×…×n ，其个位数字都是0.[妙解] ∵当n ≥5时，A n n ＝1×2×3×4×5×…×n ＝120×6×…×n ， ∴当n ≥5时A n n 的个位数字为0.又∵A 11＋A 22＋A 33＋A 44＝1＋2＋6＋24＝33，∴M 的个位数字为3. [答案] A1．下列问题属于排列问题的是( ) ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算． A ．①④ B ．①② C ．④D ．①③④解析：选A 由排列的定义可知，①④为排列问题．2.A 67－A 56A 45＝( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：选D A 67＝7×6×A 45，A 56＝6×A 45，所以原式＝36A 45A 45＝36.3．19×18×17×…×10×9等于( ) A ．A 1119 B ．A 1019 C ．A 919D ．A 1919解析：选A 最大数为19， 共有19－9＋1＝11个数∴n ＝19，m ＝11， ∴19×18×17×…×9＝A 1119. 4．已知A 2n ＝132，则n ＝________.解析：A 2n ＝n (n －1)＝132，即n 2－n －132＝0，因为n ∈N *，所以n ＝12. 答案：125．从a ，b ，c ，d ，e 五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b 为首的不同的排列．解析：画出树形图如下：可知共12个． 答案：126．学校举行运动会，从10名队员中选2人参加4×100米接力比赛的第一棒和第四棒，有多少种不同选法？解：从10名队员中选2人参加接力赛对应于从10个元素任取2个元素的一个排列，因此不同选法有A 210＝10×9＝90种．一、选择题1．下列等式中不正确的是( ) A ．n ！＝(n ＋1)！n ＋1B ．A m n ＝A m －1n －1C ．A m n ＝n ！(n －m )！D ．A m －1n －1＝(n －1)！(n －m )！解析：选B A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，A m －1n －1＝(n －1)(n －2)(n －3)…(n －m ＋1)，∴A m n ≠A m －1n －1.2．乘积m (m ＋1)(m ＋2)…(m ＋20)可表示为( ) A ．A 20m B ．A 20m ＋20 C ．A 20m ＋20D ．A 21m ＋20解析：选D可知最大数是m＋20，展开式中是21个连续自然数的积，因而可表示为A21m＋20.3．已知从n个不同的元素中取出4个元素的排列数恰好等于3n·2n－2，则n的可能值为()A．2 B．3C．5 D．6解析：选C由于n≥4.首先排除A、B.若n＝5，则A45＝5×4×3×2＝120，而3n·2n－2＝3×5×23＝120，∴C成立．同理验证，D不成立．4．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120C．72 D．24解析：选D剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.二、填空题5．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)解析：由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1 560条毕业留言．答案：1 5606．计算A59＋A49A610－A510的值为________．解析：A59＋A49A610－A510＝5A49＋A495A510－A510＝6A494A510＝6A4940A49＝320.答案：3 207．要从a，b，c，d，e5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是________．解析：不考虑限制条件有A25种选法，若a当副组长，有A14种选法，故a不当副组长，有A25－A14＝16种不同的选法．答案：168．若2A3n＝3A2n＋1－8A1n，则n的值为__________．解析：原等式化为：2·n(n－1)(n－2)＝3(n＋1)n－8n，∴2n 2－9n ＋9＝0，解得n ＝32(舍)或n ＝3.∴原方程的解为n ＝3. 答案：3 三、解答题9．下列问题是排列问题吗？并说明理由．(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出的3个座位安排3位客人，又有多少种方法？(2)从1,2,3,4,5中任取两个数相加，其结果有多少种不同的可能？从1,2,3,4,5中任取两个数相减，其结果有多少种不同的可能？解：(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．(2)第1问不是排列问题，因为两个数交换位置、结果不变，即位置与顺序无关；第2问是排列问题，因为被减数与减数交换位置后，结果会发生变化，即位置与顺序有关．10．(1)解关于x 的方程：A 7x －A 5xA 5x ＝89；(2)解不等式：A x 9>6A x －29.解：(1)法一：∵A 7x ＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)·(x －5)(x －6)＝(x －5)(x －6)·A 5x ，∴(x －5)(x －6)A 5x －A 5x A 5x＝89.∵A 5x >0，∴(x －5)(x －6)＝90. 故x ＝－4(舍去)，x ＝15.法二：由A 7x －A 5xA 5x＝89，得A 7x ＝90·A 5x ， 即x ！(x －7)！＝90·x ！(x －5)！.∵x ！≠0，∴1(x －7)！＝90(x －5)(x －6)·(x －7)！，∴(x －5)(x －6)＝90.解得x ＝－4(舍去)，x ＝15. (2)原不等式即9！(9－x )！>6·9！(9－x ＋2)！，由排列数定义知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤9，0≤x －2≤9，∴2≤x ≤9，x ∈N ＋.化简得(11－x )(10－x )>6，∴x 2－21x ＋104>0， 即(x －8)(x －13)>0，∴x <8或x >13.又2≤x≤9，x∈N＋，∴2≤x<8，x∈N＋.故x＝2,3,4,5,6,7.第二课时排列数的综合应用[例1]3(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(4)全体站成两排，前排3人，后排4人，其中女生甲和女生乙排在前排，另有2名男生丙和丁因个子高要排在后排．[解](1)(特殊元素优先法)先考虑甲有A13种方案，再考虑其余六人全排列，故N＝A13A66＝2 160(种)．(2)(特殊元素优先法)先安排甲、乙有A22种方案，再安排其余5人全排列，故N＝A22·A55＝240(种)．(3)法一：(特殊元素优先法)：按甲是否在最右端分两类：第一类甲在最右端有N1＝A66(种)，第二类甲不在最右端时，甲有A15个位置可选，而乙也有A15个位置，而其余全排列A55，有N2＝A15A15A55，故N＝N1＋N2＝A66＋A15A15A55＝3 720(种)．法二：(间接法)：无限制条件的排列数共有A77，而甲在左端或乙在右端的排法都有A66，且甲在左端且乙在右端的排法有A55，故N＝A77－2A66＋A55＝3 720(种)．法三：(特殊位置优先法)：按最左端优先安排分步．对于左端除甲外有A16种排法，余下六个位置全排有A66，但减去乙在最右端的排法A15A55种，故N＝A16A66－A15A55＝3 720(种)．(4)将两排连成一排后原问题转化为女生甲、乙要排在前3个位置，男生丙、丁要排在后4个位置，因此先排女生甲、乙有A23种方法，再排男生丙、丁有A24种方法，最后把剩余的3名同学排好有A33种方法．故N＝A23·A24·A33＝432(种)．排列问题的实质是“元素”占“位置”的问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不能排在某个位置上或某个位置不排某些元素，解决该类问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位置．总的来说，解决这类问题有直接法和间接法两种，具体分析时可以按位置来分析，也可以先考虑特殊元素，各种方法可以相互验证．1．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？(1)六位奇数；(2)个位数字不是5的六位数；(3)不大于4 310的四位偶数．解：(1)第一步，排个位，有A13种排法；第二步，排十万位，有A14种排法；第三步，排其他位，有A44种排法．故共有A13A14A44＝288个六位奇数．(2)法一：(直接法)十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类．第一类，当个位排0时，有A55个；第二类，当个位不排0时，有A14A14A44个．故符合题意的六位数共有A55＋A14A14A44＝504(个)．法二：(排除法)0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况．故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504(个)．(3)分三种情况，具体如下：①当千位上排1,3时，有A12A13A24个．②当千位上排2时，有A12A24个．③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A13个；形如41××的有A12A13个；形如43××的只有4 310和4 302这两个数．故共有A12A13A24＋A12A24＋2A13＋A12A13＋2＝110(个)．[例2]3(1)全体站成一排，男、女各站在一起；(2)全体站成一排，男生必须排在一起；(3)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人．[解](1)男生必须站在一起，是男生的全排列，有A33种排法，女生必须站在一起，是女生的全排列，有A44种排法，全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝A33·A44·A22＝288(种)排法．(2)把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故N＝A33·A55＝720(种)．(3)任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排列，故N＝(A25·A22)·A44＝960(种)．保持例题条件不变，若全体站成一排，则男生甲与男生乙之间至少有3人的方法有多少种？解：甲、乙两人中间无人的排法种数N1＝A66·A22＝1 440(种)，甲、乙两人中间有1人的排法种数N2＝(A15·A22)·A55＝1 200(种)，甲、乙两人中间有2人的排法种数N3＝(A25·A22)·A44＝960(种)．故甲、乙两人中间至少有3人的排法种数N＝A77－N1－N2－N3＝1 440(种)．对于某些元素“相邻”的排列问题，一般采用“捆绑法”，即先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再将这若干个元素内部全排列．2．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，求这6人入园顺序排法的种数．解：因为两个小孩要排在一起，所以可把两个小孩视为一个元素与两位妈妈一起排列，有A33A22＝12种排法．又因为两位爸爸必须排列两端，有A22＝2种排法．故这6人入园顺序的排法有A33A22A22＝6×2×2＝24种．[例3](1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？[解](1)先排歌唱节目有A55种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放入舞蹈节目，共有A46种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有A55·A46＝43 200种方法．(2)先排舞蹈节目有A44种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入．所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有A44·A55＝2 880种方法．(1)某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空当，这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”．(2)应用插空法要注意以下几个方面：①确定好哪些是要插入的元素；②数清可插入的位置；③搞清插入时是否有顺序．3．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；(2)2个唱歌节目互不相邻；(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．解：(1)先排唱歌节目有A22种排法，再排其他节目有A66种排法，所以共有A22·A66＝1 440(种)排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A27种插入方法，所以共有A66·A27＝30 240(种)排法．(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A44种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A35种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A22种排法，故所求排法共有A44·A35·A22＝2 880(种)排法.[解]法一：当个位上排0时，千位、百位、十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有A39个；当个位上在“2,4,6,8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任意选一个，百位、十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按分步乘法计数原理有A14·A18·A28个．∴没有重复数字的四位偶数有A39＋A14·A18·A28＝504＋1 792＝2 296(个)．法二：当个位数字排0时，同解法一有A39个；当个位数字是2、4、6、8之一时，千位、百位、十位上可从余下9个数字中任选3个的排列中减去千位数是“0”的排列数，得A14(A39－A28)个．∴没有重复数字的四位偶数有A39＋A14(A39－A28)＝504＋1 792＝2 296(个)．法三：千位数从1,3,5,7,9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位、十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有A15·A15·A28个；千位数从2、4、6、8中任选一个，个位数从余下的四个偶数中任选一个(包括0在内)，百位、十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有A14·A14·A28个．∴没有重复数字的四位偶数有A15·A15·A28＋A14·A14·A28＝41A28＝2 296(个)．法四：将没有重复数字的四位数划分为两类：四位奇数和四位偶数．没有重复数字的四位数有(A410－A39)个，其中四位奇数有A15(A39－A28)个．∴没有重复数字的四位偶数有A410－A39－A15(A39－A28)＝10×A39－A39－5A39＋5A28＝4A39＋5A28＝36A28＋5A28＝41A28＝2 296(个)．1．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有()A．60种B．48种C．36种D．24种解析：选D把A，B视为一人，且B排在A的右边，则本题相当于4人的全排列，故有A44＝24种排法．2．在数字1、2、3与符号＋、－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是()A．6 B．12 C．18 D．24解析：选B符号＋、－只能在两个数之间，这是间隔排列，排法有A33·A22＝12种．3．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有()A．300种B．240种C．144种D．96种解析：选B第一步先从剩余4人中选一个人去巴黎游览共有4种方法；第二步从剩余5人中选3人去另外三个城市有A35种方法．由分步乘法计数原理，共有4×A35＝240(种)不同选择方案．4．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼-15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有()A．12种B．18种C．24种D．48种解析：选C把甲、乙看作1个元素和另一飞机全排列，调整甲、乙，共有A22·A22种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位中，有A23种方法，由分步乘法计数原理可得总的方法种数为A22·A22·A23＝24.5．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有________种．解析：先将5名志愿者排好，有A55种排法，再将2位老人“捆绑”起来插入中间的间隔，有A14·A22，由分步乘法计数原理知，共有A55×A14A22＝960种．答案：9606．从5名短跑运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果A不能跑第一棒，那么有多少种不同的参赛方法？解：法一：当A被选上时，共有A13×A34＝72(种)方法，其中A13表示A从除去第一棒的其他三棒中任选一棒；A34表示再从剩下4人中任选3人安排在其他三棒．当A没有被选上时，其他四人都被选上且没有限制，此时有A44种方法．故共有A13×A34＋A44＝96(种)参赛方法．法二：接力的一、二、三、四棒相当于有四个框图，第一个框图不能填A，有4种填法，其他三个框图共有A34种填法，故共有4×A34＝96(种)参赛方法．法三：(间接法)先不考虑A是否跑第一棒，共有A45＝120(种)方法．其中A在第一棒时共有A34种方法，故共有A45－A34＝96(种)参赛方法．一、选择题1．从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，给法共有()A．5种B．10种C．20种D．60种解析：选C从5本不同的书中选两本送给2名同学，共有A25＝20种不同的方法．2．由1,4,5，x这四个数字组成无重复数字的四位数，若所有四位数的各位上的数字之和为288，则x等于()A．2 B．3C．6 D．8解析：选A经分析可知x≠0，所以这四个数字可组成A44＝24(个)无重复数字的四位数，所以(1＋4＋5＋x)×24＝288，所以x＝2.3．航天员在进行一项太空实验时，先后要实施6个程序，其中程序B和C都与程序D不相邻，则实验顺序的编排方法共有()A．216种B．288种C．180种D．144种解析：选B当B，C相邻，且与D不相邻时，有A33A24A22＝144种方法；当B，C不相邻，且都与D不相邻时，有A33A34＝144种方法，故共有288种编排方法．4．现从甲、乙、丙、丁、戌5名同学中选四位安排参加志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作有一人参加．甲不会开车、乙不会翻译，但都能从事其他三项工作，而丙丁戌能胜任全部四项工作，则不同安排方案的种类是() A．108 B．78C．72 D．60解析：选B分两种情况，乙开车和乙不开车当乙开车时，甲、丙、丁、戌可胜任其余岗位即有A34种安排方案；当乙不开车时，开车人选有3种可能，翻译人选为除乙外的剩余3人，最后还剩3人安排两个岗位，有A23安排方法，故乙不开车时有3×3×A23＝54，则故有A34＋54＝78种不同方案．二、填空题5．由数字1,2,3,4,5五个数可以组成比20 000大且百位数字不是3的没有重复数字的五位数有________个．解析：当万位数字为3时，有A44种情况；当万位数字不是3时，有A13A13A33种情况，故共有A44＋A13A13A33＝78个．答案：786．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组．则不同的选法共有________种．解析：从6名男医生中选出2名有C26种选法，从5名女医生中选出1名有C15种选法，由分步乘法计数原理得不同的选法共有C26·C15＝75(种)．答案：75种7．3个人坐8个位置，要求每个人的左右都有空位，有________种坐法．解析：第一步：摆5个空位置，○○○○○；第二步：3个人带上凳子插入5个空位置之间的四个空，有A34＝24(种)插法，故有24种不同坐法．解此类问题主要用“插空法”．答案：248．在某艺术馆中展出5件艺术作品，其中不同的书法作品2件，不同的绘画作品2件，标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则展出这5件作品的不同方案有________种．解析：把2件书法作品当作一个元素，与其他3件艺术品进行全排列，有2A44＝48种方案．其中，2件绘画作品相邻，有2×2A33＝24种方案，则该艺术馆展出这5件作品的不同方案有48－24＝24种．答案：24三、解答题9．3个女生和5个男生排成一排．(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？(2)如果女生互不相邻，有多少种不同排法？(3)如果女生不站两端，有多少种不同排法？(4)如果甲排在乙的前面，有多少种不同排法？解：(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A66种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A33种排法，因此共有A66·A33＝4 320种不同排法．(2)(插空法)先排5个男生，有A55种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A36种排法，因此共有A55·A36＝14 400种不同排法．(3)法一：(位置分析法)，因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A66种排法，因此共有A25·A66＝14 400种不同排法．法二：(元素分析法)从中间6个位置选3个安排女生，有A36种排法，其余位置无限制，有A55种排法，因此共有A36·A55＝14 400种不同排法．法三：(间接法)3个女生和5个男生排成一排共有A88种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A13·A77种排法和女生排在末位的A13·A77种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需要回来一次，由于两端都是女生有A23·A66种不同的排法，所以共有A88－2A13A77＋A23A66＝14 400种不同的排法．(4)不考虑限制共有A88种排法中，那么在这A88种排法中，包含甲和乙的所有排列法有A22种，由于甲在乙的前面，只占其中一类，因此甲排在乙的前面的所有不同排法有A88A22＝20 160种．10．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的4位数．(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个不同的四位偶数？(3)在所有的四位数中按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数为多少？解：(1)(直接法)A15·A35＝300(个)．(间接法)A46－A35＝300(个)．(2)(直接法)因为0为特殊元素，故先考虑0.若0在个位有A35个；0不在个位时，从2,4中选一个放在个位，再从余下的四个数中选一个放在首位，有A12·A14·A24，故有A35＋A12·A14·A24＝156(个)．(间接法)从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法，有A13·A35，其中第一位是0的有A12·A24个．故适合题意的数有A13·A35－A12A24＝156(个)．(3)1在首位的数有A35＝60(个)．2在首位且0在第二位的数有A24＝12(个)．2在首位且1在第二位的数有A24＝12(个)．以上四位数共有84个，故第85个数是2 301.。

活页作业（一）分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其简单应用基础巩固一、选择题1. 已知一个书包内有7本不同的小说，另一个书包内有5本不同的教科书，则从这两个书包内任取一本书的取法有（）A . 7种B . 5种C. 12 种D. 35种解析：从这两个书包内任取一本书，完成这件事有两类办法. 第一类，从有7本不同小说的书包内任取一本，有7种取法；第二类，从有5本不同教科书的书包内任取一本，有 5 种取法.根据分类加法计数原理知，从这两个书包内任取一本书的取法有7+ 5= 12种.答案：C2. 体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（）A . 12 种B . 7 种C. 24 种D. 49种解析：该学生进门有7种选择，同样出门也有7种选择，由分步乘法计数原理知该学生的进出门方案有7X 7 = 49种.答案：D3. 某人在书店发现了4本好书.他决定至少购买其中的2本，则不同的购书方案共有（）A . 11 种B . 8 种C . 10 种D . 12种解析：分三类.①购买2本，有6种情况；②购买3本，有4种情况；③购买4本，有1种情况.故共有6 + 4 + 1= 11种购书方案.答案：A4 . 5名同学报名参加两个课外活动小组，每名同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A . 10种B . 20 种C. 25 种D. 32 种解析：根据分步乘法计数原理，可知每名同学均有2种不同的报名方法，所以有2X 2 X 2X 2X 2= 32种报名方法.答案：D二、填空题2 25•设集合A = {1,2,3,4} , m, n€ A,则方程盒+鲁=1表示焦点位于x轴上的椭圆有个.解析：因为椭圆的焦点在x轴上，所以当m= 4时，n= 1,2,3;当m= 3时，n = 1,2;当m= 2时，n = 1•即所求的椭圆共有3+ 2 + 1 = 6个.答案：66.有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则不同的报名方法有________________ 种.解析：每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法.根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6 X 5X 4= 120种.答案：120三、解答题7•从甲地到乙地，如果翻过一座山，上山有2条路，下山有3条路•如果不走山路，由山北绕道有2条路，由山南绕道有3条路.(1) 如果翻山而过，有多少种不同的走法？(2) 如果绕道而行，有多少种不同的走法？(3) 从甲地到乙地共有多少种不同的走法？解：(1)分两步.第一步，选一条上山路有2种走法；第二步，选一条下山路有3种走法.•••翻山而过，有2X 3= 6种不同的走法.(2) 分两类.第一类，由山北绕道，有2种走法；第二类，由山南绕道，有3种走法.•••绕道而行，有2+ 3= 5种不同的走法.(3) 分两类.第一类，翻山而过，有6种走法；第二类，绕道而行，有5种走法.•从甲地到乙地共有 6 + 5= 11种不同的走法.&现有高二(四)班学生34人，分为4个组，其中一、二、三、四组分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外活动小组.(1) 选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2) 每组选一名组长，有多少种不同的选法？解：（1）分四类•第一类，从一组学生中选1人有7种不同的选法；第二类，从二组学生中选1人有8种不同的选法；第三类，从三组学生中选1人有9种不同的选法；第四类，从四组学生中选1人有10种不同的选法.所以共有不同选法种数为7 + 8 + 9+ 10= 34.⑵分四步•第一、二、三、四步为分别从一、二、三、四组学生中选一人任组长，所以共有不同选法种数为7X 8X 9X 10= 5 040.知懒提升一、选择题1•甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有（）A . 6种B . 8种C. 10 种 D . 16 种解析：若甲先传给乙，则有甲T乙T甲T乙T甲；甲T乙T甲T丙T甲；甲T乙T丙T 乙T甲，共3种不同的传法，同理甲先传给丙，也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法.答案：A2.已知集合A {1,2,3},且A中至少有一个奇数，则这样的集合有（）A . 2个B . 3个C. 4个 D . 5个解析：当A含一个元素时，A = {1}或{3}；当A含两个元素时，A= {1,2}或{2,3}或{1,3}, •••共有5个集合.答案：D二、填空题3•集合A = {1,2 , - 3} , B= { —1,—2,3,4}，从A, B 中各取一个元素作为点P（x, y）的坐标，可以得到不同的点共有____________ 个.解析：分两类.第一类从集合A中取出的元素作为x的值，第二类从集合B中取出的元素作为x的值；各类中又分两步.根据分步乘法计数原理，可以得到不同的点共有3X4 + 4 X 3 = 24 个.答案：244. _____________________________ 如图，从A T B T C,有_________________ 种不同的走法；从A T C,有_________________________ 种不同的走法.解析：A T B T C分两步.则a<0 , b>0,故满足条件的抛物线有3X 3 = 9 条.第一步，A T B ，有2种走法； 第二步，B T C ,有2种走法.••• A T B T C 共有2 X 2= 4种走法.A T C分两类.第一类，A T B T C 共有4种走法； 第二类，A T C(不经过B)有2种走法. • A T C 共有4+ 2 = 6种走法. 答案：46三、解答题5. 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画. (1) 从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？⑵从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？ (3) 从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？解：(1)分为三类.从国画中选，有 5种不同的选法；从油画中选，有 2种不同的选法； 从水彩画中选，有7种不同的选法.根据分类加法计数原理， 共有5+ 2 + 7= 14种不同的选 法.(2) 分为三步.国画、油画、水彩画分别有 5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法 计数原理，共有 5X 2 X 7= 70种不同的选法.=10种不同的选法;第二类，一幅选自国画，一幅选自水彩画，由分步乘法计数原理知，有 同的选法；第三类，一幅选自油画，一幅选自水彩画，由分步乘法计数原理知，有 同的选法.所以共有10 + 35+ 14= 59种不同的选法.26.从｛ — 3, — 2, — 1,0,1,2,3｝中，任取3个不同的数作为抛物线方程 y = ax+ bx + c(a ^ 0)的系数.如果抛物线过原点，且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有多少条?(3)分为三类.第一类，一幅选自国画， 一幅选自油画， 由分步乘法计数原理知,解：抛物线过原点，则 c = 0•所以抛物线的顶点为bi—4a ,而顶点在第一象限,5 X 7= 35种不 2 X 7= 14种不则a<0 , b>0,故满足条件的抛物线有3X 3 = 9 条.。