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第1课时根式[目标] 1.理解n次方根及根式的概念；2.能正确运用根式运算性质进行运算变换．[重点] 利用根式的运算性质对式子进行化简．[难点] 有条件或复杂根式的化简求值问题.知识点一a的n次方根和根式[填一填]1．a的n次方根(1)定义：如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)表示：2.根式n，被开方数是a.[答一答]1.38是根式吗？根式一定是无理式吗？提示：是根式．根式不一定是无理式．如38是根式，但不是无理式，因为38＝2是有理数．2．对“根式记号”应关注什么？提示：当n为大于1的奇数时，a的n次方根表示为na(a∈R)；当n为大于1的偶数时，n a (a ≥0)表示a 在实数范围内的一个n 次方根，另一个是－n a ，从而(±na )n＝a .知识点二 根式的性质[填一填](1)n0＝0(n ∈N *，且n >1)； (2)(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)； (3)na n＝a (n 为大于1的奇数)；[答一答]3．如何确定根式na 的符号？提示：根式na 的符号由根指数n 的奇偶性及被开方数a 的符号共同确定；①当n 为偶数时，a ≥0，n a 为非负实数；②当n 为奇数时，n a 的符号与a 的符号一致，a >0时，na >0；a ＝0时，n a ＝0；a <0时，na <0.4.na n和(na )n二者之间形式相似，有何区别，它们分别等于什么？提示：(1)(na )n是实数a 的n 次方根的n 次幂．若n 为奇数，存在唯一的x ∈R ，使x ＝na ，满足x n＝a ，即(na )n＝a ；若n 为偶数，只有a ≥0时，na 才有意义，在实数范围内使x n＝a 成立的x 有两个：(±na )n＝a ；而当a <0时，无意义．(2)na n 是实数a n的n 次方根，当n 为奇数时，na n＝a ，当n 为偶数时，na n＝|a |. 综上可知，①当n 为奇数，a ∈R 时，有na n＝(na )n＝a ；②当n为偶数，a≥0时，有na n＝(na)n＝a.类型一根式的概念问题[例1] (1)16的平方根为________，－27的5次方根为________．(2)已知x7＝6，则x＝________.(3)若4x－2有意义，则实数x的取值范围是________．[答案](1)±45－27(2)76 (3)[2, ＋∞)[解析](1)∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为5－27.(2)∵x7＝6，∴x＝76.(3)要使4x－2有意义，则需x－2≥0，即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．[变式训练1] 有下列说法：①3－27＝3；②16的4次方根是±2；③481＝±3；④(x ＋y )2＝|x ＋y |.其中正确的有②④(填上正确说法的序号)．解析：当n 是奇数时，负数的n 次方根是一个负数，故3－27＝－3，所以①错误；16的4次方根有两个，为±2，②正确；481＝3，所以③错误；(x ＋y )2是正数，所以(x ＋y )2＝|x ＋y |，④正确．故填②④.类型二 根式的化简与运算[例2] 求下列各式的值： (1)614－3338－30.125； (2)3(－8)3＋4(3－π)4； (3)(5a －b )5＋(6b －a )6(b >a )．[分析] 利用根式的性质化简各个根式，再进行运算． [解] (1)原式＝254－3278－318＝52－32－12＝12. (2)原式＝－8＋|3－π|＝－8＋π－3＝π－11. (3)原式＝(a －b )＋|b －a |＝a －b ＋b －a ＝0.[变式训练2] (1)化简3a 3＋4(1－a )4的结果是( C ) A ．1 B ．2a －1 C ．1或2a －1D ．0解析：3a 3＋4(1－a )4＝a ＋|1－a |＝⎩⎪⎨⎪⎧1， a ≤1，2a －1， a >1.(2)若9a 2－6a ＋1＝3a －1，求a 的取值范围． 解：因为9a 2－6a ＋1＝(3a －1)2＝|3a －1|＝3a －1， 所以3a －1≥0，所以a ≥13.所以a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞. 类型三 有限制条件的根式化简[例3] 若代数式2x －1＋2－x 有意义，化简 4x 2－4x ＋1＋24(x －2)4.[分析] 先借助代数式有意义确定出x 的取值范围，再进行根式的化简． [解] ∵代数式2x －1＋2－x 有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2－x ≥0.∴12≤x ≤2. ∴4x 2－4x ＋1＋24(x －2)4＝(2x －1)2＋24(x －2)4＝|2x －1|＋2|x －2|＝2x －1＋2(2－x ) ＝2x －1＋4－2x ＝3.进行根式的化简时，我们经常忘记条件，根式有意义常忘记被开方数为0的情况，做题时应引起高度注意．[变式训练3] 设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． 解：原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3<x <3，∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2 (－3<x <1)，－4 (1≤x <3).1．下列各式正确的是( A ) A ．(3a )3＝a B ．(47)4＝－7 C ．(5a )5＝|a |D.6a 6＝a2．已知xy ≠0，且4x 2y 2＝－2xy ，则有( A ) A ．xy <0 B ．xy >0 C ．x >0，y >0D ．x <0，y <0解析：4x 2y 2＝(2xy )2＝|2xy |＝－2xy ，∴2xy <0，∴xy <0. 3．已知x <1，化简(x －13－x )2＝1－x 3－x. 解析：∵x <1，∴原式＝|x －13－x |＝|x －1||3－x |＝1－x3－x.4．若5<a <8，则式子(a －5)2＋(a －8)2＝3. 解析：∵5<a <8，∴a －5>0，a －8<0.∴原式＝|a －5|＋|a －8|＝(a －5)＋(8－a )＝3. 5．已知a <b <0，n >1，n ∈N *，化简n(a －b )n＋n(a ＋b )n. 解：∵a <b <0，∴a －b <0，a ＋b <0.当n 是奇数时，原式＝(a －b )＋(a ＋b )＝2a ； 当n 是偶数时，原式＝|a －b |＋|a ＋b | ＝(b －a )＋(－a －b )＝－2a . ∴n(a －b )n＋n(a ＋b )n＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ，n 为奇数，－2a ，n 为偶数.——本课须掌握的三大问题1．在实数范围内，一个正数的奇次方根是一个正数；一个负数的奇次方根是一个负数． 2．在实数范围内，一个正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；一个负数没有偶次方根．3．0的任何次方根都是0.学习至此，请完成课时作业14。
2.1.1指数与指数幂的运算教案篇一：2.1.1指数与指数幂的运算教案指数与指数幂的运算申请资格种类：高级中学教师资格学科：数学测试人姓名：课题名称：第二章第一节指数函数第一课时指数与指数幂的运算一、教学内容分析指数函数是基本初等函数之一，应用非常广泛。
它是在上一章节学习了函数的概念和基本性质后第一个较为系统研究的基本初等函数。
教科书通过实际问题引入分数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性，为此先将平方根和立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念，然后进一步介绍了分数指数幂及其运算性质，最后结合一个实例，通过有理数指数幂逼近无理数指数幂的方法介绍了无理数指数幂的意义，从而将指数的取值范围扩充到实数。
本节是下一节学习指数函数的基础。
二、教学对象分析授课对象为高一学生。
首先，这个年龄段的学生学习兴趣浓厚、思维活跃和求知欲强。
其次，学生在初中学习阶段已经接触到平方根与立方根、整数指数幂及其运算性质等知识点，为本节学习奠定了知识的基础。
最后，本节的学习过程中对学生观察力、逻辑能力、抽象能力有一定要求，这对该阶段的学生可能会造出一定的困难。
三、教学目标四、教学重点和难点本节的教学重点是理解有理数指数幂的意义、掌握幂的运算。
本节的教学难点是理解根式的概念、掌握根式与分数指数幂之间的转化、理解无理数指数幂的意义。
五、教学方法根据本节课的特点，采用问题探究、引导发现和归纳概括相结合的教学方法。
六、教学过程设计（一）导入新课1、引导学生回忆函数的概念，说明学习函数的必要性，引出实例。
2、以实例引入，让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂的兴趣与欲望。
问题：当生物体死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。
根据此规律，人们想获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t的关系。
引导学生得出关系式：t?1?5730P???2??总结关系式能解决实际问题，让学生体会数学的应用价值，同时指出为了更好地解决实际问题必须进一步深入学习函数。
2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算第一课时根式学习目标：1.知识与技能（1）理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质；（2）能利用根式的性质对根式进行运算．2.过程与方法会求或化简根指数为正整数时的根式.3.情感、态度、价值观由章头主图，结合生活中的例子，引出学生探求数学知识的欲望，激发学生学习数学的兴趣.教学重点：利用n次根式的性质化简n次根式.教学难点：n次根式的性质及应用。
教学方法：本节课采用教师启发讲授，学生自主探究相结合的教学方法. 教学过程：（一）教学引入章头考古学家结合鱼化石碳14残留量推断鱼的死亡时间，课本P48问题1问题2，我们以前的知识解决不了.(二)导入学习问题1:什么是一个数的平方根?什么是一个数的立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢?问题2:①如果2x =a,那么x 叫做a 的平方根; ②如果3x =a,那么x 叫做a 的立方根;如果4x =a,5x =a,又有什么样的结论呢? 你能否据此得到一个一般性的结论? （三）基础学习1.定义：一般地，若*),1(N n n a x n ∈>= 则x 叫做a 的n 次方根，n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
2.性质： ①当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数 记作： n a x = ②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数） 记作：n a x ±=③负数没有偶次方根 ④ 0的任何次方根为0注：当a ≥0时，n a ≥0，表示算术根，所以类似416=±2的写法是错误的.小结：对于一个数的n 次方根，我们一定要先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数和偶数两种情况.（四）深入学习（1）根据n 次方根的意义()nn a =a.例如,()()()33,33,5533332-=-==. （2）利用所学n 次方根的知识,能否求出下列各式的值? ①√(-2)33;②√(-2)44;③√(3-a)2(a>0). 思考：课本P50探究，结合例题可得出： 当n 是奇数时,√a n n=a; 当n 是偶数时,√a n n =|a|={a,a ≥0,-a,a<0.例如,√(-2)33=-2,√255=2;√344=3,√(-3)2=|-3|=3. 总结反思1.0的任何次方根都是‗‗‗‗‗‗.2. 当 为奇数时，正数 的 次方根为； 当 为偶数时，正数 的 次方根为‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗4.当为奇数时，‗‗‗‗‗‗当 为偶数时‗‗‗‗‗‗（五）运用规律,解决问题 课本P50【例1】求下列各式的值:(1)(√-83)3; (2)√(-10)2;(3)√(3-π)44; (4)√(a -b)2(a>b).【例2】化简下列各式: n =n =n =n a n n a n(1)√816; (2)√(-2)26; (3)√-3215; (4)√x 84; (5)√a 2b 46.（六）课堂练习： 练1：求值①33)8(-= -8 ； ②2)10(-= |-10| = 10 ； ③44)3(π-= |π-3| = 3-π ； ④)()(2b a b a >-=|a - b| = a - b . 练2：下列各式中，正确的是（C ）A.3622)2(-=- B. ππ-=-3)3(44 C. 2)2(33-=- D. 12)12(66-=-a a练3：化简=-+-+-3322)1()1()1(a a a 1a - )1(≥a 练4：有下列说法：①1的4次方根是1； ②因为(±3)4＝81，∴481的运算结果为±3.③当n 为大于1的奇数时，na 对任意a ∈R 都有意义； ④当n 为大于1的偶数时，n a 只有当a ≥0时才有意义．其中，正确的是 ( D )A．①③④B．②③④ C．②③D．③④练5＝－4a－1，求实数a的取值范围.[解析] ＝|4a＋1|＝－4a－1，∴4a＋1≤0，∴a≤－14. ∴a的取值范围是(－∞，－14]．七、课后作业1：《高考调研》P39题型一2：预习课本P50-P53。
2.1.1 第一课时 根式学案课前预习学案一．预习目标1.通过填写下面知识空白更好理解根式的概念2.准确把握根式的性质 二．预习内容1．ｎ次方根的定义：如果xn＝ａ，那么ｘ叫做 ．（其中ｎ＞１且N n ∈）2．根式：形如 式子叫根式．这里ｎ叫做 ， 叫做被开数3．根式的性质：（１）n0＝ ；（２） n na )(＝ ；（３）当ｎ是奇数时n na＝ ；当是偶数时n na＝ ．二．课内探究例１：化简下列根式： （１）)(333a a -； （２）)(4444a a+（３）42)9124(22b ab a +-例２：计算：（１）625625++-，（２）)52(()52(311333-++（３）()()()33443232238---+-例３：求使等式)9)(3(2--aa ＝3)3(+-a a 成立的实数的取值范围．三．当堂检测１．以下说法正确的是（ ）Ａ．正数的ｎ次方根是正数 Ｂ．负数的ｎ次方根是负数 Ｃ．０的ｎ次方根是０)(N n ∈ Ｄ．ａ的ｎ次方根是n a２．()0442-+-a a 有意义，则a 的取值范围是（ ）Ａ．2≥a Ｂ．2≥a 且4≠a Ｃ．2≠a Ｄ．4≠a３．若________,022=++<xx x x x 则４．若n a ＝－n a ，则 ．５．若n n 33-=-，则ｎ的取值范围是 ．课后练习与提高1、当１＜ｘ＜３时，化简)1()3(22x x --+的结果是（ ）Ａ．４－２Ｘ Ｂ．２ Ｃ．２Ｘ－４ Ｄ．４2、已知,0a b ab >≠，下列不等式（1）22a b >；(2)22a b>；(3)ba 11<；(4)1133a b >；(5)1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中恒成立的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个3、若62-x 有意义，则ｘ的取值范围是（ ）Ａ．ｘ≥２ Ｂ．ｘ≤－２ Ｃ．ｘ≤－２或ｘ≥２ Ｄ．ｘ∈Ｒ4．某企业生产总值的月平均增长率为p ，则年平均增长率为 。
第1课时根式
学习目标：1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点)2.能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点)
[自主预习·探新知]
1．根式及相关概念
(1)a的n次方根定义
如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示
(3)根式
式子n
a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
2．根式的性质(n>1，且n∈N*)
(1)n为奇数时，n
a n＝a.
(2)n为偶数时，n
a n＝|a|＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧a，a≥0，
－a，a<0.
(3)n
0＝0.
(4)负数没有偶次方根．
思考：(1)(n
a)n的含义是什么？
[提示](n
a)n是实数a的n次方根的n次幂．
(2)(n
a)n中实数a的取值范围是任意实数吗？
[提示]不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R；
当n为大于1的偶数时，a≥0.
[基础自测] 1．思考辨析
(1)实数a的奇次方根只有一个．( )
(2)当n∈N*时，(n
－2)n＝－2.( )
(3)π－2＝π－4.( ) [答案](1)√(2)×(3)×
2.4
16的运算结果是( )
A．2 B．－2 C．±2 D．± 2
A[4
16＝
4
24＝2.]
3．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
【导学号：37102202】
A.4
m2 B.
5
m
C.6
m D.
5
－m
C[当m<0时，6
m没有意义，其余各式均有意义．]
4．若x3＝－5，则x＝________.
－3
5[若x3＝－5，则x＝
3
－5＝－
3
5.]
[合作探究·攻重难]
n次方根的概念问题
(1)27的立方根是________；16的4次方根是________．
(2)已知x6＝2 016，则x＝________.
(3)若4
x＋3有意义，求实数x的取值范围为________.
【导学号：37102203】
(1)3；±2(2)±6
2 016 (3)[－3，＋∞][(1)27的立方根是3；16的4次方根是±2.
(2)因为x6＝2 016，所以x＝±6
2 016.
(3)要使4
x＋3有意义，
则需要x＋3≥0，即x≥－3.
所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)．]
n的奇偶性决定了
n为奇数时，
[跟踪训练]
1．已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子：
①6
－2n；②
5
a2；③
6
－2n＋1；④
9
－a2，其中无意义的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．0个 A [①中(－3)2n
>0，所以6
－
2n
有意义，②中根指数为5有意义，③中(－5)
2n ＋1
<0，因此无意义，④中根指
数为9，有意义．选A.]
利用根式的性质化简求值
化简下列各式： (1)5－5＋(
5
－)5
；
(2)6－
6
＋(62)6
；
(3)
4
x ＋4
；
【导学号：37102204】
[解] (1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4. (2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.
(3)原式＝|x ＋2|＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋2，x ≥－2.
－x －2，x <－2.
[规律方法] 正确区分n
a n
与
n
a
n
n a
n
已暗含了n
a 有意义，据n 的奇偶性可知a 的范围；
n
a n 中的a 可以是全体实数，n
a n 的值取决于n 的奇偶性
[跟踪训练]
2．若9a 2
－6a ＋1＝3a －1
，求a 的取值范围． [解] ∵9a 2－6a ＋1＝
a －
2
＝|3a －1|，
由|3a －1|＝3a －1可知3a －1≥0，∴a ≥1
3.
有限制条件的根式的运算 [探究问题] 1．当a >b 时，a －b
2
等于多少？
提示：当a >b 时，
a －b
2
＝a －b .
2．等式a 2
＝a 及(a )2
＝a 恒成立吗？
(1)若x <0，则x ＋|x |＋x 2
x
＝________.
(2)若－3<x <3，求x 2
－2x ＋1－x 2
＋6x ＋9的值.
【导学号：37102205】
思路探究：(1)由x <0，先计算|x |及x 2
，再化简． (2)结合－3<x <3，开方，化简，再求值． (1)－1 [∵x <0，∴|x |＝－x ，x 2
＝|x |＝－x ，
∴x ＋|x |＋x 2
x
＝x －x －1＝－1.]
[解] (2)x 2
－2x ＋1－x 2
＋6x ＋9 ＝
x －
2
－x ＋
2
＝|x －1|－|x ＋3|，
当－3<x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1<x <3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.
因此，原式＝⎩⎪⎨
⎪⎧
－2x －2，－3<x ≤1，
－4，1<x <3.
x －
－x ＋＝x －1)＋(x ＋3)＝4.
条件不变的情况下，求3
x 3
有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简有条件根式的化简经常用到配方的方法的表达式的正负[当 堂 达 标·固 双 基]
1．下列说法正确的个数是( )
①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，n
a 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，n
a 只有当a ≥0时才有意义． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
B [①16的4次方根应是±2；②4
16＝2，所以正确的应为③④.]
精品试卷2．已知m10＝2，则m等于( )
【导学号：37102206】
A.10
2 B．－
10
2 C.210D．±
10
2
D[∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，
∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±10
2.]
3.π－2＋3
π－3＝________.
1 [π－2＋3
π－3＝4－π＋π－3＝1.]
4．设x<0，则(－x)2＝________.
－x[∵x<0，∴－x>0，∴－x2＝－x.]
5．已知－1<x<2，求x2－4x＋4－x2＋2x＋1的值.
【导学号：37102207】[解]原式＝x－2－x＋2
＝|x－2|－|x＋1|.
因为－1<x<2，
所以x＋1>0，x－2<0，
所以原式＝2－x－x－1＝1－2x.。
