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材料力学求主应力公式
主应力公式是材料力学中的重要概念之一，它描述了在材料内部的应力分布情况。
在这篇文章中，我将向您介绍主应力公式的基本概念和应用。
让我们回顾一下应力的定义。
应力是描述材料内部受力状态的物理量，它是单位面积上的力。
在材料力学中，我们通常将应力分为三个方向：正应力、剪应力和法向应力。
主应力是在某一点上材料中沿着三个主应力方向的应力值。
主应力分别用σ1、σ2和σ3表示，其中σ1是最大的主应力，σ3是最小的主应力。
主应力公式可以用来计算主应力的数值。
根据材料力学的原理，我们有以下公式：
σ1 = (σx + σy) / 2 + ((σx - σy) / 2)^2 + τxy^2)^0.5
σ2 = (σx + σy) / 2 - ((σx - σy) / 2)^2 + τxy^2)^0.5
σ3 = σz
其中，σx、σy和σz分别是材料中某一点上的三个应力分量，τxy 是剪应力分量。
通过这些公式，我们可以计算出材料内部各个点的主应力值。
这些主应力值对于材料的强度和变形特性有着重要的影响。
在工程设计
和材料选择过程中，了解主应力分布情况对于确保结构的安全性和可靠性至关重要。
总结一下，主应力公式是材料力学中用来计算材料内部主应力分布的重要工具。
通过计算主应力，我们可以了解材料受力状态的分布情况，并根据这些信息进行工程设计和材料选择。
主应力公式在实际工程中有着广泛的应用，对于确保结构的安全性和可靠性起着重要的作用。
希望通过这篇文章的介绍，您对主应力公式有了更加深入的了解。
主应力计算公式范文主应力是指在经历外部力作用后，材料内部呈现的最大的平均应力。
在力学中，主应力的计算是通过应力张量及相关公式来确定的。
本文将介绍主应力计算的一般公式和具体计算方法。
主应力计算涉及应力分量的计算和主应力方向的确定。
首先，需要计算出材料内部各个方向上的应力分量。
在材料力学中，应力张量定义为单位面积内的作用力，通常用σ表示。
应力张量是一个二阶张量，包括三个正方向（x、y、z）上的六个分量。
应力张量的分量表示为σxx、σyy、σzz、σxy、σxz、σyz。
其中，σxx表示x方向上的正应力分量，σyy表示y方向上的正应力分量，σzz表示z方向上的正应力分量，σxy表示x和y方向上的剪切应力分量，σxz表示x和z方向上的剪切应力分量，σyz表示y和z方向上的剪切应力分量。
确定各个方向上的应力分量后，可以通过主应力公式计算出主应力的大小和方向。
主应力公式可以表示为：σ1 = (σxx + σyy + σzz) / 2 + sqrt(((σxx - σyy)/2)^2 + ((σyy - σzz)/2)^2 + ((σxx - σzz)/2)^2 + 3(σxy^2 + σxz^2 +σyz^2))/2σ2 = (σxx + σyy + σzz) / 2 - sqrt(((σxx - σyy)/2)^2 + ((σyy - σzz)/2)^2 + ((σxx - σzz)/2)^2 + 3(σxy^2 + σxz^2 +σyz^2))/2σ3 = (σxx + σyy + σzz) / 2其中，σ1、σ2、σ3代表主应力，σxx、σyy、σzz、σxy、σxz、σyz代表应力分量。
主应力公式的计算方法如下：1. 输入材料内各个方向上的应力分量，即σxx、σyy、σzz、σxy、σxz、σyz的数值。
2.按照主应力公式计算出主应力的大小和方向，即σ1、σ2、σ3的数值。
3.根据σ1、σ2、σ3的数值判断主应力的大小关系。
第18章 工程应用本章内容：各种方法的原理及应用本章重点：主应力法，滑移线法，摩擦与边界条件的处理。
18．1 主应力法principal stress method塑性理论：分析变形力——确定变形力, 选设备，设计模具，定工艺精确解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫1663塑性条件应力应变关系几何方程应力平衡方程非常困难甚至无法（共18个未知量）必须简化，近似求解⇒主应力法18．1．1基本原理主应力法（切块法slab method）：基本思路：近似假设应力状态，简化应力平衡方程和塑性条件要点：1) 简化应力状态为平面问题或轴对称问题2) 沿变形体整个截面截取基元体，设正应力与一个坐标无关且均匀分布，摩擦为库伦或常摩擦条件，根据静力平衡，得简化的平衡微分方程3) 列塑性条件时，假定基之接触面上的正应力为主应力（即忽略摩擦力对塑性条件的影响）。
4) 联立求解，并利用边界条件确定积分常数，求出接触面上的应力分布进而求得变形力。
注意：准确程度与假设是否接近实际有关。
18．1. 2 轴对称镦粗变形特点及变形力计算18.1.2.1 镦粗upsetting 变形特点无摩擦：均匀变形有摩擦：鼓形，双鼓形——不均匀镦粗inhomogeneous upsetting 变形分区：Ⅰ区：难变形区 Ⅱ区：大变形区 Ⅲ区：小变形区端面：滑动区，粘着区结论：镦粗是一个非稳定的塑性流动过程18.1.2.2 圆柱体镦粗时变形力计算 求接触面上的应力分布，主要步骤： 1) 截取基元 注意条件：轴对称问题，有：0==z θθρττ θσ为主应力θρσσ=2) 列径向静力平衡方程()()2sin2+++-θσθσσθσθd hdr d dr r h d hrd r r r简化为：02=-++hdr dr hdr hrd r r θστσσ圆柱体镦粗：dr d h r r τθσσσ2-==3) 引入塑性条件 设z σ为主应力 S z =-γσσ0=-⇒γσσd d zγτσd hd z 2-=∴4）设定摩擦条件 假设z μστ=rz z h cedr h z d μσμσσ22-=⇒-=∴5） 引入边界条件求积分常数 2D r =时0=r σ 此时S z =σ得C=hDSeμ()⎪⎩⎪⎨⎧===∴--r z r z Dh u Dh SeSe2222)(μμστσμ 上式即解得应力分布 但上式解存在问题，问题在τ的处理，因为τ≤S 5.0max =τ解决方法：重新设定摩擦条件 实验表明：ab 段：z μστ= 滑动区bc 段：S 5.0=τ 制动区co 段：S h r c S 22≈=γγτ停滞区将上式分别代入γστd d hz 2-=几个特殊点：b 点：b 点处有S b 21=τ 又有：()b z b u στ=ab段代入：()b dz hu se γσ-=22可求b γ 即：u u h dn b 222ιγ+=而对于bc 段（制动区），c hsz +-=γσ在处有b γs u z 5.0=σ 可求出()zb h u usC σγ及+=121 C点：CO段停滞区2222c s h z +-=γσ在处h c ==γγ，C 点z σ应相等可求C 2()[]()2222212γσγ-++=-h hs u s h h u z b18.1.2.3 讨论0<u <0.5 )1(2ψ+>h d三区并存 0<u <0.5 2≤h d≤)1(2ψ+制动区消失u >0 h d≤2 只有停滞区u ≤0.5 n d＞2 停滞区+制动区18.1.2.4 锻粗变形力计算 F=dA z σ⎰⎰ 单位流动压力：A F =ρ将前已计算出的z σ分别积分即求得常摩擦时：us =τγσd husd z 2-= ()[]γσ-+=221d h u z s ()huds p 31+=热锻中按最大摩擦条件s 5.0=τ（全部为制动区）()hd z s γσ-+=5.01()h d s p 611+=18.1.2.5 镦粗时变形功deformation work （选设备用）W=-⎰01h h Fdh=⎰-PAdh h h 01W=⎰1h h p v dh hv =⎰10h h ∈=m v hdh p ρ 注意：变形时单位流动压力与坯料体积及打击速度有关习题 18章 318.1.3 开式模锻drop-forging变形特点及变形力计算18.1.3.1 变形特点定义：利用模具die迫使金属坯料产生塑性变性并充满锻模型腔的一种塑性加工方法过程：1) 镦粗阶段2) 充满模镗阶段3) 上下模闭合阶段（打靠）飞边槽作用：1) 形成阻力2) 容纳多余金属18.1.3.2 变形力计算上下模闭合时需要力最大，所以计算此时的力以圆盘类锻件为例：可分为三个部分⎪⎩⎪⎨⎧飞边仓部飞边桥部锻件主体18.1.3.3 飞边仓部受力分析作用：阻止桥部金属向外流动受力模型：厚壁筒thick-walled barrel 受内压作用1) 取单元体 2) 列静力平衡方程()()0sin 2=⋅⋅-∂+++θγσγθσθγγσσγθγγd d d d d d22sin θθd d ≈()0=++∴γσσγσθγγγd d d即0=++γσσγσθγγd d 3) 屈服准则 ()s βσσγθ=--代入上式γγβσd r sd -=热模锻S 为常数，应力状态为平面应力1.1=βcr s r ln 1.1-=∴σ4) 边界条件21D =γ 处0=γσC=12D∴γσ21ln 1.1D r S =∴仓桥交界处()b D+=2γγγισ211.1D ns =锻模设计常识：一般b D D 21+≤1.6在b D+=2γ处，S S 5.06.1ln 15.1=≈γσ18.1.3.4 飞边桥部变形力计算 受力模型：轴对称镦粗 1) 取单元体2) 列静力平衡方程γτσγd hd 2-=热模锻用最大摩擦条件s 5.0=τγσγd hsd -=∴C hs+-=∴γσγ3) 边界条件：b D +=2γ s 5.0=γσ()hbD s C ++=∴25.0()5.0222+=∴-+hb D sγγσ4) 屈服准则（近似） s z =-γσσ()[]γσ-++=∴b s Dh z 215.1F b =⎰⎰+=22DD z bdA σγπγσd z ∂⋅()()bD b D h b b D b sb F +++⋅++=3225.1π()b D b Fb Ab Fb p b +==π模锻件D>>b 再简化132≈++b D b D()h b b s p 25.1+=∴18.1.3.5 锻件本体变形力受力模型（简化）：圆盘镦粗D φ h 0=2h (透镜状镦粗)1) 取单元体2) 列静力平衡方程γτσγd h d o2-=最大摩擦条件 s 5.0=τc hos +-=∴γσγ3) 边界条件 2D =γ ()5.0222+=-+hr b D s γσ 可求出C()oh D hbs 225.0γγσ-++=∴4) 屈服准则（近似）s z =-γσσ （h 0=2h ）()hD hbz s 425.1γσ-++=∴⎰=∴01224D d D p π()h D h b S 425.1γ-++ =()h Dh b S 125.1++结论：模锻力F=dd b b A p A p +=()()Ad S A S h Dh b b h b 1225.15.1++++=()[]h Dh b Ad Ab h b S D 12225.15.14++++π习题 18章 218.1.4 板料弯曲定义：把平板、型材（管材）弯成一定曲率（角度）的塑性成形工序应用：模具弯、折弯、滚弯、拉弯18.1.4.1 线性弹塑性弯曲 18.1.4.2 弹性弯曲弯矩小⇒弹性变形（弯曲角度小，曲率半径大） 外区受拉内区受压⇒交界处受力为0且位于板厚中间2t+==γρρσε 且应变公式为：()εεεεθρρραρεyy =∂∂-+=（ερ应变中性层曲率半径，y 到中性层距离，弯曲角度） 而弹变时0==z σσρ3ρθθεσEyE ==∴18.1.4.3 弹塑性弯曲弯矩↑⇒角度↑⇒曲率半径↓γ。
当maxθσ≥sσ，板料内外表层进入塑性状态且不断向里扩展，而又由于加工硬化，使周向应力高于初始屈服应力，中性层附近仍处于弹性状态。
18.1.4.4 纯塑性弯曲当弹性变形区很小，可以忽略不计时则可认为变形均处于塑性状态。
18.1.4.5 三维塑性弯曲时的应力应变状态弯曲时⎩⎨⎧⇒三维弯曲刚端牵制塑性流动宽周经,,,,Bθρ18.1.4.6 应变状态周向应变θε：绝对值最大主应变 (BA ≤3)窄板时：刚端牵制作用较弱， B εερ,均存在（BA>3）宽板时：刚端牵制0=B ε， ρε存在18.1.4.7 应力状态θσ：外区θσ>0，内区θσ<0ρσ：内外表面ρσ=0，中性层最大B σ：（B/T ≤3）窄板，宽度方向可自由变形无约束，0=B σ ()2θρσσσ+=∴B窄板：B εεερθ,, ()平面应力0,=B σσσρθ 宽板：(),,,,0B B σσσεεεθρρθ= 平面应变18.1.4.8 宽板弯曲时应力分布（平面应变） 18.1.4.9 无硬化 1）取基元体2）列力平衡条件 ()()0sin22=-++-θθρρρρσθρρσσθρσd d d d d d简化得：()ρρσσσθρρd d +-=3）屈服准则()s s βσσσβσσσθρρθ=+⇒=--ρρρβσσd sd -=∴c c +-=+-=ρρβσρln 155.1ln4）边界条件0r =ρ0ln 155.10r c s σσρ-=⇒=()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=-=∴00ln 2121155.1ln 1155.1ln 155.10r s z r s s r ρρθρσσσσρσσ18.1.4.10 有硬化 S=3ρρισσnS s D D +∈=+初始屈服应力 外区 S=ερρισn S D +内区S=εερρρρισισns ns D D -=+代入()ρρισβσερρρρρd D s d n s d +-=-=155.1()[]c Dns n+-⨯-=∴ρισισερρρ155.1155.122边界条件：R =ρ 0=ρσC=()[]22155.1155.1ερσιισRnn s D R +()[]εερρρρριιισσ222155.1n R n D Rn s -+=再由屈服准则求θσ，由平面变形主应力关系求B σ18.1.4.11 中性层内移由于 外区ρθσβσσ-=s （拉）ρσ影响内区ρθσβσσ+=s （压）⇒>外内θθσσ 为了平衡，中性层向曲率中心方移动（内移）计算1）应力中性层上ρσ应相等。
