数学北师大版六年级下册平方数的相差关系

新北师大版平方差公式从基础到升华八种应用和习题精编+答案解析在这里，a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式。

抓住公式的几个变形形式利于理解公式。

但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有“相同项”，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如(a+b)(a-b)利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(3x+5y)(3x-5y)（3）指数变化：如(m3+n2)(m3-n2)（4）符号变化：如(-a-b)(a-b)（5）增项变化：如(m+n+p)(m-n+p)（6）增因式变化：如(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)图形表示：做题步骤：1）先判断能否使用平方差公式。

判断依据：一对相等项，一对相反项。

2）如果可以使用，则一般情况下我们可以将相等的一项放在多项式的第一位进行计算（第一个数的平方减去第二个数的平方）；3）不管能否使用平方差公式，多项式乘以多项式是基本方法。

表达式:(a+b)(a-b)=a2-b2,两个数的和与这两个数差的积,等于这两个数的平方差,这个公式就叫做乘法的平方差公式注意事项：（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；平方差公式1.平方差公式：22))((b a b a b a -=-+（1） 36－x 2 （2）a 2－91b 2 （3） x 2－16y 2 （4） x 2y 2－z 2（5） (x+2)2－9 （6）(x+a)2－(y+b)2 （7） 25(a+b)2－4(a －b)23.填空：(1)、(2x-1)( )=4x 2-1 (2)、(-4x+ )( -4x)=16x 2-49y 2公式应用第一种情况：直接运用公式（1）（3a+2b ）（3a －2b ）－b （a －b ） （2）（a －1）（a －2）（a+1）（a+2）【答案】：（1）9a 2－ab －3b 2 （2）a 4－5a 2+4 第二种情况：运用公式使计算简便（1）102×98 （2）234×314 （3）－2.7×3.3（4）1007×993 （5）1213×1123 （6）－1945×2015【答案】：（1）9996 （2）81516（3）－8.91 （4）999 951 （5）14389（6）－399.96 第三种情况：两次或者两次以上运用平方差公式1、（a+b ）(a-b)(a 2+b 2)2、(a+2)(a-2)(a 2+4)3、(x- 12)(x 2+ 14)(x+ 12)第四种情况：需要先变形再用平方差公式1、（-2x-y ）(2x-y)2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y)4.(4a-1)(-4a-1)5.(b+2a)(2a-b)6.(a+b)(-b+a)7.(ab+1)(-ab+1)第五种情况：每个多项式含三项或者三个以上1. （a+2b+c ）(a+2b-c)2. (a+b-3)(a-b+3)3. x-y+z)(x+y-z)4. (m-n+p)(m-n-p)第六种情况：变化指数幂后进行应用1248-能被60和70之间的两个数整除，这两个数各是多少？解析：因为48=2×24，所以22424248)2()2(2==，6365)12)(12(79)12)(12)(12()12)(12)(12)(12)(12()12)(12)(12)(12()12)(12)(12(]1)2)[(12()12)(12()12)(12(1)2(121224612243361224661224121224212242424242422448⨯⨯++=⨯⨯+++=-++++=+-++=-++=-+=-+=-+=-=-由60<65,63<70,所以这两个是63,65，第七种情况，在排列组合中的应用已知)10,...,1(9==+i y x i i ，求值∑∑===10110122i i i i y x解析：由9,...9,9x 10102211=+=+=+y x y x y ，得10211021......x y y y x x +++=+++，()0)]...()...[(9)...(9))((...))(())((...)()()...()...x 102110211010221110101010222211112102102222212121022212102221=+++++++=-++-+-=-+++-++-+=-++-+-=+++-+++y y y x x x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y y y x x （故原命题成立第八种情况，在根式中的应用平方差公式练习题精选培优篇一、基础训练1．下列运算中，正确的是（）A．（a+3）（a-3）=a2-3 B．（3b+2）（3b-2）=3b2-4 C．（3m-2n）（-2n-3m）=4n2-9m2 D．（x+2）（x-3）=x2-6 2．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A．（x+1）（1+x）B．（12a+b）（b-12a）C．（-a+b）（a-b）D．（x2-y）（x+y2）3．对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的整数是（）A．3 B．6 C．10 D．94．若（x-5）2=x2+kx+25，则k=（）A．5 B．-5 C．10 D．-105．9.8×10.2=________;6．a2+b2=（a+b）2+______=（a-b）2+________．7．（x-y+z）（x+y+z）=________; 8．（a+b+c）2=_______．9．（12x+3）2-（12x-3）2=________．10．化简（1）（2a-3b）（2a+3b）；（2）（-p2+q）（-p2-q）；（3）（x-2y）2；（4）（-2x-12y）2．（7）（3a+2b）（3a－2b）－b（a－b）（8）（a－1）（a－2）（a+1）（a+2）（9）（a+b）（a－b）+（a+2b）（a－2b）（10）（x+2y）（x－2y）－（2x+5y）（2x－5y）（11）（2m－5）（5+2m）+（－4m－3）（4m－3）（12）（a+b）（a－b）－（a－3b）（a+3b）+（－2a+3b）（－2a－3b）11．化简（1）（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）；（2）（x+y-z）（x-y+z）-（x+y+z）（x-y-z）．12．运用平方差公式计算:220051200520042006-⨯（）（2）99×101×10 001．13．解方程:（1）2（x+3）（x－3）=x2+（x－1）（x+1）+2x（2）（2x－1）（2x+1）+3（x+2）（x－2）=（7x－1）（x+1）（3）计算：（4x－3y－2a+b）2－（4x+3y+2a－b）214．有一块边长为m的正方形空地，想在中间位置修一条“十”字型小路，•小路的宽为n，试求剩余的空地面积；用两种方法表示出来，比较这两种表示方法，•验证了什么公式？二、能力训练15．如果x2+4x+k2恰好是另一个整式的平方，那么常数k的值为（）A．4 B．2 C．-2 D．±216．已知a+1a=3，则a2+21a，则a+的值是（）A．1 B．7 C．9 D．1117．若a-b=2，a-c=1，则（2a-b-c）2+（c-a）2的值为（）A．10 B．9 C．2 D．118．│5x-2y│·│2y-5x│的结果是（）A．25x2-4y2B．25x2-20xy+4y2C．25x2+20xy+4y2D．-25x2+20xy-4y2 19．若a2+2a=1，则（a+1）2=_________．三、综合训练20．（1）已知a+b=3，ab=2，求a2+b2；（2）若已知a+b=10，a2+b2=4，ab的值呢？（3）先化简，再求值:（3a+1）（3a－1）－（2a－3）（3a+2），其中a=－13．21．解不等式（3x-4）2>（-4+3x）（3x+4）．22．观察下列各式的规律．12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；32+（3×4）2+42=（3×4+1）2；…（1）写出第2007行的式子；（2）写出第n行的式子，并说明你的结论是正确的．参考答案1．C 点拨：在运用平方差公式写结果时，要注意平方后作差，尤其当出现数与字母乘积的项，系数不要忘记平方；D项不具有平方差公式的结构，不能用平方差公式，•而应是多项式乘多项式．2．B 点拨：（a+b）（b-a）=（b+a）（b-a）=b2-a2．3．C 点拨：利用平方差公式化简得10（n2-1），故能被10整除．4．D 点拨：（x-5）2=x2-2x×5+25=x2-10x+25．5．99.96 点拨：9.8×10.2=（10-0.2）（10+0.2）=10-0.2=100-0.04=99.96．6．（-2ab）；2ab7．x2+z2-y2+2xz点拨：把（x+z）作为整体，先利用平方差公式，•然后运用完全平方公式．8．a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc点拨：把三项中的某两项看做一个整体，•运用完全平方公式展开．9．6x 点拨：把（12x+3）和（12x-3）分别看做两个整体，运用平方差公式（12x+3）2-（12x-3）2=（12x+3+12x-3）[12x+3-（12x-3）]=x·6=6x．10．（1）4a2-9b2；（2）原式=（-p2）2-q2=p4-q2．点拨：在运用平方差公式时，要注意找准公式中的a，b．（3）x4-4xy+4y2；（4）解法一：（-2x-12y）2=（-2x）2+2·（-2x）·（-12y）+（-12y）2=4x2+2xy+14y2．解法二：（-2x-12y）2=（2x+12y）2=4x2+2xy+14y2．点拨：运用完全平方公式时，要注意中间项的符号．（5）9a2－ab－3b2（6）a4－5a2+4（7）2a2－5b2（8）21y2－3x2(9）－12m2－16(10) 4a2－b212．（1）利用平方差公式把2004×2006=（2005-1）（2005+1）=2005²-1，化简即可得到2005（2）利用99×101=99×（100+1）=9999，代入得到99 999 99913．（1）原式=（4a2-b2）（4a2+b2）=（4a2）2-（b2）2=16a4-b4．点拨：当出现三个或三个以上多项式相乘时，根据多项式的结构特征，•先进行恰当的组合．（2）原式=[x+（y-z）][x-（y-z）]-[x+（y+z）][x-（y+z）]=x2-（y-z）2-[x2-（y+z）2]=x2-（y-z）2-x2+（y+z）2=（y+z）2-（y-z）2=（y+z+y-z）[y+z-（y-z）]=2y·2z=4yz．点拨：此题若用多项式乘多项式法则，会出现18项，书写会非常繁琐，认真观察此式子的特点，恰当选择公式，会使计算过程简化．（3）．先化简3a2+5a+5，代入得到结论11 314．解法一：如图（1），剩余部分面积=m2-mn-mn+n2=m2-2mn+n2．解法二：如图（2），剩余部分面积=（m-n）2．∴（m-n）2=m2-2mn+n2，此即完全平方公式．点拨：解法一：是用边长为m的正方形面积减去两条小路的面积，注意两条小路有一个重合的边长为n的正方形．解法二：运用运动的方法把两条小路分别移到边缘，剩余面积即为边长为（m-n）•的正方形面积．做此类题要注意数形结合．15．D 点拨：x 2+4x+k 2=（x+2）2=x 2+4x+4，所以k 2=4，k 取±2．16．B 点拨：a 2+21a =（a+1a）2-2=32-2=7． 17．A 点拨：（2a-b-c ）2+（c-a ）2=（a+a-b-c ）2+（c -a ）2=[（a-b ）+（a-c ）] 2+（c-a ）2=（2+1）2+（-1）2=9+1=10．18．B 点拨：（5x-2y ）与（2y-5x ）互为相反数；│5x-2y │·│2y-5x │=（5x-•2y ）2•=25x 2-20xy+4y 2．19．2 点拨：（a+1）2=a 2+2a+1，然后把a 2+2a=1整体代入上式．20（1）a 2+b 2=（a+b ）2-2ab ．∵a+b=3，ab=2，∴a 2+b 2=32-2×2=5．（2）∵a+b=10，∴（a+b ）2=102，a 2+2ab+b 2=100，∴2ab=100-（a 2+b 2）．又∵a 2+b 2=4，∴2ab=100-4，ab=48．点拨：上述两个小题都是利用完全平方公式（a+b ）2=a 2+2ab+b 2中（a+）、ab 、（a 2+b 2）•三者之间的关系，只要已知其中两者利用整体代入的方法可求出第三者．21．（3x -4）2>（-4+3x ）（3x+4），（3x ）2+2×3x ·（-4）+（-4）2>（3x ）2-42，9x 2-24x+16>9x 2-16，-24x>-32．x<43． 点拨：先利用完全平方公式，平方差公式分别把不等式两边展开，然后移项，合并同类项，解一元一次不等式．22．（1）（2007）2+（2007×2008）2+（2008）2=（2007×2008+1）2（2）n 2+[n （n+1）] 2+（n+1）2=[n （n+1）+1] 2．证明：∵n 2+[n （n+1）] 2+（n+1）2=n 2+n 2（n+1）2+n 2+2n+1=n 2+n 2（n 2+2n+1）+n 2+2n+1=n 2+n 4+2n 3+n 2+n 2+2n+1=n 4+2n 3+3n 2+2n+1．而[n （n+1）+1] 2=[n （n+1）] 2+2n （n+1）+1=n 2（n 2+2n+1）+2n 2+2n+1=n 4+2n 3+n 2+2n 2+2n+1=n 4+2n 3+3n 2+2n+1，所以n 2+[n （n+1）] 2+（n+1）2=[n （n+1）+1]²。

一、完全平方数常用性质1. 特征1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。

不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。

2. 性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N 为完全平方数⇔自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ．性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．3. 一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

知识框架平方数、奇偶性、位值原理7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

4.重点公式回顾：平方差公式：22()()-=+-a b a b a b二、奇数和偶数1.定义整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

必考知识点第一部分【常用的数量关系】1、每份数×份数=总数；总数÷每份数=份数；总数÷份数=每份数2、速度×时间=路程；路程÷速度=时间；路程÷时间=速度3、单价×数量=总价；总价÷单价=数量；总价÷数量=单价4、工作效率×工作时间=工作总量；工作总量÷工作效率=工作时间；工作总量÷工作时间=工作效率；5、加数+加数=和；和-一个加数=另一个加数6、被减数-减数=差；被减数-差=减数；差+减数=被减数7、因数×因数=积；积÷一个因数=另一个因数8、被除数÷除数=商；被除数÷商=除数；商×除数=被除数第二部分【小学数学图形计算公式】1、正方形（C:周长，S：面积，a:边长）周长=边长×4；C=4a面积=边长×边长；S=a×a2、正方体（V：体积，a：棱长）表面积=棱长×棱长×6；S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长；V= a×a×a3、长方形（C:周长，S：面积，a:边长，b：宽）周长=（长+宽）×2；C=2(a+b)面积=长×宽；S=a×b4、长方体（V：体积，S：面积，a:长，b：宽，h:高）（1）表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2；S=2(ab+ah+bh)（2）体积=长×宽×高；V=abh5、三角形（S：面积，a:底，h:高）面积=底×高÷2 ；S=ah÷2三角形的高=面积×2÷底三角形的底=面积×2÷高6、平行四边形（S：面积，a:底，h:高）面积=底×高；S=ah7、梯形（S：面积，a:上底，b：下底，h:高）面积=(上底+下底)×高÷2；S=(a+b)×h÷28、圆形（S：面积，C：周长，π：圆周率，d：直径，r：半径）（1）周长=π×直径π=2×π×半径；C=πd=2πr（2）面积=π×半径×半径；S= πr²9、圆柱体（V：体积，S：底面积，C：底面周长，h：高，r：底面半径）（1）侧面积=底面周长×高=Ch=πdh=2πrh（2）表面积=侧面积+底面积×2（3）体积=底面积×高10、圆锥体（V：体积，S：底面积，h：高，r：底面半径）体积=底面积×高÷311、总数÷总份数=平均数12、相遇问题：相遇路程=速度和×相遇时间；相遇时间=相遇路程速度和；速度和=相遇路程÷相遇时间13、利润与折扣问题：利润=售出价-成本；利润率=利润÷成本×100%；利息=本金×利率×时间；涨跌金额=本金×涨跌百分比；税后利息=本金×利率×时间×（1-利息税）第三部分【常用单位换算】（一）长度单位换算1千米=1000米；1米=10分米；1分米=10厘米；1米=100厘米；1厘米=10毫米（二）面积单位换算：1平方千米=100公顷；1公顷=10000平方米；1平方米=100平方分米；1平方分米=100平方厘米；1平方厘米=100平方毫米（三）体积（容积）单位换算：1立方米=1000立方分米；1立方分米=1000立方厘米；1立方分米=1升；1立方厘米=1毫升；1立方米=1000升（四）重量单位换算：1吨=1000千克；1千克=1000克；1千克=1公斤（五）人民币单位换算：1元=10角；1角=10分；1元=100分（六）时间单位换算：1世纪=100年；1年=12月；【大月（31天）有：1、3、5、7、8、10、12月】；【小月（30天）有：4、6、9、11月】【平年：2月有28天；全年有365天】；【闰年：2月有29天；全年有366天】1日=24小时；1时=60分=3600秒；1分=60秒；小升初经典必考题型50道1.已知一张桌子的价钱是一把椅子的10倍，又知一张桌子比一把椅子多288元，一张桌子和一把椅子各多少元？解题思路：由已知条件可知，一张桌子比一把椅子多的288元，正好是一把椅子价钱的（10-1）倍，由此可求得一把椅子的价钱。

北师大版六年级下册《第3章 数与代数》小学数学-有答案-单元测试卷（安徽省宿州市符离三小）一、请你填一填．（只有一空的每题1分，其余每空0.5分，共16分）1. 地球的表面积是________平方千米，横线上的数写作________，改写成用“万”作单位的数是________万，四舍五入到亿位是________亿。

2. 9÷________=()20=0.25=3：________=________%．3. 把一根5米长的铁丝平均分成8段，每段的长度是这根铁丝的________，每段长________米。

4. 37的分数单位是________，再添上________个这样的分数单位就是最小的质数。

5. 甲仓库存粮x 吨，乙仓库存粮是甲仓库的2.5倍，两仓库共存粮________吨。

6. 三(3)班共有学生60人，今天缺席6人，出勤率是________%．7. 分母是12的所有最简真分数的和是________．8. 既是奇数又是合数的最小两位数是________，既有因数2，又是3和5的倍数的最小三位数是________．这两个数的最大公因数是________．9. 在比例尺是1:5000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是12cm ，甲、乙两地的实际距离是多少千米？10. 一件衣服打八折后售价比原价便宜了60元，原价是________元。

11. 甲数是乙数的58，乙数比甲数多()()．12. 两根钢管的长分别是28米和42米，锯成同样长的小段并且不浪费，每一段钢管最长是________，共可以锯成________段。

13. 5000平方米=________公顷 2时40分=________分。

14. 将0.333、33%、13、0.34、0.4按从小到大的顺序排列。

________．小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。

________．（判断对错）6吨的17和1吨的67一样多。

【适合年级】六年级【教学目标】学生能通过合适的学习材料进行自主地分析、比较、概括等活动，让学生发现平方数的相差关系存在的一般性规律；通过看看、画画、想想、说说等活动，自主有效地建构平方差公式，并且运用规律解决相关数学问题。

【教学重点、难点】掌握并运用平方差公式解决相关的数学问题；自主探索，发现平方数的相差关系存在的一般性规律。

【教学过程】一、复习引入，激发参与1.旧知回顾，引入学习。

师：32、42、52、62、72、352、652你认识这些数吗？师：你能说说，它们分别表示什么意思？怎么读呢？生：32表示3×3，读作3的平方。

……师：我们把这些数叫做“平方数”。

在两个平方数之间添加一个减号，如“42-32”，这两个平方数就建立了相差关系。

师：请大家回忆一下，以前学习哪个知识时，是两个完全相同的数相乘的？生：边长×边长=正方形面积。

2.揭示课题，明确方向。

师：今天我们就一起来研究“平方数的相差关系”。

【设计意图：简单的回顾环节，其目的之一是让学生的学习有一个预热的过程；其次是课的开始起点低些，利于学生高效参与；同时，也能促进学生学习进入温故而知新的状态。

】二、新知探索，自主建构1.初步感知平方数的相差关系。

师：下图中小正方形的面积为1个面积单位的话，你能从格子图中找到42与32分别在哪里吗？师：你们能找到42与32的相差部分吗？并把它涂上阴影。

师：如果再给几组有相差关系的平方数，让你研究他们之间相差关系存在什么规律，你们可以完成吗？【设计意图：学习的过程是一个由浅入深、循序渐进的过程，此环节借助格子图来直观感知平方数及其相差部分，目的在于让抽象的数能与直观的图初步建立联系，为后面深入进行有效探索做好铺垫。

】2.深入探究平方数的相差关系。

（1）问题驱动，自主探索平方数的相差关系。

（在黑板上依次写出几组具有相差关系的平方数52-32、72-42、652-352，并出示活动要求）活动要求：①选择1～2个算式，在对应的格子图中表示出两个平方数相差的关系，并用阴影涂出这两个平方数相差的部分。