安徽省淮北市高二数学上学期期中考试试题新人教A版

2022-2023学年高中高二上数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 直线与轴交于点，把 绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则（ ）A.B.C.D.2. 下列直线与直线平行的是( )A.B.C.D.3. 在中，为线段的中点，点在边上，且，与交于点，则（ ）A.B.C.D.l :x −y +2=03–√x A l A 45∘m m αcos α=−+6–√2–√4−2–√6–√4+6–√2–√4−6–√2–√4x −2y +1=02x +y −1=0x +2y −1=02x −y −1=0x −2y −1=0△ABC D AC E BC =BE −→−13EC −→−AE BD O =AO −→−+25AB −→−45AC −→−AB +3515AC −→−+15AB −→−35AC −→−+25AB −→−25AC −→−4. （重庆南开中学二诊）已知为椭圆的一个焦点，且该椭圆的焦距为，若是过椭圆中心的弦，则面积的最大值是（ ）A.B.C.D.5. 在坐标平面内，过点且与点距离相等的直线方程是( )A.B.C.D.或6. 已知直线与单位圆相交于，两点，且圆心到的距离为，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.7. 如图，在长方体中，，，，为的中点，则直线与平面所成角的大小是( )A.B.F +=1(0<m <25)y 225x 2m 4AB △FAB 612421−−√221−−√P (−1,2)A (2,3),B (−4,5)x +3y −5=0x +3y −7=0x =−1x +3y −5=0x =−1l O A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2O l 3–√2|+|+|+|x 1y 1x 2y 2[,]6–√26–√[,]3–√6–√[,]6–√23–√[,]2–√3–√ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =2AD =1A =A 12–√E C 1D 1BE ABB 1A 1π6π4πC.D. 8. 已知、分别是双曲线：＝的左、右焦点，为轴上一点，为左支上一点，若（+）•＝，且周长最小值为实轴长的倍，则双曲线的离心率为（　　）A.B.C.D.9. 过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，若的焦点为，则( )A.B.C.D.10. 在平面直角坐标系中，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的最大值为( )A.B.C.D.11. 已知椭圆的焦距为，则 A.π3π2F 1F 2C 1(a >0,b >0)P y Q 0△P Q F 24C 2(−2，0)23C :=4x y 2M ，N C F ⋅=FM −→−FN −→−5678xOy y =kx −21C :+−8x +15=0x 2y 2k 34233243+=1(m >6)x 26y 2m2m =()37−−√B.C.D.12. 在直角坐标系中，定义两点，之间的“直角距离”为，现给出四个命题：①已知，，，则为定值；②用表示，两点间的“直线距离”，那么；③已知为直线上任一点，为坐标原点，则的最小值为；④已知，，三点不共线，则必有.(参考公式：) 则说法正确的是( )A.②③B.①④C.①②D.①②④卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知实数，，成等差数列，点在动直线（，不同时为零）上的射影点为，若点的坐标为，则线段长度的最大值是________．14. 设椭圆的焦点为 ，， 点在椭圆上，若 是直角三角形， 的面积为________．15. 在三棱柱中，底面，底面为正三角形，是的中点，若半径为的球与三棱柱的三个侧面以及上、下底面都相切，则________；若直线与球的球面交于两点，，则________．16. 已知点是椭圆 上的一点， 分别为椭圆的左、右焦点，已知 ，且 ，则椭圆的离心率为________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知椭圆的长轴长为，且经过点.求椭圆的标准方程.37749P(,)x 1y 1Q(,)x 2y 2d(P,Q)=|−|+|−|x 1x 2y 1y 2P(1,3)Q(x,x)sin 2cos 2x ∈R d(P,Q)|PQ |P Q |PQ |≥d(P,Q)2–√2P y =x +2O d(P,Q)2–√P Q R d(P,Q)+d(Q,R)>d(P,Q)+≥(a +b a 2b 212)2a b c P(−3,0)ax +by +c =0a b M N (2,3)MN +=1x 24y 23F 1F 2P △PF 1F 2△PF 1F 2ABC −A 1B 1C 1A ⊥A 1ABC ABC D BC 1O ABC −A 1B 1C 1BC =D A 1O M N MN =P +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2，F 1F 2∠P =F 1F 2120∘|P |=2|P |F 1F 2C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b24(1，)32(1)C (2)l :y =k(x −4)C A ，B A设动直线交椭圆于两点，点与点关于轴对称.问：直线是否经过轴上一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.18. 已知点在圆上．求该圆的圆心坐标及半径长；过点，斜率为的直线与圆相交于，两点，求弦的长．19. 双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求其方程.20. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的一点，且直线，的斜率之积为.求椭圆的标准方程；直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求.21. 已知正方形，，分别是，的中点，将沿折起，如图所示，记二面角的大小为．证明：平面；若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求角的正弦值．22. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为且双曲线过点求双曲线的方程；若点 在双曲线上，（其中 ，求 的值．(2)l :y =k(x −4)C A ，B A D x BD x (2,−3)C :+−8x +6y +m =0x 2y 2(1)(2)M (−1,1)−43l C A B AB +=1x 227y 236(,4)15−−√C :+=1(a >)x 2a 2y 233–√A 1A 2P C A 1A 2PA 1PA 2−34(1)C (2)l F 2C M N M N A 1l x +=−k M A 1k N A 1k MN |MN|ABCD E F AB CD △ADE DE A −DE −C θ(0<θ<π)(1)BF //ADE (2)△ACD A BCDE G EF θF 1F 22–√P(4,−)10−−√(1)(2)M (3,m)m <0)⋅MF 1−→−−MF 2−→−−参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】设的倾斜角为，则，∴由题意知∴故选：．2.【答案】D【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【解析】分别求出各条直线的斜率，然后利用平行直线的斜率关系即可求解.【解答】解：由题意，直线的斜率为，直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故正确.所以与平行的是.故选.1θtan θ=3–√θ=60∘α=θ−=−45∘60∘45∘cos α=cos(−)=cos cos +sin sin sin 60∘45∘60∘45∘60∘45∘45∘=×+×=+122–√23–√22–√22–√44–√C x −2y +1=0122x +y −1=0−2A x +2y −1=0−12B 2x −y −1=02C x −2y −1=012D x −2y +1=0x −2y −1=0D3.【答案】B【考点】向量在几何中的应用【解析】设，，将分别用含有、的算式表示出来，根据向量相等得到关于、的方程组，解方程组得到、的值，即可表示出【解答】解：依题意，设，，则同理，所以 解得 所以．故选．4.【答案】D=λBO −→−OD −→−=μAO −→−AE −→−||AO −→−λμλμλμAO−→−=λBO −→−BD −→−=μAO −→−AE −→−=μ=μ(+)AO −→−AE −→−AB −→−BE −→−=μ(+)AB −→−14BC −→−=μ[+(−)]=+AB −→−14AC −→−AB −→−3μAB −→−4μ4AC −→−=+=+λAO −→−AB −→−BO −→−AB −→−BD −→−=+λ(−)=+λ(−)AB −→−AD −→−AB −→−AB −→−12AC −→−AB −→−=(1−λ)+AB −→−λ2AC −→− =1−λ,3μ4=,μ4λ2 λ=25μ=45=+AO −→−35AB −→−15AC −→−B椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】由已知得，所以椭圆方程为．设，的横坐标分别为，，则，即当点与点到轴的距离的和最大时，的面积取得最大值，所以当线段为椭圆短轴时，面积最大，此时最大值为，故选．【方法点拨方法点拨】求解本题的关键：一是会用待定系数法求出椭圆的标准方程；二是会转化，把所求的三角形面积的最值问题转化为两动点到轴距离的和的最值．本题考查椭圆的图象和性质、最值问题．5.【答案】D【考点】点到直线的距离公式【解析】当直线为时，满足条件，因此直线方程可以为；当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，可得，解出即可得出．【解答】解：①当所求直线方程为时，到点距离相等，∴所求直线方程为.②当所求直线的斜率存在时，设所求直线方程为：，整理得：，∴，整理得：，解得：，∴所求直线方程为：，即.综上，所求直线方程为：或．故选．6.c =2,m =25−=2122+=1y 225x 221A B x A x B =|OF|⋅(||+S △FAB 12x A ||)=||+||x B x A x B A B y △FAB AB △FAB |OF||AB|=×12122×2=221−−√21−−√D y l x =−1l x =−1l l y −2=k (x +1)=|2k −3+k +2|1+k 2−−−−−√|−4k −5+k +2|1+k 2−−−−−√x =−1A (2,3)，B (−4,5)x =−1y −2=k (x +1)kx −y +k +2=0=|2k −3+k +2|1+k 2−−−−−√|−4k −5+k +2|1+k2−−−−−√|3k −1|=|3k +3|k =−13y −2=−(x +1)13x +3y −5=0x +3y −5=0x =−1DA【考点】直线与圆相交的性质直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】17.【答案】A【考点】直线与平面所成的角【解析】取的中点，连接，，则为直线与平面所成的角，由此能求出直线与平面所成角的大小．【解答】解：如图，取的中点，连结，，则为直线与平面所成的角．由题意可得，，则，故.即直线与平面所成角的大小是．故选.8.【答案】BA 1B 1F EF BF ∠EBF BE ABB 1A 1BE ABB 1A 1A 1B 1F EF BF ∠EBF BE ABB 1A1EF =AD =1BF ==2+1−−−−√3–√tan ∠EBF ===EF BF 13–√3–√3∠EBF =π6BE ABB 1A 1π6A双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】D【考点】抛物线的性质数量积的坐标表达式直线的一般式方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，抛物线的焦点的坐标为，该条直线的方程为，联立得解得两点坐标分别为，所以.故选.10.【答案】D【考点】直线与圆的位置关系F (1，0)y =x +2343y =x +，2343=4x ，y 2M ，N (1,2)，(4,4)⋅=8FM −→−FN −→−D圆化成标准方程，得圆心为且半径，根据题意可得到直线的距离小于或等于，利用点到直线的距离公式建立关于的不等式，解之得，即可得到的最大值．【解答】解：由题意，圆的方程为，整理，得，则圆心为，半径．又直线上至少存在一点，使以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，所以点到直线的距离小于或等于，即，化简，得，解得，故的最大值是．故选．11.【答案】C【考点】椭圆的应用椭圆的定义和性质【解析】【解答】解：依题意可得，则．故选.12.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用进行简单的合情推理两点间的距离公式C C(4,0)r =1C y =kx −22k 0≤k ≤43k C +−8x +15=0x 2y 2(x −4+=1)2y 2C(4,0)r =1y =kx −21C C y =kx −22≤2|4k −0−2|+1k 2−−−−−√3−4k ≤0k 20≤k ≤43k 43D =m −6=1c 2m =7C先根据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．【解答】解：①若，，则为定值，故①正确；②表示，两点间的“直线距离”，那么，即，故②正确；③已知为直线上任一点，设，，则，表示数轴上的到和的距离之和，其最小值为，故③不正确；④∵，，三点不共线，且，故，故④正确.故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】实数，，成等差数列，可得，于是动直线（，不同时为零）化为：，即，利用直线系可得：动直线过定点：．因此点在以为直径的圆上，利用中点坐标公式可得：圆心为线段的中点：，半径．则线段长度的最大值．【解答】解：∵实数，，成等差数列，∴，∴动直线（，不同时为零）化为：，变形为，令，解得．∴动直线过定点：．∴点在以为直径的圆上，圆心为线段的中点：，半径．∴线段长度的最大值．故答案为：．P(1,3)Q(x,x)(x ∈R)sin 2cos 2d(P,Q)=|1−x |+|3−x |=4−(x +x)=3sin 2cos 2cos 2sin 2|PQ |P Q |PQ =|−+|−≥(|−|+|−||2x 1x 2|2y 1y 2|212x 1x 2y 1y 2)2|PQ |≥d(P,Q)2–√2P y =x +2P(x,x +2)O(0,0)d(P,Q)=|−|+|−|=|x |+|x +2|x 1x 2y 1y 2x −202P Q R d(Q,R)>0d(P,Q)+d(Q,R)>d(P,Q)D 5+5–√a b c 2b =a +c l :ax +by +c =0a b ax +y +c =0a +c 2a(2x +y)+c(y +2)=0l Q(1,−2)M PQ PQ C(−1,−1)r MN =|CN |+r a b c 2b =a +c l :ax +by +c =0a b ax +y +c =0a +c 2a(2x +y)+c(y +2)=0{2x +y =0y +2=0{x =1y =−2l Q(1,−2)M PQ PQ C(−1,−1)r ==+122−−−−−√5–√MN =|CN |+r =+=5++3242−−−−−−√5–√5–√5+5–√14.【答案】【考点】椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】解：当点为椭圆的上顶点时， 最大，根据椭圆的标准方程可求得 ,∴ 不可能是直角；∴只能是 轴，或 轴； 带入椭圆的标准方程可得；．故答案为：．15.【答案】,【考点】点到直线的距离公式多面体的内切球问题【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，过作与垂直的平面与三棱柱的棱，，分别交于点，，，对应圆与相切于点，32P ∠P F 1F 2∠P =F 1F 260∘∠P F 1F 2P ⊥x F 1P ⊥x F 2x =1y =±32=×2×=S △PF 1F 21232323223–√439−−√13(1)O AA 1ABC −A 1B 1C 1AA 1BB 1CC 1A 2B 2C 2O A 2B 2Q在中，因为，，所以，从而；过和作平面与交于点，如图，以为原点，，所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，则，，，的方程为，设的中点为，则，所以．故答案为：；．16.【答案】【考点】椭圆的离心率【解析】Rt △OQ A 2OQ =1∠O Q =A 230∘Q =A 23–√BC ==2A 2B 23–√AA 1D B 1C 1D 1(2)A AD AA 1x y (0,2)A 1D (3,0)O (2,1)D A 12x +3y −6=0MN G OG ==|2×2+3×1−6|13−−√113−−√MN =2MG =2=1−113−−−−−−√439−−√1323–√439−−√13此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：由题意得，所以.又椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为设则由，得则.由题可得直线的方程为又所以直线的方程为令，得，即直线过轴上的定点.【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程(1)2a =4a =2C (1，)32+=11494b 2=3b 2C +=1.x 24y 23(2)A (,),B (,),x 1y 1x 2y 2D(，−)x 1y 1{y =k(x −4)3+4=12x 2y 2(3+4)−32x +64−k 2x 2k 2k 212=0,Δ>0,+=,=x 1x 232k 23+4k 2x 1x 264−12k 23+4k 2BD y +=(x −)，y 1+y 2y 1−x 2x 1x 1=k (−4),=k (−4),y 1x 1y 2x 2BD y +k (−4)=(x −).x 1k (−4)+k (−4)x 2x 1−x 2x 1x 1y =0x =+−4−+4x 1x 2x 2x 21x 1+−8x 1x 2x 1=2−4(+)x 1x 2x 1x 2+−8x 1x 2=2×−4×64−12k 23+4k 232k 23+4k 2−832k 23+4k 2==1−243+4k 232−24−32k 2k23+4k 2BD x (1，0)【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，所以.又椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为设则由，得则.由题可得直线的方程为又所以直线的方程为令，得，即直线过轴上的定点.18.【答案】解：由题可知： ，解得，，所以圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径.由题意得，直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为：(1)2a =4a =2C (1，)32+=11494b 2=3b 2C +=1.x 24y 23(2)A (,),B (,),x 1y 1x 2y 2D(，−)x 1y 1{y =k(x −4)3+4=12x 2y 2(3+4)−32x +64−k 2x 2k 2k 212=0,Δ>0,+=,=x 1x 232k 23+4k 2x 1x 264−12k 23+4k 2BD y +=(x −)，y 1+y 2y 1−x 2x 1x 1=k (−4),=k (−4),y 1x 1y2x 2BDy +k (−4)=(x −).x 1k (−4)+k (−4)x 2x1−x 2x 1x 1y =0x =+−4−+4x 1x 2x 2x 21x 1+−8x 1x 2x 1=2−4(+)x 1x 2x 1x 2+−8x 1x 2=2×−4×64−12k 23+4k 232k 23+4k 2−832k 23+4k 2==1−243+4k 232−24−32k 2k 23+4k 2BD x (1，0)(1)+−8×2+6×(−3)+m =022(−3)2m =21C +=4(x −4)2(y +3)2C (4,−3)r =2(2)l y −1=(−)(x +1)434x +3y +1=0C l ==|4×4+3×(−3)+1|，所以弦长．【考点】圆的一般方程圆的标准方程直线和圆的方程的应用点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知： ，解得，，所以圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径.由题意得，直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为：，所以弦长．19.【答案】解：由题意得：，．∵，∴．∴椭圆的焦点，．设双曲线方程为，∵点在曲线上，代入双曲线的方程可得或（舍）．∴双曲线的方程为．【考点】椭圆的标准方程双曲线的标准方程d ==|4×4+3×(−3)+1|+4232−−−−−−√85|AB|=2=−r 2d 2−−−−−−√125(1)+−8×2+6×(−3)+m =022(−3)2m =21C +=4(x −4)2(y +3)2C (4,−3)r =2(2)l y −1=(−)(x +1)434x +3y +1=0C l d ==|4×4+3×(−3)+1|+4232−−−−−−√85|AB|=2=−r 2d 2−−−−−−√125=36a 2=27b 2=−=9c 2a 2b 2c =3(0,−3)F 1(0,3)F 2−=1y 2m x 29−m (，4)15−−√m =4m =36−=1y 24x 25【解析】【解答】解：由题意得：，．∵，∴．∴椭圆的焦点，．设双曲线方程为，∵点在曲线上，代入双曲线的方程可得或（舍）．∴双曲线的方程为．20.【答案】解：设，由题设知，，因为，所以，解得，所以椭圆的标准方程为．根据题意，设，，直线，由消去并整理，得，则，即，，因为，，所以，又，由，得，解得，所以，，=36a 2=27b 2=−=9c 2a 2b 2c =3(0,−3)F 1(0,3)F 2−=1y 2m x 29−m (，4)15−−√m =4m =36−=1y 24x 25(1)P(,)x 0y 0(−a,0)A 1(a,0)A 2⋅=⋅=k PA 1k PA 2y 0+a x 0y 0−a x 0y 20−x 20a 2==−3(1−)x 20a 2−x 20a 23a 2−=−3a 234=4a 2C +=1x 24y 23(2)M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2MN ：x =my +1(m ≠0) +=1,x 24y 23x =my +1,x (3+4)+6my −9=0m 2y 2Δ=36+36(3+4)>0m 2m 2+=−y 1y 26m 3+4m 2=−y 1y 293+4m 2=k M A 1y 1+2x 1=k N A 1y 2+2x 2+=k M A 1k N A 1(+2)+(+2)y 1x 2y 2x 1(+2)(+2)x 1x 2=(m +3)+(m +3)y 1y 2y 2y 1(m +3)(m +3)y 1y 2==−m 2m +3(+)y 1y 2y 1y 2+3m(+)+9m 2y 1y 2y 1y 2=k MN 1m +=−k M A 1k N A 1k MN −m =01m =1m 2|+|=y 1y 267=−y 1y 297MN|=|−|=⋅=24故．【考点】椭圆的标准方程斜率的计算公式圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】左侧图片未给出解析．左侧图片未给出解析．【解答】解：设，由题设知，，因为，所以，解得，所以椭圆的标准方程为．根据题意，设，，直线，由消去并整理，得，则，即，，因为，，所以，又，由，得，解得，所以，，故．21.|MN|=|−|=⋅=1+m 2−−−−−−√y 1y 22–√(+−4y 1y 2)2y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√247(1)P(,)x 0y 0(−a,0)A 1(a,0)A2⋅=⋅=k PA 1k PA 2y 0+a x 0y 0−a x 0y 20−x 20a 2==−3(1−)x 20a 2−x 20a 23a 2−=−3a 234=4a 2C +=1x 24y 23(2)M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2MN ：x =my +1(m ≠0) +=1,x 24y 23x =my +1,x (3+4)+6my −9=0m 2y 2Δ=36+36(3+4)>0m 2m2+=−y 1y 26m 3+4m 2=−y 1y 293+4m 2=k M A 1y 1+2x 1=k N A 1y 2+2x 2+=k M A 1k N A 1(+2)+(+2)y 1x 2y 2x 1(+2)(+2)x 1x 2=(m +3)+(m +3)y 1y 2y 2y 1(m +3)(m +3)y 1y 2==−m 2m +3(+)y 1y 2y 1y 2+3m(+)+9m 2y 1y 2y 1y 2=k MN 1m+=−k M A 1k N A 1k MN −m =01m =1m 2|+|=y 1y 267=−y 1y 297|MN|=|−|=⋅=1+m 2−−−−−−√y 1y 22–√(+−4y 1y 2)2y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√247【答案】证明：分别为正方形的边，的中点，∵，且，∴四边形为平行四边形．∴∵平面，而平面∴平面．解：如图，点在平面内的射影在直线上，过点作垂直于平面，垂足为，连接，．∵为正三角形，∴.∴.∵在的垂直平分线上，∴点在平面内的射影在直线上，过作垂直于于，连接，则，所以为二面角的平面角．即.设原正方体的边长为，连接.在折后图的中，，，即为直角三角形，.∴.在中，.∴.∴.．即.【考点】与二面角有关的立体几何综合题直线与平面平行的判定【解析】（1）根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面内找到与直线平行的直线就可以了，易证四边形为平行四边形；（2）判断点在平面内的射影是否在直线上，可以从两种角度去思考：方法一：过点作垂直于平面，垂足为，然后证明射影在直线上．方法二：连接，在平面内过点作，垂足为．然后再证明平面，即为在平面内的射影．二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．由前面“判断点在(1)E ，F ABCD AB CD EB //FD EB =FD EBFD BF //EDED ⊂AED BF ⊂AEDBF //ADE (2)A BCDE G EF A AG BCDE G GC GD △ACD AC =AD CG =GD G CD A BCDE G EF G GH ED H AH AH ⊥DE ∠AHG A −DE −C ∠AHG =θ2a AF △AEF AF =a 3–√EF =2AE =2a △AEF AG ⋅EF =AE ⋅AF AG =a 3–√2Rt △ADE AH ⋅DE =AE ⋅AD AH =a 25–√GH =a 25–√cos θ==GH AH 14sin θ=15−−√4ADE BF EBFD A BCDE G EF A AG BCDE G G EF AF AEF AG'⊥EF G'AG'⊥BCDE G'A BCDE G A BCDE G AG ⊥BCDE G GH平面内的射影是否在直线上”可知：平面，所以过作垂直于于，连接，则，所以为二面角的平面角．即【解答】证明：分别为正方形得边，的中点，∵，且，∴四边形为平行四边形．∴∵平面，而平面∴平面．解：如图，点在平面内的射影在直线上，过点作垂直于平面，垂足为，连接，．∵为正三角形，∴.∴.∵在的垂直平分线上，∴点在平面内的射影在直线上，过作垂直于于，连接，则，所以为二面角的平面角．即.设原正方体的边长为，连接.在折后图的中，，，即为直角三角形，.∴.在中，.∴.∴.．即.22.【答案】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，BCDE G EF AG ⊥BCDE G GH ED H AH AH ⊥DE ∠AHG A −DE −C ∠AHG =θ(1)EF ABCD AB CD EB //FD EB =FD EBFD BF //EDED ⊂AED BF ⊂AEDBF //ADE (2)A BCDE G EF A AG BCDE G GC GD △ACD AC =AD CG =GD G CD A BCDE G EF G GH ED H AH AH ⊥DE ∠AHG A −DE −C ∠AHG =θ2a AF △AEF AF =a 3–√EF =2AE =2a △AEF AG ⋅EF =AE ⋅AF AG =a 3–√2Rt △ADE AH ⋅DE =AE ⋅AD AH =a 25–√GH =a 25–√cos θ==GH AH 14sin θ=15−−√4(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=02即，∴．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴．−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−。

2020-2021学年安徽省淮北一中高二（上）期中数学试卷一、选择题1．（3分）sin300°的值为（）A．B．C．D．2．（3分）k＞3是方程+＝1表示双曲线的（）条件．A．充分但不必要B．充要C．必要但不充分D．既不充分也不必要3．（3分）若a，b，c∈R，则下列说法正确的是（）A．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c B．若a＞b，则C．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞b，则ac2＞bc24．（3分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n05．（3分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为（）A．，1B．，1C．，D．，6．（3分）有下列4个命题：①x+y≠5是x≠2或y≠3的必要不充分条件；②△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的充要条件；③a＞b是a|a|＞b|b|的充要条件；④α＝β是tanα＝tanβ的充分不必要条件．其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．37．（3分）等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）＝（）A．26B．29C．212D．2158．（3分）将函数f（x）＝sin（2x+）的图象向右平移（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象（）A．函数g（x）的图象关于点（﹣，0）对称B．函数g（x）的最小正周期为C．函数g（x）的图象关于直线x＝对称D．函数g（x）在区间[，]上单调递增9．（3分）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且倾斜角为60°直线交C于A，B两点，则△OAB的面积为（）A．B．C．4D．10．（3分）若曲线y＝e x在x＝0处的切线，也是y＝lnx+b的切线，则b＝（）A．﹣1B．1C．2D．e11．（3分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，，线段MF2的延长线交椭圆C于点N，若|MF1|，|MN|，|NF1|成等差数列，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．12．（3分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，F1，F2分别为C的左，右焦点，最小值是2a（其中O为坐标原点），（）A．4B．8C．16D．24二、填空题13．（3分）已知f（x）＝x2+2xf′（1），则f′（1）＝．14．（3分）已知p：|x﹣a|＜4，q：﹣x2+5x﹣6＞0，且￢q是￢p的必要而不充分条件，则a 的取值范围为．15．（3分）已知，，在△ABC中，2sin A+sin C＝2sin B．16．（3分）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，且满足∠AFB＝120°．过弦AB 的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则．三、解答题17．已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．18．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（2，m），且|MF|＝4．（1）求p与m的值；（2）如图，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，求直线OA、OB的斜率之积．19．（1）【理科做】已知，求f′（2）．【文科做】已知，求f′（1）．（2）求过点Q（1，﹣1）的曲线y＝x3﹣2x的切线方程．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A+，a＝2，b＝2．（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．21．已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足2S n+a n＝1，数列{b n}中，b1＝1，b2＝，＝+（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）数列{c n}满足c n＝，求证：c1+c2+c3+…+c n＜．22．已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为﹣（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．（i）证明：△PQG是直角三角形；（ii）求△PQG面积的最大值．2020-2021学年安徽省淮北一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）sin300°的值为（）A．B．C．D．【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．【解答】解：sin300°＝sin（360°﹣60°）＝﹣sin60°＝﹣，故选：C．【点评】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．2．（3分）k＞3是方程+＝1表示双曲线的（）条件．A．充分但不必要B．充要C．必要但不充分D．既不充分也不必要【分析】方程+＝1表示双曲线⇔（3﹣k）（k﹣1）＜0，解得k范围，即可判断出结论．【解答】解：方程+＝1表示双曲线⇔（5﹣k）（k﹣1）＜0．∴k＞3是方程+＝1表示双曲线的充分但不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了双曲线的标准方程、简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（3分）若a，b，c∈R，则下列说法正确的是（）A．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c B．若a＞b，则C．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞b，则ac2＞bc2【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，若a＞b，正确；对于B，a＝1，不成立；对于C，a＝1，不成立；对于D，c＝3，故不正确；故选：A．【点评】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．4．（3分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n4）＞n0，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（3分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为（）A．，1B．，1C．，D．，【分析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，由此能求出结果．【解答】解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，∴V圆柱＝πR2×4R＝2πR3，V球＝πR3．∴＝＝，S圆柱＝2πR×2R+7×πR2＝6πR8，S球＝4πR2．∴＝＝．故选：C．【点评】本题考查球和圆柱的体积和表面积的计算及其应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．6．（3分）有下列4个命题：①x+y≠5是x≠2或y≠3的必要不充分条件；②△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的充要条件；③a＞b是a|a|＞b|b|的充要条件；④α＝β是tanα＝tanβ的充分不必要条件．其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】由x＝2且y＝3是x+y＝5的充分不必要条件，可判断①；由三角形的正弦定理和边角关系，结合充分必要条件的定义可判断②；构造函数f（x）＝x|x|，判断单调性，可判断③；由α＝β＝，不能推得tanα＝tanβ，可判断④．【解答】解：对于①，由x＝2且y＝3可得x+y＝2，则x＝2且y＝3是x+y＝2的充分不必要条件，则x+y≠5是x≠2或y≠5的充分不必要条件，故①错误；对于②，△ABC中，故②正确；对于③，由f（x）＝x|x|＝，f（x）递增，f（x）递减，函数f（x）连续，a＞b⇔a|a|＞b|b|，故③正确；对于④，若α＝β＝，反之，故④错误．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断，主要是充分必要条件的判定，考查推理能力，属于基础题．7．（3分）等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）＝（）A．26B．29C．212D．215【分析】对函数进行求导发现f′（0）在含有x项均取0，再利用等比数列的性质求解即可．【解答】解：考虑到求导中f′（0），含有x项均取0，得：f′（0）＝a1a6a3…a8＝（a5a8）4＝712．故选：C．【点评】本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法．8．（3分）将函数f（x）＝sin（2x+）的图象向右平移（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象（）A．函数g（x）的图象关于点（﹣，0）对称B．函数g（x）的最小正周期为C．函数g（x）的图象关于直线x＝对称D．函数g（x）在区间[，]上单调递增【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，正弦函数的周期性以及图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数f（x）＝sin（2x+）的图象向右平移+）＝sin（8x﹣；再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数g（x）＝sin（x﹣）的图象．当x＝﹣时，g（x）＝﹣1，0）对称；函数g（x）的最小正周期为2π，故排除B；当x＝时，g（x）＝0对称；在区间[，]上∈[0，]，故D正确，故选：D．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性以及图象的对称性，属于基础题．9．（3分）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且倾斜角为60°直线交C于A，B两点，则△OAB的面积为（）A．B．C．4D．【分析】根据抛物线的方程求得焦点坐标，根据直线的倾斜角求得直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得x1+x2＝，由抛物线的性质可知丨AB丨＝p+x1+x2＝，利用点到直线的距离公式求得O到直线y＝（x﹣1）的距离d，根据三角形的面积公式S＝•丨AB丨•d，即可求得则△OAB的面积．【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点（7，0）1，y5），B（x2，y2），∴F且倾斜角为60°的直线y＝（x﹣1），∴，整理得：4x2﹣10x+2＝4，由韦达定理可知：x1+x2＝，由抛物线的性质可知：丨AB丨＝p+x1+x2＝，点O到直线y＝（x﹣1）的距离d＝，∴则△OAB的面积S，S＝＝，故选：A．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．10．（3分）若曲线y＝e x在x＝0处的切线，也是y＝lnx+b的切线，则b＝（）A．﹣1B．1C．2D．e【分析】求出y＝e x的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再设与曲线y＝lnx+b相切的切点为（m，n），求得函数y＝lnx+b的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得m，n，进而得到b的值．【解答】解：y＝e x的导数为y′＝e x，曲线y＝e x在x＝0处的切线斜率为k＝1，则曲线y＝e x在x＝2处的切线方程为y﹣1＝x，y＝lnx+b的导数为y′＝，设切点为（m，n），则，解得m＝1，n＝2，即有5＝ln1+b，解得b＝2．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切点和正确求出导数是解题的关键．11．（3分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，，线段MF2的延长线交椭圆C于点N，若|MF1|，|MN|，|NF1|成等差数列，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设|MF2|＝m，根据等差数列的性质和椭圆的定义可得|MN|＝a，再根据向量的垂直可得a＝m，即可求出离心率．【解答】解：设|MF2|＝m，∵|MF1|，|MN|7|成等差数列，∴2|MN|＝|MF1|+|NF8|，∴|MN|＝|MF2|+|NF2|＝8a﹣|MF1|+2a﹣|NF5|＝4a﹣2|MN|，∴|MN|＝a，∴|NF2|＝a﹣m，∴|NF1|＝6a﹣（a﹣m）＝，∵，∴MF1⊥MF2，∴Rt△F1MN中，|NF1|2＝|MN|2+|MF1|2，∴（2a﹣m）2+（a）2＝（a+m）2，整理可得m＝a，∴|MF5|＝a，|MF1|＝a，∴|F2F7|2＝|MF2|2+|MF1|2，∴6c2＝2a6，∴e＝＝，故选：A．【点评】本题考查了椭圆的定义和性质以及向量的垂直，等差数列的性质，考查了运算求解能力，属于中档题．12．（3分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，F1，F2分别为C的左，右焦点，最小值是2a（其中O为坐标原点），（）A．4B．8C．16D．24【分析】由渐近线方程，可得b＝a，c＝2a，根据最小值是2a，求出a＝1，设|PF2|＝t，利用基本不等式即可得出最小值．【解答】解：∵双曲线C：＝1（a＞2x，∴＝，即b＝a，∴c＝2a，∵的最小值为2a，∴当点P和右端点重合时有最小值，∴a•2a＝2a，解得a＝4，设|PF2|＝t，可得|PF1|＝t+2，∴＝＝t++4＝42|＝2时取等号，故最小值为7，故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义、标准方程与几何性质、基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．（3分）已知f（x）＝x2+2xf′（1），则f′（1）＝﹣2．【分析】利用求导法则求出f（x）的导函数，把x＝1代入导函数中得到关于f′（1）的方程，求出方程的解即可得到f′（1）的值．【解答】解：求导得：f′（x）＝2x+2f′（1），把x＝2代入得：f′（1）＝2+2f′（1），解得：f′（1）＝﹣5．故答案为：﹣2【点评】本题要求学生掌握求导法则．学生在求f（x）的导函数时注意f′（1）是一个常数，这是本题的易错点．14．（3分）已知p：|x﹣a|＜4，q：﹣x2+5x﹣6＞0，且￢q是￢p的必要而不充分条件，则a 的取值范围为[﹣1，6]．【分析】分别求出关于p，q的不等式，根据集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：由|x﹣a|＜4，解得：a﹣4＜x＜a+3，由﹣x2+5x﹣7＞0，解得：2＜x＜7，若￢q是￢p的必要而不充分条件，则p是q的必要不充分条件，则（2，3）⫋（a﹣6，即，解得：﹣1≤a≤3，故答案为：[﹣1，6]．【点评】本题考查了集合的包含关系，考查充分必要条件的定义以及转化思想，是一道基础题．15．（3分）已知，，在△ABC中，2sin A+sin C＝2sin B﹣＝1（x＞）．【分析】运用正弦定理，结合双曲线的定义和方程，可得所求轨迹方程．【解答】解：由正弦定理可得，2sin A+sin C＝2sin B即为5|BC|+|AB|＝2|AC|，可得|AC|﹣|CB|＝|AB|＝2，可得C的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的右支，设双曲线的方程为﹣＝1，c＝8＝，则C的轨迹方程为﹣＝3（x＞），故答案为：﹣＝4（x＞）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用定义法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16．（3分）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，且满足∠AFB＝120°．过弦AB 的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则．【分析】设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|＝a+b，由余弦定理可得|AB|2＝（a+b）2﹣ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．【解答】解：设|AF|＝a，|BF|＝b、BF，由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，在梯形ABPQ中．由余弦定理得，|AB|2＝a2+b6﹣2ab cos120°＝a2+b7+ab，配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）6﹣（a+b）2＝（a+b）4得到|AB|≥（a+b）．∴≤＝，即的最大值为．故答案为：．【点评】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．三、解答题17．已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．【分析】（1）若“p且q”是真命题，则p，q同时为真命题，建立条件关系，即可求m 的取值范围；（2）根据q是s的必要不充分条件，建立条件关系，即可求t的取值范围．【解答】解：（1）若p为真：…（1分）解得m≤﹣8或m≥3…（2分）若q为真：则…（6分）解得﹣4＜m＜﹣2或m＞6…（4分）若“p且q”是真命题，则…（6分）解得﹣4＜m＜﹣8或m＞4…（7分）（2）若s为真，则（m﹣t）（m﹣t﹣3）＜0由q是s的必要不充分条件，则可得{m|t＜m＜t+1}⫋{m|﹣3＜m＜﹣2或m＞4}…（4分）即或t≥4…（11分）解得﹣4≤t≤﹣6或t≥4…（12分）【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用数轴是解决本题的关键，考查学生的推理能力．18．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（2，m），且|MF|＝4．（1）求p与m的值；（2）如图，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，求直线OA、OB的斜率之积．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义，可得p的方程，求得p和抛物线的方程，以及m的值；（2）求出抛物线的焦点，讨论直线l的斜率不存在，求得交点A，B，可得斜率之积；直线l的斜率存在，设为k（k≠0），则其方程可表示为：y＝k（x﹣2），联立抛物线的方程，消去x，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理和直线的斜率公式，计算即可得到所求之积．【解答】解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞2）的焦点为，准线为．由抛物线定义知：点M（2，m）到F的距离等于M到准线的距离，故，∴p＝4，抛物线C的方程为y2＝8x∵点M（2，m）在抛物线C上，∴m6＝16，即m＝±4∴p＝4，m＝±6；（2）证明：由（1）知：抛物线C的方程为y2＝8x，焦点为F（5若直线l的斜率不存在，则其方程为：x＝2，代入y2＝5x，易得：A（2，4），﹣4），从而；若直线l的斜率存在，设为k（k≠0），由，消去x，即ky6﹣8y﹣16k＝0（k≠6），△＝64+64k2＞0设A（x5，y1），B（x2，y5），则，∴，从而．综上所述：直线OA、OB的斜率之积为﹣4．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19．（1）【理科做】已知，求f′（2）．【文科做】已知，求f′（1）．（2）求过点Q（1，﹣1）的曲线y＝x3﹣2x的切线方程．【分析】（1）分别求出函数f（x）的导函数，再把x＝2与x＝1代入求值；（2）设出切点坐标，得到曲线在切点处的切线方程，把Q的坐标代入求得切点横坐标，即可求得切线方程．【解答】解：（1）由，得，∴f′（2）＝5e﹣2；由，得，∴f′（1）＝0．（2）设P（x6，y0）为切点，则切线的斜率为．故切线方程为（x﹣x7），即．又切线过点（1，﹣1），得，整理得（x0﹣5）•，解得x0＝4或．故所求的切线方程为y+1＝x﹣1或，即x﹣y﹣2＝0或3x+4y﹣1＝3．【点评】本题考查导数的运算，训练了利用导数求过某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A+，a＝2，b＝2．（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．【分析】（1）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出，（2）先根据夹角求出cos C，求出CD的长，得到S△ABD＝S△ABC．【解答】解：（1）∵sin A+cos A＝0，∴tan A＝，∵0＜A＜π，∴A＝，由余弦定理可得a2＝b2+c8﹣2bc cos A，即28＝4+c7﹣2×2c×（﹣），即c2+7c﹣24＝0，解得c＝﹣6（舍去）或c＝3，故c＝4．（2）∵c2＝b7+a2﹣2ab cos C，∴16＝28+3﹣2×2×2×cos C，∴cos C＝，∴CD＝＝＝∴CD＝BC∵S△ABC＝AB•AC•sin∠BAC＝＝2，∴S△ABD＝S△ABC＝【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及解三角形的问题，属于中档题21．已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足2S n+a n＝1，数列{b n}中，b1＝1，b2＝，＝+（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）数列{c n}满足c n＝，求证：c1+c2+c3+…+c n＜．【分析】（Ⅰ）由2S n+a n＝1，得S n＝（1﹣a n），由此推导出{a n}是首项为，公比为的等比数列，从而求出a n．由b1＝1，b2＝，＝+（n∈N*），得＝1，＝2，d＝＝1，由此推导出{}是首项为1，公差为1的等差数列，从而求出b n；（Ⅱ）c n＝＝n•（）n，设T n＝c1+c2+c3+…+c n，由错位相减求和，即可证明结论．【解答】解．（Ⅰ）由2S n+a n＝1，得S n＝（1﹣a n），当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（1﹣a n）﹣（1﹣a n﹣1），∵a n﹣2≠0，∴＝而S1＝（1﹣a3），∴a1＝∴{a n}是首项为，公比为，∴a n＝（）n．由b1＝1，b6＝，＝+（n∈N*），得＝1，，d＝，∴{}是首项为4，∴＝1+（n﹣3）×1＝n，∴b n＝．（2）c n＝＝n•（）n，设T n＝c1+c6+c3+…+c n，则T n＝1•+2•（）2+…+n•（）n，T n＝1•（）2+2•（）3+…+n•（）n+1，由错位相减，化简得：T n＝＜．【点评】本题考查数列通项公式的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．22．已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为﹣（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．（i）证明：△PQG是直角三角形；（ii）求△PQG面积的最大值．【分析】（1）利用直接法不难得到方程；（2）（i）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），E（x0，0），利用直线QE的方程与椭圆方程联立求得G点坐标，去证PQ，PG斜率之积为﹣1；（ii）利用S＝，代入已得数据，并对换元，利用“对号”函数可得最值．【解答】解：（1）由题意得，整理得曲线C的方程：，∴曲线C是焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆；（2）（i）设P（x0，y4），则Q（﹣x0，﹣y0），E（x8，0），G（x G，y G），∴直线QE的方程为：，与联立消去y，得，∴，∴，∴＝，∴＝＝＝，把代入上式，得k PG＝＝＝﹣，∴k PQ×k PG＝＝﹣1，∴PQ⊥PG，故△PQG为直角三角形；（ii）S△PQG＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝令t＝，则t≥2，S△PQG＝＝利用“对号”函数f（t）＝2t+在[6，f（t）（t＝3时取等号），∴＝（此时），故△PQG面积的最大值为．【点评】此题考查了直接法求曲线方程，直线与椭圆的综合，换元法等，对运算能力考查尤为突出，难度大．。

2022-2023学年高中高二上数学期中考试学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知集合，，则( )A.B.C.D.2. 函数的定义域为A.B.C.D.3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.B.A ={x ∈Z||x|<5}B ={x|≥4}2x A ∩B =(2,5)[2,5){2,3,4}{3,4,5}y =12+x −x 2−−−−−−−−−√lg(2x −2)()(1,)∪(,4]3232(1,4][−3,4][−3,)∪(,4]3232434C.D.4. 乔家大院是我省著名的旅游景点，在景点的一面墙上，雕刻着如图所示的浮雕，很好地展现了我省灿烂辉煌的“晋商文化”．某陶艺爱好者，模仿着烧制了一个如图的泥板作品，但在烧制的过程中发现，直径为的作品烧制成功后直径缩小到．若烧制作品的材质、烧制环境均不变，那么想烧制一个体积为的正四面体，烧制前的陶坯棱长应为（ ）A.B.C.D.5. 命题：，的否定是( )A.，B.，C.，D.，6. “”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 下列命题中，真命题是（ ）A.函数＝的周期为B.，223(1)(2)12cm 9cm 18c 2–√m 36cm7cm8cm9cm∃>0x 0−−2>0x 20x 0∀x ≤0−x −2≤0x 2∃≤0x 0−−2≤0x 20x 0∀x >0−x −2≤0x 2∃>0x 0−−2≤0x 20x 0x <2lg(x −1)<0y sin |x |2π∀x ∈R >2x x 2C.“＝”的充要条件是“”D.函数＝是奇函数 8. 在中，角，，所对的边是，，，若，且，则等于( )A.B.C.D.9. 等比数列中，若，，则其前项的积为( )A.B.C.D.10. 瑞士数学家欧拉（）年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心﹑重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是( )．A.B.C.D.11. ""是"方程 表示的曲线为椭圆"的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件a +b 0y ln△ABC A B C a b c c ⋅cos B =b ⋅cos C cos A =23sin B 6–√63–√2130−−√6{}a n +=a 1a 294+=18a 4a 556481192243LeonhardEuler 1765△ABC A (−4,0),B (0,4)x −y +2=0C (2,0)(0,2)(−2,0)(0,−2)n >m >0+=1x 2m y 2n()D.既不充分也不必要条件12. 在四棱锥中，已知平面平面, 是以为底边的等腰三角形，是矩形，且，则四棱锥的外接球的表面积为 （ A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知异面直线，的方向向量分别为，，若异面直线，所成角的余弦值为，则的值为________.14. 设为等差数列的前项和，，则________，若，则使得不等式成立的最小整数________．15. 已知平面向量， ， ，若，则________．16. 已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 在直角坐标系中，以原点为圆心的圆与直线相切．（1）求圆的方程；（2）若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程．18. 已知向量．（1）求向量与的夹角；（2）若，求实数的值． 19. 在平面四边形中，，，，．P −ABCD ABCD ⊥PAD △PAD AD ABCD AB =AP =2AD =2P −ABCD O )π12415π3115π25615π6415m n =(2,−1,1)a →=(1,λ,1)b →m n 6–√6λS n {}a n n +a 6a 7=1S 12=<0a 7<0S n n==(2,λ)a →=(−3,6)b →=(4,2)c →//a →b →(−)⋅=a →c →b →△ABC B C +=1x 23y 2A BC △ABC xOy O x −y −4=03–√O P(3,2)P O θλABCD ∠BAD =∠BCD =90∘AB =5BC =8AC =7(1)∠ADC求的大小；求的长度．20. 已知两直线：，，当为何值时，与，（1）相交，（2）平行，（3）重合，（4）垂直． 21. 已知命题：函数且 在定义域上单调递增；命题：不等式对任意实数恒成立.若为真命题,求实数的取值范围；若为真命题,求实数的取值范围.22. 已知数列的前项和为，且，，成等差数列．求数列的通项公式；数列满足，求数列的前项和．(1)∠ADC (2)CD L 1(m +3)x +5y =5−3m:2x +(m +6)y =8L 2m L 1L 2p y =(x +1)(a >0，log a a ≠1)q (a −2)+2(a −2)x +1>0x 2x (1)q a (2)“p ∧(¬q)”a {}a n n S n 2a n S n (1){}a n (2){}b n =b n ++⋯+log 2a 1log 2a 2log 2a n {}1b n n Tn参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中考试一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】据题意，分析可得，，，进而求其交集可得答案．【解答】解：集合，，则．故选．2.【答案】A【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据条件可得解不等式可得结果．【解答】解：由已知可根据条件可得解不等式可得.故选.A ={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}B ={x|x ≥2}A ={x ∈Z||x|<5}={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}B ={x|≥4}={x|x ≥2}2x A ∩B ={2,3,4}C 12+x −≥0x 22x −2>02x −2≠112+x −≥0,x 22x −2>0,2x −2≠1,{x |1<x ≤4且x ≠}32A3.【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知，该几何体为正四棱锥，再求体积即可.【解答】解：由已知中几何体的三视图，可得该几何体为正四棱锥，且底面正方形边长为，高为，所以该几何体的体积为.故选.4.【答案】C【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】设烧制后正四面体的边长为，由题意得到，，求出，再利用烧制前后边长的变化，即可得到答案.【解答】解：设烧制后正四面体的边长为，由题意得到，，解得.∵在烧制的过程中发现，直径为 的作品烧制成功后直径缩小到．那么烧制前正四面体陶坯棱长为.故选.5.【答案】C【考点】21V =×2×2×1=1343A acm ==18V 正四面体2–√12a 32–√a acm ==18V 正四面体2–√12a 32–√a =612cm 9cm 6×=8cm 129C命题的否定【解析】命题 ， 为特称量词命题，其否定为全称量词命题，写出其否定即可.【解答】解：命题，为特称量词命题，所以其否定为全称量词命题，其否定为，.故选.6.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由，可得，再利用集合之间的包含关系求充分必要条件即可.【解答】解：由，可得，解得，因为，所以“”是“”的必要不充分条件.故选.7.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】分析函数的周期性，可判断；举出反例＝，可判断；根据充要条件的定义，可判断；分析函数的奇偶性，可判断．【解答】函数＝不是周期函数，故是假命题；当＝时＝，故是假命题；“＝”的必要不充分条件是“”，故是假命题；∃>0x 0−−2>0x 20x 0∃>0x 0−−2>0x 20x 0∀x >0−x −2≤0x 2C lg(x −1)<00<x −1<1lg(x −1)<00<x −1<11<x <2{x|x <2} {x|1<x <2}x <2lg(x −1)<0B A x 2B C D y sin |x |A x 22x x 2B a +b 0C函数＝＝的定义域关于原点对称，且满足＝，故函数是奇函数，即是真命题．8.【答案】D【考点】正弦定理两角和与差的正弦公式诱导公式半角公式【解析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式整理后得到，用表示出，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：在中，，利用正弦定理化简得：,即，∴，即，则.故选．9.【答案】D【考点】等比数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，得，解得，又，y f(x)ln (−2,2)f(−x)−f(x)f(x)D B =C A B △ABC c cos B =b cos C sin C cos B =sin B cos C sin C cos B −sin B cos C =sin(C −B)=0C −B =0C =B sin B =sin =cos =π−A 2A 21+cos A 2−−−−−−−−√=30−−√6D ==8+a 4a 5+a 1a 2q 3q =2+=+2=a 1a 2a 1a 1943所以，所以.故选.10.【答案】A,D【考点】三角形五心【解析】此题暂无解析【解答】解：设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为与直线的交点为∴，①由重心为，代入欧拉线方程，得，②由①②可得或.故选.11.【答案】A【考点】椭圆的定义必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：若方程表示的曲线为椭圆，则 ，，且，故" "是“方程"表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件.=a 134==×=243a 1a 2a 3a 4a 5a 51q 10()345210D C (x,y),AB y =−x △ABC x −y +2=0y =−x M (−1,1),MC|=,∴+=1010−−√(x +1)2(y −1)2A (−4,0),B (0,4),△ABC (,)x −43y +43x −y +2=0x −y −z =0x =2,y =0x =0,y =−2AD +=1x 2m y 2n m >0n >0m ≠n n >m >0+=1x 2m y 2nA故选.12.【答案】A【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，将四棱锥补为一个三棱柱，∵是以为底边的等腰三角形，，∴的外接圆的半径为，∴球的半径的平方，∴球的表面积为.故选.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】数量积表示两个向量的夹角A P −ABCD PAD −QBC △PAD AD AP =2AD =2△PAD 415−−√O =+1=R 216153115O S =4π=R 2124π15A 76【解析】此题暂无解析【解答】略14.【答案】,【考点】等差数列的前n 项和等差数列的性质【解析】根据题意，由等差数列的前项和公式和性质可得＝＝，代入数据可得第一空答案，同理可得，即可得第二空答案．【解答】解：因为，所以；因为，所以，所以为递减数列，又，，所以.故答案为：；.15.【答案】【考点】平面向量的坐标运算平面向量数量积的运算【解析】根据，求得 ，进而求得的坐标，然后利用数量积求解．【解答】解：因为向量， ，且，613n S 12<0S 13+=1a 6a 7=6(+)=6S 12a 6a 7<0a 7>0a 6{}a n =6>0S 12=13<0S 13a 7=13n min 613−30//a →b →λ−a →c →=(2,λ)a →=(−3,6)b →//a →b →所以，所以.故答案为：．16.【答案】【考点】椭圆的定义【解析】设另一个焦点为，根据椭圆的定义可知，最后把这四段线段相加求得的周长．【解答】解：椭圆中，．设另一个焦点为，则根据椭圆的定义可知，．∴三角形的周长为：．故答案为：．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：（1）设圆的方程为，由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故，∴圆的方程是．（2）∵，∴点在圆外．显然，斜率不存在时，直线与圆相离．故可设所求切线方程为，即．又圆心为，半径，而圆心到切线的距离，即，∴或，故所求切线方程为或．【考点】直线与圆相交的性质圆的切线方程−=(−2,−6)a →c →(−)⋅=−30a →c →b →−3043–√F |AB |+|BF |=2a|AC |+|FC |=2a △ABC +=1x 23y 2a =3–√F |AB |+|BF |=2a =23–√|AC |+|FC |=2a =23–√|AB |+|BF |+|AC |+|FC |=43–√43–√+=x 2y 2r 2r ==244–√+=4x 2y 2|OP |==>29+4−−−−√13−−√P y −2=k(x −3)kx −y +2−3k =0O(0,0)r =2d ==2|2−3k |+1k 2−−−−−√|3k −2|=2+1k 2−−−−−√k =125k =012x −5y −26=0y −2=0（1）根据半径即为圆心到切线的距离求得半径的值，可得所求的圆的方程．（2）由题意可得点在圆外，用点斜式设出切线的方程，再根据圆心到切线的距离等于半径，求得斜率的值，可得所求切线方程．【解答】解：（1）设圆的方程为，由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故，∴圆的方程是．（2）∵，∴点在圆外．显然，斜率不存在时，直线与圆相离．故可设所求切线方程为，即．又圆心为，半径，而圆心到切线的距离，即，∴或，故所求切线方程为或．18.【答案】∵向量，∵这两个向量的夹角为，，则＝＝＝，∴＝．若，则（+）-•-，∴＝．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系数量积表示两个向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】..r P k +=x 2y 2r 2r ==244–√+=4x 2y 2|OP |==>29+4−−−−√13−−√P y −2=k(x −3)kx −y +2−3k =0O(0,0)r =2d ==2|2−3k |+1k 2−−−−−√|3k −2|=2+1k 2−−−−−√k =125k =012x −5y −26=0y −2=0θθ∈[0cos θθ⋅(λ+(λ−7)λ余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】解：（1）当时，直线方程为，方程为，显然两直线相交；当时，由解得，，所以，时直线与相交．（2）由（1）知当时，直线与相交；当时，由得（舍去），或，所以时直线与平行．（3）由得，所以时直线与重合．（4）由 得，所以时直线与垂直．【考点】两条直线平行的判定两条直线垂直的判定【解析】（1）两直线与相交；（2）两直线与平行；（3）两直线与重合；（4）两直线与垂直．【解答】解：（1）当时，直线方程为，方程为，显然两直线相交；当时，由解得，，所以，时直线与相交．m =−6L 1−3x +5y =23L 2x =4m ≠−6≠m +325m +6m ≠−1m ≠−8m ≠−1m ≠−8L 1L 2m =−6L 1L 2m ≠−6=≠m +325m +65−3m 8m =−1m =−8m =−8L 1L 2==m +325m +65−3m 8m =−1m =−1L 1L 22(m +3)+5(m +6)=0m =−367m =−367L 1L 2ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔≠(m ≠0,n ≠0)a m b n ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔=≠(m ≠0,n ≠0,d ≠0)a m b n c d ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔==(m ≠0,n ≠0,d ≠0)a m b n c d ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔am +bn =0m =−6L 1−3x +5y =23L 2x =4m ≠−6≠m +325m +6m ≠−1m ≠−8m ≠−1m ≠−8L 1L 2当时，由得（舍去），或，所以时直线与平行．（3）由得，所以时直线与重合．（4）由 得，所以时直线与垂直．21.【答案】解:因为命题为真命题，所以或得，即实数的取值范团是.因为 " "为真命题，故真假.因为命题:函数 在定义域上单调递增，所以 ，因为命题为假,由可知， 或 ，所以 即，所以实数的取值范围为 .【考点】复合命题及其真假判断【解析】此题暂无解析【解答】解:因为命题为真命题，所以或得，即实数的取值范团是.因为 " "为真命题，故真假.因为命题:函数 在定义域上单调递增，所以 ，因为命题为假,由可知， 或 ，所以 即，所以实数的取值范围为 .22.【答案】解：，，成等差数列，可得，m ≠−6=≠m +325m +65−3m 8m =−1m =−8m =−8L 1L 2==m +325m +65−3m 8m =−1m =−1L 1L 22(m +3)+5(m +6)=0m =−367m =−367L 1L 2(1)q a =2{a −2>0，Δ=4(a −2−4(a −2)×1<0，)22≤a <3[2,3)(2)p ∧(¬q)p q p y =(x +1)log a a >1q (1)a <2a ≥3{a <2或a ≥3，a >1，a ∈(1,2)∪[3,+∞)a (1,2)∪[3,+∞)(1)q a =2{a −2>0，Δ=4(a −2−4(a −2)×1<0，)22≤a <3[2,3)(2)p ∧(¬q)p q p y =(x +1)log a a >1q (1)a <2a ≥3{a <2或a ≥3，a >1，a ∈(1,2)∪[3,+∞)a (1,2)∪[3,+∞)(1)2a n S n 2=a n 2+S n化为，可得数列为首项为，公比为的等比数列，即有，.，，，即数列的前项和．【考点】等差中项数列的求和等比数列的通项公式【解析】（1）由题意可得＝，运用数列的递推式：当＝时，＝，时，＝，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；（2）求得＝＝，，，由数列的裂项相消求和，化简整理，可得所求和．【解答】解：，，成等差数列，可得，当时，，解得，时，，化为，可得数列为首项为，公比为的等比数列，即有，.，，，即数列的前项和．n n n−1n n−1=a n 2a n−1{}a n 22=a n 2n n ∈N ∗(2)=log 2a n =log 22n n =b n ++⋯+log 2a 1log 2a 2log 2a n =1+2+⋯+n =n(n +1)12==2(−)1b n 2n(n +1)1n 1n +1{}1b n n =T n 2(1−+−+⋯+−)1212131n 1n +1=2(1−)=1n +12n n +12a n 2+S n n 1a 1S 1n ≥2a n −S n S n−1log 2a n log 22n n =n(n +1)b n 12==2(−)1b n 2n(n +1)1n 1n +1(1)2a n S n 2=a n 2+S n n =1=a 1=S 12−2a 1=a 12n ≥2=a n −=S n S n−12−2−2+2a n a n−1=a n 2a n−1{}a n 22=a n 2n n ∈N ∗(2)=log 2a n =log 22n n =b n ++⋯+log 2a 1log 2a 2log 2a n =1+2+⋯+n =n(n +1)12==2(−)1b n 2n(n +1)1n 1n +1{}1b n n =T n 2(1−+−+⋯+−)1212131n 1n +1=2(1−)=1n +12n n +1。

安徽省2021版高二上学期期中数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知两组样本数据的平均数为h，的平均数为k, 则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·山东模拟) “ ，”的否定为（）A . ，B . ，C . ，D . ，3. （2分） (2020高三上·长春期中) 已知命题：，，那么命题为（）A . ，B . ，C . ，D . ，4. （2分）(2019·黄山模拟) 谢尔宾斯基三角形（Sierpinski triangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.在一个正三角形中，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色三角形代表挖去的部分，黑色三角形为剩下的部分，我们称此三角形为谢尔宾斯基三角形.若在图（3）内随机取一点，则此点取自谢尔宾斯基三角形的概率是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二下·河南期中) 有下述说法：①a＞b＞0是a2＞b2的充分不必要条件．②a＞b＞0是的充要条件．③a＞b＞0是a3＞b3的充要条件．则其中正确的说法有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个6. （2分）命题“若a≥﹣1，则x+a≥1nx”的否定是（）A . 若a＜﹣1，则x+a＜1nxB . 若a≥﹣1，则x+a＜1nxC . 若a＜﹣1，则x+a≥1nxD . 若a≥﹣1，则x+a≤1nx7. （2分）进行流程程序图分析时，是采用程序分析的基本步骤进行，故按照二分法原理求方程的根的程序分析的步骤得到的是程序流程图．A . 程序流程图B . 工序流程图C . 知识结构图D . 组织结构图8. （2分） (2015高二下·泉州期中) 将一枚骰子投掷两次，所得向上点数分别为m和n，则函数y=mx2﹣nx+1在[1，+∞）上为增函数的概率是（）A .B .C .D .9. （2分）现有60件产品，编号从1到60，若用系统抽样方法从中抽取6件检验，则所抽到的个体编号可能是（）A . 5，10，15，20，25，30B . 2，14，26，28，42，56C . 5，8，31，36，48，54D . 3，13，23，33，43，5310. （2分） (2018高一下·珠海月考) 如图是把二进制的数11111(2)化成十进制的数的程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A . i>5?B . i≤5?C . i>4?D . i≤4?11. （2分）从6名男同学，3名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（）A .B .C .D .12. （2分）已知一次函数f（x）=ax﹣1满足a∈[﹣1，2]且a≠0，那么对于a，使得f（x）≤0在x∈[0，1]上成立的概率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共6分)13. （1分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取一个容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．14. （1分） (2018高二下·邯郸期末) 已知命题：，总有 .则为________．15. （2分） (2020高二上·深圳月考) 某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）直方图中的 ________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为________．16. （2分） (2018高二上·黑龙江期末) 某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布直方图如图所示.则 ________， ________.三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）写出命题“末位数字是0的多位数是5的倍数”的否命题，并判断其真假．18. （5分）已知命题p：曲线y=x2+（2m﹣3）x+1与x轴相交于不同的两点；命题q： =1表示焦点在x轴上的椭圆．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求m的取值范围．19. （10分） (2019高三上·广东月考) 十九大题出，坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售，为了更好地销售，现从该村的蜜柚上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分布在区间[1500，3000]内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：（1）按分层抽样的方法从质量落在的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：A.所有蜜柚均以40元/千克收购；B.低于2250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2250的以80元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.20. （5分）某糖厂为了解一条自动生产线上生产袋装白糖的重量，从1000袋白糖中，随机抽取100袋并称出每袋白糖的重量（单位：g），得到如下频率分布表：（1）请补充完成频率分布表，并在下图中画出频率分布直方图；（2）根据上述数据估计从这批白糖中随机抽取一袋其重量在[495.5，505.5]上的概率．分组频数频率[485.5，490.5）10[490.5，495.5）0.20[495.5，500.5）50[500.5，505.5]合计10021. （10分） (2017高二下·营口会考) 某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．22. （10分）某购物中心为了了解顾客使用新推出的某购物卡的顾客的年龄分布情况，随机调查了100位到购物中心购物的顾客年龄，并整理后画出频率分布直方图如图所示，年龄落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．（1）求顾客年龄值落在区间[75，85]内的频率；（2）拟利用分层抽样从年龄在[55，65），[65，75）的顾客中选取6人召开一个座谈会，现从这6人中选出2人，求这两人在不同年龄组的概率．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共6分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共45分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

淮北一中2012-2013学年度高二期中数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

）1．设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = A ．∅ B ．)4,3( C ．)1,2(-D ．),4(+∞ 2．直线x+y+1=0与圆2)1(22=+-y x 的位置关系是 A ．相交 B ．相离 C ．相切 D ．不能确定3．设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是 A ．4)11)((≥++b a b aB ．2332ab b a ≥+C ．b a b a 22222+≥++D ．b a b a -≥-||4．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是A ．24B ．4C .22D ．25．已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--,则()f x 的值域是A ．]1,1[-B ．]1,22[-C ．]22,1[-D ．]22,1[-- 6．有一几何体的三视图如下，则该几何体体积为A ．4+52πB ．4+32π C ．4+2π D ．4+π223 1正视图221侧视图22俯视图7．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,{()}n f a 仍是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”。

现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数:①2)(x x f =;②xx f 2)(=;③||)(x x f =; ④||ln )(x x f =。

则其中是“保等比数列函数”的)(x f 的序号为 A ．①② B ．③④ C ．①③D ．②④8．设CD 是△ABC 的边AB 上的高，且满足22221CD CD AC BC+=，则( ) A ．2A B π+=B ．2A B π+=或2A B π-=C ．2A B π+=或2B A π-=D ．2A B π+=或||2A B π-=9．等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，1a ＝－2013，2810810=-S S ，则2013S ＝A ．－2012B ．2013C ．2012D ．－201310．已知函数1)4(22)(2+--=x m mx x f ，mx x g =)(，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，2) B ．(0，8) C ．(2，8) D ．(－∞，0)二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图。

安徽省淮北市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·江西模拟) 已知集合，，则的子集个数为（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一下·吉安期末) 若a、b、c∈R，且a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）A . a﹣c＜b﹣cB . ＞C . ＞D . ac2＞bc23. （2分） (2019高二上·辽宁月考) 已知等比数列满足，且，则当时，（）A .B .C .D .4. （2分）(2020·西安模拟) 若，则（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一上·武邑月考) 已知点，，向量，若，则实数的值为（）A .B .C . 2D . -26. （2分） (2019高一下·广州期中) 如图，设、两点在河的两岸，一测量者在的同侧河岸边选定一点，测出、的距离是，，，则、两点间的距离为（）A .B .C .D .7. （2分）在数列中，若，则（）A . 1B .C . 2D .8. （2分）(2020·河南模拟) 若等差数列的前两项分别为1，3，则该数列的前10项和为（）A . 81B . 90C . 100D . 1219. （2分） (2020高一下·佛山期中) 在等差数列中，，且，则等于（）A . －3B . －2C . 0D . 110. （2分）已知中，内角所对的边分别为，那么（）A .B .C .D .11. （2分）已知中，则等于（）A .B .C .D .12. （2分）若数列{an}是等比数列，公比为q，则下列命题中是真命题的是（）A . 若q>1,则an+1>anB . 若0<q<1,则an+1<anC . 若q=1,则sn+1=SnD . 若-1<q<0,则二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一下·吉林期中) 如图，设两点在河的两岸，在A所在河岸边选一定点C，测量的距离50m，，则可以计算两点间的距离是________14. （1分） (2016高一下·邵东期中) sin75°的值为________．15. （1分） (2019高一下·天长月考) 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a．b，c．已知b=1,c= ．C=π，则角A的大小为________。

2023-2024学年度高二上学期期中考试数学试卷（答案在最后）一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B ⋃=（）A.()1,2- B.[]0,1 C.[)0,1 D.(]1,2-【答案】D 【解析】【分析】应用集合的并运算求集合.【详解】由题设{}{}11|02{|12}A B x x x x x x ⋃=-<<⋃≤≤=-<≤.故选：D2.复数()()()12i 3i z a a =++∈R 是纯虚数，则=a （）A.32-B.32C.3- D.3【答案】B 【解析】【分析】根据纯虚数的定义列式求解即可.【详解】因为()()()12i 3i 326i z a a a =++=-++是纯虚数，则32060a a -=⎧⎨+≠⎩，解得32a =.故选：B.3.“1λ=-”是“直线1l ：90x y λ++=与2l ：()2330x y λλ-++=平行”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由两条直线的一般式方程平行的判定，结合充要条件的定义，对选项进行验证.【详解】1λ=-时，直线2l ：3330x y -+-=即10x y -+=，与直线1l ：90x y -+=平行，充分性成立；直线1l ：90x y λ++=与2l ：()2330x y λλ-++=平行，有()23λλ-=，解得1λ=-或3λ=，其中3λ=时，两直线重合，舍去，故1λ=-，必要性成立.“1λ=-”是“直线1l ：90x y λ++=与2l ：()2330x y λλ-++=平行”的充要条件.故选：A.4.已知角θ的终边过点()3,1P --.则sin()4πθ-=（）A.255-B.C.55-D.【答案】C 【解析】【分析】根据角θ的终边过点()3,1P --，利用三角函数的定义得到sin ,cos θθ，然后利用两角差的正弦公式求解.【详解】解：因为角θ的终边过点()3,1P --，所以sin 1010θθ=-=-，所以sin()sin cos cos sin 444πππθθθ-=-，2102105⎛⎛=⋅---=- ⎝⎭⎝⎭，故选：C5.已知平面向量,,||2,||1a b a b ==，且a 与b 的夹角为π3，则2a b += （）A.12B.16C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据数量积的定义可得1a b ⋅= ，结合模长公式和数量积的运算律运算求解.【详解】由题意可知：cos π121132a b a b ===⨯⋅⨯，所以2a b +==.故选：C.6.在等比数列{}n a 中，12345114a a a a a ++++=-，314a =-，则1234511111a a a a a ++++=（）A.44-B.6411-C.1611D.11【答案】A 【解析】【分析】设51234511111T a a a a a =++++，倒序相加再由等比数列的性质求解.【详解】设51234511111T a a a a a =++++，则5152433452111111111112 T a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++⎪⎛⎫ ⎪⎭+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭()1234515331524242152433241532a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++=++++=211248814⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以544T =-.故选：A7.已知空间直线a 、b 和平面α满足：a b ⊥，a α⊂，//b α.若点P α∈，且点P 到直线a 、b 的距离相等，则点P 的轨迹是（）A.直线 B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】C 【解析】【分析】画图分析，根据题意建立等量关系即可得到点P 的轨迹是双曲线.【详解】如图：不妨设b 在平面α内射影为n ，则a 与n 相交，a 与n 垂直，设直线b 与平面α的距离为d ，则在平面α内，以a 为x 轴，n 为y 轴建立平面直角坐标系，则P 到a 的距离为y ，P 到n 的距离为x ，从而P 到直线b所以y =222y x d -=，故轨迹为双曲线，故选：C.8.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()1,0,5,0A B -.若圆22:(4)()16M x y m -+-=上存在唯一点P ，使得直线,PA PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为（）A. B.± C.± D.【答案】C 【解析】【分析】设出P 点的坐标，根据直线,PA PB 在y 轴上的截距之积列方程，根据唯一性求得m 的值.【详解】圆22:(4)()16M x y m -+-=的圆心在直线4x =上，半径为4，所以()1,0A -在圆M 外，设(),P a b ，其中1a ≠-且5a ≠，直线PA 的方程为()1=111b b b y x x a a a =+++++，纵截距为1ba +，直线PB 的方程为()55=555b b b y x x a a a =-----，纵截距为55ba --，依题意有5=515b b a a ⎛⎫⨯- ⎪+-⎝⎭，整理得()222=9a b -+，所以(),P a b 在圆()()222=91,5x y x x -+≠-≠上，圆心为()2,0，半径为3.则圆()()222=91,5x y x x -+≠-≠与圆22:(4)()16M x y m -+-=有且只有一个公共点，则两圆外切或内切，或圆()222=9x y -+与圆22:(4)()16M x y m -+-=相交，且其中一个交点的横坐标为5，当两圆外切或内切时：圆22:(4)()16M x y m -+-=的圆心为()4,m ，半径为4，3=1-或3=7+，前者无解，后者解得=m ±当圆()222=9x y -+与圆22:(4)()16M x y m -+-=相交，且其中一个交点的横坐标为5时，()2252=9=0y y -+⇒，将()5,0代入22(4)()16x y m -+-=，得22(54)(0)16,=m m -+-=±.综上所述，m 的值为±或故选：C【点睛】关键点睛：求直线方程时，可以根据已知条件，利用合适的求法来求，如本题中，已知两点，则可以考虑两点式，也可以考虑点斜式来求解.圆有关的问题，可考虑方程的思想，如本题中“截距之积”，这就是一个方程，也即是一个等量关系式，是解题的突破口.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知曲线()22:1,x y C m n m n+=∈R ，则下列说法正确的是（）A.若0m n =>，则曲线C 是圆B.若0m n >>，则曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆C.若0m n >>，则曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线D.曲线C 可以是抛物线【答案】AC 【解析】【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线的有关知识求得正确答案.【详解】A 选项，当0m n =>时，曲线22:C x y m +=，表示圆心在原点，的圆，所以A 选项正确.B 选项，当0m n >>时，曲线22:1x y C m n +=表示焦点在x 轴上的椭圆，B 选项错误.C 选项，当0m n >>时，，曲线22:1x y C m n-=-表示焦点在x 轴上的双曲线，C 选项正确.D 选项，由于,m n 是非零实数，所以,x y 的最高次项都是2，所以曲线C 不可能是抛物线，D 选项错误.故选：AC10.已知n S 为数列{}n a 前n 项和，则下列结论成立的有（）A.若数列{}n a 为等比数列，且0n a >，则数列{}3log n a 为等差数列B.若数列{}n a 为等差数列，若3614S S =，则61214S S =C.若数列{}n a 为等差数列，其前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9:8，且10170S =，则公差为2D.若数列{}n a 满足1222a a ==，且21n n n a a a ++=-，则该数列的前100项和10067S =【答案】ABC 【解析】【分析】利用等差数列与等比数列的定义及性质可判断选项ABC ，根据所给数列表达式，找出规律求出即可.【详解】A 选项：依题意，设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，所以131333log log log log n n n na a a q a ++-==为常数，所以数列{}3log n a 为等差数列，故A 正确；B 选项：数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，首项为1a ，则316133,615S a d S a d =+=+，又3614S S =，即131********a d a S d S ++==，化简可得12d a =，则61161536S a d a =+=，12111266144S a d a =+=，所以611213611444S a S a ==，故B 选项正确；C 选项：等差数列{}n a 的前10项中，偶数项的和为24681065a a a a a a ++++=，奇数项的和为1357955a a a a a a ++++=，又偶数项的和与奇数项的和之比为9:8，且10170S =，则6565595855170a a a a ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得561618a a =⎧⎨=⎩，所以652d a a =-=，故C 选项正确；D 选项：因为1222a a ==，所以122,1a a ==，因为21n n n a a a ++=-，所以数列依次为：2,1,1,0,1,1,0, ，所以数列{}n a 从第2项起，周期为3，所以数列{}n a 的前100项的和为()23311068+⨯++=，故D 错误；故选：ABC.11.已知双曲线()222:10x C y a a-=>，若圆()2221x y -+=与双曲线C 的渐近线相切，则（）A.双曲线C 的实轴长为6B.双曲线C的离心率3e =C.点P 为双曲线C 上任意一点，若点P 到C 的两条渐近线的距离分别为1d 、2d ，则2134d d =D.直线1y k x m =+与C 交于A 、B 两点，点D 为弦AB 的中点，若OD （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则1213k k =-【答案】BC 【解析】【分析】利用双曲线C 的渐近线与圆相切求出a 的值，结合离心率公式可判断AB 选项的正误；设点()00,P x y ，则220033x y -=，结合点到直线的距离公式可判断C 选项的正误；利用点差法可判断D 选项的正误.【详解】解：由题意知C 的渐近线方程为0x ay ±=1=，因为0a >，则a =C的实轴长为2a =，故A错误；2c ==，所以3c e a ===，故B 正确；设()00,P x y ，则220033x y -=，2200123344x y d d -==，故C 正确；设()11,A x y 、()2222,B x y ，则221122223333x y x y ⎧-=⎨-=⎩，两式作差得()()()()121212123x x x x y y y y +-=+-，所以，121212121213y y y y k k x x x x -+=⋅=-+，故D 错误.故选：BC .12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，正四面体E FGH -的棱长为a ，则以下说法正确的是（）A.正方体1111ABCD A B C D -的内切球直径为4B.正方体1111ABCD A B C D -的外接球直径为C.若正四面体E FGH -可以放入正方体1111ABCD A B C D -内自由旋转，则a的最大值是3D.若正方体1111ABCD A B C D -可以放入正四面体E FGH -内自由旋转，则a的最小值是【答案】ACD 【解析】【分析】求得正方体外接球的直径判断选项A 、B ，对于C ，即正四面体E FGH -的外接球小于等于正方体1111ABCD A B C D -内切球；对于D ，即正方体1111ABCD A B C D -的外接球小于等于正四面体E FGH -内切球.【详解】对于A ，正方体1111ABCD A B C D -的内切球直径即其棱长，所以直径为4，A 正确；对于B ，正方体1111ABCD A B C D -的外接球直径即其体对角线，所以直径为B 错误；正四面体E FGH -的棱长为a因为正四面体E FGH -的外接球的球心O 到点F 、G 、H 的距离相等，所以O 在平面BCD 内的射影1O ，到点F 、G 、H 的距离相等，又因为在正四面体E FGH -中FGH 是正三角形，所以1O 是FGH 的中心，进而在正四面体E FGH -中，有1AO ⊥平面FGH ，所以球心O 在高线1AO 上，同理：球心O 也在其它面的高线上，又正四面体E FGH -中各面上的高都相等，所以由OE OF OG OH R ====得，点O 到正四面体各面的距离相等，所以点O 也是正四面体E FGH -的内切球的球心，这样正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合．记正四面体E FGH -的高为h ，则R r h +=.因此，只要求出其中一个，则另一个也出来了.因为在正四面体E FGH -中，FGH 是正三角形，1O 是其中心，所以O H a =13，因为1OO ⊥平面FGH ,1O H ⊂平面FGH ，所以11OO O H ⊥，在1Rt OO H 中，由勾股定理，得OH OO O H =+22211，所以())R a R =-+22233，解得4R a =，r a R =-=312，故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为64a 12r a =.对于C ，若正四面体E FGH -可以放入正方体1111ABCD A B C D -内自由旋转，即正四面体E FGH -的外接球小于等于正方体1111ABCD A B C D -内切球，又由棱长为a 的正四面体的外接球半径,r a a =⨯≤∴≤24，C 正确；对于D ，正方体1111ABCD A B C D -可以放入正四面体E FGH -内自由旋转，即正方体1111ABCD A B C D -的外接球小于等于正四面体E FGH -内切球，又由棱长为a 的正四面体的内切球半径12r a a =⨯≥∴≥D 正确.故选：ACD.三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.与椭圆221158x y +=有相同焦点且实轴长4的双曲线的方程为___________.【答案】22143x y -=【解析】【分析】根据双曲线焦点位置及,a c 求解即可.【详解】由椭圆221158x y +=可知双曲线中，21587c =-=，且焦点在x 轴，又24a =，2a =，222743b c a ∴=-=-=，所以双曲线方程为22143x y -=.故答案为：22143x y -=14.已知事件A 与事件B 互斥，如果()0.4P A =，()0.3P B =，那么()P A B = __________.【答案】0.3##310【解析】【分析】根据互斥得到()0P A B = ，计算()0.7P A B ⋃=，得到答案.【详解】事件A 与事件B 互斥，则()0P AB =，()()()()0.7P A B P A P B P AB =+-= ，故()10.70.3P A B =-= .故答案为：0.3.15.小明用数列{}n a 记录某地区2023年8月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记1k a =，当第k 天没下过雨时，记()1131k a k =-≤≤，他用数列{}n b 记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记1n b =，当预报第k 天没有雨时，记1n b =-记录完毕后，小明计算出112233313125a b a b a b a b ++++=L ，那么该月气象台预报准确的总天数为________.【答案】28【解析】【分析】由题意可知，气象台预报准确时1k ka b =，不准确时1k k a b =-，从而得到2m k x +=从而得到最终得结果.【详解】由题意可知，气象台预报准确时1k k a b =，不准确时1k k a b =-，112233k k a b a b a b a b m ++++=L ，设其中有x 天准确，即等式左边有x 个1，()k x -个1-，则()x k x m --=，解得2m k x +=，所以准确天数为2531282x +==.故答案为：2816.已知椭圆1C 和双曲线2C 有相同的焦点12,F F ，离心率分别为12,e e ，且2212112e e +=，若P 是两条曲线的一个交点，则12F PF ∠=__________.【答案】π2【解析】【分析】结合P 为椭圆和双曲线的公共点，分别根据定义在椭圆和双曲线里列1PF 和2PF 的关系，表示出1PF 和2PF ，然后结合2212112e e +=，在12F PF △用余弦定理表示12F PF ∠即可.【详解】不妨设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，设双曲线的方程为()222210,0x y m n m n-=>>，122F F c =，设P 是两条曲线第一象限的一个交点，则有122PF PF a +=，122PF PF m -=，所以1PF a m =+，2PF a m =-，在12F PF △中，()()()()2222222221212122212+42cos 22PF PF F F a m a m c a m c F PF PF PF a m a m a m -++--+-∠===⋅+--又因为2212112e e +=，则22112c c a m +=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222+2a m c=，即2222a m c +=，所以12cos 0F PF ∠=，即1π2F PF ∠=.故答案为：π2.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且满足sin sin b C c B +=（1）求C ；（2）若2,c ABC =ABC 的周长．【答案】（1）π3C =（2）6【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解，（2）根据面积公式4ab =，进而根据余弦定理可得4a b +=，即可求解.【小问1详解】由sin sin b C c B +=和正弦定理得sin sin sin sin B C C B B +=，sin 2C ∴=，由于π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故π3C =，【小问2详解】1sin 24S ab C ab === 4ab ∴=又()2222222cos 2,8,c a b ab C a b a b ab =+-∴+-==+故4a b +=∴周长6a b c ++=18.已知ABC 的顶点()1,1A --，()1,1C -，线段AB 的垂直平分线的方程为0x y +=．（1）求直线BC 的方程；（2）若ABC 的外接圆为圆M ，过点)P作圆M 的切线，求切线方程．【答案】（1）1x =（2）x =460y -+=【解析】【分析】（1）先求得B 点坐标，然后求得直线BC 的方程.（2）根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，根据点到直线的距离公式求得正确答案.【小问1详解】因为线段AB 的垂直平分线的方程为0x y +=，所以点A ，B 关于直线0x y +=对称．因为()1,1A --，所以()1,1B ．又()1,1C -，所以直线BC 的方程为1x =．【小问2详解】因为CA CB ⊥，()1,1A --，()1,1B ，所以ABC 外接圆的方程为()()()()11110x x y y +-++-=，即222x y +=．所以圆M 的圆心为()0,0．当切线的斜率不存在时，x =当切线的斜率存在时，设切线方程为(2y k x -=-，即20kx y -+-=．因为圆心M到切线的距离d ==4k =，所以切线方程为(24y x -=460y -+=．综上所述，切线方程为x =460y -+=．19.设公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足96739S S =，12a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设m b 为数列{}n a 在区间(]()*0,m m ∈N中的项的个数，求数列{}m b 前100项的和.【答案】（1）2nn a =（2）480【解析】【分析】（1）利用等比数列的基本量运算即得；（2）根据条件确定m b 的取值，进而利用分组求和法即得.【小问1详解】设公比为q ，由96739S S =，得966649S S S -=，即()()()6123789361236491a a a q a a a S a a a q ++++==+++，得63964640q q --=，解得38q =或389q =-（舍去），得2q =，又12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，故数列{}n a 的通项公式为2n n a =.【小问2详解】由m b 为数列{}n a 在区间(]()*0,m m ∈N 中的项的个数，可知10b =，231b b ==，45672b b b b ====.当815m ≤≤时，3m b =；当1631m ≤≤时，4m b =；当3263m ≤≤时，5m b =；当64100m ≤≤时，6m b =.∴12310001122438416532637480b b b b +++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.∴数列{}m b 前100项的和为480.20.某中学组织学生进行地理知识竞赛，随机抽取500名学生的成绩进行统计，将这500名学生成绩分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80,90)，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，若,,a b c 成等差数列，且成绩在区间[80,90)内的人数为120．（1）求a ，b ，c 的值；（2）估计这500名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（3）由成绩在区间[90，100]内的甲、乙等5名学生组成帮助小组，帮助成绩在区间[50，60）内的学生A ，B ，其中3人帮助A ，余下的2人帮助B ，求甲、乙都帮助A 的概率．【答案】（1）0.036,0.03a b ==，0.024c =（2）中位数估计为73，平均数73.8（3）310【解析】【分析】（1）根据[)80,90的人数先求出c ，再利用其成等差数列，以及所有小矩形面积为1得到方程，解出即可.（2）设估计中位数为t ，列出方程()()0.0050.03610700.030.5t +⨯+-⨯=，解出即可，再利用频率分布直方图求出平均值即可.（3）列出所有情况，找到满足题意得情况，即可得到概率.【小问1详解】依题意可得：120500100.024c =÷÷=又∵,,a b c 成等差数列，∴2b a c =+且(0.0052)101a b c ⨯+++⨯=，解得：0.036,0.03a b ==【小问2详解】估计中位数设为t ，而[)50,70的频率为0.41，[)50,80的频率为0.71,则[70,80)t ∈，∴()()0.0050.03610700.030.5t +⨯+-⨯=，解得：73t =，即中位数估计为73，估计平均数为：550.05650.36750.3850.24950.0573.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】5人中，将甲、乙分别编号为1,2，其余3人编号3,4,5，从这5人中选3人帮助A 的所以可能结果有：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5）（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），共10个基本事件，其中满足条件的有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），共3个，故满足条件的概率为310.21.如图，在三棱锥-P ABC 中，1AB BC ==，PA PB PC AC ====，O 为棱AC 的中点（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且PC 与平面PAM 所成角的正弦值为34，求二面角M PA C --的大小【答案】（1）证明见解析（2）30°【解析】【分析】对于（1），通过题目条件，可以分别得到BO 和PO 长度，分别通过勾股定理和等腰三角形的三线合一得到PO OB ⊥和PO AC ⊥，从而得到PO ⊥平面ABC ，从而得到平面PAC ⊥平面ABC ；对于（2），先建立空间直角坐标系，因为已知PC 与平面PAM 所成角的正弦值为4，同时点M 在棱BC 上，所以设点M 的坐标，从而分别求出PC 和平面PAM 的法向量，并得到点M 的坐标。

安徽省淮北市高二上学期期中数学试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 说出下列三视图表示的几何体是A . 正六棱柱 B . 正六棱锥 C . 正六棱台 D . 正六边形2. （2 分） 直线的倾斜角为（ ）A . 150ºB . 120ºC . 60ºD . 30º3. （2 分） 在空间四边形 ABCD 中，平面 ABD⊥平面 BCD，且 DA⊥平面 ABC，则△ABC 的形状是（ ）A . 锐角三角形 B . 直角三角形 C . 钝角三角形 D . 不能确定第 1 页 共 14 页4. （2 分） 两直线与的位置关系是（ ）A . 相交B . 平行C . 重合D . 平行或重合5. （2 分） 已知 为两条不同直线， 为两个不同平面，则下列命题中不正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则6. （2 分） 过点且平行于直线A.B.C.D.7. （2 分） 已知向量 满足的直线方程为（ ），，则的最小值为（ ）A. B. C. D.第 2 页 共 14 页8. （2 分） 正四面体（四个面都为正三角形）ABCD 中，异面直线 AB 与 CD 所成的角为（ ） A . 90° B . 60° C . 45° D . 30°9. （2 分） 若圆 斜角的取值范围是（ ）上至少有三个不同的点到直线的距离为 ,则直线 的倾A.B. C.D. 10. （2 分） 直线 A.1 B. C.2 D.3， 当此直线在 轴的截距和最小时，实数 的值是（ ）11. （2 分） 在如图所示的圆锥中，平面 ABC 是轴截面，底面圆 O'的面积为 4π，∠ABC= 接球的表面积为（ ），则该圆锥的外第 3 页 共 14 页A.B.C. D . 32π12. （2 分） 若点为圆的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线方程为（ ）A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2019 高二下·上海月考) 正四棱柱底面所成的角的大小为，则正四棱柱的底面边长，若直线与的侧面积为________14. （1 分） 已知 l1 ， l2 是分别经过 A（2，1），B（0，2）两点的两条平行直线，当 l1 ， l2 之间的距离 最大时，直线 l1 的方程是________15. （1 分） (2016 高一上·清远期末) 已知直线 l 过点（1，﹣1），且在 y 轴上的截距为 方程为________．，则直线 l 的16.（1 分）直线 x+3y﹣7=0 与圆 x2+y2+2x﹣2y﹣3=0 的交点 A，B，则过 A，B 两点且过原点的圆的方程________．三、 解答题 (共 6 题；共 45 分)第 4 页 共 14 页17. （5 分） (2017·莱芜模拟) 已知四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=PB=PD=2，PA= ．（Ⅰ）求证：BD⊥PC； （Ⅱ）若 E 是 PA 的中点，求三棱锥 P﹣BCE 的体积． 18. （10 分） (2017 高一上·嘉峪关期末) △ABC 中，A（0，1），AB 边上的高 CD 所在直线的方程为 x+2y﹣4=0， AC 边上的中线 BE 所在直线的方程为 2x+y﹣3=0． （1） 求直线 AB 的方程，并把它化为一般式； （2） 求直线 BC 的方程，并把它化为一般式． 19. （5 分） 如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，点 M 在线段 EC 上．（Ⅰ）当点 M 为 EC 中点时，求证：BM∥平面 ADEF；（Ⅱ）当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值为时，求棱锥 M﹣BDE 的体积．20. （10 分） (2017·陆川模拟) 如图所示，已知长方体 ABCD 中， 沿 AM 折起，使得 AD⊥BM为 DC 的中点．将△ADM第 5 页 共 14 页（1） 求证：平面 ADM⊥平面 ABCM；（2） 是否存在满足 数 t；若不存在，请说明理由．的点 E，使得二面角 E﹣AM﹣D 为大小为 ．若存在，求出相应的实21. （5 分） (2017 高一下·濮阳期末) 已知圆 C：x2+y2+2x+a=0 上存在两点关于直线 l：mx+y+1=0 对称．（I）求 m 的值；（Ⅱ）直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点， • =﹣3（O 为坐标原点），求圆 C 的方程．22. （10 分） (2019 高二上·安徽月考) 已知三棱锥中：，，， 是 的中点， 是 的中点.（1） 证明：平面 （2） 求点 到平面平面；的距离.第 6 页 共 14 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 14 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 45 分)17-1、 18-1、第 8 页 共 14 页18-2、19-1、第 9 页 共 14 页第 10 页 共 14 页20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。

2021年高二数学上学期期中试题 新人教A 版【解析】试题分析：这个是斐波那契数列，满足的规律的从第三项开始，后面的每一项都等于与它相邻的前两项之和，所以得x=5+8=13．故选C ．考点：归纳推理思想．2．若9-x 2＜0，则 （ )A ．0＜x ＜3B ．-3＜x ＜0C ．-3＜x ＜3D ．x ＜-3或x>3【答案】D【解析】试题分析：本题是一元二次不等式的求解，由9-x 2＜0，得x 2>9，解得x ＜-3或x>3，故选D ．考点：一元二次不等式．3．等差数列-3，1，5，…的第15项的值是（ ）A ．40B ．53C ．63D ．76【答案】B【解析】试题分析：根据数列，可得首项是=-3，公差是d=4，则=+14d=53．故选B ．考点：等差数列．4．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：若A 为△ABC 的内角，则，所以可知，只有>0．故选A ．考点：三角函数值的象限符号．5．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：根据等差中项，，代入，可得，所以()()()1946999913999222a a a a S +++====，故选B ． 考点：等差数列的性质．6．等比数列中，则的前项和为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：根据得，解得=3，q=3，所以的前项和，故选B．考点：等比数列．7．在等比数列中，，则项数n为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】试题分析：由1131192122,83333n nnna a q---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得，得n=4，故选B．考点：等比数列．8．若a>b，c>d，则下列不等关系中不一定成立的是（）A．a-b>d-c B．a+d>b+c C．a-c>b-c D．a-c＜a-d【答案】B【解析】试题分析：由a>b，c>d，得a+c>b+d，移项得，a-b>d-c，A正确；由a>b得a-c>b-c，C正确；由c>d得-c＜-d，所以a-c＜a-d，D正确；而C中，取值检验，当a=1，b=3，c=2，d=3，此时a+d＜b+c，则B不一定成立．故选B．考点：不等式的性质．9．在△中，若，则等于（）A． B．C． D．【答案】D【解析】试题分析：由b=2asinB，运用正弦定理，得sinB=2sinAsinB，因为sinB≠0，得sinA=，所以A=．故选D．考点：正弦定理．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）10．在△ABC 中，若，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：在△ABC 中，由C=90°，B=30°，得A=60°，又a=6，得64cos cos602 3.sin sin 60a cbc A A ====⋅== 则=，故选C ．考点：直角三角形的边角关系．11．不等式（x+1）（2-x)＜0的解集为【答案】x>2 或x ＜-1 【解析】试题分析：由（x+1）（2-x)＜0，得（x+1）（x-2)>0，所以得不等式的解集为x>2 或x ＜-1． 考点：解一元二次不等式．12．等差数列中， 则的公差为 ．【答案】8【解析】试题分析：根据等差数列，得．考点：等差数列的性质．13．在△ABC 中，若 ．【答案】A=120°【解析】试题分析：已知，得，所以得A=120°．考点：余弦定理．14．已知数列｛2n-11｝，那么的最小值是 ．【答案】-25【解析】试题分析：设=2n-11，可得所以得n=5时，最小，为=-25．考点：等差数列性质．三、解答题（题型注释）15．求x -2x-3>0的解集．【答案】x>3或x ＜-1【解析】试题分析：本题主要考查的一元二次不等式的求解，先对代数式因式分解得（x+1)（x-3)>0，然后可以得到解集的端点值为-1，3，最后根据不等式的解集．试题解析：由x2-2x-3>0，得x+1)（x-3)>0，所以，得x>3 或x＜-1即：x2-2x-3>0的解集x>3 或x＜-1．考点：一元二次不等式的解法．16．在等差数列中，a1=1，a3=3，求的值【答案】100【解析】试题分析：本题是根据等差数列的性质来解答的，先运用通项公式，由a1=1，a3=3，求出公差d和a20，对整理，运用等差中项，可得= 5a20，即可得出结果．．试题解析：已知在等差数列中，a1=1，a3=3，得d=1，a20=20，所以 =5a20=100．考点：等差中项，等差数列的通项公式．17．在等比数列{a n}中，若a1=1，a4=27，求：（1）a3（2）数列通项公式a n．（3）数列{a n}的前5项的和S5．【答案】（1）=9；（2）；（3）．【解析】试题分析：本题主要是根据等比数列的知识来解答的，根据a1=1，a4=27，可计算出公比q，然后根据等比数列的通项公式及求和公式，可计算出，，．试题解析：设等比数列的公比是q，根据a1=1，a4=27，得，解得q=3，所以，，．考点：等比数列的通项公式，以及求和公式．18．叙述并证明余弦定理。

2022-2023学年高中高二上数学期中考试学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：105 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 直线的倾斜角为( )A.B.C.D.2. 命题，，则命题￢为（ ）A.，B.，C.，D.，3. 双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，那么点到另一个焦点的距离等于（ ）A.B.C.或D.4. 若函数的图象与函数的图象关于轴对称，则函数的表达式为（ ）．A.B.x +y −1=03–√30∘120∘150∘60∘p :∀x <0≥x 22x p ∃<0x 0≥x 202x 0∃≥0x 0≥x 202x 0∃<0x 0<x 202x 0∃≥0x 0≥x 202x 04−+64=0x 2y 2P 1P 1516151717y =f(x)g(x)=+13x y f(x)f(x)=−−13x f(x)=−13x f(x)=−+13−xC.D.5. 已知抛物线＝的焦点为，过且斜率为的直线交于，两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点，轴于点，若四边形的面积等于，则的方程为（ ）A.＝B.＝C.＝D.＝6. “”是“直线和直线平行”的________条件．A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要7. 过点，且横、纵截距的绝对值相等的直线的条数为（ ）A.B.C.D.8. 已知倾斜角为的直线过椭圆的右焦点，则被椭圆所截的弦长是（ ）A.B.C.D.9. 已知的周长为，且顶点，，则顶点的轨迹方程( )f(x)=−+13−x f(x)=+13−x E :y 22px(p >0)F F 1E A B AB M x C MN ⊥y N CMNF 7E y 2xy 22xy 24xy 28xa =−2ax +2y +1=03x +(a −1)y −2=0()A(1,4)123445∘l +=1x 24y 2l 25456585△ABC 10B (−2,0)C (2,0)A =1(y ≠0)22A.B.C.D.10. 已知椭圆：和点，若存在过点的直线交于，两点，满足，则椭圆的离心率取值范围是( )A.B.C.D.11. 若直线与直线，分别交于点，，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（ ）12. 已知双曲线：的左焦点为，以坐标原点为圆心，为半径的圆与的右支交于点，交轴于点，若，则的离心率为（ ）A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 设，，，则的中点到点的距离为________．+=1(y ≠0)x 29y 25+=1(y ≠0)x 25y 29+=1(y ≠0)x 26y 24+=1(y ≠0)x 24y 26C +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2M (,0)−a 2b 2a M C P Q =λ(0<λ<)PM −→−MQ −→−12C (0,)2–√2(,)3–√32–√2(,1)3–√3(,1)2–√2l y =1x =7P Q PQ (1,−1)l C −=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2F O OF C P PF y A =PA −→−38PF −→−C 3–√5–√6–√22–√A(3,3,1)B(1,0,5)C(0,1,0)AB M C14. 若命题“对，”是真命题，则的取值范围是________．15. 在平面直角坐标系内，与点的距离为，且与点的距离为的直线共有条，则实数的取值范围是________.16. 已知圆：，从点向圆作两条切线，，切点分别为，，若，则点到直线的最小距离为________.三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 5 分 ，共计25分 ）17. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率，且椭圆的长轴长与短轴长的平方差等于．（1）求椭圆的标准方程；（2）点，在椭圆上运动，且满足以为直径的圆经过原点，试判断原点到直线的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，试说明理由． 18. 如图，光线从点 出发经过轴反射后恰好过点 .求反射光线所在的直线方程；若反射光线与两坐标轴交于,两点，点在圆 上运动，求的面积的最大值 19. 已知两个定点，，动点满足．设动点的轨迹为曲线，直线：．求曲线的轨迹方程；若与曲线交于不同的，两点，且（为坐标原点），求直线的斜率；若，是直线上的动点，过作曲线的两条切线，，切点为，，探究：直线是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.20. 已知平面内一点与两个定点和的距离的差的绝对值为．（1）求点的轨迹方程；（2）设过的直线与曲线交于，两点，且（为坐标原点），求直线的方程．21. 已知是椭圆的一个焦点，点在椭圆上， 轴，∀x ∈R k −kx −1<0x 2k A (1,a)1B (3,1)24a M +=4(x −)x 02(y −)y 02N (3,4)M NP NQ P Q ∠PNQ =π3M 3x +4y +25=0xOy C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2e =12C 4C M N C MN O MN A(−4,1)x B(1,4)(1)l (2)l C D P +−2x =0x 2y 2△PCD .A(0,4)B(0,1)P |PA |=2|PB |P E y =kx −4(1)E (2)l E C D ∠COD =120∘O l (3)k =1Q l Q E QM QN M N MN P (−,0)F 13–√(,0)F 23–√2P C (0,−2)l C A B OA ⊥OB O l F C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b2M MF ⊥x |MF|=–√，椭圆的短轴长等于．求椭圆的标准方程；设为直线上一点，为椭圆上一点，且以为直径的圆过坐标原点，求的取值范围．|MF|=2–√4(1)(2)P l :x =32–√Q C PQ O |OP −16|OQ |2|2参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中考试一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】B【考点】直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：依题意可得，又因为,所以，故选.2.【答案】C【考点】命题的否定【解析】根据含有量词的命题的否定为：将任意改为存在，结论否定，即可写出命题的否定【解答】命题，，则命题￢为，，3.【答案】k =tan θ=−3–√θ∈(0,π)θ=120∘B p :∀x <0≥x 22x p ∃<0x 0<x 202x 0D【考点】双曲线的标准方程双曲线的定义【解析】先把双曲线方程转化为标准方程，求出，再由已知条件，利用双曲线的定义能求出结果．【解答】解：∵双曲线，∴双曲线的标准方程是，∴，，.∵双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，设点到另一个焦点的距离为，则由双曲线定义知：，解得或(舍)，∴点到另一个焦点的距离是.故选.4.【答案】D【考点】函数的对称性【解析】函数的图象关于轴对称，则有，即可得答案．【解答】解：∵函数的图象与函数的图象关于轴对称，则有．∴函数的表达式为．故选．5.【答案】C【考点】抛物线的性质a 4−+64=0x 2y 2−=1y 264x 216a =8b =4c =45–√P 1P x |x −1|=16x =17x =−15P 17D y f(x)=g(−x)=+13−x y =f(x)g(x)=+13x y f(x)=g(−x)=+13−x f(x)f(x)=+13−x D【解析】联立方程组求出各点坐标，根据面积公式计算的值得出答案．【解答】，直线的方程为：＝．联立方程组，可得：，设，，则＝，＝＝，∴，∴，直线的方程为＝．∴，∴四边形的面积为，∴＝，即抛物线的方程为：＝．6.【答案】A【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断．【解答】解：由题意知，直线和直线平行，①当时，两直线等价为和直线.又，所以两直线平行.②要使直线和直线平行，则满足，.得，，，解得或，即“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件．p F(,0)p 2AB y x −p 2{ =2px y 2y =x −p 2−3px +=0x 2p 24A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2+x 1x 23p +y 1y 2+−p x 1x 22p M(,p)3p 2N(0,p)MC y −x +5p 2C(,0)5p 2CMNF −=−⋅⋅p ==7S 梯形OCMN S △ONF (+)⋅p 3p 25p 2212p 27p 24p 2E y 24x ax +2y +1=03x +(a −1)y −2=0a =−2−2x +2y +1=03x −3y −2=0=≠−232−31−2ax +2y +1=03x +(a −1)y −2=03a =≠a −12−21(a ≠0)−a −6=0a 2a ≠−32a ≠−3a =−2a =3a =−2ax +2y +1=03x +(a −1)y −2=0A故选.7.【答案】C【考点】各直线方程式之间的转化直线的截距式方程【解析】当截距为时，设＝，待定系数法求值，即得所求的直线方程；当截距不为时，设，或，待定系数法求值，即得所求的直线方程．【解答】当截距为时，设＝，把点代入，则得＝，即＝；当截距不为时，设，或 ，过点，则得＝，或＝，即＝，或＝这样的直线有条：＝，＝，或＝．8.【答案】D【考点】椭圆的定义和性质与椭圆有关的中点弦及弦长问题【解析】求出椭圆的焦点坐标，根据点斜率式设直线方程，与椭圆方程消去，利用根与系数的关系，根据弦长公式即可算出弦长．【解答】解：椭圆，，，，则椭圆的右焦点 ，直线倾斜角为，即斜率为，设直线方程为，代入椭圆右焦点，解得： ，则直线方程为.设直线与椭圆两交点分别为，A 0y kx k 0+=1x a y a +=1x a y −a a 0y kx A(1,4)k 4y 4x 0+=1x a y a +=1x a y −a A(1,4)a 5a −3x +y −50x −y +303y 4x x +y −50x −y +30y +=1x 24y 2a =2b =1c ==−a 2b 2−−−−−−√3–√(,0)3–√45∘1y =x +m (,0)3–√m =−3–√y =x −3–√A (，)x 1y 1,B(，)x 2y 2 =1，2则 整理得：，由韦达定理可知：，，由弦长公式可知被椭圆所截的弦长为，．故选．9.【答案】A【考点】椭圆的定义轨迹方程【解析】由椭圆的定义求出，，再结合当与，共线时，，，三点不能围成三角形，故轨迹不含轴上的两点，得到顶点的轨迹方程为.【解答】解：由题意知，，所以，故动点在以，为焦点的椭圆上，且，，所以，，即，，从而，当与，共线时，，，三点不能围成三角形，故轨迹不含轴上的两点，所以顶点的轨迹方程为.故选．10.【答案】C【考点】 +=1，x 24y 2y =x −，3–√−2x +2=054x 23–√+=x 1x 283–√5=x 1x 285l |AB|=⋅1+k 2−−−−−√(+−4x 1x 2)2x 1x 2−−−−−−−−−−−−−−−√=⋅=2–√(−4×83–√5)285−−−−−−−−−−−−−√85∴|AB|=85D a b A C B A B C x A +=1(y ≠0)x 29y 25|BC =4||AC|+|AB|=10−|BC|=6>|BC|A B C 2a =62c =4a =3c =2=9a 2=4c 2=−=5b 2a 2c 2A B C A B C x A +=1(y ≠0)x 29y 25A椭圆的标准方程椭圆的定义和性质椭圆的离心率【解析】设为椭圆上的一点，求出，根据其单调性，将问题转化为，其中，，得出，的关系式，由此即可求解．【解答】解：设是椭圆上任意一点，则，对称轴为，所以在上单调递减，设，，由题意可知，只要即可，则可得：， 即，所以．故选．11.【答案】【考点】直线的斜率【解析】此题暂无解析【解答】解：依题意，设点，，则有解得，，所以直线的斜率为．12.【答案】T (x,y)|TM|2<|M|A 2|M |A 112(−a,0)A 1(a,0)A 2a c T (x,y)|TM =+|2(x −)c 2a2y 2=−x ++c 2a 2x 22c 2a c 4a 2b 2x =a |TM|2x ∈[−a,a](−a,0)A 1(a,0)A 2<|M|A 2|M |A 112<|M|A 2|M |A 112<a −c 2a +a c 2a 12<3a 2c 2<e <13–√3C 13P(a,1)Q(7,b){a +7=2，b +1=−2，a =−5b =−3l =−−3−17+513B【考点】双曲线的离心率【解析】无【解答】解：设的右焦点为，，则，，连接，，则，，所以，由双曲线的定义，得，所以，解得，所以，，在中，由勾股定理得，所以，即，所以的离心率为．故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】空间两点间的距离公式【解析】设出点的坐标，利用，的坐标，求得的坐标，最后利用两点间的距离求得答案．【解答】解：为的中点设为，∴，，，∴，∵，∴，C F ′|PA|=3m |AF|=5m |PF|=8m PF ′AF ′PF ⊥PF ′|AF|=|A |=5m F ′|P |===4m F ′|A −|PA F ′|2|2−−−−−−−−−−−−√(5m −(3m )2)2−−−−−−−−−−−−√|PF|−|P |=2a F ′8m −4m =2a m =a 2|PF|=4a |P |=2a F ′Rt △PFF ′|PF +|P =|F |2F ′|2F ′|216+4=4a 2a 2c 2a =c 5–√C =c a 5–√B 53−−√2M A B M M AB (x,y,z)x ==23+12y =32z ==31+52M(2,,3)32C(0,1,0)MC ==+(−1+2232)233−−−−−−−−−−−−−−−√53−−√2−−√故答案为：．14.【答案】【考点】全称命题与特称命题一元二次不等式的解法【解析】对与，，分别利用，是真命题，求出的范围．【解答】解：当时，对，，即是真命题，成立；当时，对，是真命题，必有，解得，；当时，对，是真命题，显然不成立．综上，．故答案为：.15.【答案】【考点】圆与圆的位置关系及其判定两圆的公切线条数及方程的确定【解析】根据题意可把点到线的距离转化为圆，进而利用两个圆的位置关系解决问题.【解答】解：由题意得，分别以，为圆心，以，为半径的圆有条公切线，所以根据两圆位置关系可得：这两个圆必然相离，则，即，解得：或故答案为：.16.53−−√2−4<k ≤0k =0k <0k >0∀x ∈R k −kx −1<0x 2k k =0∀x ∈R k −kx −1<0x 2−1<0k <0∀x ∈R k −kx −1<0x 2Δ=(−k +4k <0)2−4<k <0k >0∀x ∈R k −kx −1<0x 2−4<k ≤0−4<k ≤0(−∞,1−)∪(1+,+∞)5–√5–√A B 124d =>1+2=3(1−3+(a −1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√(1−3+(a −1>9)2)2a >+15–√a <1−.5–√(−∞,1−)∪(1+,+∞)5–√5–√【答案】【考点】点到直线的距离公式【解析】在中，求得，得到点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，结合点到直线的距离公式，即可求解．【解答】解：如图所示，从点向圆作两条切线，，且，可得在中， ，，所以，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，因为点到直线的距离为，所以点到直线的最小距离为．故答案为：．三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 5 分 ，共计25分 ）17.【答案】【考点】椭圆的定义【解析】此题暂无解析【解答】6Rt △MPN MN =4M N (3,4)4N (3,4)M NP NQ ∠PNQ =π3Rt △MPN ∠PNM =π6PM =2MN =4M N (3,4)4N 3x +4y +25=0d ==10|3×3+4×4+25|+3242−−−−−−√M 3x +4y +25=010−4=66此题暂无解答18.【答案】解：由题可知：点 关于轴的对称点为 ，所以直线的斜率为 ，所以直线的方程为 ；由可知： .将圆 化为标准方程为 ,故圆心 到直线的距离为 ,所以到直线的最大距离为 ,所以 的面积的最大值为.【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知：点 关于轴的对称点为 ，所以直线的斜率为 ，所以直线的方程为 ；由可知： .将圆 化为标准方程为 ,故圆心 到直线的距离为 ,所以到直线的最大距离为 ,所以 的面积的最大值为.19.【答案】解：设点的坐标为，因为，即，整理可得 ，所以曲线的轨迹方程为．依题意，，且，则点到边的距离为，即点到直线的距离，(1)A(−4,1)x (−4,−1)A ′l k =1l x −y +3=0(2)(1)C(−3,0),D(0,3),∴|CD|=32–√+−2x =0x 2y 2(x −1+=1)2y 2(1,0)l d ==242–√2–√P l 2+12–√△PCD S =×3×(2+1)=122–√2–√12+32–√2(1)A(−4,1)x (−4,−1)A ′l k =1l x −y +3=0(2)(1)C(−3,0),D(0,3),∴|CD|=32–√+−2x =0x 2y 2(x −1+=1)2y 2(1,0)l d ==242–√2–√P l 2+12–√△PCD S =×3×(2+1)=122–√2–√12+32–√2(1)P (x,y)|PA |=2|PB|=2+(y −4x 2)2−−−−−−−−−−√+(y −1x 2)2−−−−−−−−−−√+=4x 2y 2E +=4x 2y 2(2)OC =OD =2∠COD =120∘O CD 1O(0,0)l :kx −y −4=0=14+1k 2−−−−−√k =±15−−√解得 ，所以直线的斜率为．依题意，，，则，都在以为直径的圆上，是直线上的动点，设，则圆的圆心为，且经过坐标原点，即圆的方程为．又因为，在曲线上，由可得，即直线的方程为．由且可得解得所以直线是过定点．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题轨迹方程点到直线的距离公式直线的斜率【解析】（1）设点的坐标为，根据＝列方程化简可得轨迹方程；（2）＝＝，且＝，则点到边的距离为，列方程求解即可；（3）依题意，，，则，都在以为直径的圆上，是直线＝上的动点，设，联立两个圆的方程求解即可．【解答】解：设点的坐标为，因为，即，整理可得 ，所以曲线的轨迹方程为．依题意，，且，则点到边的距离为，即点到直线的距离，解得 ，所以直线的斜率为．依题意，，，则，都在以为直径的圆上，是直线上的动点，设，k =±15−−√l ±15−−√(3)ON ⊥QN OM ⊥QM M N OQ F Q l :y =x −4Q(t,t −4)F (,)t 2t −42+−tx −(t −4)y =0x 2y 2M N E :+=4x 2y 2{ +=4,x 2y 2+−tx −(t −4)y =0,x 2y 2tx +(t −4)y −4=0MN tx +(t −4)y −4=0t ∈R t(x +y)−4y −4=0{ x +y =0,4y +4=0,{ x =1,y =−1,MN (1,−1)P (x,y)|PA |2|PB |OC OD 2∠COD 120∘O CD 1ON ⊥QN OM ⊥QM M N OQ F Q l :y x −4Q(t,t −4)(1)P (x,y)|PA |=2|PB|=2+(y −4x 2)2−−−−−−−−−−√+(y −1x 2)2−−−−−−−−−−√+=4x 2y 2E +=4x 2y 2(2)OC =OD =2∠COD =120∘O CD 1O(0,0)l :kx −y −4=0=14+1k 2−−−−−√k =±15−−√l ±15−−√(3)ON ⊥QN OM ⊥QM M N OQ F Q l :y =x −4Q(t,t −4),)t t −4则圆的圆心为，且经过坐标原点，即圆的方程为．又因为，在曲线上，由可得，即直线的方程为．由且可得解得所以直线是过定点．20.【答案】解：（1）根据双曲线的定义，可知动点的轨迹为双曲线，其中，，则．所以动点的轨迹方程． （2）当直线的斜率不存在时，不满足题意．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，由方程组得． 因为直线与曲线交于，两点，所以，即且． 由根与系数关系得 ，，因为，，所以． 因为，所以，即，所以 ，所以，即，解得，由式知符合题意．所以直线的方程是或．【考点】圆锥曲线的综合问题双曲线的标准方程【解析】（1）由双曲线的定义知该轨迹为双曲线，从而由所给条件可求得其标准方程；（2）当直线的斜率不存在时，不满足题意．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与双曲线方程联立消掉得关于的一元二次方程，根据韦达定理可用表示出，，进而F (,)t 2t −42+−tx −(t −4)y =0x 2y 2M N E :+=4x 2y 2{ +=4,x 2y 2+−tx −(t −4)y =0,x 2y 2tx +(t −4)y −4=0MN tx +(t −4)y −4=0t ∈R t(x +y)−4y −4=0{ x +y =0,4y +4=0,{ x =1,y =−1,MN (1,−1)P a =1c =3–√b ==−c 2a 2−−−−−−√2–√P C :−=1x 2y 22l l l y =kx −2A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2 −=1x 2y 22y =kx −2(2−)+4kx −6=0k 2x 2l C A B {2−≠0k 2△=(4k −4×(2−)×(−6)>0)2k 2−<k <6–√6–√k ≠±2–√(∗)+=x 1x 2−4k 2−k 2⋅=x 1x 2−62−k 2=k −2y 1x 1=k −2y 2x 2=⋅−2k(+)+4y 1y 2k 2x 1x 2x 1x 2OA ⊥OB ⋅=0OA −→−OB −→−+=0x 1x 2y 1y 2(1+)−2k(+)+4=0k 2x 1x 2x 1x 2(1+)⋅−2k ⋅+4=0k 2−62−k 2−4k 2−k 2=1k 2k =±1(∗)k =±1l y =x −2y =−x −2l l l y =kx −2y x k +x 1x 2x 1x 2=0−→−−→−表示出，由，可得，即，从而转化为关于的方程，解出即可，注意检验所求值是否符合题意要求；【解答】解：（1）根据双曲线的定义，可知动点的轨迹为双曲线，其中，，则．所以动点的轨迹方程． （2）当直线的斜率不存在时，不满足题意．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，由方程组得． 因为直线与曲线交于，两点，所以，即且． 由根与系数关系得 ，，因为，，所以． 因为，所以，即，所以 ，所以，即，解得，由式知符合题意．所以直线的方程是或．21.【答案】解：由题意设，则，将点带入椭圆方程，解得，则，，解得，，故椭圆的标准方程为．设，，∵以为直径的圆过坐标原点，∴，即，联立得，，∴y 1y 2OA ⊥OB ⋅=0OA −→−OB −→−+=0x 1x 2y 1y 2k k P a =1c =3–√b ==−c 2a 2−−−−−−√2–√P C :−=1x 2y 22l l l y =kx −2A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2 −=1x 2y 22y =kx −2(2−)+4kx −6=0k 2x 2l C A B {2−≠0k 2△=(4k −4×(2−)×(−6)>0)2k 2−<k <6–√6–√k ≠±2–√(∗)+=x 1x 2−4k 2−k 2⋅=x 1x 2−62−k 2=k −2y 1x 1=k −2y 2x 2=⋅−2k(+)+4y 1y 2k 2x 1x 2x 1x 2OA ⊥OB ⋅=0OA −→−OB −→−+=0x 1x 2y 1y 2(1+)−2k(+)+4=0k 2x 1x 2x 1x 2(1+)⋅−2k ⋅+4=0k 2−62−k 2−4k 2−k 2=1k 2k =±1(∗)k =±1l y =x −2y =−x −2(1)F(c,0)M(c,)y 0M(c,y)=y 0b 2a |MF|=|−0|==y 0b 2a 2–√2b =4b =2a =22–√+=1x 28y 24(2)P (3,t)2–√Q (,)x 1y 1PQ O ⋅=0OP −→−OQ −→−3+t =02–√x 1y 1{3+t =0,2–√x 1y 1+2=8,x 21y 21=x 218t 2+36t 2=y 21144+36t 2|OP −16|OQ |2|2=18+−16(+)t 2x 21y 21=18+−16()t 28+144t 2+36t 2+−1102304，当且仅当，即时等号成立.综上，．【考点】椭圆的标准方程基本不等式在最值问题中的应用圆锥曲线的综合问题【解析】无无【解答】解：由题意设，则，将点带入椭圆方程，解得，则，，解得，，故椭圆的标准方程为．设，，∵以为直径的圆过坐标原点，∴，即，联立得，，∴，当且仅当，即时等号成立.综上，．=+−110t 22304+36t 2=+36+−146≥96−146=−50t 22304+36t 2+36==48t 22304+36t 2t =±23–√|OP −16|OQ ≥−50|2|2(1)F(c,0)M(c,)y 0M(c,y)=y 0b 2a |MF|=|−0|==y 0b 2a 2–√2b =4b =2a =22–√+=1x 28y 24(2)P (3,t)2–√Q (,)x 1y 1PQ O ⋅=0OP −→−OQ −→−3+t =02–√x 1y 1{3+t =0,2–√x 1y 1+2=8,x 21y 21=x 218t 2+36t 2=y 21144+36t 2|OP −16|OQ |2|2=18+−16(+)t 2x 21y 21=18+−16()t 28+144t 2+36t 2=+−110t 22304+36t 2=+36+−146≥96−146=−50t 22304+36t 2+36==48t 22304+36t 2t =±23–√|OP −16|OQ ≥−50|2|2。