欧阳光中《数学分析》(上册)配套题库-模拟试题【圣才出品】

第12章级数的一般理论1．设α＞0，判断（并证明）下列两个级数的收敛性：解：（1）当α＞1时级数显然绝对收敛．（2）当n≤x＜n＋1时，函数有Taylor展开令则（3）积分因为当α＞1/2时，，对于任何所以由Dirich-let判别法则知上述积分收敛．于是当α＞1/2时级数收敛．由步骤（2）可知因为α＋1/2＞1，所以α＞1/2时级数收敛．（4）同法可证α＞1/2时级数收敛．（5）设0＜α≤1/2．那么由步骤（3），发散（读者补出证明）．由步骤（2）有因为α＋1/2＞1/2，α＋1＞1，并根据步骤（4）中的结论，可知上式右边后二级数收敛，因此级数发散．（6）同法可证0＜α≤1/2时级数发散．2．已知是正项发散级数，实数λ＞0．求下列级数的和：解：（1）用表示所给级数的前n项之和，并令那么也就是将此式两边从k＝2到k＝n求和，即得关系式（2）根据并且应用不等式：当时，（可以用数学归纳法证明），即可得到因为级数发散，所以由上式可以推出由此及步骤（1）中的关系式即得级数之和3．（1）设是一个正数列，满足条件那么级数当α＞1时收敛，当α≤1时发散（Gauss判别法则）．（2）讨论下列级数的收敛性：解：（1）①令则其中γ＝min{2，β}．因此因为γ＞1，所以级数收敛，于是由得知存在（记为a），从而②因为所以级数当α＞1时收敛，当α≤1时发散．（2）记级数通项为则于是x＞1时级数收敛；x＜1时级数发散．当x＝1时，因为α＝1/6＜1，所以依本题（1）知级数发散．4．设是正实数列，如果级数收敛，那么级数也收敛．解：令则单调递增，而且记则单调递增．因此只需证明它有界，即可得到题中的结论．依题意可知用T表示题设收敛级数由Cauchy-Schwarz不等式得所以用除上式两边，其中（因为则因而有界．于是本题得证．5．设a，b＞0，证明并求级数的和．证明：因为所以然后根据即可推出所要的公式．特别地，据此可得分部分式得因为，所以于是。

欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解第3章映射与实函数3.1复习笔记一、映射1．相关定义（1）常量与变量常量是指在过程进行中，保持不变的量，否则，称为变量．在任何过程中都是不变的量称为绝对常量。

除去绝对常量，在某一过程中的常量在另一过程中可能成为变量．（2）映射设为X到Y的某种对应法则，若按这个法则，对集中的每个x存在惟一与之对应；而对中的每个x不存在与之对应，则称这个对应法则为X到Y具定义域的一个函数（映射）．其中，x称为自变量，y称为因变量．集称为的定义域，有时为明确起见将记为.当时，称f在X上是全定义的．集合Y称为的值域．对每个按法则f所对应的惟一y常记为，称在点x的值．因变量y的取值范围显然为集，称为f的值域．X到Y的映射f（定义域不必是全X）可简记为2．像与逆像（1）定义如果，则称y为x在f下的像，而x称为y在f下的逆像．y的逆像全体记为：（2）相关符号当为单点集时，同一记号也可用来表示元素x本身，用来表示集合和用来表示元素x的含义是不一样的．3．函数相等的定义设f与g是x到y的两个函数，如果它们有相同的定义域且对定义域中每点x有，则称f与g相等，并记为．4．单射、满射与双射设f：X→Y．若必有，则称f为单射．若值域，则称f为满射．若（全定义！）且f既是单射又是满射，则称f为双射．单射、满射及双射又可分别称为1-1映射、到上映射及一一映射（或一一对应）．5．复合映射设及为两个映射，X到Y的映射称为g与f的复合映射．它的定义域由来确定，u称为中间变量．6．逆映射（1）定义设是单射，对，方程必惟一解．这惟一解x就是：给出了Y到X的一个映射，其定义域为，映射称为f的逆映射．（2）定理①设是单射，则逆映射必存在且满足及②设是双射，则也是双射．二、一元实函数1．初等函数（1）基本初等函数常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数统称为基本初等函数．（2）初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算及复合所产生的一类函数称为初等函数．2．函数的分段表示（1）分段函数定义设A，B为两个互不相交的集，函数和分别于集A和集B上有定义，则定义了上的一个分段函数，这就是函数的分段表示法．（2）重要的分段函数①符号函数②Dirichlet函数无法用图形表示出来．③不超过x的最大整数[x]可分段表示成三、函数的几何特性1．奇偶性（1）定义设的定义域为，其中关于原点对称，即，若，，则称为偶函数；若，则称为奇函数．（2）性质偶函数的图形关于Y轴对称，奇函数的图形关于原点中心对称且（若）．（3）常见的奇函数与偶函数函数，（称为双曲余弦）是偶函数，而，是奇函数，注意不是偶函数．2．周期性若，使得，则称f为周期函数，T称为周期．注意：定义要求具有以下性质：．3．单调性若在数集上有定义，且当时必有则称于上单调增加（严格单调增加），并简记作（f严格↑）．上述不等式若改为则称f（x）于上单调减少（严格单调减少），简记作（f严格↓）．4．有界性若f的值域是一个有界集，则称f是有界函数．即若固定数M＞0，使有．则称f是有界函数．5．最值与极值（1）最值设f于上有定义，像集中的最大（小）数称为f在上的最大（小）值．使f取最大（小）值的自变量x的值称为最大（小）值点．函数的最大值与最小值统称为最值．（2）极值①设f于上有定义，．如果存在使得则称为f的极大值点，而称为极大值．②设f于上有定义，．如果存在，使得则称为f的极小值点，而称为极小值．3.2名校考研真题详解一、选择题1．有下列几个命题（1）任何周期函数一定存在最小正周期．（2）[x]是周期函数．（3）不是周期函数．（4）xcosx不是周期函数．其中正确的命题有（）。

第10章定积分及定积分的应用1．设，且．则证明：易知题式中的定积分均存在，故对[0，1]作分划△：应用几何-算术不等式，可知令n→∞，结论立即得证．2．设，则证明：分割[a，b]区间：。

作积分和式估计令n→∞，即得所证．3．试证明下列命题．（1）设且有，则（2）设且有，其中（3）设f（x）是[0，1]上的递减函数，0＜α＜1，则证明：（1）记并在两端作[0，1]上的定积分，则得从而有A＝2/3，由此可知（2）注意到因此有（3）易知从而有移项即可得证．4．试证明下列命题．（1）设，若有，则f（x）在（0，π）中至少有两个零点．（2）设．若有，则f（x）在[a，b]中至少有N＋1个零点．（3）设，若对满足的任一连续函数φ（x），均有证明：（1）由于，故知f（x）在（0，π）中至少有一个零点，否则与题设矛盾．（i）若f（x）有一个零点，且f（x）的值不变号，则根据类似于前面的推理，仍可推出矛盾．（ii）若f（x）有一个零点x＝x0，且函数值变号，则函数值在（0，x0）和（x0，π）上同号．因此但是这一矛盾说明f（x）至少有两个零点．（2）设P（x）是次数不超过N的多项式，则有用反证法．假定f（x）在[a，b]中只有m≤N个零点：则选取f（x）在这些点左右值变号的点：且不妨设并作多项式因为在每个区间上，总有所以，但P（x）的次数不超过N，矛盾．得证．（3）作函数易知且故得将两式相减，因此有即．这说明即5．若则对任给的ε＞0，存在[a，b]上的阶梯函数φ（x），使得（所谓[a，b]上的阶梯函数，是指定义在[a，b]上的有限分（区间）段函数，在每一小段区间上，该函数是一个常数．）证明：对任给的ε＞0，存在[a，b]的分划△：a＝x0＜x1＜…＜x n＝b使得．现在作阶梯函数φ（x）如下：有6．试证明下列命题．（1）设且，则（2）设f（x）在[a，b]上可微，且，则（3）设f（x）在[0，2]上二次可导，且有，则证明：（1）作，则（2）令，有（3）作f（x）在x＝1处的T aylor公式（ξ位于x与1之间）．注意到，可得7．设，且有则在任一闭区间上的最大值在端点上取到．是上凸函数．证明：（i）反证法．假定存在闭区间[a，b]，f（x）在上取到最大值f（c），且则取a′，使得，再取，使得．从而有这导致矛盾．（ii）设L（x）是线性函数，则它满足题式（实际为等式）．现在取且考察，易知G（x）满足题式，故G（x）在x＝a或x＝b处取到最大值．但G（a）＝G（b）＝0，因此得到8．试证明下列极限等式：（1）设，则（2）设，则。

第15章Fourier级数1．在区间（0，2π）内展开f（x）的Fourier级数[北京大学、湖南大学研]解：将f（x）延拓成以2π为周期函数，则故当x＝0，2π时，上述级数收敛于0．2．已知函数（1）在[－π，π]上将f（x）展为傅里叶级数；（2）求级数的和．[天津大学研]解：（1）f（x）＝f（－x），f（x）为偶函数，故又故在[－π，π]上，①（2）在①式中令，得即3．设以2π为周期的连续函数．f（x）的Fourier系数为，求的Fourier系数，并证明．[中国地质大学研] 证明：（1）根据Fourier系数公式，有同理（2）由（1）的结果可得4．将f（x）展开成以2π为周期的正弦级数[南京航空航天大学研] 解：因为要展开成正弦级数，所以所以f（x）展开成以2π为周期的正弦级数为5．将函数f（x）＝x在[0，π]上展开成余弦级数，并求．[上海大学研、天津工业大学2006研、华中科技大学2007研]解：由于所以f（x）＝x在[0，π]上展开成余弦级数为，从而故．6．令f是R上周期为2π的函数，当时满足．（1）证明f的Fourier级数具有形式，并写出的积分表达式．（2）该Fourier级数是否一致收敛？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．（3）证明．[中科院武汉物理与数学研究所研]证明：（1）由于是奇函数，所以f的Fourier级数具有形式，且．（2）不一致收敛．由Fourier级数收敛定理知由于在上连续，但和函数在上不连续，所以该Fourier级数不一致收敛．（3）由于在上可积且平方可积，所以Parseval等式成立7．证明函数系{sin（2n＋1）x}是上的正交系，对应如何延拓到（－π，π），才能使f（x）的Fourier级数恰为函数系{sin（2n＋1）x}的展开式？求出此展开式，并做出延拓后在上的函数．[西安交通大学研]证明：当m≠n时，有所以函数系{sin（2n＋1）x}是上的正交系．要使f（x）的Fourier级数恰为函数系{sin（2n＋1）x}的展开式，只要即可．由于所以当时，取，然后再做奇延拓．此时所以此展开式为．f（x）延拓后在上的函数为。

欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解第8章导数的应用8.1复习笔记一、判断函数的单调性1．定理若f在〈a，b〉上连续，在〈a，b〉上可微且则2．推论在上述定理的全部条件下加上集不包含任何正长度的区间，则f严格二、极值和最值1．极值的充分判别法（1）判别法1设f在上连续，在上可微．如果当时，当时，那么必是f的极大值点．若判别法1中的不等号反向，则是f的极小值点．（2）判别法2若是ｆ的驻点且存在，则在时，必是f的极小（大）值点．2．f∈Ｃ[a，b]时的最值求法（1）区间[a，b]上最值的存在性若有限，则有界闭区间[a，b]上的连续函数必存在最大（小）值．（2）最值的可能点①设是f的最值点，如果，则必是它的极值可疑点，否则就是区间的端点a，b．②定理设的极值可疑点的全体为则3．任意区间上的函数最值求法（1）在任意区间〈a，b〉（开的或闭的，有界的或无界的）上，f的最值不一定存在，如果f在（a，b）上的确界能被f取到时，则确界就是最值．（2）设f在〈a，b〉上连续，有极值可疑点，且f（a＋）和f（b－）存在（有限或±∞）．当a＝－∞时，这里的f（a＋）由f（－∞）来代替．同样，当b＝＋∞时，f（b－）改为f（＋∞），记则三、函数的凸性1．凸函数（1）凸函数定义①设f在〈a，b〉上有定义，如果对一切及0＜λ＜1，成立不等式则称f是〈a，b〉上的下凸函数，简称为凸函数．如果不等式严格成立，则称f是〈a，b〉上的严格凸函数．②若－f是下凸函数，则称f是上凸函数．（2）凸函数的判别法①定理设f于〈a，b〉上可微，则f严格下凸严格②推论a．若f在〈a，b〉上二阶可微且，则f于（a，b）上严格下凸．b．若f在〈a，b〉上二阶可微且，则f于（a，b）上严格上凸．2．凸函数的性质（1）性质1（a，b）上的凸函数f（x）必连续且点点存在有限左右导数（2）性质2设f在〈a，b〉凸，则过任意点必存在直线使得f（x）的图形在该直线上方若f（x）严格凸，则上述不等式当且仅当时等号成立．（3）性质3设f在〈a，b〉凸，则对一切及正数列，成立不等式如果f严格凸，则上述不等式当且仅当时变成等式．3．0.618方法（黄金分割搜索法）（1）黄金分割法的用途0.618方法适用于求凸函数的最小值的数值解，同时对函数没有可微性要求．（2）命题设若则最小值点必在之中；若则最小值点必在之中．（3）黄金分割法求[a，b]上的严格下凸连续函数f的近似最小值点的算法：①取并求出及；②a．若，则取新区间为，为进一步提高精度，可取并求出而已不用另求了．b．若，则取新区间为，并求出，而已求出．反复以上过程，直到将最小值点定位在指定小的区间上为止．注：每次定位，区间长度缩短到原来的0.618倍，因此n次定位可将最小值点定在长度为的区间之中．四、函数作图1．渐近线（1）垂直渐近线若（或）为∞，则称x＝a为f的垂直渐近线．（2）斜渐进线和水平渐近线设f在（a，＋∞）上有定义，如果存在直线Y＝kx＋b，满足称该直线为f（x）在x→＋∞时的渐近线．若＝0，则称渐近线为水平渐近线，否则是斜渐近线．（3）渐近线的求法有两个求f在x→±∞的渐近线方法．①方法1若f（x）＝kx＋b＋ （1），其中（或则Y＝kx＋b是f在x→＋∞（或x→－∞）时的渐近线．②方法2Y＝kx＋b是f在x→＋∞的渐近线下列极限均存在2．y＝f（X）作图的一般步骤作f（x）图形的一般步骤：（1）确定函数f（x）的定义域、奇偶性及周期性．（2）求出f所有的极值可疑点（包括不连续点），记为，这里是f（x）的定义域的两个端点．（3）求出（在连续点，即为，是f的单调区间，这是因为在内不变号．若与不全存在，则可从的符号来确定f的单调情况．（4）求出它的渐近线．（5）求f的凸性区间．3．极坐标方程r＝r（θ）的作图设r（θ）是周期函数，周期为T＝απ且α是有理数．由于极坐标关于θ是以2π为周期进行循环的，故要得到r＝r（θ）的完整图形，θ应取在[0，2nπ]上，这里区间[0，2nπ]恰由整数个长为απ且互不重叠的子区间构成，即2n／α是整数．4．隐函数及参数方程的作图要作由F（x，y）＝0所决定的隐函数的图形，一般是先将方程F（x，y）＝0化成参数方程或极坐标方程的形式后再来作图的．五、向量值函数1．向量值函数（1）向量值函数的定义参数方程x＝x（t），y＝y（t），t∈〈α，β〉可写成向量形式：r＝r（t）＝（x（t），y（t））这里r＝（x，y）是起点在原点的向量，映射t→r（t）称为（二维）向量值函数．（2）向量值函数r（t）的极限、连续、导数及微分的定义①若都存在，则定义即向量值函数的极限等于各个分量的极限；②若x（t），y（t）在〈α，β〉上连续，则称r（t）＝（x（t），y（t））于〈α，β〉上连续；。

欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解第22章广义重积分22.1复习笔记一、无界集上的广义重积分1．无界集上的广义重积分的定义（1）定义假设①D是边界为（二维）零集的无界集；②f（x，y）于D上几乎处处连续且f（x，y）于D的任一有界子集上保持有界，则定义广义二重积分为特别约定，这里的D R使常义积分存在，即若某D R，使不存在，则放弃这个D R．（2）敛散性若等式右端极限存在且有限，则称广义二重积分收敛，反之，称为发散．2．非负函数的广义二重积分（1）设f（x，y）≥0且满足条件①D是边界为（二维）零集的无界集；②f（x，y）于D上几乎处处连续且f（x，y）于D的任一有界子集上保持有界，若存在一串使得极限存在且有限，则广义重积分必收敛，且3．绝对可积（收敛）性（1）绝对收敛若积分与同时收敛，则称积分绝对收敛（或绝对可积）．（2）条件收敛若积分收敛但绝对值积分发散，则称积分为条件收敛（或条件可积）．（3）结论当函数f非负时，可积必绝对可积．（4）定理设f（x，y）满足条件①D是边界为（二维）零集的无界集；②f（x，y）于D上几乎处处连续且f（x，y）于D的任一有界子集上保持有界，则广义积分收敛必绝对收敛．二、无界函数的重积分1．无界函数积分的定义（1）定义设D为有界集，它的边界是（二维）零集，f（x，y）于集D上是几乎处处连续的且有惟一奇点，即f于点P无界．又设，f于有界．表示在δ邻域中，以点P为内点的集，并要求积分存在．定义无界函数的广义二重积分为（2）敛散性若右端极限存在且有限，则称收敛（或称可积），反之称为发散（不可积）．2．无界函数积分定理（1）设D为有界集，它的边界是（二维）零集，f（x，y）于集D上是几乎处处连续的且有惟一奇点，即f于点P无界．又设，f于有界．表示在δ邻域中，以点P为内点的集，并要求积分存在．又设f非负，则收敛使收敛．（2）无界函数的重积分可积必绝对可积．注：被积函数f（x，y）已满足起始条件，特别是几乎处处连续．没有上述条件，若问收敛时是否也收敛，则结论否定．3．含奇线积分（1）奇线奇点连接成的线称为奇线．（2）含奇线积分的定义设为奇线，取的δ邻域集合表示位于内的一个集，它以上每点为内点，且存在，定义为含奇线积分．22.2名校考研真题详解1．求[北京师范大学2005研]解：由于所以2．求，其中表示整个平面。

欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解第20章偏导数的应用20.1复习笔记一、偏导数在几何上的应用1．曲线的切向量、切线和法平面（1）光滑曲线设空间曲线l的参数方程是其中t是参数，又设都在[a，b]上连续，并且对每一个不全为0，这样的曲线称为光滑曲线．表示成向量值函数为r（t）的导数定义为（2）光滑曲线的切向量光滑曲线l在点P的切向量τ，即（3）光滑曲线的切线和法平面设其中那么曲线l在点P0的切线方程和法平面方程分别是2．曲面的法向量、法线和切平面（1）显示形式的光滑曲面的法向量若光滑曲面S的方程是在处曲面S的法向量为（2）隐式形式的光滑曲面的法向量光滑曲面S的方程并且光滑曲面的法向量为也可简单地写为（3）参数形式的光滑曲面的法向量光滑曲面S的方程是u，v是参数，并假定Jacobi矩阵的秩为2．不失一般性，设则法向量为二、方向导数和梯度1．数量场（1）数量场的定义设D是中的一个区域，f是定义在D内的一个实值函数，即则称在D内有了一个数量场f．（2）等量线的定义设f是D内的一个数量场，称（C是常数）是数量场f的等量面（或等值面）．即在S内每一点x处，它所对应的数值是相同的，都等于C．特别当D是R2中的区域时，称S是等量线（或等值线）．2．方向导数（1）方向导数的定义设D是R3中的一个区域，f是D内的一个数量场，P0∈D，l是R3中的一个单位向量，如果极限存在，则称此极限是数量场f在点P0沿方向l的方向导数，记为．即也称它是函数f在点P0沿方向l的方向导数．它表示数量场f在点P0沿方向l的变化率．（2）方向导数存在的充分条件设函数f在点P0可微，则f在点P0沿任何方向l的方向导数存在，并且有其中是方向l的方向余弦．3．梯度（1）梯度的定义设数量场f（x，y，z）定义于某个三维区域D内，又设函数f具有关于各个变元的连续偏导数，称向量是在点的梯度，记为，即（2）梯度与方向导数的关系θ是向量和向量l之间的夹角．①当θ＝0时达到最大，即当l的方向是的方向时最大．即在点沿的方向，其方向导数最大．②当时达到的最大值等于．（3）梯度与等值面之间的关系①gradf的方向和等值面的法向量的方向是一致的（可能相差一个符号），如果选取法向量的方向是朝向数量场增加的方向，那么该法向量n的方向就和梯度的方向相同．②令n0是单位法向量，则有gradf的方向与n0相同，其大小等于f沿n0的方向导数．（4）梯度的性质设f，g都可微，则①②③④．其中φ（u）在点可微．三、泰勒公式1．二元函数的泰勒公式（1）定理（带拉格朗日余项）设函数f（x，y）在开圆盘内有关于x，y的各个n＋1阶连续偏导数．对D内任意一点记则右端最后的一项称为拉格朗日余项，其中算子的意义如下：（2）推论（带Pean0余项）设函数f（x，y）在开圆盘内有关于x，y的各个n阶微分．对D内任意一点记则其中是Pean0余项．2．n元函数的泰勒公式设n元函数在开球内有关于的各个n＋1阶连续偏导数．对内任一点记则其中．四、极值1．二元极值必要性条件。