分数阶微分方程的初值问题解的唯一性探讨

第61卷 第5期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .52023年9月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )S e p2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2023011一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性张 敏,周文学,黎文博(兰州交通大学数理学院,兰州730070)摘要:用L e r a y -S c h a u d e r 度理论和B a n a c h 压缩映射原理研究一致分数阶时滞微分方程边值问题D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïï0解的存在性与唯一性.在非线性项满足增长性条件和L i p s c h i t z 条件下,分别得到了该边值问题解的存在性与唯一性结果,并举例说明所得结果的适用性.关键词:一致分数阶导数;时滞;边值问题;L e r a y -S c h a u d e r 度理论;B a n a c h 压缩映射原理中图分类号:O 175.8 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)05-1007-07E x i s t e n c e a n dU n i q u e n e s s o f S o l u t i o n s f o rB o u n d a r y Va l u eP r ob l e m s o fC o n f o r m a b l eF r ac t i o n a lD e l a y D i f f e r e n t i a l E qu a t i o n s Z H A N G M i n ,Z HO U W e n x u e ,L IW e n b o(S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n dP h y s i c s ,L a n z h o u J i a o t o n g U n i v e r s i t y ,L a n z h o u 730070,C h i n a )A b s t r a c t :B y u s i n g L e r a y -S c h a u d e rd e g r e et h e o r y a n d B a n a c h c o n t r a c t i o n m a p p i n g p r i n c i p l e ,w e s t u d i e dt h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o fs o l u t i o n sf o r b o u n d a r y va l u e p r ob l e m s o fc o n f o r m a b l e f r a c t i o n a lde l a y d if f e r e n t i a l e qu a t i o n s D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=0ìîíïïïï,w h e n t h en o n l i n e a r t e r ms a t i s f i e d t h e g r o w t hc o n d i t i o na n d t h eL i ps c h i t z c o n d i t i o n ,w eo b t a i n e d t h e r e s u l t s o f e x i s t e n c e a n du n i q u e n e s s o f s o l u t i o n f o r t h eb o u n d a r y v a l u e p r o b l e mr e s p e c t i v e l y ,a n d g a v e a ne x a m p l e t o i l l u s t r a t e t h e a p p l i c a b i l i t y of t h e o b t a i n e d r e s u l t s .K e y w o r d s :c o n f o r m a b l e f r a c t i o n a l d e r i v a t i v e ;d e l a y ;b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m ;L e r a y -S c h a u d e r d e g r e e t h e o r y ;B a n a c hc o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i pl e 收稿日期:2023-01-04. 网络首发日期:2023-07-13.第一作者简介:张 敏(1998 ),女,汉族,硕士研究生,从事分数阶微分方程的研究,E -m a i l :m z h a n g 20222022@126.c o m.通信作者简介:周文学(1976 ),男,汉族,博士,教授,从事非线性分析问题的研究,E -m a i l :w x z h o u 2006@126.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:11961039;11801243)和兰州交通大学校青年科学基金(批准号:2017012).网络首发地址:h t t ps ://k n s .c n k i .n e t /k c m s 2/d e t a i l /22.1340.o .20230713.1056.001.h t m l .Copyright ©博看网. All Rights Reserved.0 引 言分数阶微分方程的边值问题是分数阶微分系统理论的重要课题.目前,对分数阶微分方程边值问题的研究已取得了丰富成果,其中最主要的是基于R i e m a n n -L i o u v i l l e 和C a p u t o 分数阶导数的定义[1-9].但这两种导数均不满足经典链式法则,并且这两种导数的某些性质使得分数阶导数的应用很困难.因此,K h a l i l 等[10]提出了一种新的分数阶导数和分数阶积分的定义,称为一致分数阶导数和积分.这种新的分数阶导数的定义可满足经典的分数阶导数不能满足的一些性质,如乘积法则㊁商法则㊁链式法则㊁罗尔定理和中值定理等,并且其在生物物理学㊁电容理论㊁控制理论和实验数据拟合等领域应用广泛[11-13].但对带有时滞的分数阶微分方程边值问题的研究目前报道较少[14-16].Y a n g 等[17]利用S c h a e f e r 不动点定理和K r a s n o s e l s k i i s 不动点定理研究了一类非线性分数阶微分方程边值问题cD α0+u (t )=f (t ,u (t ),u ᶄ(t )),u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)={正解的存在性,其中0<t <1,1<αɤ2,f :[0,1]ˑ[0,+ɕ)ˑℝң[0,+ɕ)是连续函数,c D α0+是α阶C a p u t o 分数阶导数.X u [18]利用B a n a c h 压缩映射原理㊁L e r a y -S c h a u d e r 度理论和K r a s n o s e l s k i i s 不动点定理研究了一类分数阶微分方程边值问题cD q x (t )=f (t ,x (t )), t ɪ[0,1],x (1)=μʏ1x (s )d s , x ᶄ(0)+x ᶄ(1)={解的存在唯一性,其中1<q <2,f :[0,1]ˑX ңX 是连续函数,c D q 是q 阶C a p u t o 分数阶导数.基于上述研究,本文利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论和B a n a c h 压缩映射原理考虑如下一类一致分数阶时滞微分方程边值问题:D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïï0(1)解的存在性与唯一性,其中1<βɤ2,τ>0,f :[0,1]ˑℝңℝ是连续函数,D β0+是阶数为β的一致分数阶导数.1 预备知识定义1[10] 假设函数f :[0,ɕ)ңℝ,则f 的βɪ(n ,n +1]阶一致分数阶导数定义为D βf (t )=l i m εң0f (β⌉-1)(t +εt β⌉-β)-f (β⌉-1)(t )ε, t >0,(2)其中β是大于等于β的最小整数.式(2)右端极限存在,此时称函数f 是β阶可微的.特别地,当βɪ(1,2]时,D βf (t )=l i m εң0f ᶄ(t +εt 2-β)-f ᶄ(t )ε, t >0.(3) 注1 如果函数f 在(0,b )(b >0)上是β阶可微的,并且l i m t ң0+D βf (t )存在,则D βf (0)=l i m t ң0+D βf (t).注2 由一致分数阶导数定义可知,当β=1时,一致分数阶导数定义即为传统的一阶导数定义.引理1[10] 当βɪ(n ,n +1]并且f 在t >0处n +1阶可微时,有D βf (t )=t β⌉-βf(β⌉)(t ).(4) 证明:令k =εt β⌉-β,则ε=t β-β⌉k ,因此由定义1可得D βf (t )=l i m εң0f (β⌉-1)(t +εt β⌉-β)-f (β⌉-1)(t )ε=l i m k ң0t β⌉-βf (β⌉-1)(t +k )-f (β⌉-1)(t )k=t β⌉-βf (β⌉)(t ). 定义2[19]假设函数f :[0,ɕ)ңℝ,则f 的βɪ(n ,n +1]阶一致分数阶积分定义为8001 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.I βf (t )=1n!ʏt 0(t -s )n s β-n -1f (s )d s .(5)特别地,当βɪ(1,2]时,I βf (t )=ʏt 0(t -s )s β-2f (s )d s .引理2[19] 假设函数f :[0,ɕ)ңℝ连续,并且βɪ(n ,n +1],则有D βI βf (t )=f (t ).(6) 引理3[19]假设f :[0,ɕ)ңℝ是β阶可微函数,并且βɪ(n ,n +1],则有I βD βf (t )=f (t )+a 0+a 1t + +a nt n ,(7)其中a i ɪℝ,i =0,1,2, ,n .引理4 设函数f :[0,1]ˑℝңℝ是连续的,u (t )是边值问题(1)的解,则u (t )=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],(8)其中格林函数G (t ,s)为G (t ,s )=(1-s )(2-t )sβ-2,0ɤs ɤt ɤ1,(1-t )(2-s )sβ-2,0ɤt ɤs ɤ1{.(9) 证明:由引理3知,有u (t )=I β0+f (t ,u (t -τ))-a 0-a 1t =ʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s -a 0-a 1t ,(10)从而u ᶄ(t )=ʏts β-2f (s ,u (s -τ))d s -a 1.根据u (0)+u ᶄ(0)=0,有a 0+a 1=0;(11)根据u (1)+u ᶄ(1)=0,有a 0+2a 1-ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s =0.(12)结合式(11),(12)可得a 0=-ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s , a 1=ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s .(13)将式(13)代入式(10)可得u (t )=ʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s -t ʏ1(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s =ʏt 0(1-s )(2-t )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ1t(1-t )(2-s )sβ-2f (s ,u (s -τ))d s =ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s . 引理5(A r z e l a -A s c o l i 定理)[20] 集合P ⊂C ([a ,b ])列紧的充分必要条件为:1)集合P 有界,即存在常数ψ,使得对∀u ɪP ,有u (t )ɤψ(∀t ɪ[a ,b ]);2)集合P 等度连续,即对∀ε>0,始终存在σ=σ(ε)>0,使得对于∀t 1,t 2ɪ[a ,b ],只要t 1-t 2<σ,即有u (t 1)-u (t 2)<ε(∀u ɪP ).2 主要结果设A 为C ([-τ,1],ℝ)按范数 u =m a x t ɪ[-τ,1]u (t )构成的B a n a c h 空间,在A 上定义一个算子Q ,Q u (t )=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0]{. 假设条件:(H 1)函数f ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),并且φɪC ([-τ,0],ℝ);9001 第5期张 敏,等:一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(H 2)存在常数α,B >0,使得∀(t ,u )ɪ[0,1]ˑℝ,有f (t ,u )ɤαu +B ;(H 3)存在函数η(t )ɪL 1/2([0,1],ℝ+),使得∀t ɪ[0,1],当任取u ,v ɪℝ时,有f (t ,u )-f (t ,v )ɤη(t )u -v ,其中 η =ʏ10η2(s )d ()s 1/2.为方便,引入记号:Λ1=β+2β(β-1),Λ2=1(β-1)(2β-1)(2β-3),Λ3=2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3),32<βɤ2.定理1 如果条件(H 1)和(H 2)成立,并且αɪ(0,Λ-11),则边值问题(1)至少存在一个解.证明:由函数G (t ,s ),f (s ,u (s -τ))的连续性可知算子Q 是连续的,并且易证Q (A )⊂A .设P 是A 中的一个有界集,则存在常数M >0,使得对任意的u ɪP ,有 u ɤM .下面利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论证明边值问题(1)正解的存在性,分以下3个步骤.1)证明算子Q (P )是一致有界的.对任意的u ɪP ,有Q u (t)=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ɤʏ10G (t ,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ɤ(αu +B )ʏ10G (t ,s )d s ɤ(αM +B )ʏ10(2-s )(1-t )s β-2d s +ʏt(t -s )s β-2d []s =(αM +B )β+1β(β-1)(1-t )+1β(β-1)㊃t éëêêùûúúβɤ(αM +B )β+1β(β-1)+1β(β-1éëêêùûúú)=(αM +B )Λ1,因此,算子Q (P )是一致有界的.2)证明算子Q (P )是等度连续的.对任意的u ɪP ,t 1,t 2ɪ[-τ,1]且t 1<t 2:①当0ɤt 1<t 2ɤ1时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)=ʏ10G (t 2,s )f (s ,u (s -τ))d s -ʏ1G (t 1,s )f (s ,u (s -τ))d s ɤʏ10G (t 2,s )-G (t 1,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ɤ(αu +B )ʏ10G (t 2,s )-G (t 1,s )d s ɤ (αM +B )ʏt 10G (t 2,s )-G (t 1,s )d s +ʏt 2t 1G (t 2,s )-G (t 1,s )d s +ʏ1t 2G (t 2,s )-G (t 1,s )d []s = (αM +B )ʏt 10{[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]+[(t 2-s )s β-2-(t 1-s )s β-2]}d s + (αM +B )ʏt 2t 1{[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]+(t 2-s )s β-2}d s + (αM +B )ʏ1t 2[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]d s =(αM +B )ʏt 10(t 1-t 2)(2-s )s β-2d s +ʏt 10(t 2-t 1)s β-2d s +ʏt 2t 1(t 1-t 2)(2-s )s β-2d [s + ʏt 2t 1(t 2-s )s β-2d s +ʏ1t 2(t 1-t 2)(2-s )s β-2d ]s ɤ(αM +B )(t β2-t β1)-(β+1)(t 2-t 1)β(β-1); ②当-τɤt 1<t 2ɤ0时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)ɤφ(t 2)-φ(t 1);③当-τɤt 1<0<t 2ɤ1时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)ɤQ u (t 2)-Q u (0)+Q u (0)-Q u (t 1)ɤʏ10G (t 2,s )-G (0,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s +φ(0)-φ(t 1)ɤ(αM +B )ʏ10G (t 2,s )d s +φ(0)-φ(t 1)ɤ0101 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(αM +B )t β2β(β-1)+φ(0)-φ(t 1)ɤ(αM +B )t β2-t β1β(β-1)+φ(0)-φ(t 1). 在上面3种情形中,当t 1ңt 2时,总有Q u (t 2)-Q u (t 1)ң0,表明Q (P )是等度连续的.故由引理5可知,Q (P )是列紧的,从而算子Q :A ңA 是全连续的.3)利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论证明问题(1)正解的存在性.定义范数 φ [-τ,0]=m a x t ɪ[-τ,0]φ(s ).假设当γɪ[0,1],u ɪA 时,u =γQ u ,则u (t )=γQ u (t )ɤQ u (t)ɤʏ10G (t ,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤʏ10G (t ,s )(αu +B )d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤ(αu +B )ʏ10(2-s )(1-t )s β-2d s +ʏt 0(t -s )s β-2d []s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤ(α u +B )Λ1,t ɪ[0,1], φ [-τ,0],t ɪ[-τ,0{],从而 u ɤB Λ11-αΛ1 φìîíïïïɤT .令ω=T +1,B ω={u ɪA : u <ω},则u ʂγQ u ,对任意的u ɪ∂B ω,γɪ[0,1].定义一个映射:F γ(u )=u -γQ u ,则F γ(u )=u -γQ u ʂ0,对任意的u ɪ∂B ω,γɪ[0,1].因此,由L e r a y -S c h a u d e r 度的同伦不变性,有d e g (F γ,B ω,θ)=d e g (I -γQ ,B ω,θ)=d e g (F 1,B ω,θ)=d e g (F 0,B ω,θ)=d e g (I ,B ω,θ)=1ʂθ.从而根据L e r a y -S c h a u d e r 度的可解性可知,方程F 1(u )=u -Q u =0在B ω上至少存在一个解,进而边值问题(1)至少有一个正解.证毕.定理2 如果条件(H 1)和(H 3)成立,并且 η (Λ2+Λ3)<1,则边值问题(1)存在唯一解.证明:假设s u p t ɪ[0,1]f (t ,0)=ζ<ɕ.定义B δ={u ɪA : u ɤδ}为A 中的有界闭球,并选择δȡζΛ11- η (Λ2+Λ3).下面利用B a n a c h 压缩映射原理证明边值问题(1)解的存在唯一性,分以下两个步骤.1)证明Q (B δ)⊂B δ.对任意的u ɪB δ,有Q u (t)ɤʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s ɤʏt 0(t -s )s β-2[f (s ,u (s -τ))-f (s ,0)+f (s ,0)]d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2[f (s ,u (s -τ))-f (s ,0)+f (s ,0)]d s ɤ u ʏt(t -s )s β-2η(s )d s +ζʏt(t -s )s β-2d s +u (1-t )ʏ10(2-s )s β-2η(s )d s +ζʏ10(1-t )(2-s )s β-2d s ɤ u ʏt(t s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏtη2(s )d ()s 1/2+ζβ(β-1)t β+ u (1-t )ʏ10(2s β-2-s β-1)2d []s 1/2ʏ10η2(s )d ()s 1/2+(β+1)ζβ(β-1)(1-t )ɤ1101 第5期张 敏,等:一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.1(β-1)(2β-1)(2β-3) u η t β-1/2+ζβ(β-1)t β+2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3) u η (1-t )+(β+1)ζβ(β-1)(1-t )ɤδ η (Λ2+Λ3)+ζΛ1,则 Q u ɤδ.表明算子Q 将B δ中的有界子集映为B δ中的有界子集,即Q (B δ)⊂B δ.2)证明算子Q 为压缩映射.对任意的u ,v ɪA :①当t ɪ[0,1]时,有Q u (t )-Qv (t )ɤʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))-f (s ,v (s -τ))d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))-f (s ,v (s -τ))d s ɤ u -v ʏt(t -s )s β-2η(s )d s + u -v (1-t )ʏ10(2-s )s β-2η(s )d s ɤu -v ʏt(t s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏtη2(s )d ()s 1/2+u -v (1-t )ʏ10(2s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏ10η2(s )d ()s 1/2ɤ1(β-1)(2β-1)(2β-3) u -v ㊃ ηt β-1/2+2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3) u -v ㊃ η (1-t )ɤ η (Λ2+Λ3) u -v ; ②当t ɪ[-τ,0]时,有Q u (t )-Q v (t )=φ(t )-φ(t )=0.由①,②可得Q u -Q v [-τ,1]ɤ η (Λ2+Λ3) u -v [-τ,1]. 因为 η (Λ2+Λ3)<1,所以算子Q 为压缩映射.即由B a n a c h 压缩映射原理可知算子Q 存在唯一的不动点,故边值问题(1)存在唯一解.3 应用实例考虑下列一致分数阶时滞微分方程边值问题:D 7/40+u (t )=e -3t s i n 1/2t 5(2+t )2㊃u (t -τ)1+u (t -τ), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0,u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïïïï0(14)解的存在性与唯一性.证明:在边值问题(14)中,β=74,函数f (t ,u (t ))=e -3t s i n 1/2t 5(2+t)2㊃u 1+u 是连续的,满足条件(H 1);对任意的u ,v ɪℝ,t ɪ[0,1],有f (t ,u (t -τ))-f (t ,v (t -τ))ɤe -3t s i n 1/2t 5(2+t )2u -v ɤe -3t s i n 1/2t ㊃u -v .所以存在η(t )=e -3t s i n 1/2t ɪL 1/2([0,1],ℝ+),满足条件(H 3),且 η =0.1667.又因为Λ2=1(β-1)(2β-1)(2β-3)ʈ1.0328, Λ3=2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3)ʈ2.3944.所以 η (Λ2+Λ3)ʈ0.5713<1.因此根据定理2可知,边值问题(14)存在唯一解.2101 吉林大学学报(理学版)第61卷Copyright ©博看网. 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分类号密级U D C 编号硕士学位论文分数阶微分方程初、边值若干问题的研究研究生姓名：刘改云指导教师姓名、职称：欧阳自根教授学科、专业名称：应用数学研究方向：分数阶微分方程及应用2011年5月南华大学学位论文原创性声明本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得南华大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。

与我共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

作者签名：年月日南华大学学位论文版权使用授权书本学位论文是本人在南华大学攻读（博/硕）士学位期间在导师指导下完成的学位论文。

本论文的研究成果归南华大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。

本人同意南华大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保留学位论文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。

同意学校将论文加入《中国优秀博硕士学位论文全文数据库》，并按《中国优秀博硕士学位论文全文数据库出版章程》规定享受相关权益。

同意授权中国科学信息技术研究所将本学位论文收录到《中国学位论文全文数据库》，并通过网络向社会公众提供信息服务。

对于涉密的学位论文，解密后适用该授权。

作者签名：导师签名：年月日年月日目录中文摘要 (iii)英文摘要 (iv)第一章绪论 (1)1.1 分数阶微分方程理论的提出、应用背景及发展 (1)1.2 主要结论 (2)1.3 主要理论 (4)第二章具有无限时滞的分数阶微分方程解的存在理论 (6)2.1 引言 (6)2.2 预备知识 (7)2.3 主要结论 (9)第三章边值问题的分数阶微分方程的多重正解 (19)3.1 引言 (19)3.2 基本定义与引理 (20)3.3 主要结论 (22)结论与展望 (31)主要结论 (31)展望未来 (32)参考文献 (33)攻读硕士学位期间发表的论文 (38)致谢 (39)摘要近年来分数阶微分、积分方程在工程，科技，经济，生态学等众多领域都有广泛应用，所以分数阶微分，积分方程解的研究引起了广大学者的关注，尤其是解的存在与唯一性的研究。

分数阶微分方程论文：几类分数阶微分方程初值问题解的研究【中文摘要】分数阶微积分是一种关于整数阶标准微积分很自然的数学推广,它研究的是任意阶次的微分与积分的非标准的算子理论及其应用,是数学分析的一个重要分支。

随着自然界和许多科学领域中大量分数维事实的出现,分数阶微积分理论以及分数阶微分方程得到了越来越多的数学家们的肯定,并吸引了众多科学家和研究学者的关注。

近年来,分数阶微积分以及分数阶微分方程理论在不断发展和完善,在很多领域它们都已经得到了非常广泛的应用。

对分数阶微积分以及分数阶微分方程的研究有着十分重要的理论意义和实际的应用价值,特别是从实际问题中抽象出来的分数阶微分方程成为很多数学工作者的研究热点。

本文主要研究了几类分数阶微分方程的初值问题,建立了解的存在性与唯一性的若干准则,丰富了分数阶微分方程初值问题解的研究理论。

本文的主要工作包括以下五个部分:第一章绪论中,主要介绍了分数阶微积分和分数阶微分方程的发展历史以及,简要介绍了几类分数阶微分方程关于初值问题解的存在性与唯一性方面的一些重要结果。

第二章中,主要讨论简单类型的分数阶微分方程的带权初值问题。

利用Schauder不动点定理、Leray-Schauder非线性抉择定理、上下解方...【英文摘要】Fractional calculus is the extension of the standard calculus with integer order, which researches on thetheory and application of the differential and integral nonstandard operators of arbitrary order. It is an important branch of mathematical analysis. With the emergence of many fractal dimension facts in the nature and science, fractional calculus theory and fractional differential equations have got more confirmations of mathematicians and attracted more attention.In recent years, the theory of fra...【关键词】分数阶微分方程初值问题耦合系统存在性唯一性【英文关键词】fractional differential equations initial value problem coupled system existence uniqueness【索购全文】联系Q1：138113721 Q2：139938848 同时提供论文写作一对一辅导和论文发表服务.保过包发【目录】几类分数阶微分方程初值问题解的研究摘要7-9Abstract9-10第一章绪论11-19 1.1 分数阶微积分理论的研究背景11-13 1.2 研究现状13-17 1.3 本文的主要工作17-19第二章分数阶微分方程初值问题解的存在性与唯一性19-43 2.1 引言和预备知识19-21 2.1.1 引言19 2.1.2 预备知识19-21 2.2 (0,1]区间上分数阶微分方程初值问题解的存在性21-29 2.2.1 解的局部存在性21-24 2.2.2 正解的存在性24-29 2.3 (0,T]区间上分数阶微分方程初值问题解的存在性与唯一性29-37 2.3.1 预备知识29-34 2.3.2 主要结果34-37 2.4 高阶分数阶微分方程初值问题解的存在唯一性37-43第三章混合分数阶微分方程初值问题解的研究43-75 3.1 引言及预备知识43-44 3.1.1 引言43 3.1.2 预备知识43-44 3.2 混合分数阶微分方程带权初值问题正解的存在性44-52 3.3 混合分数阶微分方程初值问题解的存在性与唯一性52-61 3.3.1 预备知识52-55 3.3.2 主要结果55-59 3.3.3 举例59-61 3.4 混合分数阶微分方程初值问题解的多重性61-65 3.4.1 主要结果61-65 3.4.2 举例65 3.5 一般形式的混合分数阶微分方程解的存在唯一性65-75 3.5.1 预备知识66-67 3.5.2 主要结果67-72 3.5.3 举例72-75第四章分数阶微分方程耦合系统解的存在性与唯一性75-91 4.1 引言75 4.2 分数阶微分方程耦合系统解的存在性75-79 4.2.1 预备知识76-77 4.2.2 主要结果77-79 4.3 混合分数阶微分方程耦合系统解的存在性与唯一性79-91 4.3.1 预备知识79-80 4.3.2 主要结果80-88 4.3.3 举例88-91第五章结论与展望91-95 5.1 总结91-93 5.2 创新点93-94 5.3 展望94-95参考文献95-101致谢101-102附录102-105。

两类分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性的开题报告1. 研究背景和意义分数阶微积分是近年来发展起来的一门新的数学分支，与传统的整数阶微积分相比，它更适用于描述非线性、非局部和多重尺度的现象。

因此，在物理、金融、生物等领域中，广泛应用于解决一些实际问题。

然而，分数阶微分方程的求解方法还处于初步的探讨和研究阶段，因此，研究分数阶微分方程解的存在唯一性对于深入了解分数阶微积分领域具有重要意义。

2. 研究对象和方法本文将研究两类分数阶微分方程的边值问题解的存在唯一性，其中一类是具有单次边界值条件的分数阶微分方程，另一类是具有多重边界值条件的分数阶微分方程。

本文将采用函数分析方法和不动点定理的理论研究方法，结合实例分析和算法求解方法，探讨分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性。

3. 研究内容和关键问题（1）研究单次边界值条件的分数阶微分方程的解的唯一性。

分析对于一维和多维的分数阶微分方程的不同情况，找到边值问题的具体解或近似解。

（2）研究多重边界值条件的分数阶微分方程的解的唯一性。

分析在一维和多维分数阶微分方程的求解中，引入多重边界值条件时可能出现的问题，并找到边值问题的具体解或近似解。

（3）实例分析和算法求解。

选择适当的例子，通过求解分数阶微分方程边值问题，测试所得的解的存在唯一性，比较不同算法的优缺点。

4. 研究进展和展望目前，分数阶微分方程的研究还相对较为初步，需要进一步加强对于分数阶微积分理论的研究，探索更加严谨的分析方法和求解算法。

此外，基于分数阶微积分的理论模型在生物、金融和物理等领域中应用广泛，因此，对于分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性的研究也具有广泛的应用前景。

微分方程的解的存在性与唯一性微分方程的解的存在性与唯一性是微分方程理论中的重要问题之一。

它涉及到了微分方程的解是否存在以及是否唯一的问题。

在研究微分方程的过程中，我们常常需要确定方程的解的存在性和唯一性，以便得到准确的结果和合理的推论。

首先，我们来讨论微分方程解的存在性。

对于一阶微分方程dy/dx=f(x, y)来说，如果函数f(x, y)在某个区域内是连续的，那么根据连续函数的存在性定理，方程必有一个解存在。

这个解可能通过求不定积分得到，也可能是通过其他方法求得的特解。

如果方程涉及到一些特殊的函数，如分段定义的函数或含有非连续点的解，那么解的存在性的问题可能就会更加复杂。

其次，我们来探讨微分方程解的唯一性。

唯一性通常需要借助某些定理来证明。

在微分方程理论中，最常用的唯一性定理就是皮卡-林德洛夫定理（Picard-Lindelof定理）。

该定理表明，如果函数f(x, y)在某个区域内是局部利普希茨连续的，即满足|f(x, y1)-f(x, y2)|≤K|y1-y2|，其中K是一个常数，那么方程的初值问题y(x0)=y0必有唯一解存在。

这里需要说明的是，皮卡-林德洛夫定理中的条件比较严格，f(x, y)需要满足利普希茨连续性，这并不是一个常见的条件。

对于一些非连续的函数，可能无法直接使用皮卡-林德洛夫定理来证明解的存在唯一性。

此时，我们可以尝试使用其他的方法来证明解的存在性和唯一性，如变量分离、恰当方程等。

此外，还有一种特殊情况需要考虑，即微分方程解的多解性。

有时候，微分方程的解可能存在多个，这取决于方程本身的特性和约束条件。

比如，对于一元二次方程dy/dx=ax²+bx+c，根据韦达定理，方程的解可能有两个或零个。

在这种情况下，我们需要根据问题的具体条件来确定解的个数，并选择出最符合问题要求的解。

总结起来，微分方程解的存在性与唯一性是微分方程理论中的重要问题。

通过合理选择条件和引入适当的定理，我们可以判断微分方程的解是否存在，以及是否唯一。

微分方程初值问题解的唯一性微分方程初值问题是研究微分方程的解的性质及其存在唯一性的重要问题之一、在实际问题中，由于观测数据的限制，我们通常只能得到初始条件下的解析解或数值解中的一个。

因此，我们需要确保初值问题存在唯一解，以保证对问题的研究有意义。

首先，我们来讨论微分方程的局部解的唯一性。

定理1（局部解的唯一性）：设函数f(x,y)及其偏导数在区域D内连续，则对于方程dy/dx=f(x,y)的几个具有相同初始条件（x0,y0）的解，其区间I的长度不超过\alpha，其中\alpha>0只依赖于f(x,y)及其偏导数的最大值和最小值，且不依赖于(x0,y0)。

证明：设y1(x)和y2(x)为方程dy/dx=f(x,y)在区间I=[x0-\alpha,x0+\alpha]的两个解，且y1(x0)=y0，y2(x0)=y0。

构造函数w(x)=，y1(x)-y2(x)，>0，则w'(x)=，y1'(x)-y2'(x)，=，f(x,y1(x))-f(x,y2(x))，\leqslant Mw(x)，其中M为f(x,y)及其偏导数的最大值和最小值的绝对值的最大值。

由Gronwall不等式，有w(x)\leqslant w(x0)e^{M(x-x0)}，其中w(x0)=0。

因此w(x)=0，即y1(x)=y2(x)，定理得证。

以上定理说明，如果微分方程的右端项在一些区域内连续，那么由同样的初始条件出发的解的局部存在且唯一其次，我们来讨论微分方程的整体解的唯一性。

定理2（整体解的唯一性）：设函数f(x,y)及其偏导数在闭区域D内连续，且满足Lipschitz条件，即存在常数L>0，使得对于任意(x,y1)和(x,y2)属于D，有，f(x,y1)-f(x,y2)，\leq L，y1-y2、则方程dy/dx=f(x,y)的任意两个解在其公共存在的区间上是相同的。

证明：设y1(x)和y2(x)是方程dy/dx=f(x,y)的两个解，考虑函数z(x)=y1(x)-y2(x)，则有z'(x)=y1'(x)-y2'(x)=f(x,y1(x))-f(x,y2(x))。

一类 Caputo 分数阶微分方程初值问题解的存在性杨帅;蔡宁宁【摘要】将一类Caputo分数阶微分方程初值问题转化为等价的Volterra积分方程，通过构造一个特殊的Banach空间，在此Banach空间上定义算子，将求解Volterra积分方程转化为求算子的不动点问题，应用Schauder 不动点定理证明了其解的存在性。

%The initial value problem of a class of Caputo fractional differential equations is trans‐formed into an equivalent Volterra integral equation .By defining a operator on a special Banach space ,the solvability of the Volterra integral equation is transformed to a fixed point problem . The existence of its solution is proved by employing S chauder′s fixed point theorem .【期刊名称】《山东理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(000)003【总页数】4页(P29-32)【关键词】Caputo分数阶微分方程;初值问题;Volterra积分方程【作者】杨帅;蔡宁宁【作者单位】中国矿业大学北京理学院，北京100083;中国矿业大学北京理学院，北京100083【正文语种】中文近年来，随着相关理论的不断拓展和完善，分数阶微分方程已广泛应用于分数物理学、粘弹性力学、自动控制、混沌与湍流、生物化学、非牛顿流体力学、随机过程等诸多科学领域[1]. 关于分数阶微分方程解的存在性及其求解也取得了丰硕的成果[2-5]. 分数阶微分方程初值问题是非线性微分方程的一个重要研究课题，许多学者都独立地探讨了各类分数阶微分方程初值问题[6-9].本文主要讨论如下一类Caputo分数阶微分方程边值问题式是Caputo分数阶导数，核心思想是将其转化为等价的Volterra积分方程，利用Schauder不动点定理证明其解的存在性.首先，介绍几个基本概念和一些Caputo分数阶导数的性质以及相关引理.定义1[1] 设是R中的有限区间，∀α∈R+，则连续函数f(x)的α阶Riemann-Liouville分数阶积分定义为式中0≤x≤h，右端项在上有定义. α=0时，令=I为恒等算子.定义2[2] 设是R中的有限区间，n-1<α≤n，n≥2，则连续函数f(x)的α阶Caputo分数阶导数定义为式中0≤x≤h，右端项在上有定义.性质1 常数的Caputo分数阶导数为0，即性质2 设f1,f2是两个连续函数，∀几乎处处存在. 设几乎处处存在，且引理1 设α>0，f∈C[0,h]，则有几乎处处成立[2].引理2 设f∈L1[0,h]，∀α≥0，则几乎处处存在，且在L1[0,h]中有界[1].定理1 设f(x,y(x))在[0,1]×R上连续，则Caputo分数阶微分方程边值问题(1)等价于下面的第二类非线性Volterra积分方程证明设y(x)是Caputo分数阶微分方程边值问题(1)的解，则由Caputo分数阶导数的定义有第2个等号两边作用1-α阶的Caputo分数阶导数，由引理1可得即等式两边积分可得y(x)=y(0)+最后一个等号用到了则y(x)是Volterra积分方程(2)的解.另一方面，设y(x)是Volterra积分方程(2)的解，即等号两边作用α(0<α<1)阶的Caputo分数阶导数，则由性质1、2以及引理1可得且在(2)中令x=0可得y(0)=y0，则y(x)是Caputo分数阶微分方程边值问题(1)的解.综上两个方面，得到(1)与(2)等价.定理2 设在[0,1]×R上连续，f(x,0)不恒为零，并且存在非负函数p(x)∈L1[0,1]及q(y)∈C(R)使得，另有(α+1)，则Caputo分数阶微分方程边值问题(1)在C[0,1]中至少有一个非零解.证明由定理1知道，Caputo分数阶微分方程边值问题(1)与Volterra积分方程(2)等价，定义算子A:Ay(x)=y0+则方程的解转化为算子A的不动点问题.由(α+1)知，存在L>0以及0<K<Γ(α+1)，使得当时，有.另外，由于p(x)∈L1[0,1]，则由引理2知，存在N>0，使得N. 则对于(x,y)∈[0,1]×R有定义,其中‖·‖C是Bannach空间C[0,1]上的最大值范数，即，且容易得到U是Bannach空间C[0,1]的有界完备闭凸子集.接下来，分以下几步来证明：第1步，任取y∈U，可以得到即Ay(x)∈U，于是算子A:U→U.第2步，讨论算子A的连续性.∀y1,y2∈U，x∈[0,1]，对于∀ε>0，由f在‖y‖上的一致连续性知，∃δ0>0使得当时，有,∀x∈[0,1]那么则A:U→U连续.第3步，，对于∀z∈A(U)，有即A(U)中诸函数一致有界.第4步，讨论A(U)中诸函数的等度连续性.由U是Bannach空间C[0,1]的有界完备闭凸子集，且在[0,1]×U上连续，则可令∀y∈U,∀x1,x2∈(0,1]，不妨设0<x1≤x2≤1. 对∀ε>0，取，则当时，有由于0<α<1，则dt=于是ε.可知A(U)中诸函数等度连续.由Ascoli-Arzela定理知A(U)是B相对紧集. 因此A:U→U全连续. 根据Schauder 不动点定理知A在U中必有不动点.综上，证明了Caputo分数阶微分初值问题(1)解的存在性，即(1)必有连续解y∈C[0,1].【相关文献】[1] Kilbas A A, Srivastava H M, Trujillo J J. Theory and applications of fractional differential equations [M]. Amsterdam: Elsevier, 2006.[2]Diethelm K. The analysis of fractional differential equations[M]. Heidelberg: Springer, 2010.[3]Sabatier J, Agrawal O P, Tenreiro Machado J A. Advances in fractionalcalculus[M].Nether-Lands: Springer, 2007.[4]Miller K S, Ross B. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations [M]. New York: Wiley, 1993.[5] Podlubny I. Fractional differential equations [M]. London: Academic Press,1999.[6] Zhang S Q. Positive solutions to singular boundary value problem for nonlinear fractional differential equation[J]. Computers and Mathematics with Applications,2009,59 (3):1 300-1 309.[7] Zhang S Q. Positive solution of singular boundary value problem for nonlinear fractional differential equation with nonlinearity that changes sign[J]. Positivity,2012,16(1): 177-193.[8] Su X W. Boundary value problem for a coupled system of nonlinear fractional differential equations.[J]. Appl. Math. Lett.,2009,22: 64-69.[9] Su X W . Positive solutions to singular boundary value problems for fractional functional differential equations with changing sign nonlinearity[J]. Computers and Mathematics with Applications,2012, 64 (10):3 425-3 435.。

第４０卷第２期贵州大学学报（自然科学版）Ｖｏｌ．４０Ｎｏ．２２０２３年　３月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕｉｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）Ｍａｒ．２０２３文章编号　１０００ ５２６９（２０２３）０２ ００２４ ０５ＤＯＩ：１０．１５９５８／ｊ．ｃｎｋｉ．ｇｄｘｂｚｒｂ．２０２３．０２．０４分数阶随机微分方程解的存在性与唯一性罗　欢 ，陈付彬，周　旋（昆明理工大学津桥学院，云南昆明６５０１０６）摘　要：研究了一类分数阶随机微分方程解的存在性与唯一性。

通过运用微分方程的半离散化技术，推导出分数阶随机微分方程解的半离散化模型，利用Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ不等式、Ｈ ｌｄｅｒ不等式和Ｐｉｃａｒｄ逐步逼近法，证明了半离散随机模型解的存在性与唯一性。

关键词：分数阶；Ｐｉｃａｒｄ迭代；Ｍｉｔｔａｇ Ｌｅｆｆｌｅｒ函数中图分类号：Ｏ１７５．１ 文献标志码：Ａ 近年来，分数阶微积分［１］在量子力学［２］、土木工程［３］和非牛顿流体［４］等理工领域得到了快速的发展，在信号处理［５］、生物医学［６］和自动控制［７］等其他领域也发挥了积极推动的作用。

２０世纪６０年代，意大利物理学家Ｃａｐｕｔｏ提出了一种具有弱奇异性质的分数阶导数，使得Ｃａｐｕｔｏ分数阶导数解的存在性、唯一性和稳定性得到了更为广泛的研究［８ １０］。

关于确定性分数阶微分方程的文章较多，但是在某些随机环境中，模型的不确定性对系统的影响很大。

为了解决这些问题，学者提出了分数阶随机微分方程。

涉及分数阶随机微分方程解的离散模型的文章较少，大部分讨论的是连续型解的存在性和唯一性，以及对稳定性的分析。

文献［１１］建立了随机神经网络的指数稳定性判据。

ＰＥＮＧ［１２］建立了Ｇ 期望理论和Ｇ 布朗运动的概念，使Ｇ 布朗运动驱动的随机微分方程的研究工作得到了很好的发展。

文献［１３］利用逐次逼近方法将解的局部存在唯一性推广到全局存在唯一性，建立了分数阶随机微分方程两个不同解之间渐近距离的下界，推导出有界线性Ｃａｐｕｔｏ分数阶随机微分方程任意非平凡解的均方Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数总是非负的。