如:同向不等式相乘时,注意a>b>0,c>d>0.
考点陪练
1.已知a≥b,则可以推出( )
A. 1 ≥ 1
ab
B.ac2≥bc2
C.
a c2
b c2
答案:B
D.(ac)2≥(bc)2
2.“a>2且b>2”是“a+b>4,且ab>4”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
1 x loga 1 x
lg 1 x2
1 x 1
lg 1 x
lg 2a ,
又0 x 1, 0 x2 1 0 1 x2 1;
又0 1 x 1 x 0 1 x 1, 1 x
所以lg 1 x2
0, lg
1 1
b”;a≥b的含义是指“或者a>b,或者a=b”,等价于“a不 小于b”.
【典例1】 某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车,计 划使用不超过1000万元的奖金购买单价分别为40万元､90 万元的A型汽车和B型汽车.根据需要,A型汽车至少买5辆 ,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式.
[解题切入点] 因为两式皆正,故可采用平方作差法,去除绝 对值符号.
[解]因为 loga 1 x 2 loga 1 x 2
loga 1 x loga 1 x loga 1 x loga 1 x
loga 1 x2
ab
ab
ab( a b)2 0,即H G; ab
由A G a b ab a 2 ab b ( a b)2 0,
2
2
2
即G A;
由Q A a2 b2 a b 2(a2 b2 ) a b
2
2
4
2
a2 2ab b2 a b 0,即A Q.
01 0
②当n N时, 2 n 0,
则
1
2 n n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1,
又 , 3 2 .
2
22
2
[答案]
3 2
,
2
名师技法·练智力
技法一
平方作差法
两正数大小的比较,可用平方比较法去掉绝对值或根号.
【典例1】 设0<x<1,且a>0,a≠1,试比较|loga(1-x)|与 |loga(1+x)|的大小.
f f
(1) (1)
f
f (1)] ,
(1)]
f 2 4a 2b 3f 1 f 1.
又 1≤f 1≤2, 2≤f 1≤4,
5≤3f 1 f 1≤10,故5≤f 2≤10.
解法三
:由12≤≤aa
b≤2 b≤4
的等量关系,最后通过“一次性”不等式关系的运算求得
待定整体的范围.这是避免此类题目出错的一条途径.
【典例4】 设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2, 2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围. [分析] 利用f(-1)与f(1)表示出a,b,然后再代入f(-2)的表
达式中,从而用f(-1)与f(1)表示f(-2),最后运用已知条件 确定f(-2)的取值范围.此题还可用线性规划求解.
【典例3】设a、b是不相等的正数, A a b ,G ab, 2
H
1
1 1
,Q
ab
2
a2 b2 ,试比较A､G､H､Q的大小. 2
[解] a, b为不相等的正数,
GH
ab
1
2
1
ab 2ab ab
ab
(a b) ab 2ab ab(a 2 ab b)
x x
0,
1 lg 2a
0,
可得 loga 1 x 2 loga 1 x 2 0,
即 loga 1 x loga 1 x .
[方法与技巧]注意对数换底公式及对数函数性质的应用. 一般地两根式间的大小比较可用平方作差比较法(如
(n 1)(n 5)与 (n 2)(n 3)的大小比较).
使命题成立.对照不等式的运算性质,还可添加“b≥0且 d≥0”也可使命题成立.
类型三
比较大小
解题准备:作差法比较大小的步骤是:
作差→变形→判断差的符号→下结论.
作商法比较大小的步骤是:
作商→变形→判断商与1的大小→下结论.
其中变形是关键,变形方法主要是通分、因式分解和配方等, 变形要彻底,要有利于与0或1比较大小.
3.不等式的性质 性质1:对称性 如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b. 性质2:传递性 如果a>b,且b>c,那么a>c. 也可等价表示为: 如果c<b,且b<a,那么c<a.
性质3:加法法则 如果a>b,那么a+c>b+c. 推论1:移项法则 如果a+b>c,那么a>c-b. 推论2:同向可加性 如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.
答案:A
3.若x+y>0,a<0,ay>0,则x-y的值为( )
A.大于0
B.等于0
C.小于0
D.符号不能确定
答案:A
4.已知a,b,c满足c<b<a,且ac<0.那么下列选项中一定成立的 是( )
A.ab>ac
B.c(b-a)<0
C.cb2<ab2
D.ac(a-c)>0
答案:A
5.设a 0, b 0,已知m b, a 且m 0,则 1 的取值范围是( )
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于
>
至多
≤
小于
<
至少
≥
大于等于
≥
不少于
≥
小于等于
≤
不多于
≤
(2)注意区分“不等关系”和“不等式”的异同，不等关 系强调的是关系，可用“>”、“<”、“≥”、“≤”、 “≠”表示，不等式则是表示不等关系的式子，对于实际 问题中的不等关系可以从“不超过”、“至少”、“至多” 等关键词上去把握，并考虑到实际意义，本题中就容易忽
b≤2 b≤4
,
得到
032≤≤ba≤≤323
再由不等式性质得 :
6≤4a≤12 3 2b≤0
,
进而得3≤4a
2b≤12
即3≤f 2≤12
错误原因是满足
1≤a 2≤a
bb≤≤24的点a,
b的集合与满足
032≤≤ba≤≤323的点a, b的集合不等价.
技法二 化简比较法
作商法的要求是商式的分母必须为正.在q 0的前提下,
p q p 1, p q p 1.
q
q
【典例2】比较 1 与2 n的大小n N.
n1 n
[解题切入点] 当n为正数时可用作商法,只需将商式
与1进行比较.
[解]①当n 0时,显然
1
2 0;
[剖析] 因为条件中有α <β ,解题时往往忽略这个条件,致
使解错.在研究范围问题时,一定要看清变量间有无内在联系
,要确定准独立变量,以免产生错误.
[正解] , ,
2
22
2
.
又 ,则 0, 0.
2.比较两个实数的大小
两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的,有a-
b>0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a<b.另外,若b>0,则有
a
a
a
b >1a>b; b =1a=b; b <1a<b.
注意:在应用作差法比较实数大小时,一定要变形到能直接判
断差的符号为止,变形过程中要保持等, 则
40x 90 y≤1000 4x 9 y≤100
x≥5 y≥6
,即
x≥5 y≥6
.
x, y N *
x, y N *
[反思感悟] (1)将实际的不等关系写成对应的不等式时, 应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之 间的正确转换,这关系到能否正确地用不等式表示出不等 关系.常见的文字语言与数学符号之间的转换关系如下表:
确定的平面区域如图,
当f
2
4a
2b过点A
3 2
,
1 2
时,
取得最小值4 3 2 1 5, 22
当f 2 4a 2b过点B3,1时,
取得最大值4 3 21 10,
5≤f 2≤10.
[反思感悟]此题易有如下错误解法 :
由12≤≤aa
1
f 2 3f 1 f 1.
又 1≤f 1≤2, 2≤f 1≤4,
5≤3f 1 f 1≤10,
故5≤f 2≤10.
解法二 :由
f (1) a b f (1) a b
,
得
a b
1[ 2 1[ 2
视x，y∈N*.
类型二
不等式性质的应用
解题准备:不等式的性质就其逻辑关系而言,可分为推出关系( 充分条件)和等价关系(充要条件)两类,同向可加性和同向 可乘性可推广到两个或两个以上的不等式,同向可乘时,应 注意a>b>0,c>d>0.深刻理解不等式的性质时,把握其逻辑 关系,才能正确应用不等式性质解决有关不等式的问题.
