(完整版)半角模型及k型相似.doc

半角模型三个条件 ①共顶点 ②小角是大角一半 ③大角边相等模型一：90°夹45°半角模型【例】如图，等腰ABC Rt ∆中，AC AB BAC ==∠,90，点D E ,是BC 边上两点，若45=∠EAD ，则线段DE EC BD ,,之间有怎样的数量关系，并说明理由解答：把三角形进行旋转写法尽量不用【旋转（两小角变大角）】得证：222DE EC BD =+模型二：120°夹60°半角模型【例】如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，BDC ∆是等腰三角形，且120=∠BDC ，以D 为顶点作一个60角，使其两边分别交AB 于M 交AC 于点N ，连接MN ，求AMN ∆的周长解答：把三角形进行旋转写法尽量不用【旋转（两小角变大角）】得证：2模型三：半角模型与正方形【例】如图，F E ,分别是正方形ABCD 的边CD BC ,上的点，且45=∠EAF ，EF AH ⊥，H为垂足（1）求证：EF DF BE =+ （2）求证：BC AH =（3）若2,3==DF BE ，求AB 的长（4）当点F E ,分别在DC CB ,的延长线上时，线段DF BE ,和EF 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明解答：（1）同理可证 （2）可证 （3）得证6=AB（4）图略，得证DF EF BE =+模型四：半角模型与对角互补模型【例】问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，BC AD //，CD BC AB ==，点N M ,分别在CD AD ,上，若ABC MBN ∠=∠21，试探究线段CN AM MN ,,有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD 中，180,=∠+∠=ADC ABC BC AB ，点N M ,分别在CD DA ,的延长线上，若ABC MBN ∠=∠21仍然成立，请你进一步探究线段AM MN ,， CN 又有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明解答：（1）得证MN CN AM =+ （2）得证CN AM MN =+模型五：对角模型与矩形【例】如图，在矩形ABCD 中，4,2==BC AB ，点F E ,分别在CD BC ,上，若,5=AE45=∠EAF ，则AF 的长为解法：①方法一：半角模型（2种）【构造使其满足半角模型三个条件】 ②方法二：K 型三垂直（3种）【构造等腰直角三角形】 ③方法三：构造相似三角形（1种）【构造135°角】④方法四：12345模型（最快）【和角公式（两角和45°，一个正切值是21，另一个正切值是31）】 得证1034=AF。

归纳一种几何模型：半角模型
特点：
过等腰△ABC(AB=AC)顶角顶点（设顶角为A），引两条射线且它们的夹角为A/2；这两条射线与过底角顶点的相关直线交于两点M、N，则BM,MN,NC之间必存在固定关系。

这种关系仅与两条相关直线及顶角A相关.
解决方法：
以点A为中心，把△ACN（顺时针或逆时针）旋转角A度，至△ABN'，连接MN'；
结论：
1:△AMN全等于△AMN'，MN=MN';
2:关注BM,MN',N'B(=NC)，
若共线，则存在x+y=z型的关系；
若不共线，则△BMN'中，∠MBN'必与∠A相关，于是由勾股定理（有时需要作垂线）或直接用余弦定理可得
三者关系.
应用环境：（限于初中）
1：顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为30°、45°60°、75°或它们的补角、90°；
2：正方形、菱形等也能产生等腰三角形；
3：过底角顶点的两条相关直线：底边、底角两条平分线、腰上的两高、底角的邻补角的两条角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或棱形的另外两边；
4：此等腰三角形的相关弦.
以上条件可以形成数百种题目！而解决方法均可以运用此方法.。

专题07相似三角形的基本模型（K字型）【模型说明】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.【例题精讲】（1）如图①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，请猜想线段AF与DF之间的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；（1）求此拋物线的解析式．课后训练4．如图，AOB∆是直角三角形，AOB∠5．如图，已知D是等边为EF，点E、F分别在∠=，将边AC绕点C顺时针旋转α得到线段10．（1）问题发现：如图1，ABCα∠=．请求出线段BC与DE的数量关系；线BC上取点D，使得CDEα(1)如图1，求点D的坐标；(2)如图2，点P在第二象限内抛物线上，过点接AE，过点E作EF⊥AE交线段为d，求d与t的函数关系式；(3)如图3，在（2）的条件下，点EH-CE=2AH，求点P的坐标．3（1）求证：EA·ED （2）若BE平分∠＝45°，BD交EF于点（3）若AB＝BC，点＝EJ，当AEED＝_________。

半角模型已知：AOB ∠=∠212，OB OA =做法：连接FB ，将△FOB 绕O 旋转至△FOA 位置，连接E F '，FE ，可得△OEF ≌△'OEF模型分析：∵△OBF ≌△OAF′，∴∠3=∠4，OF=OF′.∴∠2=12∠AOB，∴∠1+∠3=∠2∴∠1+∠4=∠2又∵OE 是公共边，∴△OEF≌△OEF′.（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°.模型实例例1已知，正方形ABCD 中，∠︒=45MAN ，它的两边分别交线段CB 、DC 于点M 、N ．（1）求证：MN DN BM =+．（2）作MN AH ⊥于点H ，求证：AB AH =．证明：（1）延长ND 到E ，使BM DE =，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =．在△ADE 和△ABM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BMDE B ADE ABAD ∴△ADE ≌△ABM ．∴AM AE =，BAMDAE ∠=∠∵︒=∠45MAN ，∴︒=∠+∠45NAD BAM ．∴︒=∠=∠45EAN MAN ．在△AMN 和△AEN 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=ANAN EAN MAN EAMA ∴△AMN ≌△AEN ．∴EN MN =．∴MN EN DN DE DN BM ==+=+．（2）由（1）知，△AMN ≌△AEN ．∴S △AMN =S △AEN．即EN ADMN AH ⋅=⋅2121又∵EN MN =，∴AD AH =．即ABAH =已知：正方形ABCD 中，︒=∠45MAN ，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线）于点M ，N ．当绕点A 旋转到DN BM =时（如图1），易证MN DN BM =+．（1）当MAN ∠绕点A 旋转到DN BM ≠时（如图2），线段BM ，DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM ，DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．（3）图3中若3=AB ，5=MN ，求△AMN 的面积为5.7.在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在BC 、CD 上移动，且DN BM MN +=求证：（1）︒=∠45MAN （2）C △ABCMN 2=（3）AM 、AN 分别平分BMN ∠和DNM ∠已知，△ABC 是等边三角形，DC DB =，︒=∠120BDC ，︒=∠60EDF 求证：CFBE EF +=已知△ABC 为等边三角形，△BDC 为等腰三角形，︒=∠120BDC ，E 、F 分别为AB 和AC 上任一点，且︒=∠60EDF ，EF DG ⊥，求证：△BED ≌△GED ．（1）如图，在四边形ABCD 中，AD AB =，︒=∠=∠90D B ，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且BAD EAF ∠=∠21．求证：FD BE EF +=；（2）如图，在四边形ABCD 中，AD AB =，︒=∠+∠180D B ，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且BAD EAF ∠=∠21，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD 中，AD AB =，︒=∠+∠180ADC B ，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且BAD EAF ∠=∠21，（1）中的结论是否仍然成立？立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【操作发现】（1）如图1，△ABC 为等边三角形，先将三角板中的︒60角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于︒0且小于︒30），旋转后三角板角边与AB 交于点D ，在三角板斜边上取一点F ，使CD CF =，线段AB 上取点E ，使︒=∠30DCE ，连接AF ，EF ．①求EAF ∠的度数；②DE 与EF 相等吗？请说明理由；【类比探究】（2）如图2，△ABC 为等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，先将三角板的︒90角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于︒0且小于︒45）后三角板的一直角边与AB 交于点D，在三角板另一直角边上取一点F ，使CD CF =，线段AB 上取点E ，使︒=∠45DCE ，连接AF ，EF ．请直接写出探究结果①EAF ∠的度数；②线段AE ，ED ，DB 之间的数量关系．（初二上不做）如图，五边形ABCDE 中，AE AB =，CD DE BC =+，︒=∠+∠180AED ABC ，连接AD ．求证：AD 平分CDE∠如图，在四边形ABCD 中，BC AB =，︒=∠=∠90C A ，︒=∠135B ，K ，N 分别在AB 、BC 上，若△BKN 的周长是AB 的2倍，求KDN∠如图，正方形ABCD 的边长为1，AB ，AD 上各有一点P ，Q ，如果△APQ 的周长为2，求PCQ ∠的度数．如图所示，等腰直角△ABC 中，M 、N 为斜边AB 上两点，且︒=∠45MCN ，求证：以AM 、MN 、BN 三边为边长构成的三角形是直角三角形．请阅读下列材料：已知：如图1在Rt△ABC 中，︒=∠90BAC ，AC AB =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若︒=∠45DAE ．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC 绕点A 顺时针旋转︒90，得到△'ABE ，连接D E '，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．在△ABC 中，AC AB =，α=∠BAC （︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转︒60得到线段BD ．（1）如图1，直接写出ABD ∠的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，︒=∠150BCE ，︒=∠60ABE ，判断△ABE 的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE ，若︒=∠45DEC ，求α的值．半角模型条件：βα21=且︒=+180γθ思路：（1）延长其中一个补角的线段（或旋转）延长CD 到E ，使BM ED =，连AE 或CB 到F ，使DN FB =，连AF（将△ABM 逆时针旋转︒90，得△ADE ）结论：①DN BM MN +=；②AB C 2△CNM =；③AM 、AN 平分BMN ∠、DNM∠（2）对称（翻着）思路：分别将△ABM 和△ADN 以AM 和AN 为对称轴翻着，但一定要证明M 、P 、N 三点共线（︒=∠+∠180D B ，且AD AB =）。

半角模型三个条件①共顶点②小角是大角一半③大角边相等模型一：90°夹45°半角模型【例】如图，等腰ABC Rt ∆中，AC AB BAC ==∠,90，点D E ,是BC 边上两点，若 45=∠EAD ，则线段DE EC BD ,,之间有怎样的数量关系，并说明理由解答：把三角形进行旋转写法尽量不用【旋转（两小角变大角）】得证：222DE EC BD =+模型二：120°夹60°半角模型【例】如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，BDC ∆是等腰三角形，且 120=∠BDC ，以D 为顶点作一个 60角，使其两边分别交AB 于M 交AC 于点N ，连接MN ，求AMN ∆的周长解答：把三角形进行旋转写法尽量不用【旋转（两小角变大角）】得证：2模型三：半角模型与正方形【例】如图，F E ,分别是正方形ABCD 的边CD BC ,上的点，且45=∠EAF ，EF AH ⊥，H 为垂足（1）求证：EF DF BE =+（2）求证：BC AH =（3）若2,3==DF BE ，求AB 的长（4）当点F E ,分别在DC CB ,的延长线上时，线段DF BE ,和EF 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明解答：（1）同理可证（2）可证（3）得证6=AB（4）图略，得证DF EF BE =+模型四：半角模型与对角互补模型【例】问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，BC AD //，CD BC AB ==，点N M ,分别在CD AD ,上，若ABC MBN ∠=∠21，试探究线段CN AM MN ,,有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD 中， 180,=∠+∠=ADC ABC BC AB ，点N M ,分别在CD DA ,的延长线上，若ABC MBN ∠=∠21仍然成立，请你进一步探究线段AM MN ,， CN 又有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明解答：（1）得证MN CN AM =+（2）得证CN AM MN =+模型五：对角模型与矩形【例】如图，在矩形ABCD 中，4,2==BC AB ，点F E ,分别在CD BC ,上，若,5=AE 45=∠EAF ，则AF 的长为解法：①方法一：半角模型（2种）【构造使其满足半角模型三个条件】 ②方法二：K 型三垂直（3种）【构造等腰直角三角形】③方法三：构造相似三角形（1种）【构造135°角】④方法四：12345模型（最快）【和角公式（两角和45°，一个正切值是21，另一个正切值是31）】 得证1034AF。

数学故事古典密码术大家经常见到的藏头诗实际是一种加密术，它通过坐标变换的方式隐藏了秘密，这个例子虽然很简单，但它反映出了加密术的本质－－变换坐标系。

加密术最早应用于古代战争，当时是靠士兵随身携带的信件来传递情报，但总是免不了被敌方俘虏，从而使情报落入敌手，这对作战部队而言可是生死悠关的大事。

传说当时的凯撒大帝有一个能加密的办法，就在写命令前做一个对应表：明码：A B C D E F．．．．W X Y Z密码：D E F G H I．．．．Z A B C如果他想写BABY，就用EDEB来表示。

当大将收到了EDEB这个密码后，向前推3个字母，就得到了明文。

这个对应表的移位数是3，当然别的数也可以，作战前由凯撒定好后通知大将们。

这种加密方式其实就是把坐标系横移了3格，这种方法非常简单，但同时也很容易被敌方猜到，敌人从1到25推25次，得到25组新编码，必有一种编码是真实的情报内容，把这组编码区别出来非常容易，因为其它24组都是毫无意义的字母组合，只有这一组是有意义的句子，找个识字的人就可以看得出来。

凯撒该怎么办呢？有个聪明人帮他出了个主意，对应表不按字母顺序写，而是搞个乱乎的。

例如A对Q，B对F，随便配对，只要保证26个明密码对里，每个都出现一次就行了。

每次出征前，凯撒都会临时搞个非常乱乎的明密码对应表，然后发给大将。

这招很不错，敌人即使截获了密文，由于不知道明密码对应表，也很难破译出来，这其实也是坐标系的一种变换，这种方法被后人称为“单表系统”。

很多年过去了，有人发现了这种加密方法的漏洞，因为英文字母的出现次数是不同的，例如E出现的次数最多，甚至可以搞出个频次表来，如果一件密文中R出现的次数最多，那这个R会不会就是E呢？这个猜想很合理，即使代表的不是E，那它代表的也应是明文中出现次数较多的字母。

按照这种思路试试吧，My God，密码解开了。

现在又轮到加密方纠结了，他们想，破解方是在拿明密文中字母出现的频次做文章，如果我们能把频次的区别消除掉，他们不就没办法了吗？道理虽然很好，但怎样才能消除这种频次的差别呢，毕竟明文中字母的频次就是不一样，这本身没法改变啊。

半角模型、90 °+45° 模型.1.问题描述：如图，正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD 上，且/ EAF=45 °,连接EF.结论1: EF=BE+DF.证明：延长CD至点G使彳导DG = BE【补短】在△ ABE和^ ADG中，AB ADABE ADGBE DGABE^A ADG (SAS).•.AE=AG, / BAE=Z DAG,・. /EAF=45° , . BAE + Z DAF =45 ° ,/ GAF = / GAD + / DAF = / BAE+ / DAF =45° , 在△ AEF和^ AGF中，AF AFFAE FAGAE AGAFE^A AFG (SAS).•.EF = GF•. GF = Z DF + Z DG=Z DF + BE, .•.EF = BE+DF .结论2: EA平分/ BEF; FA平分/ DFE .G 证明：.「△ ABE^A ADG,・./ AEB=/ G,・••△ AEF^A AGF,・・./ AEF=/ G,・./ AEB=/AEF,・•・EA 平分/ BEF;・••△ AEF^A AGF,・・./ AFE=/AFG,FA 平分/ DFE .结论3:过点A作AH^EF交EF于点H,则：△ ABE^AAHE; △ AHF^A ADF; AH=AB=AD.证明：在^ ABE和^AHE中,ABE AHEAEB AEHAE AE••.△ABE^A AHE (AAS)同理可证：△ AHF^AADF ;.•.AB=AH=AD.2.结论变式：若E、F分别在CB、DC延长线上时，求证：EF=DF-BE.证明: 在DF边上取点G使得DG = BE,在△ ABE和^ ADG中，AB ADABE ADGBE DGABE^A ADG (SAS).•.AE=AG, BE=DG, Z BAE=Z DAG ,・. /BAE+/BAF=45° ,・./DAG + /BAF=45° ,，/GAF=45° ,在△ EAF和^ GAF中，AE AG EAF GAFAF AFAEF^A AGF (SAS) .•.EF = GF, ,.GF=DF-DG=DF-BE, ••• EF DF BE.【小结】截长、补短只是形式，关键点在于已知半角的情况下，构造相应的另一个半角.此处通过旋转，想要将一个图形毫无违和地旋转到另一位置，需要：邻边相等，对角互补.正方形可满足一切你所想.3.条件变式(1)如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，连接EF ,若EF=BE+DF .求证：/ EAF=45° .(2)如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，连接EF ,若EA平分/ BEF .求证：/ EAF=45° .(3)如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，连接EF,过点A作AH，EF交EF 于点H,若AH=AB,求证：/ EAF =45° .A isr ---------------- D/F二、120°+60° 模型1.问题描述：如图，△ ABC是等边三角形，BD=CD且/ BDC=120°, E、F在直线AB、AC 上且/EDF=60°.求证：EF=BE+CF.证明：延长AC至点G使得CG=BE,易证：△ DBE0^DCG (SAS) 一DE=DG , / FDG = / FDE =60°易证：△ DFE^^DFG (SAS) 一EF=GF综上：EF=GF=GC + CF=BE+CF.(2)若点E、F分别在BA、AC的延长线上，EF、BE、CF之间又有何数量关系?解：结论是EF BE CF .在BA上取点G使得BG=CF,易证△DCF^^DBG,，DC=DG, /CDF=/BDG;易证△EDG0^EDF, EG=EF,••• EG=EB-BG=EB-CF,••• EF BE CF .三、半角模型总结通过以上例子不难发现，常见的半角模型均通过构造旋转改变图形位置，再由一组对称型全等解决问题，首先考虑的是如何构造旋转？需要满足以下条件：(1)角含半角：通过旋转可得一组相等角；(2)邻边相等：如果邻边不相等，旋转之后便不能正好重合；(3)对角互补：保证旋转之后得到共线.1【例】如图，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上点，且EAF - BAD , AB=AD, 2/B+/D=180° ,求证：EF=BE+DF.证明：延长CD至点G使彳导BG = DF,・. /ABC+/ABG=180° , / D + ZABC=180° , . . / ABG=/D,在△ ABG和△ ADF中，AB ADABG ADFBG DF△ ABG^A ADF (SAS)AG=AF, / BAG=Z DAF,1• EAF — BAD , • . BAE 2. 1 rr-BAG BAE - BAD ,即2在△ EAG和^ EAF中，AE AEEAG EAFAG AFAEG^A AEF (SAS)••• EF EG BE BG BE DF , . . EF1DAF — BAD ,2-1EAG - BAD EAF , 2 B E CBE DF .结论2:连接AD,与AE、AF分别交于M、N,则：MN2 BM 2 DN2 .证明：^^造^ ADMABM - AM=AM', /MAN = /M'AN, BM = DM易证：△ AMN^^AM'N (SAS) 一MN=M'N易证：△M'DN 是直角三角形一M'N2 M'D2 DN2 一MN2 BM2 DN2.【拓展篇】1结论1：右BE -BC ,则点F 是CD 边中点.反之亦然.3另外还可得：连接 EN 、MF,可得△ AEN 、AAMF 是等腰直角三角形.结论3: M 、N 、F 、E 四点共圆.证明：・. / MEF = /MFN , M 、N 、F 、E 四点共圆. FE 4 y结论2: A 、B 、E 、N 四点共圆, A 、D 、 证明：/ EAN=Z EBN=45° , :' A 、B 、E 、 N 四点共圆.同理可证 A 、D 、F 、M 四点共圆. F 、M 四点共圆.NFMEF E结论4: △AMNs^AFE.且_^ 把_EF J2AM AN MN由构图3 可得/ ANM=/AEF, /AMN = /AFE.可得△ AMN^A AFE .45结论5: MAN^A MDA4545 45结论6:M457连接AC,则△AMBs^AFC, △ AND^A AECAF AC45 45AM AB。

难题突破专题二“K”字型相似研究相似基本图形中除了常见的“A”字型、“X”字型相似外，还有一个“K”字型相似，也常用于各种相似图形中．“K”字型相似由特殊到一般，题型往往丰富多彩，也是近几年浙江省中考题中常见的一种基本图形．了解一个基本图形，有助于我们在复杂图形中渗透其中的奥秘，从而找到解决问题的突破口．类型1 “K”字型相似基本图形1图Z2－11 条件：如图Z2－1，B，C，E三点共线，∠B＝∠ACD＝∠E＝90°.结论：△ABC∽△CED.证明：例题分层分析(1)证明两个三角形相似有哪些方法？(2)除了∠B＝∠E＝∠ACD之外，图中还可以找出哪些角相等？【应用】如图Z2－2，已知点A(0，4)，B(4，1)，BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，且PA⊥PB，则点P 的坐标为________．图Z2－2例题分层分析(1)根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？(2)设P(x，0)，则根据比例式列出方程即可求得x的值，从而得到点P的坐标．解题方法点析“K”字型相似基本图形1，在于寻找三个直角相等，熟记基本图形有利于快速找到相似三角形，从而通过建立方程解决问题．类型2 “K”字型相似基本图形22 条件：如图Z2－3，B，D，C三点共线，∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α.图Z2－3结论：△BDE∽△CFD.证明：例题分层分析(1)“K”字型相似基本图形2与基本图形1有何联系？(2)如何证明∠E＝∠CDF?【应用】1．如图Z2－4，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，CB∥OA，OC＝BA，OA＝7，BC＝1，AB＝5，点P为x轴上的一个动点，点P不与点O，A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D.图Z2－4(1)直接写出点B的坐标：________；(2)当点P在线段OA上运动时，使得∠CPD＝∠OAB，且BD∶AD＝3∶2，求点P的坐标．例题分层分析(1)过点B作BQ⊥x轴于点Q，依题意可得OQ＝4，AQ＝3，已知AB＝5，根据勾股定理求出QB即可解答．(2)根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？2．如图Z2－5，已知直线y＝kx与抛物线y＝－427x2＋223交于点A(3，6)．图Z2－5(1)求直线y＝kx的函数表达式和线段OA的长度．(2)若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O，A不重合)，点D(m，0)是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE＝∠BED＝∠AOD.探究：m在什么范围内时，符合条件的点E分别有1个、2个？例题分层分析(1)利用待定系数法求出直线y＝kx的函数表达式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度．(2)①延长AB交x轴于点F，由∠BAE＝∠AOD可求出点F的坐标为________，进而再求得点B的坐标为________，然后由两点间距离公式可求得线段AB的长为________；②由已知条件∠BAE＝∠BED＝∠AOD，可得到“K”字型相似的基本图形2，故可得到△________∽△________，设OE＝a，则由对应边的比例关系可以得到________．从而得到关于a的一元二次方程为____________，然后根据根的判别式可以分别得到a的值分别为1个、2个时m的取值范围．解题方法点析“K”字型相似基本图形2，根据三个角相等，联想到“K”字型基本图形1，便于快速找到相似三角形，从而利用相似的有关性质解决问题．专题训练1．[2019·常州] 如图Z2－6，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD∶AB＝3∶1，则点C的坐标是( )A．(2，7) B．(3，7) C．(3，8) D．(4，8)图Z2－62．如图Z2－7，在矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使得点D与CB边上的点E重合，若AD＝10，AB ＝8，则EF＝________．图Z2－73．[2019·攀枝花] 如图Z2－8，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD ＝2，BD ＝4.现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E ，F 分别在边AC 和BC 上，则CFCE＝________．图Z2－84．如图Z2－9，在直角梯形ABCF 中，CB ＝14，CF ＝4，AB ＝6，CF ∥AB ，在边CB 上找一点E ，使以E ，A ，B 为顶点的三角形和以E ，C ，F 为顶点的三角形相似，则CE ＝________．图Z2－95．如图Z2－10，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝120°，AD ＝3，AB ＝6.在底边AB 上取点E ，在射线DC 上取点F ，使得∠DEF＝120°.(1)当点E 是AB 的中点时，线段DF 的长度是________； (2)若射线EF 经过点C ，则AE 的长是________．图Z2－106．[2019·绵阳]将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图Z2－11所示放置，点D 在AB 边上，△DEF 绕点D 旋转，腰DF 和底边DE 分别交△CAB 的两腰CA ，CB 于M ，N 两点．若CA ＝5，AB ＝6，AD ∶AB ＝1∶3，则MD ＋12MA·DN的最小值为________．图Z2－117．如图Z2－12，在四边形ABCD 中，已知AD∥BC，∠B ＝90°，AB ＝7，AD ＝9，BC ＝12，在线段BC 上任取一点E ，连结DE ，作EF⊥DE，交直线AB 于点F.(1)若点F与B重合，求CE的长；(2)若点F在线段AB上，且AF＝CE，求CE的长．图Z2－128．如图Z2－13，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．图Z2－139．[2019·天水] △ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图Z2－14①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE.(2)如图Z2－14②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC的长．图Z2－1410．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为BC的中点，小明拿着含有30°角的透明直角三角板，使30°角的顶点落在点P上，三角板绕点P旋转．(1)如图Z2－15①，当三角板的一直角边和斜边分别与AB，AC交于点E，F时，连结EF，请说明△BPE∽△CFP.(2)操作：将三角板绕点P旋转到图②的情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E，F，连结EF.①探究1：△BPE与△CFP相似吗？请说明理由；②探究2：△BPE与△PFE相似吗？请说明理由．图Z2－15参考答案类型1 “K”字型相似基本图形1例1 【例题分层分析】(1)证明两个三角形相似常用的判定方法有：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似等．(2)根据余角的性质还可以得到∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠D，从而可证得△ABC∽△CED.证明：证明过程略．应用【例题分层分析】(1)根据“K”字型相似，可得到△AOP∽△PCB，所以AOPC＝OPCB.(2)设P(x，0)，因为AO＝OC＝4，BC＝1，所以OP＝x，PC＝4－x，所以44－x＝x1，解得x＝2，从而得到点P的坐标为(2，0)．[答案] (2，0) [解析] ∵PA⊥PB，∴∠APO＋∠BPC＝90°.∵AO⊥x轴，∴∠APO＋∠PAO＝90°，∴∠PAO＝∠BPC.又∵BC⊥x轴，AO⊥x轴，∴∠BCP＝∠POA＝90°，∴△BCP∽△POA，∴AOPC ＝OP CB.∵点A(0，4)，B(4，1)，∴AO＝4，BC＝1，OC＝4. 设P(x，0)，则OP＝x，PC＝4－x，∴44－x＝x1，解得x＝2，∴点P的坐标为(2，0)．类型2 “K”字型相似基本图形2例2 【例题分层分析】(1)两个图形都有三个角相等，基本图形1是三个直角相等，而基本图形2是基本图形1的一般情况，更具普遍性，两个图形的形状均类似于字母“K”，因此称之为“K”字型相似图形．(2)∵∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α，由外角性质可知∠EDC＝∠B＋∠E＝∠α＋∠E.又∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠α＋∠CDF，∴∠E＝∠CDF.证明：∵∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α，由外角性质可知∠EDC＝∠B＋∠E＝∠α＋∠E.又∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠α＋∠FDC，∴∠E＝∠FDC.又∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CFD.应用1【例题分层分析】(1)过点B作BQ⊥x轴于点Q，易求得BQ＝4，故得到点B的坐标为(4，4)．(2)由“K”字型相似可得到△POC∽△DAP，所以OCAP＝OPAD，设OP＝x，OC＝AB＝5，AD＝25AB＝2，AP＝7－x，所以57－x ＝x2，解得x ＝2或x ＝5， 所以点P 的坐标为(2，0)或(5，0)． 解：(1)过点B 作BQ⊥x 轴于点Q. ∵AB ＝OC ，∴AQ ＝(7－1)÷2＝3， 在Rt △BQA 中，BA ＝5，由勾股定理，得BQ ＝AB 2－AQ 2＝4， ∴点B 的坐标为(4，4)． (2)∵∠CPA＝∠OCP＋∠COP， 即∠CPD＋∠DPA＝∠COP＋∠OCP， 而∠CPD＝∠OAB＝∠COP， ∴∠OCP ＝∠APD， ∴△OCP ∽△APD ， ∴OC AP ＝OP AD. ∵BD AD ＝32，∴AD ＝2. 设OP ＝x ，OC ＝AB ＝5，AP ＝7－x ， ∴57－x ＝x 2， 解得x ＝2或x ＝5，∴点P 的坐标为(2，0)或(5，0)． 应用2【例题分层分析】(1)直线y ＝kx 的函数表达式为y ＝2x ，OA ＝32＋62＝3 5. (2)①点F 的坐标为(152，0)，点B 的坐标为(6，2)，AB ＝5.②根据“K ”字型相似的基本图形2，可得到△ABE∽△OED ，设OE ＝a ，则AE ＝3 5－a(0＜a ＜3 5)， 由△ABE∽△OED 得AE AB ＝ODOE， ∴3 5－a 5＝m a，∴a 2－3 5a ＋5m ＝0， 依题意知m>0，∴当Δ＝0，即(－3 5)2－20m ＝0，m ＝94时，符合条件的点E 有1个；当Δ＞0，即(－3 5)2－20m ＞0，0＜m ＜94时，符合条件的点E 有2个．解：(1)把点A(3，6)的坐标代入y ＝kx ，得6＝3k ， ∴k ＝2，∴y ＝2x ，OA ＝32＋62＝3 5.(2)如图，延长AB 交x 轴于点F ，过点F 作FC⊥OA 于点C ，过点A 作AR⊥x 轴于点R.∵∠AOD ＝∠BAE， ∴AF ＝OF ，∴OC ＝AC ＝12OA ＝325.∵∠ARO ＝∠FCO＝90°，∠AOR ＝∠FOC， ∴△AOR ∽△FOC ， ∴OF OC ＝AO OR ＝3 53＝5，∴OF ＝32 5×5＝152， ∴点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，0.设直线AF 的函数表达式为y ＝ax ＋b(a≠0)，把点A(3，6)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，0的坐标代入，解得a ＝－43，b＝10，∴y ＝－43x ＋10，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x ＋10，y ＝－427x 2＋223，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝6(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6，y 2＝2， ∴B(6，2)，∴AB ＝5. ∵∠BAE ＝∠BED，∠ABE ＋∠BAE＝∠DEO＋∠BED， ∴∠ABE ＝∠DEO.∵∠BAE ＝∠EOD，∴△ABE ∽△OED. 设OE ＝a ，则AE ＝3 5－a(0＜a ＜3 5)， 由△ABE∽△OED 得AE AB ＝ODOE， 即3 5－a 5＝m a，∴a 2－3 5a ＋5m ＝0. 依题意得m>0，∴当Δ＝0，即(－3 5)2－20m ＝0，m ＝94时，符合条件的点E 有1个；当Δ＞0，即(－3 5)2－20m ＞0，0＜m ＜94时，符合条件的点E 有2个．专题训练1．A 2.5 3.544．2或12或285 [解析] 两个三角形相似，可能是△EFC∽△EAB，也可能是△EFC∽△AEB，所以应分两种情况讨论，进而求CE 的值即可．5．(1)6 (2)2或5 [解析] (1)过点E 作EG⊥DF，由E 是AB 的中点，得出DG ＝3，从而得出∠DEG ＝60°，由∠DEF ＝120°，得∠FEG＝60°，由tan ∠FEG ＝FGGE，即可求出GF 的长，进而得出DF 的长． (2)过点B 作BH⊥DC，延长AB ，过点C 作CM⊥AB 于点M ，则BH ＝AD ＝3，再由锐角三角函数的定义求出CH 及BC 的长，设AE ＝x ，则BE ＝6－x ，利用勾股定理用x 表示出DE 及EC 的长，再判断出△EDC∽△BCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出关于x 的方程，求出x 的值即可．6．2 3 [解析] 先求出AD ＝2，BD ＝4，由“K ”字型相似可得△AMD 和△BDN 相似，根据相似三角形对应边成比例可得MA BD ＝MDDN ，求出MA·DN＝4MD ，再将所求代数式整理得出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即可．7．解：(1)当点F 和B 重合时，∵EF ⊥DE ，∴DE ⊥BC. ∵∠B ＝90°，∴AB⊥BC， ∴AB ∥DE.∵AD ∥BC ， ∴四边形ABED 是平行四边形， ∴AD ＝EF ＝9，∴CE ＝BC －EF ＝12－9＝3.(2)过点D 作DM⊥BC 于点M ， ∵∠B ＝90°，∴AB ⊥BC ， ∴DM ∥AB. ∵AD ∥BC ，∴四边形ABMD 是矩形，∴AD ＝BM ＝9，AB ＝DM ＝7，CM ＝12－9＝3.设AF ＝CE ＝a ，则BF ＝7－a ，EM ＝a －3，BE ＝12－a ， 可证△FBE∽△EMD，∴BF EM ＝BE DM ，即7－a a －3＝12－a 7， 解得a ＝5或a ＝17.∵点F 在线段AB 上，∴AF ＝CE ＜AB ＝7，∴CE ＝5.8．解：(1)证明：∵∠APC＝∠PAB＋∠B，∠APD ＝∠B，∴∠DPC ＝∠PAB，又AB ＝AC ，∴∠ABP ＝∠PCD，∴△ABP ∽△PCD ，∴AB CP ＝BP CD， ∴AC CP ＝BP CD，∴AC ·CD ＝CP·BP. (2)∵PD∥AB，∴∠DPC ＝∠B，∴∠PAB ＝∠B，又∠B＝∠C，∴∠PAB ＝∠C.又∠PBA＝∠ABC，∴△PBA ∽△ABC ，∴BP AB ＝AB BC， ∴BP ＝AB 2BC ＝10212＝253. 9．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B ＝∠C＝45°，AB ＝AC ，∵AP ＝AQ ，∴BP ＝CQ ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，在△BPE 和△CQE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CE ，∠B ＝∠C，BP ＝CQ ，∴△BPE ≌△CQE(SAS)；(2)∵△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B ＝∠C＝∠DEF＝45°，∵∠BEQ ＝∠EQC＋∠C，即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，∴∠BEP ＋45°＝∠EQC＋45°，∴∠BEP ＝∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴BPCE ＝BE CQ，∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，∴BE2＝18，∴BE＝CE＝3 2，∴BC＝6 2.10．解：(1)∵在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°.∵∠B＋∠BPE＋∠BEP＝180°，∴∠BPE＋∠BEP＝150°.又∵∠BPE＋∠EPF＋∠CPF＝180°，∠EPF＝30°，∴∠BPE＋∠CPF＝150°，∴∠BEP＝∠CPF，∴△BPE∽△CFP(两角对应相等的两个三角形相似)．(2)①△BPE∽△CFP，理由同(1)．②△BPE与△PFE相似．理由：由①△BPE∽△CFP，得CP∶BE＝PF∶PE，而CP＝BP，因此BP∶BE＝PF∶PE.又∵∠EBP＝∠EPF，∴△BPE∽△PFE(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（）A．4.25分钟B．4.00分钟C．3.75分钟D．3.50分钟2．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A.CB=CDB.∠BAC=∠DACC.∠BCA=∠DCAD.∠B=∠D=90°3．我国古代《易经》一书中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是( )A.515B.346C.1314D.844．已知△ABC∽△DEF，其中AB＝6，BC＝8，AC＝12，DE＝3，那么△DEF的周长为（）A.394B.263C.13D.265．如图，向正六边形的飞镖游戏盘内随机投掷一枚飞镖则该飞镖落在阴影部分的概率( ).A. B. C. D.6．计算a 2+4a 2的结果是（ ）A ．4a 2B ．5a 2C ．4a 4D ．5a 47．如图，一次函数y=kx+b 的图象经过点(-1，0)与(0，2)，则关于x 的不等式kx+b ＞0的解集是( )A ．x 1>-B ．x 1<-C ．x 2>D ．x 2< 8．如图，P 的半径为5，A B 、是圆上任意两点，且6AB =，以AB 为边作正方形ABCD （点、D P 在直线AB 两侧）．若AB 边绕点P 旋转一周，则CD 边扫过的面积为（ ）A ．5πB ．6πC ．8πD ．9π 9．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴的一个交点在(3,0)-和(2,0)-之间，其部分图像如图所示，则下列结论：①点17(,)2y -，23(,)2y -，35(,)4y 是该抛物线上的点，则123y y y <<；②320b c +<；③()t at b a b +≤-（t 为任意实数）.其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．袋中装有大小相同的6个黑球和n 个白球，经过若干次试验，发现“从袋中任意摸出一个球，恰是黑球的概率为34”则袋中白球大约有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个11．一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是( )A ．25B ．13C ．415D ．1512．对于反比例函数6y x =-，当10x -<…时，y 的取值范围是（ ） A ．6y …B ．60y -≤<C ．06y <…D ．6y <-二、填空题 13．甲、乙两个搬运工搬运某种货物．已知乙比甲每小时多搬运600kg ，甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等．设甲每小时搬运xkg 货物，则可列方程为_____．14．已知抛物线2=2(1)3y x -+-与直线2y kx m =+相交于A （-2，3）、B （3，-1）两点，则12y y ≥时x 的取值范围是___________.15．已知扇形的圆心角为60º，半径为6cm ，则扇形的弧长为 cm.16．已知 x ＝﹣1 是一元二次方程 ax 2﹣bx+6＝0 的一个根，则 a+b 的值为_____17．计算)33的结果等于______________. 18．为了说明命题“等腰三角形腰上的高小于腰”是假命题，可以找的反例是_____．三、解答题19．已知2222x 4x 4x 11T x 2xx x x ⎛⎫-+-=+÷ ⎪-+⎝⎭ （1）化简T ；（2）若x 为△ABC 的面积，其中∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2，求T 的值．20．已知二次函数y=ax 2+bx+8，经过点(1,9)和(6,−16).(1)求该二次函数的解析式；(2)设该二次函数的图象与x 轴的交点为A ．B ，与y 轴的交点为C ，求△ABC 的面积。

专题五半角模型模型介绍角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。

它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。

解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法.类型一：等腰直角三角形角含半角模型（1）如图（1），在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.作法1：将△ABD旋转90°作法2：分别翻折△ABD，△ACE（2）如图（2），在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理.类型二：正方形中角含半角模型（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD.图示（1）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°（2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，则：EF=DF-BE.图示（2）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=12∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF.图示（3）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小【知识总结】过等腰三角形顶点作两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。