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第十四讲 对数与对数运算(三)

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高中数学 对数与对数运算课件(精品课件)

高中数学 对数与对数运算课件(精品课件)

3
log9 92
3 2
（2） log 4 3 81
解法一：设 x
log4 3 81
则
x
43
x
81, 34
34 ,
解法二： log4 3 81 log4 3 ( 4 3)16 16
x3 2
x 16
对数运算性质
理论证明：
1 loga(MN)= logaM +logaN
理论证明：
1 loga(MN)= logaM +logaN
例如： log e 3 简记作ln3 ; log e 10 简记作ln10
(6)底数a的取值范围： (0,1) (1, )
真数N的取值范围： (0, )
讲解范例
例2 将下列对数式写成指数式：
（1） log1 27 3
（2）
3
log5
1 125
3
13 27
3 53 1
125
（3） ln10 2.303
对数的概念及运算性质
定义： 一般地，如果 a a 0, a 1
的b次幂等于N, 就是 ab N ，那么数 b叫做
以a为底 N为真数的对数，记作 loga N b a叫做对数的底数，N叫做真数。
例如：
42 16
102 100
1
42 2
10 2 0.01
log4 16 2
log10 100 2
log4 2
3 31 log3 2
1 lg9
1002
解: 2 log2 3 log3 7 log7 8
lg 3 lg 7 lg 8 lg 23 3
lg 2 lg 3 lg 7 lg 2
例1:计算:

《对数与对数运算》课件

《对数与对数运算》课件
单击此处添加标题
换底公式的应用：换底公式在数学、物理、化学等领域都有广泛的应用，特别是在解决 实际问题时，可以简化计算过程，提高计算效率。
单击此处添加标题
换底公式的注意事项：在使用换底公式时，需要注意底数的取值范围，以及换底公式的 适用条件，避免出现错误。
换底公式在化简中的应用
换底公式： loga(b)=logc(b)/logc(a)
,
汇报人：
目录
对数的定义
对数是一种数学运算，用于表示两个数之间的关系 对数运算的基本形式为log(a,b)=c，其中a为底数，b为真数，c为对数 对数运算的性质包括：对数运算具有可逆性、可加性、可乘性等 对数运算在科学研究、工程计算等领域有着广泛的应用
对数的性质
对数运算：对数运算是一种特殊的运算方式，可以将复杂的乘法和除法转化为简单的加法和减法。
对数乘法：对数乘法是将两 个对数相乘，得到新的对数
对数加法：对数加法是将两 个对数相加，得到新的对数
对数除法：对数除法是将两 个对数相除，得到新的对数
对数运算法则：对数运算包括 对数加法、对数减法、对数乘 法和对数除法
对数运算的应用：对数运算在 求对数、求导数、求极限等方
面有广泛应用
对数在金融中的应用
对数在求幂中的应用
幂运算：a^n=a*a*...*a（n次） 对数运算：loga(b)=c，表示a^c=b 求幂运算：a^n=a^(loga(b)) 应用实例：计算a^n的值，可以通过计算loga(b)的值，然后进行幂运算得到结果。
对数在求对数中的应用
对数减法：对数减法是将两 个对数相减，得到新的对数
的真数相乘
公式：loga(b) * loga(c) = loga(bc)

对数与对数运算课件

对数与对数运算课件

.
(2)logaMN＝ logaM－logaN .
(3)logaMn＝nlogaM (n∈R)．
换底公式 【问题导思】 计算log832的值，你能分析一下，其与log28同log232的关系 吗？ 【提示】 设log832＝x，∴8x＝32， ∴23x＝25， ∴x＝53，又log28＝3，log232＝5， ∴log832＝lloogg22382.
忽略真数大于0致误 已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求xy的值． 【错解】 因为lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，所以xy＝(x－2y)2， 即x2－5xy＋4y2＝0，即(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y，所 以xy＝1或yx＝4.
【错因分析】 错解中，lgx＋lgy＝2lg(x－2y)与xy＝(x－ 2y)2对x，y的取值范围要求是不相同的，即求解过程不等价， 因此，得出解后要代入原方程验证，这是求解过程中最易忽略 的地方．
【自主解答】 设物质的原有量为a，经过t年，该物质的
剩余量是原来的13，由题意可得a·0.75t＝13a，
∴
3 4
t＝
1 3
，两边取以10为底的对数得lg
3 4
t＝lg
1 3
.∴t(lg3－
2lg2)＝－lg3，
∴t＝lg3－－lg23lg2≈2×0.300.1407－710.4771≈4(年)．
当xy＝4时，将x＝4y代入已知条件，符合题意，所以yx＝4.
2．计算lg10、lg100、lg1000及lg104的值，你能发现什么 规律？
【提示】 lg10＝1，lg100＝lg102＝2，lg1000＝lg103＝ 3，lg104＝4，
可见lg10n＝n＝nlg10.

对数的概念与运算PPT课件

对数的概念与运算PPT课件
则 a>b>c .
-
12
三、解不等式 (1) 33-x<6
(2) lg(x-1)<1
四、图象的变换
y
已知f(x)=lgx的图象,画出下列 函数的图象,并指出与y=f(x)之 间的关系.
(1) y=f(-x)
(2) y=-f(x)
O1
x
(3) y=f(x+1) (4)y=f(x)-2
(5) y=f(∣x∣) (6) y=∣f(x)∣
对数
对数的概念 1. 对数的概念
与运算
2. 对数恒等式
3. 对数的运算性质
4. 换底公式
如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,即 ab=N,那么就称b是以a为底N的对数, 记作logaN=b.其中,a叫做对数的底 数,N叫做真数,N>0.
lgN叫常用对数, lnN叫自然对数
对数函数
-
1
对数
对数的概念 1. 对数的概念
M
② loga N =logaM-logaN
③ loga M n =nlogaM
其中a>0,a≠1,M>0,N>0,n∈R
对数函数
-
3
对数
对数的概念 1. 对数的概念
与运算
2. 对数恒等式
3. 对数的运算性质
4. 换底公式
lo
ga
N
logc logc
N a
其中a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0
log31= 0 , lg1000= 3 ,
1
log2 2 = 2 ,
log256-log27=
1
log2 2 =
-1 , log327=

PPT教学课件对数及其运算

PPT教学课件对数及其运算

补充： （1）2Na2O2 + 2H2O = 4NaOH + O2
用带火星的木条插入试管观察现象： 带火星的木条复燃。
结论：有氧气产生。
滴加酚酞观察现象： 溶液先变红色，然后红色褪去。
结论：氢氧化钠溶液使酚酞变红；过氧化钠有 强氧化性，漂白作用使红色褪去。
1二、.金钠属的与化非学金性属质单：质的反应：
随堂 检测
1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
(A).100=1与lg1=0
(B). log55=1与51=5.
1
(C).log 3 9 2与92 3
1
(D).27 3
1与log 3
27
1 3
1 3
解:∵只有C中两式的底数不同(一为3,另一为9)∴C不正确,选C.
2.以7为底, 343 的对数等于()
（四）换底公式与自然对数
在求底数不是10 的对数时，可以根据对数的性质，
利用常用对数进行计算
换底公式：
证明:设log b
Nlo=gbxN， = lloo则 ggaaNb
bx =N
两边取以a为的对数，得
xloga b=loga N
所以
x= loga N loga b
即
logb N=
loga N loga b
(D).logaN=2
解.根据对数的定义, N=a2中的指数2叫做以
a为底N的对数,记作 logaN=2. ∴应选 D.
4. 若 logx 7 y z ,则( )
(A).y7=xz (B).y=x7z (C).y=7•xz (D).y=z7x
课堂练习
1.将下列指数式写成对数式: 3.求下列各式的值:

第十四讲 对数与对数运算(三)

第十四讲 对数与对数运算(三)

第十四讲 对数与对数运算（三）【教学目标】（一） 教学知识点1． 了解对数的换底公式及其推导；2．能应用对数换底公式进行化简、求值、证明；3．运用对数的知识解决实际问题。

（二） 能力训练要求会用b n m b a ma n log log =，aN N a log 1log =等变形公式进行化简．【教学重点】对数换底公式的应用．【教学难点】对数换底公式的证明及应用．对数知识的运用。

【学习探究】一，复习引入：对数的运算法则如果 a ＞0，a ≠ 1，M ＞0， N ＞0 有：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log N Mlog 1N log M log (MN)log a na a a a a a a ∈=-=+=二、新授内容：1.对数换底公式： aNN m ma log log log = ( a ＞0 ,a ≠ 1 ，m ＞0 ,m ≠ 1,N ＞0)．证明：设 a log N = x , 则 xa = N ．两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m xm log log log log =⇒=从而得：a Nx m m log log = ∴ aNN m m a log log log =．2.两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ．② b m n b a na m log log =（a ,b ＞0且均不为1）． 证：①1lg lg lg lg log log =⋅=⋅b aa b a b b a ；②b m na mb n a b b a m n n a m log lg lg lg lg log ===．三、【典型例题】例1 (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y 的值(1)由已知分别求出x 和y .∵3x ＝36,4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得：x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y ＝log 364，∴2x ＋1y ＝2log 363＋log 364（2），已知a =9log 18，518=b.45log 36求∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a .练1. 已知 a =3log 2， b =7log 3, 用 a , b 表示56log 42．解：因为2log 3 = a ，则2log 13=a , 又∵3log 7 = b ,∴1312log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++⋅+==b ab ab .例2 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)lg 27＋lg8－lg 1 000lg1.2；(4)(lg5)2＋lg2·lg50.变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64.解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7)＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝[log 262＋log 62·log 6(3×6)]÷log 622＝log 62(log 62＋log 63＋1)÷(2log 62)＝1.例3．设16log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，求m 的值．解：∵m m 3843log log 8log 4log =⋅⋅， 216log 4=∴2log 3=m ，即m ＝9．例4．计算：①3log 12.05-, ②4log 16log 327． 解：①原式 = 15315555531log 3log 52.0===． ②∵2log 342log 16log 343273==，2log 22log 4log 3233==， ∴原式＝32．例5．P67例6 生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占76.7%， 试推算马王堆古墓的年代.例6．已知a log x =log c a b +，求x ．分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将a log c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式．解法一： 由对数定义可知：b c a a x +=log b c a a a⋅=log b a c ⋅=． 解法二： 由已知移项可得b c x a a =-log log ，即b c x a=log ． 由对数定义知：b ac x = b a c x ⋅=∴． 解法三：b a a b log = b a a a a c x l o g l o g l o g +=∴b a a c ⋅=l o g b a c x ⋅=∴．.练习：教材P68第4题三、课堂小结换底公式及其推论1．对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题．3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．【课堂练习】已知log 1227＝a ，求log 616的值．【课堂跟踪】一、选择题1．lg8＋3lg5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3答案 D解析 lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg1 000＝3.2．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36等于( )A.a ＋b aB.a ＋b bC.aa ＋b D.ba ＋b答案 B解析 log 36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a ＋b b .3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg a b 2的值等于( )A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 A解析 由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.4．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y 等于( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3答案 A解析 由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，则1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13.5．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 005)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005)的值等于() A ．4 B ．8 C ．16 D ．2log a 8答案 C解析 因为f (x )＝log a x ，f (x 1x 2…x 2 005)＝8， 所以f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005)＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 005＝2log a |x 1|＋2log a |x 2|＋…＋2log a |x 2 005|＝2log a |x 1x 2…x 2 005|＝2f (x 1x 2…x 2 005)＝2×8＝16.二、填空题6．设lg2＝a ，lg3＝b ，那么lg 1.8＝__________. 答案 a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg1.8＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg2＋lg9－1)＝12(a ＋2b －1)．7．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为____． 答案 1解析 log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c∵log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6∴log x a ＝12，log x b ＝13，log x c ＝16，∴log abc x ＝112＋13＋16＝11＝1.8．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝________. 答案 2解析 由log 63＋log 6x ＝0.613 1＋0.386 9＝1. 得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2.三、解答题9．求下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245；(2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.解 (1)方法一 原式＝12(5lg2－2lg7)－43·32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12.方法二 原式＝lg 427－lg4＋lg7 5＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12.(2)方法一 原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2 ＝lg10·lg 52＋lg4＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4＝lg10＝1.方法二 原式＝(lg10－lg2)2＋2lg2－lg 22＝1－2lg2＋lg 22＋2lg2－lg 22＝1.10．若26a ＝33b ＝62c ，求证：1a ＋2b ＝3c. 证明 设26a ＝33b ＝62c ＝k (k >0)，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 6a ＝log 2k ，3b ＝log 3k ，2c ＝log 6k ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1a ＝6log 2k ＝6log k 2，1b ＝3log 3k ＝3log k 3，1c ＝2log 6k ＝2log k 6.∴1a ＋2b ＝6·log k 2＋2×3log k 3＝log k (26×36)＝6log k 6＝3×2log k 6＝3c ， 即1a ＋2b ＝3c .。

对数与对数运算(共22张PPT)


对数的起源
——（Napier，1550-1617）
恩格斯把对数的发明称为17世纪数学的三大成就 之一。今天，随着计算机的迅猛发展，对数表就 像过时的法律一样被废弃了，但对数已成为数学 的精髓部分，是每一个中学生必学的内容。
例1：将下列指数式化为对数式， 对数式化为指数式。
两种特殊的对数： ①常用对数：以10为底的对数
பைடு நூலகம் 作业
课本：P74 1，2
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己， 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺 寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾 得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲 远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若 陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝 在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊的 己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的，不要 美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身处困境 任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态 心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳光，才 随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够用即可 困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很多时候限 也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。无论有多 幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争，却有柴 最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦荡，不为 不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一点要求， 可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命得到升华 心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差距；表面 人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同，心态决定 一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。知恩 为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道 就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷 长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不 面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为 价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫 的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。 有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要 面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放 个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的痛苦 不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他们给了 无私的人。

2.2.1对数与对数运算(3)1(2)

2 2 1 2lg3 lg4 lg3 ×4 ∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝1. a b lg36 lg36 lg36
1 ． (2012· 全国高考数学文科试题安徽卷 )log29×log34 ＝ ( ) 1 A. 4 1 B. 2 C．2 D．4
[答案]
D
lg9 lg4 2lg3 2lg2 [解析] log29×log34＝ × ＝ × ＝4. lg2 lg2 lg2 lg3
复习回顾 对数的概念：
，
a N
x
(a 0, a 1)
那么数 x叫做以__ __的对数（logarithm） a 为底 N
王新敞
奎屯 新疆
记作 :
x log a N
其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
复习回顾
对数的运算性质
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga M N loga M loga N
练习： log
解：原式=
8
9 log 27 32
lg 9 lg 32 2 lg 3 5 lg 2 10 lg 8 lg 27 3 lg 2 3 lg 3 9
练习1
利用对数的换底公式化简下列各式
log5 4 log8 5
1 log4 36 log6 3 8
2 3
n mp
n p loga b 即证得 log m b n n log b a a m m
② logan b loga b
n
练习2
利用对数的换底公式化简下列各式
loga c logc a 1
log2 3 log3 4
8
8 log25 2 5 log2 3 log3 5 log5 2 1

2.2.1对数与对数运算(三)课件人教新课标


(3) lg100 x
(4) ln e2 x
解：(3)lg100 x 10x 100
又102 100 x 2
解：(4) ln e2 x ln e2 x e2 ex x 2
探究二： loga1＝？，logaa＝？
loga1＝0，logaa＝1
练习：求下列各式x的值
解：
思考：
试试：分别说说lg5 、lg3.5、ln10、ln3的意义.
探究一： 1.为什么对数logaN只有在a>0且a≠1时才有意义呢？
(1)若a<0，则N取某些数值时，logaN不存 在因此，规定a不能小于0.
(2)若 a＝0，则 NN≠ ＝00时 时， ，l则oglaoNg不 aN存 有在 无数个值，不能确定 .
即 1.08x 2 如何求出x的值?
x?
这是已知底数和幂的值，求指数的问题。
即指数式 ab N 中，已知a 和N.求b的问题。
（这里 a>0且a≠1 ）
定义：
一般地，如果a(a＞0, 且a≠1)的b次幂 等于N，就是ab＝N ，那么数b叫做以a为底 N的对数，记作logaN＝b.其中a叫底数, N叫真数.即
第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.2.1 对数与对数运算—（三）
问题1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭， ①取４次还有多长？怎样计算？ ②取多少次还有０.125尺?
解：
问题2 假设2002年我国国民生产总值为a
亿元，如果每年平均增长8%，那么经 过多少年国民生产总值是2002年的2倍？
如何列方程？a(1 8%) x 2a
因此，规定a≠0.
(3)若 a＝1， NN≠ ＝11时 时， ，则 则llooggaaNN不 有存 无在 数个值，不能确定

对数与对数运算 课件


问题2：你能推出loga （M·N ）(M>0，N>0)的表达式吗？ 提示：能． 令am＝M，an＝N，∴MN＝am＋n. 由对数的定义知 logaM＝m，logaN＝n，logaMN＝m＋n， ∴logaMN＝logaM＋logaN.
1．对数的运算性质
若 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝ logaM＋logaN ， (2)logaMN＝ logaM－logaN ， (3)logaMn＝ nlogaM (n∈R)．
(6 分)
(2)1z－1x＝log16k－log13k＝logk6－logk3＝logk2 ＝12logk4＝21y，
∴1z－1x＝21y.
(12 分)
[一点通] 对数式的证明和对数式的化简的基本 思路是一致的，就是根据对数的运算性质和换底公式 对对数式化简．
1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化. 该公式既可正用，又可逆用.使用时，关键是选择底数. 换底的目的是利用对数的运算性质对对数式进行化简．
问题1：若2x＝8，(13)x＝27，x的值分别为多少？ 提示：3 －3
问题2：若2x＝0，(13)x＝－1，这样的x存在吗？ 提示：不存在． 问题3：若2x＝3，(13)x＝4，如何求指数x?
提示：利用对数求解．
1．对数的概念 (1)定义： 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数 x叫做以 a为 底 N 的对数，记作 x＝logaN ．其中， a 叫做对数 的底数， N 叫做真数．
法二：原式＝lg472－lg 4＋lg 7
5＝lg4
2×7 7×4
5
＝lg( 2· 5)＝lg 10＝12. (3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
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第十四讲 对数与对数运算（三）【教学目标】（一） 教学知识点1． 了解对数的换底公式及其推导；2．能应用对数换底公式进行化简、求值、证明；3．运用对数的知识解决实际问题。

（二） 能力训练要求会用b n m b a ma n log log =，aN N a log 1log =等变形公式进行化简．【教学重点】对数换底公式的应用．【教学难点】对数换底公式的证明及应用．对数知识的运用。

【学习探究】一，复习引入：对数的运算法则如果 a ＞0，a ≠ 1，M ＞0， N ＞0 有：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log N Mlog 1N log M log (MN)log a na a a a a a a ∈=-=+=二、新授内容：1.对数换底公式： aNN m ma log log log = ( a ＞0 ,a ≠ 1 ，m ＞0 ,m ≠ 1,N ＞0)．证明：设 a log N = x , 则 xa = N ．两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m xm log log log log =⇒=从而得：a Nx m m log log = ∴ aNN m m a log log log =．2.两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ．② b m n b a na m log log =（a ,b ＞0且均不为1）． 证：①1lg lg lg lg log log =⋅=⋅b aa b a b b a ；②b m na mb n a b b a m n n a m log lg lg lg lg log ===．三、【典型例题】例1 (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y 的值(1)由已知分别求出x 和y .∵3x ＝36,4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得：x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y ＝log 364，∴2x ＋1y ＝2log 363＋log 364（2），已知a =9log 18，518=b.45log 36求∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a .练1. 已知 a =3log 2， b =7log 3, 用 a , b 表示56log 42．解：因为2log 3 = a ，则2log 13=a , 又∵3log 7 = b ,∴1312log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++⋅+==b ab ab .例2 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)lg 27＋lg8－lg 1 000lg1.2；(4)(lg5)2＋lg2·lg50.变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64.解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7)＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝[log 262＋log 62·log 6(3×6)]÷log 622＝log 62(log 62＋log 63＋1)÷(2log 62)＝1.例3．设16log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，求m 的值．解：∵m m 3843log log 8log 4log =⋅⋅， 216log 4=∴2log 3=m ，即m ＝9．例4．计算：①3log 12.05-, ②4log 16log 327． 解：①原式 = 15315555531log 3log 52.0===． ②∵2log 342log 16log 343273==，2log 22log 4log 3233==， ∴原式＝32．例5．P67例6 生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占76.7%， 试推算马王堆古墓的年代.例6．已知a log x =log c a b +，求x ．分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将a log c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式．解法一： 由对数定义可知：b c a a x +=log b c a a a⋅=log b a c ⋅=． 解法二： 由已知移项可得b c x a a =-log log ，即b c x a=log ． 由对数定义知：b ac x = b a c x ⋅=∴． 解法三：b a a b log = b a a a a c x l o g l o g l o g +=∴b a a c ⋅=l o g b a c x ⋅=∴．.练习：教材P68第4题三、课堂小结换底公式及其推论1．对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题．3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．【课堂练习】已知log 1227＝a ，求log 616的值．【课堂跟踪】一、选择题1．lg8＋3lg5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3答案 D解析 lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg1 000＝3.2．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36等于( )A.a ＋b aB.a ＋b bC.aa ＋b D.ba ＋b答案 B解析 log 36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a ＋b b .3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg a b 2的值等于( )A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 A解析 由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.4．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y 等于( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3答案 A解析 由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，则1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13.5．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 005)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005)的值等于() A ．4 B ．8 C ．16 D ．2log a 8答案 C解析 因为f (x )＝log a x ，f (x 1x 2…x 2 005)＝8， 所以f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005)＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 005＝2log a |x 1|＋2log a |x 2|＋…＋2log a |x 2 005|＝2log a |x 1x 2…x 2 005|＝2f (x 1x 2…x 2 005)＝2×8＝16.二、填空题6．设lg2＝a ，lg3＝b ，那么lg 1.8＝__________. 答案 a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg1.8＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg2＋lg9－1)＝12(a ＋2b －1)．7．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为____． 答案 1解析 log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c∵log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6∴log x a ＝12，log x b ＝13，log x c ＝16，∴log abc x ＝112＋13＋16＝11＝1.8．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝________. 答案 2解析 由log 63＋log 6x ＝0.613 1＋0.386 9＝1. 得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2.三、解答题9．求下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245；(2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.解 (1)方法一 原式＝12(5lg2－2lg7)－43·32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12.方法二 原式＝lg 427－lg4＋lg7 5＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12.(2)方法一 原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2 ＝lg10·lg 52＋lg4＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4＝lg10＝1.方法二 原式＝(lg10－lg2)2＋2lg2－lg 22＝1－2lg2＋lg 22＋2lg2－lg 22＝1.10．若26a ＝33b ＝62c ，求证：1a ＋2b ＝3c. 证明 设26a ＝33b ＝62c ＝k (k >0)，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 6a ＝log 2k ，3b ＝log 3k ，2c ＝log 6k ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1a ＝6log 2k ＝6log k 2，1b ＝3log 3k ＝3log k 3，1c ＝2log 6k ＝2log k 6.∴1a ＋2b ＝6·log k 2＋2×3log k 3＝log k (26×36)＝6log k 6＝3×2log k 6＝3c ， 即1a ＋2b ＝3c .。