五模理数学

(考试时间120分钟，满分150分)第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：球的表面积：24R S π= 锥体体积公式：Sh V 31=一、选择题（本题共12个小题，每题5分，共60分，四个选项中只有一个正确） 1. 已知{}6,5,4,3,2,1=U ，{}5,4,3,1=M ，{}6,5,4,2=N ，则（ ） A ．{}6,4=⋂N M B. U N M =⋃C ．U M N C u =⋃)(D. N N M C u =⋂)(2．已知复数ii i i i i z +++++=19753（i 为虚单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限 B. 第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（ ）A ．43-B.54 C ．34- D ．454．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面结论正确的是（ ） A. 若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βnC ．若m ∥n ，α⊥m ，则α⊥nD ．若m ∥α，βα⊥，则β⊥m5．阅读如图所示的程序框图，若输出结果为72，则判断框中所填的条件应为（ ）A. 8i >B. 8i <C. 7i <D. 6i <2015年高三第五次模拟考试数学（理科）试卷6.下列命题中错误的是（ ）A ．命题“若0652=+-x x ，则2=x ”的逆否命题是“若2≠x ，则0652≠+-x x ”B ．对命题R x p ∈∃:，使得012<++x x ，则R x p ∈∀⌝:，使得012≥++x x C ．已知命题p 和q ，若q p ∨为假命题，则命题p 与q 中必一真一假 D ．若R y x ∈,，则“y x =”是“2)2(y x xy +≥”成立的充要条件． 7．为了得到函数sin3cos3y x x =+的图象，可以将函数y x =的图象（ ）A ．向右平移12π个单位 B. 向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位 D. 向左平移4π个单位8．设c b a ,,分别是方程x x21log 2=，x x 21log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，x x2log 21=⎪⎭⎫⎝⎛的实数根，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b a c << 9．向平面区域}{10,20),(≤≤≤≤y x y x 内随机投入一点，则该点落在曲线⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=)21(2)10(2x x x x y 下方的概率等于（ ）A ．43πB ．42π C ．83π D ．82π 10．在平面直角坐标系中，已知)1,3(-A ，),(b a B )0(>b ．)1,1(=m ，)2,1(=，且0>⋅m AB ，0<⋅n AB ，则12--a b 的取值范围是（ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛4121-， B ．⎪⎭⎫⎝⎛2121-， C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛141， D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛121，11．点P 在圆O ：224x y +=上运动，点Q 在直线l ：240kx y k --+=上运动，若2PQ > 恒成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B. 4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭12．已知()882210831x a x a x a a x ++++=+ ，则9328210a a a a ++++的值为（ ） A ．9149+ B ．91-49 C ．27149+ D ．271-49第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．二项式nxx )2(2+的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是_____ _．14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为_____ _．15．已知△ABC ，34=AB ，32=AC ，AD 是BC 边上的中线，且︒=∠30BAD ，则AD 的长为_____ _．16．椭圆)0(1:22221＞＞b a by a x C =+与双曲线2C 具有相同的焦点，设1F 为左焦点，2F 为右焦点．两曲线在第一象限内交于点M ,△21F MF 是以线段1MF 为底边的等腰三角形．若双曲线2C 的离心率3,42e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则椭圆1C 的离心率取值范围是_____ _．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为数列{}n a 的前n 项和，对于任意+∈N n ，均有22n n S a =-成立．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设22log n n b a =10-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．主视图左视图俯视图18．（本题满分12分）如图，四面体ABCD ，2==AD AC ，2====CD AB DB CB ．（I ）求证：面⊥ACD 面BCD ；（II ）求二面角D AB C --的余弦值．19．（本题满分12分）某煤矿发生透水事故，作业区有若干人员被困，救援队从入口进入之后，有21,L L 两条巷道通往作业区．1L 巷道有321,,A A A 三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是21；2L 巷道有21,B B 两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为43和53，且各点是否堵塞是相互独立的． （I ）求1L 巷道中三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；（II ）若2L 巷道中堵塞点个数为X ，求X 的分布列及数学期望)(X E ．并按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准，请你帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由．20．（本题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点3(1,)2A ，且离心率12e =．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、，且线段MN 的垂直平分线过定点1(,0)8G ，求k 的取值范围．21．（本题满分12分）设函数)1ln()(x x f +=，)()(x f x x g '=，0≥x ，其中)(x f '是)(x f 的导函数． （Ⅰ）设)(x f 的图象与x 轴交于点A ，求)(x f 在A 点处的切线方程；ABD(Ⅱ) 若)()(x ag x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ) 设+∈N n ，比较)()2()1(n g g g +++ 与)(n f n -的大小，并加以证明．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，弦CD 与AB 垂直，并与AB 相交于点E ，点F 为弦CD 上异于点E 的任意一点，连结BF 、AF 并延长交圆O 于点M 、N ．（Ⅰ）求证：B 、E 、F 、N 四点共圆； （II ）求证：22AC BF BM AB +⋅=．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且两坐标系有相同的长度单位．已知曲线C 1的极坐标方程为θρ22s i n 12+=，直线l 的极坐标方程为θθρc o s s i n 24+=．（I ）写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；（II ）设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数5|3|)(--=x x f ，2|2|)(-+=x x g ． （I ）求不等式2)(≤x f 的解集；（II ）若不等式3)()(-≥-m x g x f 有解，求实数m 的取值范围．2015年高三第五次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题（每题5分，共60分）1.B2.A3.D4.C5.B6.C7.C8.A9.D 10.C 11.B 12.D11.解析：选择题如图可得选B ；利用点到直线距离，原题可翻译成圆心()0,0到直线240kx y k --+=，2340k k +<解得k ∈4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭12.解析：()8831271x a x ++⎢⎣⎡+)932271(9832210'+++++=x a x a x a x a 有()9322713127198322109x a x a x a x a x +++++=+ 令932271274,182109a a a a x +++++== 有即9328210a a a a ++++ =271-49二、填空题（每题5分，共20分） 13. 180 14. π320 15..3 16. ]94,83[16.解析：如图1222F F MF c ==，由椭圆定义122MF a c=-，双曲线22c e a ='224c a c =-31,24⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，取倒数得22134a c c -≥≥ ，21234a c ≥-≥，8934a c ≥≥，]94,83[∈e三、解答题17.（本小题共12分）解：（I ）当1n =时，12a =，2,22,n n n S a ≥=-；1122n n S a --=-故 122n n n a a a -=-，即12n n a a -=（2≥n ）所以{}n a 是等比数列，所以 2n n a = …………6分 （II ）由已知得 210n b n =-，所以，⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+-=)5(,409)5(,922n n n n n n Tn …………12分18.（本小题共12分） 证明：（I ）2,2===CD AD AC 222CD AD AC =+∴ 90=∠∴CAD取AB 中点E ，CD AE AE ⊥=∴,1又在正三角形BCD 中，222AB BE AE =+∴BE AE ⊥∴⊥∴AE 面BCD ，又⊂AE 面ACD ，故面⊥ACD 面BCD . …………6分解：(II)以E 为原点，BE 为面x 轴，CD 为y 轴，EA 为z 轴建立空间直角坐标系.则)1,0,0(A ，)0,0,3(-B ，)0,1,0(-C ，)0,1,0(D ，(=∴AB )1,0,3--,(=∴BC ),0,1,3-，可求面ABC 的法向量)3,3,1(1-=n又)0,1,3(=BD ,可求面ABD 的法向量)3,3,1(2-=n ，7177331cos =⋅-+-=∴θ 所以，所求二面角的余弦值为71- . …………12分19.（本小题共12分）解：（I ）由已知得 21)21()21(313303=+=C C p …………4分 （II ）由已知得 x 的取值可为0,1,2.分布列如下：…………8分2027)(=X E …………10分 设1L 易堵塞点的个数为Y ，则)21,3(~B Y ，23)(=Y E由 )()(Y E X E <，所以选2L 为抢险路线较好. …………12分20.（本小题共12分）解：（Ⅰ）由题意12e =，即12c e a ==，2a c =， ∴ ()22222223b a c c c c =-=-=∴ 椭圆C 的方程可设为2222143x y c c+=，代入3(1,)2A ，得222312143c c⎛⎫ ⎪⎝⎭+= 解得21c = ∴ 所求椭圆C 的方程是22143x y +=． ………… 6分 （Ⅱ）法一:由方程组22143x y y kx m ⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k x kmx m +++-=由题意，△()()()22284344120km k m=-+->整理得：22340k m +->①设()()1122,,M x y N x y 、，MN 的中点为00(,)P x y ，则12024234x x km x k +==-+， 002334my kx m k =+=+ 由已知，MN GP ⊥ 即1MN GP k k ⋅=-即 223034141348mk k km k -+⋅=---+;整理得：2348k m k +=- 代入①式，并整理得：2120k >， 即||k > ∴5,,k ⎛⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………12分 法二，由方程组221,43x y y kx m ⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k x kmx m +++-=由题意，△()()()22284344120km km=-+->整理得：22340k m +-> ① 设()()1122,,M x y N x y 、，MN 的中点为00(,)P x y ，则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 整理得： 00314y x k =-⋅ ② 又MN GP ⊥ ∴ 00118y k x =-- ③由②、③解得 001238x y k ⎧=⎪⎨⎪=-⎩代入()0y kx m k =+≠，得 2348k m k+=-代入①式，并整理得： 2120k >， 即||k >∴5,,k ⎛⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭法三：由00(,)P x y 在椭圆内部，得：221328143k ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+<整理得： 2120k >， 即 ||k > ∴ 5,,k ⎛⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21.（本小题共12分）解：（Ⅰ）)1ln()(x x f +=，所以)0,0(A ，而xx f +=11)('，所以，1011)0('=+=f 所以，所求切线方程为x y = …………2分(Ⅱ)由题意得)0(1)1ln(≥+≥+x xax x 恒成立，令 )0(1)1ln()(≥+-+=x x ax x x h ， 即0)(≥x h 恒成立，22)1(1)1()1(11)(x a x x ax x a x x h +-+=+-+-+='， 当1≤a 时，)(,0)(x h x h ≥'在[)+∞,0内单调递增，故0)0()(=≥h x h ，所以符合要求； 当1>a 时，)(x h 在[)1,0-a 内单调递减，在()+∞-,1a 内单调递增，故0)0()1(=<-h a h ，所以不符合要求.综上，实数a 的取值范围为(]1,∞-. …………8分(Ⅲ) 在(Ⅱ)中，取1=a ，可得)0(1)1ln(>+>+x x x x 。