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浙江省杭州市萧山区第八高级中学高中数学必修五：34基本不等式课件(共16张PPT)

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基本不等式课件(共43张PPT)

基本不等式课件(共43张PPT)

02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。

人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.4 基本不等式课件

人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.4 基本不等式课件

学家大会的会标，它是根据中国古代数
学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使
它看上去象一个风车，代表中国人民热
情好客.在这个图案中既有一些相等关系，
也有一些不等关系，
对这
些等与不等的关系，
我们作些相应研究.
精品PPT
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探究（一）:基本不等式的原理
思考1：将图中的“风车”
抽象成如图，在正方形
ABCD中有4个全等的直角
2
两边平方可得什么结论？它与不等式 a2＋b2≥2ab有什么内在联系？
( a + b)2 ³ ab 2
精品PPT
思考2：在不等式a2＋b2≥2ab两边同加
上a2＋b2可得什么结论？所得不等式有
什么特色？ a 0
y ax2 bx c x1, x2 (x1 x2 )
a2 + b2 ³
2
(a + b)2 2
b
和
ab 分别为a，
2
b的算术平均数和几何平均数，如何用 文字语言表述基本不等式？
两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数.
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a+b
思2 考8：如图，在直角三角形ABC中，CD
为斜边上的高， CO为斜边上中线，你能
利用这个图形对基本不等式作出几何解
释吗？
C
A
O
DB
精品PPT
探究（二）：基本不等式的变通 思考1：将基本不等式 a b ab
三角形.设直角三角形的
两a2b2 条直角边长为a，b那么 正方形ABCD和EFGH的边长 D
分别为多少？
A
F GE
C
H
a2 b2
|a－b |
B

高中数学必修5课件3.4基本不等式(共34张PPT)

高中数学必修5课件3.4基本不等式(共34张PPT)
3.4 基本不等式
ab ab 2
思考：这会标中含有怎 样的几何图形？ 思考：你能否在这个图 案中找出一些相等关系 或不等关系？
zxxk
问1：在正方形 ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积 2 2 a b 为S=———— , 问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角 2ab A D 形,它们的面积和是S’=——— 问3：S与S’有什么样的关系？
4800 Z=150× 3
+ (2 3x 2 3 y) 120=240 000+720(x+y)
3 x y
∵容积为4800
m
3
∴3xy=4800
即xy=1600
由基本不等式与不等式的性质,可得
240000 720( x y) 240000 720 2 xy ∴z≥297 600 240000 720 2 1600
当且仅当 a=b 时“＝”号成
立 此不等式称为基本不等式
ab 2
算术平均数
ab
几何平均数
基本不等式的几
B
E
半弦CD不大于半径
2 (1)用篱笆围一个面积为100 m 的矩形菜园,问这个矩形菜园长、宽个为多少 例题1
时,所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？ 解： 设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则 篱笆的长为2(x+y)m 由
∴当这个直角三角形的直角边都时10的时候,两条直角边的和最小为20
(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时, 菜园的面积最大？面积最大值是多少？学科网 解： 设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则 2(x+y)=36 即 X+y=18 x y 2 ) =81 ∴ xy ( 当且仅当x=y=9时取等号 2 2 ∴ 当这个矩形的长、宽都是9m的时候面积最大,为81 m x 练习：用20m长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应当怎样折？ 解： 设矩形的长为xm,宽为ym,则 2(x+y)=20 即 x+y=10 x y 2 ) =25 ∴ xy ( 当且仅当x=y=5时取等号 2 2 ∴ 当这个矩形的长、宽都是5m的时候面积最大,为25 m

34基本不等式(人教A版必修5)精品PPT课件

34基本不等式(人教A版必修5)精品PPT课件
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2＿ab
３、S与S’有什么
样的不等关系？
B
S>S′即
问：那么它们有相等的情况吗？ a2 b2 > 2ab (a≠b)
D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
a2
b
2B
>
2ab
(a≠b)
B
a2 b2＝ 2ab (a＝b)
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有
a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
猜想： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
思考：你能给出不等式 a2 b2≥2ab 的证明吗？
证明：（作差法） a2 b2 2ab (a b)2 当a b时 (a b)2 0 当a b时 (a b)2 0 所以(a b)2≥0 所以a2 b2≥2ab.
③OD与CD的大小关系怎样? OD__≥＞___CD
a b≥ ab 2
几何意义：半径不小于弦长的一半
填表比较：
适用范围
a2 b2≥2ab
a,b∈R
a b≥ ab 2
a>0,b>0
文字叙述
两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数

基本不等式(共43张)ppt课件

基本不等式(共43张)ppt课件
15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。

2019版高中数学第一部分34基本不等式课件新人教A版必修5

2019版高中数学第一部分34基本不等式课件新人教A版必修5

(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某 测观点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最 大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
[思路点拨] (1)依题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当 20≤x≤200时，v是x的一次函数，可用待定系数法求得 v(x)，从而得分段函数v(x)； (2)显然f(x)是分段函数，先求得f(x)的解析式，然后分段 求出最大值，进而得整个值域内的最大值．
[例3] (12分)(2019·湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能 力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的 车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米) 的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞， 此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速 度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v 是车流密度x的一次函数．
f(x)＝13x(200－x)≤13[x＋2020－x]2＝10 3000.
(10 分)
当且仅当 x＝200－x，即 x＝100 时，等号成立．
所以，当 x＝100 时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值
10 000 3
(11 分)
综上，当
x＝100
时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值10
)
A．R<P<Q
B．P<Q<R
C．Q<P<R
D．P<R<Q
解析：∵a>b>1，∴lg a>0，lg b>0.
∴p＝
lg
a·lg
lg b<
a＋lg 2

高中数学必修五：3.4基本不等式 课件


（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18，
x y 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ 2
因此 xy ≤ 9 将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立， 此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，
它的面积最大，最大值是81m2。
ab ab 2
∴a b 2 ab
ab ab 即： 2
ab ab 当且仅当a=b时 2
ab 为a，b 的算术平均数， 称 2 称 ab 为a，b 的几何平均数。
注意：1．适用的范围：a, b 为非负数. 2．语言表述：两个非负数的算术平
均数不小于它们的几何平均数。
ab 3.我们把不等式 ab (a≥0,b≥0) 2
的最大
值，及此时x的值。
3 解： f ( x) 1 (2 x ) ，因为x>0， x
3 3 所以 2 x ≥ 2 2 x 2 6 x x 3 得 (2 x )≤ -2 6 x
因此f(x)≤ 1 2 6
当且仅当 号成立。
3 2x x
3 ，即 x 2
2
时，式中等
当a b时， ( a b) 0 2 当a b时， ( a b) 0
2
a b 2ab
2 2
1．指出定理适用范围： 2．强调取“=”的条件：
a, b R
ab
基本不等式2： 如果a,
b∈R+，那么
（当且仅当a=b 时，式中等号立）
2 2 证明： ( a ) ( b ) 2 a b ∵
由于x>0，所以

基本不等式ppt课件


a+b
当且仅当a
2
= b时，等号成立.
思考：如图，是圆的直径，点是上一点， = ，
D
= .过点作垂直于的弦，连接，.
a+b
ab
2
半径 = _______________，则
= _______________
与大小关系怎么样？
a+b
≥
(1)当积xy等于定值P时，
≥
2
证明：∵ x，y都是正数， ∴
1 2
时，积有最大值 .
4
xy.
p， ∴ x + y ≥ 2 p，
积定和最小
当且仅当x = y时，上式等号成立.
于是，当x = y时，和x + y有最小值2 p.
(2)当和x + y等于定值S时， xy ≤
S
，∴xy
2
当且仅当x = y，上式等号成立.
2
2
∴x +
4
]
2−x
4
，得x
2−x
4
的最大值为−2.
x−2
+ 2 ≤ −2 (2 − x)(
4
)
2−x
+ 2 = −2，
= 0或x = 4(舍去)，即x = 0时等号成立.
练习巩固
练习2：已知0 < < 1,求 1 − 的最大值.
解：∵0 < < 1，∴ 1 − x > 0
∴ 1 − ≤
∴x +
4
x+4
− 4 ≥ 2 (x + 4) ∙
4
，即x
x+4
4
的最小值为0.

高中数学 3.4 基本不等式课件 新人教版必修5


(2)由条件知 S＝xy＝24. 设钢筋网总长为 l，则 l＝4x＋6y. 解法一：∵2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48， 当且仅当 2x＝3y 时，等号成立．由2xxy＝ ＝32y4， ， 解得xy＝ ＝64， .
故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小．
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计 为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
分析:设每间虎笼长x m，宽y m，则问题 (1)是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值； 而问题(2)则是在xy＝24的前提下求4x＋6y的
最小值．因此，使用均值定理解决．
解析:设每间虎笼长 x m，宽 y m，则由条件知：4x＋6y＝36，即 2x＋3y＝18.
2．由不等式性质可知，对任意a，b∈R，(a－ b)2________0，因此a2＋b2________2ab，当且仅 当________时，取等号． 答案： ≥ ≥ a＝b
引例： 一般地，对于任意实数a、b，我们有 a2b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。 证明: a2 + b2 – 2ab = ( a – b )2
当 a≠ b时, (a – b)2 > 0 ; 当a=b时, (a – b)2 =0 所以( a – b )2≥0, 即 a2 + b2≥2ab
分别用 a , b 代替引例中的a,b, 即可得 ab2 ab
基本不等式的代数解释
∵a＋b－2 ab＝( a)2＋( b)2－2 ab＝( a－ b)2≥0， ∴a＋b－2 ab≥0，即 a＋b≥2 ab， ∴a＋2 b≥ ab.
第三章 不等式
3.4 基本不等式

高中数学第三章不等式34基本不等式课件新人教A版必修5


4．若 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为 ________．
【答案】9 【解析】x，y∈(0，＋∞)，且 x＋4y＝1，则1x＋1y＝(x＋ 4y)1x＋1y＝1＋4＋xy＋4xy≥5＋2 xy·4xy＝9，当且仅当 x＝2y＝13 时，等号成立，则1x＋1y的最小值为 9.
(2)21x＋1y＝2x2＋xyy＝23xy. ∵2x＋y＝3≥2 2xy，∴2xy≤94. ∴21x＋1y≥39＝43，当且仅当2x＝y＝32，
4 即x＝34，y＝32时，等号成立． ∴当x＝34，y＝32时，21了基本不等式这一基础知识 的应用：两个正数，和为定值时，积有最大值；积为定值时， 和有最小值．
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
重点难点
重点：会用基本不等 式进行代数式大小的 比较及求解简单的最 值问题． 难点：用基本不等式 解决简单的最大(小) 值问题.
1．基本不等式 (1)重要不等式：对于任意实数a，b，有a2＋ b2__≥____2ab，当且仅当_a_＝__b__时，等号成立．
(2)基本不等式：如果a＞0，b＞0，那么 ab__≤____a＋2 b， 当且仅当_a_＝__b__时，等号成立．
2．应用基本不等式求最值
已知x，y都为正数，则 s2 (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝__y____时，积xy取得最大 值4________．
(2)若xy＝p(积为定值)，则x当＝_y_____时，和x＋y取得最 小2值p________．
1．函数f(x)＝x＋x1的最大值为(
)
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B
x
C
矩形则菜当园x的+y面的积值为是x常y m数2S时，
当且x当xy仅y≤有且当x最仅x2=大当yy时值x1=，2_8y_时等_14_，9号_S_成_2 ；立得
xy ≤ 81 即x=y=9
因菜x此园y≤，面这积x 个最2 矩大y 形， 的最S2长大、面x宽积y都是≤为8141m9Sm22时，
应用二：解决最大（小）值问题
(4)a2＋b2＋c2 ≥ ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．
4．当 a>0，b>0 且 a≠b 时，a＋2 b， ab，1a＋2 1b，
a2＋2 b2按
从小到大的顺序排列为 所以1a＋2 1b≤
ab≤a＋2 b≤
.
a2＋b2 2.
例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜
园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最
短的篱笆是多少？
A
D
解：如图设BC=x ，CD=y ， 则xy=若1x0、0，y皆篱为笆正的数长，为2(x+y)m. B
y
x
C
x 则y ≥当xxyy的值是x常数y≥P时2 ，100 20,
2当且仅当x=y时， 2(x y)≥40 当且仅x+当y有x=最y小时值，_等_2_号__P成__立. 此时x=y=10.
例2、已知 x, y 都是正数，求证
（1）如果积 xy是定值P，那么当 x y 时，
和 x y有最小值 2 P （2）如果和 x y 是定值S，那么当 x y时， 积 xy 有最大值 1 S 2
4
小结：利用 a b 2 ab(a 0,b 0) 求最值时要注意下面三条：
（1）一正：各项均为正数 （2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。
1、已知 2x 3 y 2( x 0, y 0)
1
则x y 的最大值是 6
。
2、若实数 x, y ，且 x y 5，则 3 x 3 y的最小
值是（ D ）
A、10
B、6 3
C、4 6
D、18 3
3、在下列函数中，最小值为2的是（ C）
A、y
x 5
5 x
(x
R,
x
0)B、y
lg
x
1 lg x
ICM2002会标
如图，这是在北京召 开的第22届国际数 学家大会会标．会标 根据中国古代数学家 赵爽的弦图设计的， 颜色的明暗使它看上 去象一个风车，代表 中国人民热情好客。
欣 赏 体 会
丰 富 自 我
D
D
a2 b2
b
A
G
F
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
HE
C A
a
E(FGH) b
C
B
B
基本不等式1： 一般地，对于任意实数a、b，
两个正数和为定值，积有最大值。
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”， 否则会出现错误
：两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？
提示：不一定．如 x2＋2＋ x21＋2中，虽然 x2＋2与 x21＋2的积为定值 1.但当 x2＋2＝ x21＋2时有 x2＝－1
不成立． ∴ x2＋2＋ x21＋2≥2 中等号不成立．
(1
x
10)
C、y
3x
3x(x R)
D、y sin x 1 (0
sin x
x ) 2
我们有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
如何证明?
用 a和 b代替a、b 会得到什么？
基本不等式2： ab a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
注意：
1、两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相同.
a b ab 2
算术平均数
几何平均数
剖析公式应用
深
入 2. 基本不等式可以叙述为:
探 究 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
揭 3.正用、逆用，注意成立的条件
示
⑴ a、 b是两个正数.
本
⑵ 当且仅当a=b时“＝”号成立
质 4.变形用
a b ab (a b)2 ab
2
2
3．基本不等式的常用推论 (1)ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2 (a，b∈R)； (2)当 x>0 时，x＋1x≥ 2 ；当 x<0 时，x＋1x≤ －2 . (3)当 ab>0 时，ba＋ab≥ 2 ；当 ab<0 时，ba＋ab≤－2 .
因最此短，，x解这最yx≥个短yx2矩的1y0形篱x0y，的笆可2长是得、4P0宽mxy .都1100为10m时，所用的篱笆
例1：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形
菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面
积最大，最大面积是多少？
A
D
解：如图，设BC=x ，CD=y ，
y
则 2(若x x+、y)y=皆3为6 ,正x数+ ，y =18